Correction RSA

Lebanese International University (LIU) en Mauritanie corrigé TD4 asymmetric ciphers
R. Rhouma 1
Correction Exercice 1 : RSA
1)
n = p*q= 253
Phi(n) = (p – 1)(q – 1 ) = 10 * 22 = 220
e=3 (e =2 a rejeter puique gcd(2,220) =2 ; e=1 n’est clairement pas un bon choix )
cherher d tel que d =e
-1
mod phi(n) = 3
-1
mod 220
pour cela on applique l’alg d’euclide etendu :
220 = 3 * 73 + 1
1 = 220 – 3 *73
-73 = 3
-1
mod 220 = 147 mod 220
Donc d =147
2) on a n=253, la taille de bloc du plaintext k = E[log
4
253] =
4
ln
253ln = 3.
3) la taile maximale d’un bloc du ciphertext sera donc k +1 = 4
4) le message abb correspond à 122 d’apres le tableau. 122 correspond au nombre :
1* 4
2
+ 2 * 4
1
+ 2*4
0
= 26
Donc P =26. le chiffrement de P est donné par C = P
e
mod n = 26
3
mod 253 = 119
Le nombre 119 correspond à :
119 = 1 * 4
3
+ 3 * 4
2
+ 1* 4
1
+ 3*4
0
Donc le nombre decimal 119 correspond au nombre dans la base 4 : 1313 qui correspond au
message «acac ».
5) le dechiffrement se fait comme suit :
le ciphertext acac correspond à 1313 ds la base 4 qui correspond au nombre :
1 * 4
3
+ 3 * 4
2
+ 1* 4
1
+ 3*4
0
= 119
M = C
d
mod n = 119
147
mod 253 = ?
Exponentiation rapide, on a 147 = 128 + 16 + 2 +1 = (10010011)
2
I 7 6 5 4 3 2 1 0
b
i
1 0 0 1 0 0 1 1
Exp 1 2 4 9 18 36 73 147
Res 119 246 49 82 146 64 146
26
Donc le plaintext en decimal c’est 26 qui s’ecrit en base 4 sous la forme :
26 = 1* 4
2
+ 2* 4
1
+ 2 *4
0
Donc 26 = (122)
4
qui correspond d’apres le tableau au plaintext « abb »
Correction Exercice 2 : Diffie Hellman
- Alice calcule A = g
a
mod p = 3
7
mod 17 = 11 et envoye A à Bob
- Bob calcule B = g
b
mod p = 3
4
mod 17 = 13 et envoye B à Alice
- Alice calcule la clé secrete par K = B
a
mod p = 13
7
mod 17 = 4
- Bob calcule la clé secrete K par K = A
b
mod p = 11
4
mod 17 = 4
Correction Exercice 3 : Hash
1) H(01101) = 1

Lebanese International University (LIU) en Mauritanie corrigé TD4 asymmetric ciphers
R. Rhouma 2
2) H(msg de 1 pair) = 0 et H(msg 1 impaire) = 1
3) 111 et 100
4) H est une fonction à sens unique. Les autres proprétés ne sont pas verifiés ( strong and
weak collision)
Solution Exercice 4 : Fonctions de hachage et paradoxe des anniversaires
2^160=1.4 * 10^48
1) Cet exercice est une illustration
du paradoxe des anniversaires : quelle est la probabilité pour que, dans un groupe, au moins
deux personnes aient la même date d’anniversaire? La probabilité qu’au moins deux
personnes dans un groupe de 23 personnes aient la même date d’anniversaire est supérieure à
0,5, ce qui est bien supérieur à ce que l’on pourrait penser intuitivement, d’où le terme de
paradoxe.
1. Soit p la probabilité qu’au moins une personne possède un certificat ayant la même
empreinte que Foulen fouleni et
p
la probabilité complémentaire, c’est-à-dire la probabilité
que personne ne possède un certificat ayant la même empreinte que celle de foulen. Soit H le
nombre d’empreintes possibles (2
160
) et N le nombre d’habitants sur Terre. La probabilité
qu’une personne donnée ait la même empreinte que foulen est 1/H ; la probabilité qu’elle en
ait un différent est alors 1 − 1/H. Il y a N − 1 autres personnes.
On en déduit donc p :
On obtient une bonne approximation en utilisant deux fois le fait que
x
ex
−
=−1 pour x
proche de 0 :
2) Soit maintenant p’ la probabilité qu’au moins deux personnes sur Terre possèdent des
certificats ayant la même empreinte. Soit 'p la probabilité complémentaire c’est-à-dire la
probabilité que tous les habitants de la Terre possèdent des certificats distincts. Pour calculer
'p on imagine une table contenant H cases.
Chacune des N personnes vient faire une croix dans la case correspondante à son empreinte.
La première croix tombe forcément sur une case libre. Pour la deuxième il y a (H – 1 )/H
chances qu’elle tombe sur une case libre. Pour la troisième (H−2) / H et ainsi de suite. On a
alors :
Donc