CoursElasticit-R.ADMAN-2020

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Théorie de l'élasticité: Cours et Applications
Preprint · June 2020
DOI: 10.13140/RG.2.2.14806.27206
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R. Adman
University of Science and Technology Houari Boumediene
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R. Adman FGC/USTHB/2020
1
Faculté de génie civil
Théorie de l’élasticité
Cours et applications
ADMAN Redouane

R. Adman FGC/USTHB/2020
2
Sommaire.
Chapitre I : Rappels des outils mathématiques des sciences de l’ingénieur 6
I.1 Repère et Base 6
I.2 Notions de Vecteur 7
I.2.1 Ecriture analytique de v 7
I.2.2 Ecriture matricielle de v 7
I.2.3 Norme d’un vecteur 8
I.3 Opérations vectorielles 8
I.3.1 Somme vectorielle 8
I.3.2 Produit Scalaire de deux vecteurs 9
I.3.3 Produit Vectoriel de deux vecteurs 10
I.3.4 Produit scalaire triple de trois vecteurs (Produit mixte) 11
I.4 Changement de base 12
I.5 Incidences d’un changement de base sur les composantes d’un vecteur 13
Applications résolues :
Application 1 15
Application 2 16
I.6 Notations d’Einstein 19
I.7 Notion de tenseur 20
Applications résolues:
Application 3 23
Application 4 24
Application 5 25
Application 6 26
Application 7 27
Chapitre II : Théorie de l’état de contrainte 31
II.1 Théorie d’élasticité vis à vis de la MMC, de la RDM 31
II.2 Hypothèses de base de la théorie d’élasticité 33
II.3 Tenseur des contraintes 33
II.3.1 Equilibre d’un volume élémentaire en surface du milieu
(Formule de Cauchy) 35

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3
II.3.2 Equilibre d’un volume élémentaire au sein du milieu 39
II.3.2.1 Equations d’équilibre en translation 40
II.3.2.2 Equations d’équilibre en rotation
(Réciprocité des contraintes tangentielles) 40
II.3.3 Directions et contraintes principales 41
II.4 Représentation des contraintes : les cercles d’Otto Mohr 44
II.4.1 Contraintes sur une facette n passant par la direction principale eIII 46
II.4.2 Etat de contrainte uniaxial 49
II.4.3 Etat de contrainte de cisaillement simple 49
II.4.4 Etat de contrainte sphérique (isotrope) 50
II.4.5 Etat de contrainte plan 51
Applications à résoudre :
Application 1 54
Application 2 54
Application 3 55
Application 4 55
Chapitre III : Théorie de l’état de déformation 57
III.1 Description cinématique (Lagrangienne et Eulérienne) 57
III.2 Relations entre déformations et déplacements 59
III.3 Tenseur des déformations 60
III.4 Tenseur des dilatations 64
III.5 Tenseur des déformations de Green-Lagrange 65
III.6 Calcul des déformations 67
III.6.1 Calcul de la dilatation 68
III.6.2 Calcul de la déformation de Green-Lagrange 68
III.6.3 Calcul de l’allongement unitaire (déformation de l’ingénieur) 69
III.6.4 Calcul du glissement de deux directions orthogonales 69
III.7 Loi de comportement élastique contraintes-déformations 70
Exercices à résoudre :
Exercice 1 74
Exercice 2 74
Exercice 3 74
Exercice 4 75
Exercice 5 76
Exercice 6 76
Exercice 7 77
Exercice 8 77
Exercices résolus :
Exercice 9 79
Exercice 10 82
Exercice 11 84

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4
Exercice 12 85
Exercice 13 87
Exercice 14 89
Exercice 15 94
Exercice 16 99