cours d'algèbre linéaire

Cours d’algèbre linéaire
Khaoula Ben Abdeljelil

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Table des matières
Tabledesmatières ............................... i
1 POLYNOMES 1
1.1 Algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Définition ............................. 1
1.1.2 Opérations sur K[X]....................... 1
1.2 Division des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Divisions suivant les puissances décroissantes . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Algorithme d’Euclide, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Divisions suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . 4
1.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Factorisation ............................... 5
1.4.1 Factorisation dans K=C.................... 5
1.4.2 Factorisation dans K=R.................... 5
1.4.3 Ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Feuille d’exercices- Polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Espace vectoriel 9
2.1 Introduction au groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Espacevectoriel.............................. 11
2.3 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Définition ............................. 12
2.3.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Sous-espace vectoriel engendré par une partie d’un espace vec-
toriel................................ 13
2.4 Feuille d’exercices-Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels . . . . 15
2.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 Définitions............................. 16
2.5.2 Applications linéaires particulières . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.3 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs 18
2.6.2 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.3 Famille libre, famille liée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.4 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.5 Composante dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Feuille d’exercices sur les applications linéaires, Famille libre, liée et
base .................................... 22
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TABLE DES MATIÈRES
2.7.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.2 Image et noyau d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.3 Sous-espace engendré par une famille finie . . . . . . . . . . . 23
2.7.4 Famillelibre............................ 23
2.7.5 Obtention de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Matrices 25
3.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Définition ............................. 25
3.1.2 (Mn,p(K),+, .)est un K-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Sous-espaces des matrices diagonales et triangulaires . . . . . 29
3.1.4 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Matrice colonne des composantes d’un vecteur . . . . . . . . . 32
3.2.2 Matrice des composantes d’une famille de vecteurs . . . . . . . 33
3.2.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4 Matrice d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.5 Image d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.6 Isomorphisme de représentation matricielle . . . . . . . . . . . 37
3.2.7 Composition d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.8 Isomorphisme et matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Nouvelle composante de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Nouvelle représenatation d’une application linéaire . . . . . . 38
3.4 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.1 Definition ............................. 39
3.4.2 Propriétés du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Séried’exercices.............................. 41
4 Systèmes Linéaires, Méthode du Pivot de Gauss 47
4.1 Transformations des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Réduction des matrices ; Méthode du Pivot Gauss . . . . . . . . . . . 47
4.3 Recherche de l’inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Exercices.................................. 48
5 Réduction des Matrices Carrées 49
5.1 Valeurs propres, Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Diagonalisation d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Diagonalisation d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Séries d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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Chapitre 1
POLYNOMES
1.1 Algèbre des polynômes
1.1.1 Définition
Soit K=Rou C.
Définition 1.1. Un polynôme à coefficient dans Kest un élément de la forme
P(X) = a0+a1X+···+anXn=Pn
i=1 aiXi,
où n∈Net les coefficients a0, a1,...,ansont des élements de K. Le symbole Xest
appelé l’indéterminée (on pose X0= 1). On note
K[X] = {polynômes à coefficients dans K}.
On identifie Kà un sous ensemble de K[X].
Exemple 1.2. (1) P1(X) = X3+ 4X−8et P2(X) = 5 sont deux polynômes.
(2) F(X) = X4+√7X+ 11 et G(X) = X3−X+1
X+13 ne sont pas de polynômes.
1.1.2 Opérations sur K[X]
Sur K[X]on définit les lois suivantes, si P(X) = a0+a1X+···+anXnet
Q(X) = b0+b1X+···+bmXm, on pose alors :
(P+Q)(X) = Pmax(n,m)
k=0 (ak+bk)Xk
λP (X) = Pn
k=0 λakXk
(P Q)(X) = Pn+m
k=0 ckXktel que ck=Pk i=0 aibk−i
Avec la généralisation ak= 0 ∀k≥n+ 1, bk= 0 ∀k≥m+ 1.
K[X]est stable pour ces lois, on dit que c’est une algèbre (et on peut vérifier aussi
qu’elle est commutative).
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