Conducteurs (1)

5. Les conducteurs ´ electriques
5.1. Introduction
Un conducteur ´ electrique est un milieu dans lequel des c harges ´ electriques son t libres
de se d ´ eplacer. Ces c harges son t des ´ electrons ou des ions. Les m ´ etaux, les ´ electrolytes
et les plasmas (gaz ionis ´ es) son t des milieux conducteurs.
5.1.1. Conducteur dans un champ ´ electrique statique
Pla ¸ cons un morceau de m ´ etal dans un champ ´ electrique statique. A l’in t ´ erieur du
m ´ etal, les ´ electrons de conduction, qui son t libres de se d ´ eplacer dans tout le v olume,
son t soumis ` a une force qui les met en mouv emen t. Les ´ electrons son t stoppp ´ es ` a leur
arriv ´ ee sur les parois du m ´ etal et s’y accum ulen t. Leur accumulation cr ´ ee un champ
´ electrique qui s’additionne au champ ext ´ erieur. Apr ´ es cette phase transitoire, on attein t
un ´ etat d’ ´ equilibre.
A l’ ´ equilibre, les ´ electrons qui son t ` a l’in t ´ erieur du conducteur son t immobiles. Cela
signifie que le champ ´ electrique auquel ils son t soumis est n ul. L e champ ´ electrique est
nul ` a l’int ´ erieur d’un milieu c onducteur ` a l’ ´ equilibr e. On d ´ eduit imm ´ ediatemen t ` a partir
du th ´ eor ` eme de Gauss que la densit ´ e totale de c harge est nulle : la densit ´ e volumique
de char ge est nul le ` a l’int ´ erieur d’un milieu c onducteur. Dans un m ´ etal par exemple, la
densit ´ e de c harge n ´ egativ e due aux ´ electrons comp ense donc exactemen t la densit ´ e de
charges positives due aux noyaux.
Puisqu’ a ` l’ext ´ erieur du conducteur, le champ ´ electrique n’est pas n ul, il y a une dis-
con tinuit ´ e du champ ´ electrique ` a la surface du conducteur. Une partie des c harges s’est
accumul ´ ee en surface. Le champ cr ´ e ´ e par cette densit ´ e surfacique de c harge ` a l’in t ´ erieur
du conducteur y comp ense exactemen t le champ ´ electrique ext ´ erieur.
Lorsque l’on c hange le champ ´ electrique ext ´ erieur, les c harges se d ´ eplacen t de sorte
que le champ ´ electrique reste n ul ` a l’in t ´ erieur. Si le c hangemen t est len t, les couran ts
´ electriques son t des couran ts surfaciques.
5.1.2. Conducteurs dans un champ ´ electrique va riable
Lorsque le champ ´ electrique c hange, la mise ` a l’ ´ equilibre ne peut pas ˆ etre instan-
tan ´ ee car les c harges ´ electriques doiv en t se mettre en mouv emen t. Deux ph ´ enom ` enes
interviennen t alors : l’inertie des c harges est ` a l’origine d’un retard de la r ´ ep onse, les
collisions des p orteurs son t ` a l’origine de dissipation. Av an t d’ ´ etudier les conducteurs
r ´ eels, on consid ` erera une situation mo d ` ele o u ` ces deux ph ´ enom ` enes son t absen ts.
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5. Les conducteurs ´ electriques
J-M Courty
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Dans cette situation id ´ ealis ´ ee, on consid ´ erera qu’il n’y a pas de dissipation et que la
r ´ ep onse est instan tan ´ ee. On parlera alors de conducteur parfait ou de conducteur id ´ eal.
5.2. Du conducteur pa rfait aux conducteurs r ´ eels
Le conducteur parfait est une id ´ ealisation des conducteurs r ´ eels. L’ ´ etude des conduc-
teurs r ´ eels p ermettra de d ´ eterminer les domaines de param ` etres dans lesquels on peut
les consid ´ erer comme id ´ eaux. Les milieux supraconducteurs o u ` la dissipation est parfai-
temen t nulle son t aussi un tr ´ es b on exemple de ce que peut ˆ etre un conducteur id ´ eal
(on notera toutefois que seule la dissipation est absen te de ces milieux : les ´ electrons y
conservent leur inertie).
5.2.1. Le conducteur parfait
Un conducteur parfait se comp orte en r ´ egime dynamique de la m ˆ eme mani ` ere qu’un
conducteur en r ´ egime statique. P our un conducteur parfait, le champ ´ electrique in t ´ erieur
E
→
in t
est n ul :
E
→
in t (
→ r , t ) = 0 . (5.1)
On d ´ eduit de l’ ´ equation de Maxw ell-Gauss que la densit ´ e v olumique de c harge est nulle :
ρ
in t
( → r , t ) = ε
0
div E
→
in t
= 0 . (5.2)
P ar cons ´ equen t, seule la densit ´ e surfacique de c harge peut ˆ etre diff ´ eren te de z ´ ero.
L’ ´ equation de Maxwell-F arada y p ermet de conclure qu’ ` a l’in t ´ erieur d’un conducteur
parfait le champ magn ´ etique ne peut d ´ ep endre du temps :
∂ B
→
∂t
= −− r
→
ot E
→
= 0 . (5.3)
Dans un conducteur parfait le champ magn ´ etique est n ´ ecessairemen t statique. On no-
tera que dans les supraconducteurs, le champ magn ´ etique est n ul (effet Meissner : lors-
qu’un conducteur passe de l’at ´ et normal ` a l’ ´ etat supraconducteur, les lignes de champ
magn ´ etiques son t expuls ´ ees de sorte que le champ magn ´ etique devien t n ul ` a l’in terieur
du supraconducteur).
On d ´ eduit alors de l’ ´ equation de Maxwell-Amp ` ere que les couran ts ´ electriques son t
n ´ ecessairemen t stationnaires, c’est ` a dire ind ´ ep endan ts du temps :
→
j =
1
−
r
→
ot B
→
− ε
∂ E
→
=
1
−
r
→
ot B
→
. (5.4)
µ
0
0
∂t µ
0
Les seuls couran ts qui p euv en t d ´ ep endre du temps son t les couran ts surfaciques.

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−
e
dt
5.3. Mo d ` eles de conducteurs r ´ eels 33
5.2.2. R ´ eflexion sur un conducteur pa rfait
Que se passe-t-il lorsqu’une onde ´ electromagn ´ etique arriv e sur un conducteur parfait ?
Cette onde met en mouv emen t les c harges en surface du conducteur. A l’in t ´ erieur du
conducteur le champ ´ electrique tout comme le champ magn ´ etique resten t n uls. Le champ
´ electromagn ´ etique ´ emis par les c harges en mouv emen t ` a la surface du conducteur com-
p ense exactemen t le champ inciden t ` a l’in t ´ erieur du conducteur : la surface ´ emet une
onde de m ˆ eme amplitude que le champ inciden t et en opposition de phase. Si la surface
est un plan, on d ´ eduit par sym ´ etrie que le champ ´ emis par ces c harges en mouv emen t
v ers l’ext ´ erieur du conducteur est le sym ´ etrique du champ qu’il ´ emet v ers l’in t ´ erieur.
On retrouv e bien ce que l’on attend d’un miroir, a v ec en supl ´ emen t le fait que le champ
r ´ efl ´ ec hi subit un d ´ ephasage de π par rapp ort au champ inciden t.
5.3. Mo d ` eles de conducteurs r ´ eels
L’ ´ etude des milieux n’est pas une th ´ eorie ” ` a princip es” comme peut l’ ˆ etre l’electro-
magn ´ etisme dans le vide. P our l’ ´ electromagn ´ etisme dans le vide, il suffit de prendre
comme p ostulat les quatre ´ equations de Maxwell, l’expression de la force de Loren tz
et la relation fondamen tale de la dynamique. T out le reste se construit ` a partir de ces
´ equations et s’en d ´ eduit par des raisonnemen ts logiques.
P our les milieux, on ne disp ose pas de syst ` eme d’ ´ equations que l’on p ourrait consid ´ erer
comme des p ostulats. Les th ´ eories les plus pr ´ ecises don t on disp ose son t extr ` ememen t
complexes et fon t app el ` a la th ´ eorie quan tique. Notre but ici est plutot d’ ´ etudier des
grandes classes de comp ortemen t g ´ en ´ eriques, en particulier dans des cas limites. P our
cela les mat ´ eriaux seron t d ´ ecrits d’une part au niv eau macroscopique par des ” ´ equations
d’ ´ etat” (aussi nomm ´ ees relations constitutiv es) c’est ` a dire des co efficien ts tels que la
conductivit ´ e electrique, la p ermittivit ´ e, ... On disp ose aussi de mo d ` eles microscopiques
que l’on qualifie de ph ´ enom ´ enologiques car certains aspects ne son t pas d ´ eduits des
premiers princip es mais a jout ´ es ” ` a la main” de mani ` ere ` a ce que le comp ortemen t obten u
mime au mieux le comp ortemen t observ ´ e dans les mat ´ eriaux r ´ eels. Outre leur asp ect
pr ´ edictif, ces mo d ` eles on t le grand in t ´ eret de nourrir l’in tuition physique. Il faut toutefois
rester vigilant et ne pas les prendre forcement au pied de la lettre. On notera aussi que
si certaines justifications parfois donn ´ ees p our ces mo d ` eles sem blen t simplistes, il existe
tr ´ es souv en t des raisons tr ` es profondes ` a leur efficacit ´ e.
5.3.1. L’ ´electron amo rti
Dans le mo d ` ele prop os ´ e, on consid ` ere que les ´ electrons son t resp onsables de la conduc-
tion du milieu. Un ´ electron libre de masse m
e
et de c harge ´ electrique q = e ob ´ eit ` a
l’ ´ equation d’ ´ ev olution suiv ante :
m d
→ v
= F
→
— Γ → v . (5.5)
L

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5. Les conducteurs ´ electriques
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c
−
0
τ
τ
Γ
0
Le p ermier terme, F
→
L
est la force de Loren tz :
F
→
L
= q E
→
+ → v × B
→
. (5.6)
Dans la suite, lorsque le champ ´ electrique et le champ magn ´ etique viennen t tout deux
d’une m ˆ eme onde ´ electromagn ´ etique, on n ´ egligera en g ´ en ´ eral le terme du ` au champ
magn ´ etique, inf ´ erieur ` a celui du champ ´ electrique d’un facteur
v
qui est tr ´ es p etit tan t
que les vitesses ne son t pas relativistes. A ttention, lorsque l’on est en pr ´ esence d’une
onde ´ electromagn ´ etique et d’un champ magn ´ etique statique, seul le champ magn ´ etique
pro v enan t de l’onde peut ˆ etre n ´ eglig ´ e, car lui seul est prop ortionel au champ ´ electrique.
Le champ statique peut conduire ` a une force comparable ` a celle du champ ´ electrique de
l’onde m ˆ eme si les vitesses ne son t pas relativistes.
Le second terme Γ → v est une force de friction visqueuse a jout ´ ee p our des raisons
ph ´ enom ´ enologiques. Il rend compte des m ´ ecanismes dissipatifs pr ´ esen ts dans le milieu.
Le co efficien t de friction ne peut en g ´ en ´ eral pas ˆ etre calcul ´ e ` a partir des premiers princip es
( ´ equations de Maxwell, m ´ ecanique quan tique, ...), on obtien t en g ´ eneral sa v aleur en le
relian t aux param ` etres macroscopiques du milieu. Dans un plasma, la friction est due
aux collisions des ´ electrons a v ec les ions et a v ec les mol ´ ecules rest ´ ees neutres. Dans un
m ´ etal, il s’agit de l’in teraction en tre les ´ electrons et les vibrations m ´ ecaniques du r ´ eseau
cristallin.
Dans un champ ´ electrique statique E
→
0
, l’ ´ equation d’ ´ ev olution de l’ ´ electron a p our
solution :
→ v ( t ) = → v e
−
t
+ 1 − e
−
t
q
E
→
. (5.7)
o u ` → v
0
est la vitesse de l’ ´ electron ` a l’instan t initial t = 0. Le temps caract ´ eristique d’amor-
tissement est τ
τ =
m
e
(5.8)
Γ
la vitesse initiale est amortie tandis que la vitesse de l’ ´ electron tend v ers une vitesse
limite → v
l
:
→ v
l
=
q
E
→
Γ
0
. (5.9)
5.3.2. Conductivit ´ e ´ electrique
Lorsque la densit ´ e v olumique d’ ´ electrons est N
e
, la densit ´ e stationnaire de couran t
→
j
est
→
Nee2
→
j = q N
e
→ v
l
=
Γ
E
0
. (5.10)
Cette densit ´ e de couran t est proportionelle au champ ´ electrique : on retrouv e ainsi un
comportement ohmique
corresp ondan t ` a une conductivit ´ e σ
0
:
→
j = σ
0
E
→
0
(5.11)
N
e
e
2
σ
0
= Γ . (5.12)

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5.4. Propagation dans les conducteurs
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P our un milieu donn ´ e, on peut donc reexprimer le co efficien t de friction ph ´ enom ´ enologique
Γ ` a l’aide de constan tes fondamentales ou de grandeurs macroscopiques mesur ´ ees :
Γ =
N
e
e
2
σ
0
on en d ´ eduit aussi le temps caract ´ erisque d’amortissmen t :
(5.13)
τ−
1
=
N
e
e
2
σ
0
m
e
(5.14)
Si le champ ´ electrique n’est plus statique mais d ´ epend du temps, tan t que le temps
caract ´ erique d’ ´ ev olution du champ ´ electrique est grand dev an t ce temps d’amortissmen t,
les ´ electrons son t en p ermanence ` a leur vitesse limite et le conducteur est ohmique.
De mani ` ere plus g ´ en ´ erale, on peut analyser la r ´ ep onse du milieu ` a un champ ´ electrique
sin usoidal. En notation complexe, l’ ´ equation du mouv emen t devien t
( − iω m
e
+ Γ) → v e
− iω t
= q E
→
0
e
− iω t
(5.15)
soit une vitesse
→ v =
q
E
→
(5.16)
La densit ´ e de couran t est alors
Γ − iωm
e
→
Nee2
→
Nee2 1
→
1
→
j =
Γ − iωm
E
0
=
Γ 1 − iω me E0 = σ0 1 − iωτ E0
(5.17)
On en d ´ eduit qu’en r ´ egime sin usoidal la conductivit ´ e devien t complexe et d ´ epend de la
fr ´ equence
1
σ [ω] = σ0 1 − iωτ . (5.18)
Ce mo d ` ele prop os ´ e par le ph ysicien Drude rend tr ` es bien compte de la d ´ ep endance
en fr ´ equence de la conductivit ´ e p our de tr ´ es nombreux mat ´ eriaux. On notera toutefois
que si l’on souhaite une description plus pr ´ ecise, il faut aller c hercher les v aleurs de la
conductivit ´ e exp ´ erimen tales dans des tables.
5.4. Propagation dans les conducteurs
5.4.1. Les conducteurs ohmiques
Ces conducteurs son t caract ´ eris ´ es en v olume par l’ ´ equation d’ ´ etat
ρ = 0 (5.19)
→
j = σ E
→
a v ec une conductivit ´ e σ r ´ eelle. Les ´ equations de Maxw ell s’ ´ ecriv en t donc :
(5.20)
Γ
0
e