Conducteurs (1)

Telechargé par Farah ali
5.
Les
conducteurs
´
electriques
5.1.
Introduction
Un
conducteur
´
electrique
est
un
milieu
dans
lequel
des
c
harges
´
electriques
son
t
libres
de
se
d
´
eplacer.
Ces
c
harges
son
t
des
´
electrons
ou
des
ions.
Les
m
´
etaux,
les
´
electrolytes
et
les
plasmas
(gaz
ionis
´
es)
son
t
des
milieux
conducteurs.
5.1.1.
Conducteur
dans
un
champ
´
electrique
statique
Pla
¸
cons
un
morceau
de
m
´
etal
dans
un
champ
´
electrique
statique.
A
l’in
t
´
erieur
du
m
´
etal,
les
´
electrons
de
conduction,
qui
son
t
libres
de
se
d
´
eplacer
dans
tout
le
v
olume,
son
t
soumis
`
a
une
force
qui
les
met
en
mouv
emen
t.
Les
´
electrons
son
t
stoppp
´
es
`
a
leur
arriv
´
ee
sur
les
parois
du
m
´
etal et
s’y
accum
ulen
t.
Leur accumulation
cr
´
ee
un
champ
´
electrique
qui
s’additionne
au
champ
ext
´
erieur.
Apr
´
es
cette
phase
transitoire,
on
attein
t
un
´
etat
d
´
equilibre.
A
l
´
equilibre,
les
´
electrons
qui
son
t
`
a
l’in
t
´
erieur
du
conducteur
son
t
immobiles.
Cela
signifie
que
le
champ
´
electrique
auquel
ils
son
t
soumis
est
n
ul.
L
e
champ
´
electrique
est
nul
`
a
l’int
´
erieur
d’un
milieu
c
onducteur
`
a
l
´
equilibr
e.
On
d
´
eduit
imm
´
ediatemen
t
`
a
partir
du
th
´
eor
`
eme
de
Gauss
que
la
densit
´
e
totale
de
c
harge
est
nulle
:
la
densit
´
e
volumique
de
char
ge
est nul
le
`
a
l’int
´
erieur
d’un
milieu
c
onducteur.
Dans
un
m
´
etal
par
exemple,
la
densit
´
e
de
c
harge
n
´
egativ
e
due
aux
´
electrons
comp
ense
donc
exactemen
t
la
densit
´
e
de
charges positives due aux noyaux.
Puisqu’
a
`
l’ext
´
erieur
du
conducteur,
le
champ
´
electrique
n’est
pas
n
ul,
il
y
a
une
dis-
con
tinuit
´
e
du
champ
´
electrique
`
a la
surface
du
conducteur.
Une
partie
des
c
harges
s’est
accumul
´
ee
en
surface.
Le
champ
cr
´
e
´
e
par
cette
densit
´
e
surfacique
de
c
harge
`
a
l’in
t
´
erieur
du
conducteur
y
comp
ense
exactemen
t
le
champ
´
electrique
ext
´
erieur.
Lorsque
l’on
c
hange
le
champ
´
electrique
ext
´
erieur,
les
c
harges
se
d
´
eplacen
t
de
sorte
que
le
champ
´
electrique
reste
n
ul
`
a
l’in
t
´
erieur.
Si
le
c
hangemen
t
est
len
t,
les
couran
ts
´
electriques
son
t
des
couran
ts
surfaciques.
5.1.2.
Conducteurs
dans
un
champ
´
electrique
va
riable
Lorsque
le
champ
´
electrique
c
hange, la
mise
`
a
l
´
equilibre
ne
peut
pas
ˆ
etre
instan-
tan
´
ee
car
les
c
harges
´
electriques
doiv
en
t
se
mettre
en
mouv
emen
t.
Deux
ph
´
enom
`
enes
interviennen
t
alors
:
l’inertie
des
c
harges
est
`
a
l’origine
d’un
retard
de
la
r
´
ep
onse,
les
collisions
des
p
orteurs
son
t
`
a
l’origine
de
dissipation.
Av
an
t
d
´
etudier
les
conducteurs
r
´
eels,
on
consid
`
erera
une
situation
mo
d
`
ele
o
u
`
ces
deux
ph
´
enom
`
enes
son
t
absen
ts.
31
32
5.
Les
conducteurs
´
electriques
J-M Courty
UPMC - L3 - Physique - PGA
Notes de cours version 0.2
Dans
cette situation
id
´
ealis
´
ee,
on
consid
´
erera
qu’il
n’y
a
pas
de
dissipation
et
que
la
r
´
ep
onse
est
instan
tan
´
ee.
On
parlera
alors
de
conducteur
parfait
ou
de
conducteur
id
´
eal.
5.2.
Du
conducteur
pa
rfait
aux
conducteurs
r
´
eels
Le
conducteur
parfait
est
une
id
´
ealisation
des
conducteurs
r
´
eels.
L
´
etude
des
conduc-
teurs
r
´
eels
p
ermettra
de
d
´
eterminer
les
domaines
de
param
`
etres
dans
lesquels
on
peut
les
consid
´
erer
comme
id
´
eaux.
Les
milieux
supraconducteurs
o
u
`
la
dissipation
est
parfai-
temen
t
nulle
son
t
aussi
un
tr
´
es
b
on
exemple
de
ce
que
peut
ˆ
etre
un
conducteur
id
´
eal
(on
notera
toutefois
que
seule
la
dissipation
est
absen
te
de
ces
milieux
:
les
´
electrons
y
conservent leur inertie).
5.2.1.
Le conducteur parfait
Un
conducteur
parfait
se
comp
orte
en
r
´
egime
dynamique
de
la
m
ˆ
eme
mani
`
ere
qu’un
conducteur
en
r
´
egime
statique.
P
our
un
conducteur
parfait,
le
champ
´
electrique
in
t
´
erieur
E
in
t
est
n
ul
:
E
in
t
(
r
,
t
)
=
0
.
(5.1)
On
d
´
eduit
de
l
´
equation
de
Maxw
ell-Gauss
que
la
densit
´
e
v
olumique
de
c
harge
est
nulle
:
ρ
in
t
(
r
,
t
)
=
ε
0
div
E
in
t
=
0
.
(5.2)
P
ar
cons
´
equen
t,
seule
la
densit
´
e
surfacique
de
c
harge
peut
ˆ
etre
diff
´
eren
te
de
z
´
ero.
L
´
equation
de
Maxwell-F
arada
y
p
ermet
de
conclure
qu’
`
a
l’in
t
´
erieur
d’un
conducteur
parfait
le
champ
magn
´
etique
ne
peut
d
´
ep
endre
du
temps
:
B
∂t
=
r
ot
E
=
0
.
(5.3)
Dans
un
conducteur
parfait
le
champ
magn
´
etique
est
n
´
ecessairemen
t
statique.
On
no-
tera
que
dans
les
supraconducteurs,
le
champ
magn
´
etique
est
n
ul
(effet
Meissner
:
lors-
qu’un
conducteur
passe
de
l’at
´
et
normal
`
a
l
´
etat
supraconducteur,
les
lignes
de
champ
magn
´
etiques
son
t
expuls
´
ees
de
sorte
que
le
champ
magn
´
etique
devien
t
n
ul
`
a
l’in
terieur
du supraconducteur).
On
d
´
eduit
alors
de
l
´
equation
de
Maxwell-Amp
`
ere
que
les
couran
ts
´
electriques
son
t
n
´
ecessairemen
t
stationnaires,
c’est
`
a
dire
ind
´
ep
endan
ts
du
temps
:
j
=
1
r
ot
B
ε
E
=
1
r
ot
B
.
(5.4)
µ
0
0
∂t µ
0
Les
seuls
couran
ts
qui
p
euv
en
t
d
´
ep
endre
du
temps
son
t
les
couran
ts
surfaciques.
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA
J-M Courty
e
dt
5.3.
Mo
d
`
eles
de
conducteurs
r
´
eels
33
5.2.2.
R
´
eflexion
sur
un
conducteur
pa
rfait
Que
se
passe-t-il
lorsqu’une
onde
´
electromagn
´
etique
arriv
e
sur
un
conducteur
parfait
?
Cette
onde
met
en
mouv
emen
t
les
c
harges
en
surface
du
conducteur.
A
l’in
t
´
erieur
du
conducteur
le
champ
´
electrique
tout
comme
le
champ
magn
´
etique
resten
t
n
uls.
Le
champ
´
electromagn
´
etique
´
emis
par
les
c
harges
en
mouv
emen
t
`
a la
surface
du
conducteur
com-
p
ense
exactemen
t
le
champ
inciden
t
`
a
l’in
t
´
erieur
du
conducteur
:
la
surface
´
emet
une
onde
de
m
ˆ
eme
amplitude
que
le
champ
inciden
t
et
en
opposition
de
phase.
Si
la
surface
est
un
plan,
on
d
´
eduit
par
sym
´
etrie
que
le
champ
´
emis
par
ces
c
harges
en
mouv
emen
t
v
ers
l’ext
´
erieur
du
conducteur
est
le
sym
´
etrique
du
champ
qu’il
´
emet
v
ers
l’in
t
´
erieur.
On
retrouv
e
bien
ce
que
l’on attend
d’un
miroir,
a
v
ec
en
supl
´
emen
t
le
fait
que
le
champ
r
´
efl
´
ec
hi
subit
un
d
´
ephasage
de
π
par
rapp
ort
au
champ
inciden
t.
5.3.
Mo
d
`
eles
de
conducteurs
r
´
eels
L
´
etude
des
milieux
n’est
pas
une
th
´
eorie
`
a
princip
es”
comme
peut
l
ˆ
etre
l’electro-
magn
´
etisme
dans
le
vide.
P
our
l
´
electromagn
´
etisme
dans
le
vide, il
suffit
de
prendre
comme
p
ostulat
les
quatre
´
equations
de
Maxwell,
l’expression
de
la
force
de
Loren
tz
et la
relation
fondamen
tale
de
la dynamique.
T
out
le
reste
se
construit
`
a
partir
de
ces
´
equations
et
s’en
d
´
eduit
par
des
raisonnemen
ts
logiques.
P
our
les
milieux,
on
ne
disp
ose
pas
de
syst
`
eme
d
´
equations
que
l’on
p
ourrait
consid
´
erer
comme
des
p
ostulats.
Les
th
´
eories
les
plus
pr
´
ecises
don
t
on
disp
ose
son
t
extr
`
ememen
t
complexes
et
fon
t
app
el
`
a la
th
´
eorie
quan
tique. Notre
but
ici
est
plutot
d
´
etudier
des
grandes
classes
de
comp
ortemen
t
g
´
en
´
eriques,
en
particulier
dans
des
cas
limites.
P
our
cela
les
mat
´
eriaux
seron
t
d
´
ecrits
d’une
part au niv
eau
macroscopique
par
des
´
equations
d
´
etat”
(aussi
nomm
´
ees
relations
constitutiv
es)
c’est
`
a
dire
des
co
efficien
ts
tels
que
la
conductivit
´
e
electrique,
la
p
ermittivit
´
e,
...
On
disp
ose
aussi
de
mo
d
`
eles
microscopiques
que
l’on
qualifie
de
ph
´
enom
´
enologiques
car
certains
aspects
ne
son
t
pas
d
´
eduits
des
premiers
princip
es
mais
a
jout
´
es
`
a la
main”
de
mani
`
ere
`
a
ce
que
le
comp
ortemen
t
obten
u
mime
au
mieux
le
comp
ortemen
t
observ
´
e
dans
les
mat
´
eriaux
r
´
eels.
Outre
leur
asp
ect
pr
´
edictif,
ces
mo
d
`
eles
on
t
le
grand
in
t
´
eret
de
nourrir
l’in
tuition
physique.
Il
faut
toutefois
rester vigilant et ne pas les prendre forcement au pied de la lettre. On notera aussi que
si
certaines
justifications
parfois
donn
´
ees
p
our
ces
mo
d
`
eles
sem
blen
t
simplistes,
il
existe
tr
´
es
souv
en
t
des
raisons
tr
`
es
profondes
`
a
leur
efficacit
´
e.
5.3.1.
L
´electron
amo
rti
Dans
le
mo
d
`
ele
prop
os
´
e,
on
consid
`
ere
que
les
´
electrons
son
t
resp
onsables
de
la
conduc-
tion
du
milieu.
Un
´
electron
libre
de
masse
m
e
et
de
c
harge
´
electrique
q
=
e
ob
´
eit
`
a
l
´
equation
d
´
ev
olution
suiv
ante
:
m
d
v
=
F
Γ
v
.
(5.5)
34
5.
Les
conducteurs
´
electriques
J-M Courty
UPMC - L3 - Physique - PGA
Notes de cours version 0.2
c
0
τ
τ
Γ
0
Le
p
ermier
terme,
F
L
est
la
force
de
Loren
tz
:
F
L
=
q
E
+
v
×
B
.
(5.6)
Dans
la suite,
lorsque
le
champ
´
electrique
et
le
champ
magn
´
etique
viennen
t
tout
deux
d’une
m
ˆ
eme
onde
´
electromagn
´
etique,
on
n
´
egligera
en
g
´
en
´
eral
le
terme
du
`
au
champ
magn
´
etique,
inf
´
erieur
`
a
celui
du
champ
´
electrique
d’un
facteur
v
qui
est
tr
´
es
p
etit
tan
t
que
les
vitesses
ne
son
t
pas
relativistes.
A
ttention,
lorsque
l’on
est
en
pr
´
esence
d’une
onde
´
electromagn
´
etique
et
d’un
champ
magn
´
etique
statique,
seul
le
champ
magn
´
etique
pro
v
enan
t
de
l’onde
peut
ˆ
etre
n
´
eglig
´
e,
car
lui
seul
est
prop
ortionel
au
champ
´
electrique.
Le
champ
statique
peut
conduire
`
a
une
force
comparable
`
a
celle
du
champ
´
electrique
de
l’onde
m
ˆ
eme
si
les
vitesses
ne
son
t
pas
relativistes.
Le
second
terme
Γ
v
est
une
force
de
friction
visqueuse
a
jout
´
ee
p
our
des
raisons
ph
´
enom
´
enologiques.
Il
rend
compte
des
m
´
ecanismes
dissipatifs
pr
´
esen
ts
dans
le
milieu.
Le
co
efficien
t
de
friction
ne
peut
en
g
´
en
´
eral
pas
ˆ
etre
calcul
´
e
`
a
partir
des
premiers
princip
es
(
´
equations
de
Maxwell,
m
´
ecanique
quan
tique,
...),
on
obtien
t
en
g
´
eneral
sa
v
aleur
en
le
relian
t
aux
param
`
etres
macroscopiques
du
milieu.
Dans
un
plasma, la
friction
est
due
aux
collisions
des
´
electrons
a
v
ec
les
ions
et a
v
ec
les
mol
´
ecules
rest
´
ees
neutres.
Dans
un
m
´
etal,
il
s’agit
de
l’in
teraction
en
tre
les
´
electrons
et
les
vibrations
m
´
ecaniques
du
r
´
eseau
cristallin.
Dans
un
champ
´
electrique
statique
E
0
,
l
´
equation
d
´
ev
olution
de
l
´
electron
a
p
our
solution :
v
(
t
)
=
v
e
t
+
1
e
t
q
E
.
(5.7)
o
u
`
v
0
est
la
vitesse
de
l
´
electron
`
a l’instan
t
initial
t
=
0.
Le
temps
caract
´
eristique
d’amor-
tissement est τ
τ
=
m
e
(5.8)
Γ
la
vitesse
initiale
est
amortie
tandis
que
la
vitesse
de
l
´
electron
tend
v
ers
une
vitesse
limite
v
l
:
v
l
=
q
E
Γ
0
.
(5.9)
5.3.2.
Conductivit
´
e
´
electrique
Lorsque
la
densit
´
e
v
olumique
d
´
electrons
est
N
e
,
la
densit
´
e
stationnaire
de
couran
t
j
est
Nee2
j
=
q
N
e
v
l
=
Γ
E
0
.
(5.10)
Cette
densit
´
e
de
couran
t
est
proportionelle
au
champ
´
electrique
:
on
retrouv
e
ainsi
un
comportement ohmique
corresp
ondan
t
`
a
une
conductivit
´
e
σ
0
:
j
=
σ
0
E
0
(5.11)
N
e
e
2
σ
0
= Γ
.
(5.12)
35
5.4. Propagation dans les conducteurs
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA
J-M Courty
P
our
un
milieu
donn
´
e,
on
peut
donc
reexprimer
le
co
efficien
t
de
friction
ph
´
enom
´
enologique
Γ
`
a l’aide
de
constan
tes
fondamentales
ou
de
grandeurs
macroscopiques
mesur
´
ees
:
Γ =
N
e
e
2
σ
0
on
en
d
´
eduit
aussi
le
temps
caract
´
erisque
d’amortissmen
t
:
(5.13)
τ
1
=
N
e
e
2
σ
0
m
e
(5.14)
Si
le
champ
´
electrique
n’est
plus
statique
mais
d
´
epend
du
temps,
tan
t
que
le
temps
caract
´
erique
d
´
ev
olution
du
champ
´
electrique
est
grand
dev
an
t
ce
temps
d’amortissmen
t,
les
´
electrons
son
t
en
p
ermanence
`
a
leur
vitesse
limite
et
le
conducteur
est
ohmique.
De
mani
`
ere
plus
g
´
en
´
erale,
on
peut
analyser
la
r
´
ep
onse
du
milieu
`
a
un
champ
´
electrique
sin
usoidal.
En
notation
complexe,
l
´
equation
du
mouv
emen
t
devien
t
(
iω
m
e
+
Γ)
v
e
iω
t
=
q
E
0
e
iω
t
(5.15)
soit une vitesse
v
=
q
E
(5.16)
La
densit
´
e
de
couran
t
est
alors
Γ
iωm
e
Nee2
Nee2 1
1
j =
Γ
iωm
E
0
=
Γ
1 me E0 = σ0 1 iωτ E0
(5.17)
On
en
d
´
eduit
qu’en
r
´
egime
sin
usoidal
la conductivit
´
e
devien
t
complexe
et
d
´
epend
de
la
fr
´
equence
1
σ [ω]
=
σ0 1 iωτ . (5.18)
Ce
mo
d
`
ele
prop
os
´
e
par
le
ph
ysicien
Drude
rend
tr
`
es
bien
compte
de
la
d
´
ep
endance
en
fr
´
equence
de
la conductivit
´
e
p
our
de
tr
´
es
nombreux
mat
´
eriaux.
On
notera
toutefois
que
si
l’on
souhaite
une
description
plus
pr
´
ecise,
il
faut
aller
c
hercher
les
v
aleurs
de
la
conductivit
´
e
exp
´
erimen
tales
dans
des
tables.
5.4.
Propagation dans les conducteurs
5.4.1.
Les conducteurs ohmiques
Ces
conducteurs
son
t
caract
´
eris
´
es
en
v
olume
par
l
´
equation
d
´
etat
ρ
=
0 (5.19)
j
=
σ
E
a
v
ec
une
conductivit
´
e
σ
r
´
eelle.
Les
´
equations
de
Maxw
ell
s
´
ecriv
en
t
donc
:
(5.20)
Γ
0
e
1 / 16 100%

Conducteurs (1)

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