Examen: Câble Coaxial & Ondes Électromagnétiques

Pour tenir compte de la longueur de l'énoncé, le total des points possibles est 33, mais la note finale sera ramenée
à une note sur 20 points
Exercice 1: Câble coaxial et Théorème d'Ampère (sur 13 points)
 !"#$%$% && '( &#!)
*"#  '+",+
-.&'&'., )/ 
   '&' & ''. 0  
&&''%'.1)2(%3)
 && "#&& 4
&34&#%)
)15  &- .34
4  -                )    .   
B
 (' 
&  &&  6  +  7$  +        ,
& ,$+'%,)&+ '86
+6,9,:6+'"#)
[ 0,5pt]
)1;&&'!+&! . -&!  '  6 ,'()
/'!+&!.
B
(' '%6
Ienlacè
$6
&%'#.  ' $+ 6<. ' 6$ 
−
.    && ')/ -&!  6,'( .  
Ii
  $.
 = &>0&  1) [1pt]
)?1@  - !' & &'6&#!08 (1A
/+7 ',$ ' -.  # & &'' &' 
&#! [0,5 pt]
)B1'   -' $'.,'&
B
) )
/&#! &#!6 -'-.?,#  6, %
r ,, z
)
  &( 
3 %
et r
  $ &#!,& +70((1$
B
'&
& 7)
3 %7  $ &#!,&+%..
$
B
'&
& 
4 & .'&$
B
'&.C:D
B= Br
)
5& $40+ 6
A
.
B=rot A
1 $ 
B
 %0))31)
Conclusion
Br= B u
[2pts]
 && .+&&.'!+&! -$ &&&6
+7)
%
Figure 1: vue en perspective du câble coaxial
R
R
R?
I
I
O
z

)E1& ' ' ')
%(''$ ',.   ' 
J
Jext
+& F,)
J
$4:
J⋅S
,
S= R
$ 
J=I
R
.
Jext
$ 
Sext= R?
−R
$.G
Jext =I
 R?
– R
[2pts]
)H1',
Ienlacé
&
rR
)
r=R
$
I=J R
&
rR
$
Ir=J r
&'
J
 & $ ((
&&
I
R
 :D
Ir= I⋅ rR
=I⋅r
R
[1 pt]
;.' , . )
)I1 '!+&!$& B  ,
C
R
R
CC
R
R
CC
R?
D
R?
*+& 
Br
1* C
R
&&.'!+&! &&6+7$' +$-C
R
∮
C
B⋅ dr=Ir
C:D
∮
C
Br u ⋅dr u=Ir
01  &
r=cte
0. 
, 1$& +'%$& & ,  . 
,$+& ,
Br∮
C
dr=Ir= Br⋅r
)
($  ' . &''$,6
Br= ⋅I⋅r
R
⋅
r
(
Br= 
⋅I r
R
[1pt]
#1* 
R
CC
R
5  $', &<4$+''0& %1
∮
C
B⋅ dr=I
C:D
Br⋅r=I
(
Br= I
r
[1pt]
;. &  ('   )
1* 
R
CC
R?
R
CC
R?
$',
I
R
%

R
R?
$
Iext=−Jext ⋅ R?
– R
Iext r=−Jext ⋅ r– R
=>
Iext r=−I⋅r– R
R?
−R
∑IIext =I⋅−r– R
R?
−R =I⋅R?
−r
R?
−R
 0' F'1
5+J+
Br⋅r=I⋅R?
−r
R?
−R
C:D
Br= I
r⋅R?
−r
R?
−R
[1pt]
1* D
R?
/ %'#.  
I
−I
 :D 6+')
*+ +'F#%KK [1 pt]
)1#&' ,
Br
($&' ,
B
& &
2 ' . 
C
R
Br
'$8 .+6,
Br= 
⋅I
R
r=R
r=R
Br
'
r
$. & (($8 .+6,
BR= I
R
) 6&
r=R
$,6''  $ .
Br
& 
BR
6 
Br= I
r⋅R?
−r
R?
−R
/ .
r=R?
$,
BR?=
0, 
rR?
1#+((= .>
#%)
/# &  ,
[2pts]
%?
⋅I
R
⋅I
R
R
R
R?
'   
r
'   
r
Br
r

Exercice 2: Onde plane électromagnétique dans le vide (sur 11 points)
&& B'. 90    1
01
div E=
 L.9M
01
div B=
B
 6( ,(
0?1
rot E=− ∂
B
∂t
L.9-
0B1
rot B= j
∂ E
∂t
)1;&&0-&!  &  1 '. 90('%1 ,
. 9 , 
  ,
B=
N
rot E=−∂
B
∂t
N,
E
:
ϱ
N
rot B= j
∂ E
∂t
/  ' 
ϱ
0,.%1
j
0 '1  sources&'%'.$
&'' '.&+ &&&
E , B
)/
∂ E
∂t
 =
'&>/ '. 9 &# ,+'.'
,
j∂ϱ
∂t=
  ,+'')4(8'. 9
(/7
f=q E v∧ B
c
=
)
 '% 
∭div
B dV =∯ B⋅ n⋅dS =
∭div
E dV =∯ E⋅ n⋅dS=
∬
rot E⋅ n⋅dS =−∬∂
B
∂t⋅
n⋅dS=∮ E⋅ dl
∬
rot B⋅ n⋅dS=∮ B⋅ dl=∯
∂ E
∂t⋅
n⋅dS
[ 3 pts ]
)1 '. ',' & . #' 
E
B
8 ((. % &,
&&%
E et B
 ( +  0(51.+#
E
+#
B
 )/+#&' +&',
∇− 
c
⋅∂
∂t
&&.'6
E
B
)
;.
∇
  &&'/&0,1,.+&&.)
N.B. : seule la démonstration pour
E
figure dans ce corrigé, celle concernant
B
étant complètement analogue.
Montrons que
∇ E−
c
⋅∂
E
∂t=
:
On part de
rot E=−∂
B
∂t
et on fait apparaître
E
à gauche et à droite, en calculant
rot  rot B= rot − ∂
B
∂t
.
Ensuite, on calcule séparément à gauche, puis à droite :
Terme de gauche :
rot  rot E= grad div E−∇ E=−∇ E
car
grad div E=
%B

Terme de droite :
rot −∂
B
∂t=− ∂
rot B
∂t=− 
c
∂ ∂
E
∂t
∂t=− 
c
∂ E
∂t
Et donc =
−∇ E=− 
c
∂ E
∂t
8
∇ E−
c
∂ E
∂t=
Remarque : la démonstration est analogue pour
B
[ 2 pts]
)?1;&&,& &.+ ,' .&&%
/ .+.' &&%$.+ .',$' .&&%)
&$  &&%+% ,  $  D$
+, '&
cte=t−x
c
[ 1 pt ]
 && 
E$$ EZ
B$ BY,
$
f=B Hz
N
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