UTBM PS21 / Examen Final P08 Auteur du document : Eric Bachard Pour tenir compte de la longueur de l'énoncé, le total des points possibles est 33, mais la note finale sera ramenée à une note sur 20 points Exercice 1: Câble coaxial et Théorème d'Ampère (sur 13 points) On considère un câble coaxial, rectiligne, et de longueur supposée infinie dans le problème. Ce câble est constitué d'une âme centrale en cuivre et d'un conducteur cylindrique périphérique en cuivre aussi. Les deux conducteurs sont séparés par un matériau diélectrique (sans propriété magnétique). Voir figure 1 ci-contre. z On suppose ce câble parcouru par un courant continu constant I pour le conducteur central et -I pour le blindage. 1.1) Donner un sens physique au courant -I R1 I Il y a un courant aller et un courant retour. Et quand on calculera la circulation de B sur un coutour fermé dans un plan perpendiculaire à l'axe Oz, l'un des courants sera vu positivement, l'autre négativement. On peut donc d'ores et déjà s'attendre à avoir widevec B = 0 à l'extérieur du câble coaxial. [ 0,5pt] R2 I R3 O Figure 1: vue en perspective du câble coaxial 1.2) Rappeler le théorème d'Ampère ainsi que les hypothèses nécessaires à sa vérification. Le théorème d'Ampère dit que la circulation de B sur un contour fermé est égal à 0 x I enlacè , à condition de compter alrgébriquement les courants enlacés, c'est à dire + ceux qui sont orientés comme la normale à au contour, et − ceux qui sont dansle sens opposé. Les hypothèses à vérifier sont que les courants I i sont stationnaires, que le contour est un contour « simple » (pas de noeuds). [1pt] 1.3) Quel est le système de coordonnées le plus adapté à ce problème (justifier) ? L'axe Oz est axe de révolution, donc les coordonnées cylindriques semblent les plus adaptéés pour résoudre ce problème [0,5 pt] 1.4) Préciser les symétries, et en déduire de quoi devra dépendre B . On donnera son orientation. Le problème est un problème à symétrie cylindrique: 3 variables sont à envisager r , , z . Pour les simplifications: - si on garde et r constants, on laisse le problème invariant par translation d'axe Oz (fil infini), donc B ne dépend pas de z. - si on garde z et r constants, on laisse le problème invariant par rotation d'angle quelconque , donc B ne dépend pas de Il ne reste plus que la dépendance en r, et donc B= Br . B ne dépend que de r <=> De plus, comme I ( c'est à dire Conclusion: A tel que B=rot A ) est axial, alors B est tangentiel (i.e. ortho-radial). Br = B u [2pts] On suppose qu'on applique le théorème d'Ampère sur un contour circulaire de rayon r, dans un plan perpendiculaire à l'axe Oz. Page 1/8 UTBM PS21 / Examen Final P08 Auteur du document : Eric Bachard 1.5) Exprimer la densité de courant dans le conducteur intérieur et dans le conducteur extérieur. Si on regarde la forme du conducteur intérieur et du conducteur extérieur, il est évident que ces les deux densités de courant J int et J ext n'ont pas même valeur. Pour J int , on a I = J⋅S avec S = R12 , soit J int = En ce qui concerne I 2 R1 J ext , on doit utiliser S ext = R32− R22 , ce qui entraîne : J ext = 1.6) En déduire la valeur de I 2 3 2 R – R2 [2pts] I enlacé pour 0rR1 . r= R1 , I = J int R21 et pour r R1 , I r = J int r 2 et pour éliminer J int dans cette expression, il suffit 2 I r 2 2 I r = I⋅ r R = I⋅ de le remplacer par => [1 pt] 1 2 R1 R12 Pour Remarque : cette méthode resservira dans ce qui suit. 1.7) En utilisant le théorème d'Ampère, et pour les 4 cas suivants r < R1 R1 < r < R2 R2 < r < R3 r > R3 Calculer l'expression de a) Cas r < Br R1 On applique le théorème d'Ampère sur un contour perpendiculaire à l'axe Oz, centré sur l'axe , et de rayon r < dr=0 I r ∮ B⋅ Soit : C <=> u =0 I r ∮ B r u⋅dr C et comme B(r) est constant pour R1 te r=c (ce qui est vrai sur le contour), on peut le sortir de l'intégrale, et de plus le produit scalaire de deux vecteurs unitaires identiques ∮ dr=0 I r = B r⋅2 r . valant 1, l'expression devient : Br C 2 r 1 Enfin, si on utilise le résultat de la question précédente, on arrive à : Br =0⋅I⋅ 2⋅ 2 r R1 0⋅I r Br = Soit finalement : [1pt] 2 2 R1 b) Cas R1 < r < R 2 Dans ce cas, le courant enlacé vaut simplement + I , et l'on en déduit immédiatement (par un raisonnement analogue) : dr=0 I <=> ∮ B⋅ C Br ⋅2 r=0 I Et finalement Br = Remarque: tout se passe comme si le fil était de dimensions nulles. c) Cas Pour R 2 < r < R3 R2 < r < R3 , le courant total enlacé vaut I entre 0 et R1 Page 2/8 0 I 2r [1pt] UTBM PS21 / Examen Final P08 entre Auteur du document : Eric Bachard R2 et R3 , on a: 2 3 2 2 2 2 2 I ext =−J ext⋅ R – R I ext r =−J ext⋅ r – R => I ext r =−I⋅ Et donc 2 2 3 2 2 2 3 2 R3 −r r – R2 ∑ I int I ext =I⋅1− R2 − R2 = I⋅ R2 −R 2 2 D'où l'on tire d) Cas r > 2 2 2 2 2 r – R2 R 3 − R2 ( en réduisant au même dénominateur) 2 2 R 3 −r 0 I R3 −r <=> Br = Br ⋅2 r=0 I⋅ 2 ⋅ 2 2 r R23 − R22 R 3− R2 [1pt] R3 La somme algébrique des courants I et −I est nulle => B est null à l'extérieur. C'est l'intérêt du blindage !! [1 pt] 1.8) Tracer la courbe représentative de module de points particuliers Br en fonction de r , en précisant la valeur du module de B aux Valeurs caractéristiques: Pour r < Entre R1 Br croit linéairement, jusqu'à la valeur Br = r= R1 et r= R2 Br décroit en 0⋅I 2 R1 1 , ce qui correspond au cas du fil infiniment mince, jusqu'à la valeur r 0 I . Puis à partir de r= R2 , on arrive à la loi déterminée dans le cas d, dans lequel Br passe 2 R 2 2 2 0 I R3 −r continuement de B R2 à 0 selon la loi Br = ⋅ 2 2 r R3 − R22 Lorsque r= R3 , on retrouve B R3 =0 ( on retrouve le cas r R3 ) donc on a bien l'effet de « masque » du B R2 = blindage. La courbe correspondante est la suivante: Br 0⋅I 2 R1 décroissance en 1 r 0⋅I 2 R2 décroissance en 0 R1 R2 R3 1 2 r r [2pts] Page 3/8 UTBM PS21 / Examen Final P08 Auteur du document : Eric Bachard Exercice 2: Onde plane électromagnétique dans le vide (sur 11 points) On rappelle les 4 équations de Maxwell (on utilise les notations du cours): 0 (2) div B=0 (1) div E= Équation de Maxwell Gauss B est à flux conservatif ∂ B ∂t (3) rot E=− (4) rot B= 0 j 0 Équation de Maxwell Faraday ∂ E ∂t 2.1) Rappeler (hypothèses comprises) les équations de Maxwell (forme locale et intégrale) dans le vide Equations de Maxwell dans le vide Formes locales : div rot E= ; B=0 ϱ −∂ B ∂ E rot B= 0 j0 0 ; div = E ; ∂t ∂t 0 j (densité de courant) sont dites sources du champ électromagnétique, ce ∂ E champ étant caractérisé en chaque point de l'espace par le couple est le « courant de E , B . Le terme 0 ∂t Les densités ϱ (volumique de charge) et déplacement » Les équations de Maxwell sont compatibles avec l'équation de continuité : ∂ϱ div j =0 traduisant localement la conservation de l'électricité. Il faut adjoindre aux équations de Maxwell la loi ∂t de force de Lorentz 2 f =q Ev ∧ B et 0 0 c0 =1 . Formes intégrales : ∂B rot E⋅n⋅dS =−∬ ⋅ n⋅dS=∮ E⋅ dl ∬ ∭ div B dV =∯ B⋅n⋅dS =0 ∭ div E dV =∯ E⋅n⋅dS=0 ∂t ∂E rot B⋅n⋅dS=∮ B⋅ dl=∯ 0 0 ⋅n⋅dS ∬ ∂t [ 3 pts ] 2.2) Ecrire les équations aux dérivées partielles auxquelles obéissent E et B justifiant le fait que ces grandeurs peuvent se propager E et B sont des fonctions d'ondes si on montre (fait en TD) que le d'Alembertien de E et le d'Alembertien de B sont 2 1 ∂ 2 nuls. Le d'Alembertien représentant l'opérateur vectoriel : ∇ − 2⋅ 2 appliqué à E ou B. c0 ∂ t Remarque : 2 ∇ est aussi appelé Laplacien (vectoriel ici) du vecteur auquel on l'applique. N.B. : seule la démonstration pour E figure dans ce corrigé, celle concernant B étant complètement analogue. 2 1 ∂ E 2 E − 2⋅ 2 =0 : Montrons que ∇ rot E= On part de c0 ∂ t −∂ B ∂t rot rot B= rot − et on fait apparaître E à gauche et à droite, en calculant . Ensuite, on calcule séparément à gauche, puis à droite : Terme de gauche : 2 2 grad div E=0 rot rot E = grad div E −∇ E =−∇ E car Page 4/8 ∂ B ∂t UTBM PS21 / Examen Final P08 Terme de droite : ∂ rot B −∂ B 1 rot =− =− 2 ∂t ∂t c0 ∂ Auteur du document : Eric Bachard ∂ E 2 ∂t 1 ∂ E =− 2 ∂t c0 ∂ t2 2 2 1 ∂ E 1 ∂ E 2 2 −∇ E =− ∇ E − =0 Et donc = 2 2 j 2 2 c0 ∂t c0 ∂ t Remarque : la démonstration est analogue pour B [ 2 pts] 2.3) Rappeler avec un exemple simple ce qu'est un invariant caractéristique de propagation Lorsqu'une quantité se propage, on montre qu'il existe une quantité invariante, et caractéristique de la propagation. Par exemple, dans le cas de la propagation d'une grandeur transversale dans la direction Ox, et selon les x > 0 , l'invariant est donné par : On suppose te c =t − x c0 [ 1 pt ] E 0, 0, E Z et B0, BY ,0 , et on donne f =1014 Hz ; c0 =3⋅10 8 m/ s . 2.4) Si on suppose que l'onde électromagnétique est plane et transversale, dans quelle direction se propagage cette onde ? (justifier) D'après le cours, on sait que E, B , n forment un trièdre direct, ce qui signifie que vectoriel direct [1 pt] E∧ B => propagation selon Ox. n est obtenu en faisant le produit 2.5) Déterminer les composantes du vecteur d'onde en utilisant les propriétés de l'onde plane transversale et sinusoïdale. kx k= k y . On notera les composantes comme suit: kz La seule composante non nulle de k est selon la direction de propagation, soit k =k x ux Ce qui donne par exemple les composantes : E= E 0 cos t – k x x uz = E= E 0 cost – x uz c => k x= c [1pt] 2.6) Calculer k et . 14 2 10 2 6 c −1 A.N. : ∥ k∥=k x = = ⋅10 rad. m et = =3 m 8 = f c 3 3⋅10 2.7) Montrer que la fonction f x ,t =2 cos t − [ 1 pt ] 2x 2x 4sin t est solution l'équation de propagation c0 c0 des ondes de Jean Le Rond d'Alembert Page 5/8 UTBM PS21 / Examen Final P08 On part de: f x ,t =2cos t− Auteur du document : Eric Bachard 2x 2x 4sin t (équation 1). c0 c0 D'après la forme de f x ,t , on peut supposer que cette fonction est une fonction d'onde, représentant une onde se déplaçant à la vitesse c= c0 2x selon les x>0 (invariant de propagation en t− ) et selon les x<0 c0 2 2x ). D'après cette hypothèse, (1) est solution de l'équation de d'Alembert, à c0 2 2 2 2 ∂ f 1 ∂ f c ∂ f 1 ∂ f = savoir : . Il faut donc calculer et , avec c= 0 (célérité de l'onde), puis 2 2 2 2 2 2 ∂ x c0 ∂t 2 ∂x c ∂t t (invariant de propagation comparer ces deux résultats pour répondre à la question. 2 Calcul de ∂ f ∂x : 2 Tout d'abord , on calcule la dérivée première par rapport à x , soit : ∂f 4 2x 8 2x = sin t− cost ; ∂x c0 c0 c0 c0 2 ∂ f 8 2 2 x 16 2 2x =− 2 cost− − 2 sin t Puis : 2 c0 c0 ∂x c0 c0 2 Calcul de 1 ∂ f 2 c ∂t 2 : Dérivée partielle de f x ,t par rapport à t : ∂f 2x 2x =−2 sin t− 4 cos t ∂t c0 c0 La dérivée seconde donne : 2 ∂ f x x 2 2 =−2 cos t− −4 sin t 2 c0 c0 ∂t 2 D'où : 2 1 ∂ f 4 ∂ f 4 x x 2 2 = 2⋅ 2 = 2⋅−2 cost− −4 sin t 2 2 c0 c0 c ∂t c0 ∂ t c0 8 2 x 16 2 x = − 2 cost − − 2 sin t et on retrouve bien c0 c0 c0 c0 Conclusion : f x ,t est bien solution de l'équation de propagation de Jean le Rond d'Alembert. [ 2 pts ] N.B. : Dans les livres, on trouve souvent écrit Jean d'Alembert, plutôt que Jean le Rond d'Alembert . En fait, Jean le Rond d'Alembert (1717-1783), a été abandonné dès sa naissance par sa mère naturelle, Mme de Tencin, et il fût trouvé sur le parvis de l'Eglise St Jean le Rond. D'où son nom... Elevé ensuite par la femme d'un pauvre vitrier, celui-ci eut une carrière scientifique remarquable Il fût ainsi élu à 23 ans à l'Académie des Sciences. Parmi ses nombreux travaux, le plus connu est celui sur l 'équation de propagation des cordes vibrantes. La suite à la bibliothèque... Page 6/8 UTBM PS21 / Examen Final P08 Auteur du document : Eric Bachard Exercice 3: Étude d'une onde plane harmonique parfaite se propageant dans le vide (sur 9 points) On considère une onde électromagnétique plane dans le vide pour laquelle le champ électromagnétique s'écrit dans un repère cartésien orthonormé classique : z z z E= E 0x cost u x E 0y cos t u y E 0z cos t u c c c z z z z B= B0x cos t u B0y cost u y B0z cos t uz c x c c Expressions dans lesquelles , c, E 0x , E 0y , E 0z , B0x , B0y , B0z sont des constantes. 3.1) Quelle est la direction et le sens de propagation de cette onde (justifier) ? L'invariant de propagation est du type t z , ce qui correspond à une propagation selon l'axe Oz, vers les z négatifs c [1 pt] 3.2) En utilisant l'équation (1) de l'exercice 2 dans le vide, montrer que E 0z=0 E= E x ux E y u y E z uz ∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez ∂ ∂ ∂ E= ∇⋅ E = x u u y u z ⋅ E =0 soit =0 D'après la définition: div ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez z Et comme = =0 , il reste =−E 0z sin t =0 cette dernière expression est vraie à tout ∂x ∂y ∂z c c z instant t, en particulier pour sin t ≠0 , ce qui entraine E 0z=0 . [2pts] c 3.3) En utilisant l'équation (2) de l'exercice 2 dans le vide, montrer que B0z =0 On procède de même avec div B = ∇⋅0 ⇔ div B= B=0 : div ∂ Bx ∂ By ∂ Bz =0 ∂x ∂y ∂z ∂ Bx ∂ By et qui sont nuls et on a aussi une expression similaire à la question ∂x ∂y ∂ Bz z = B0z sin t =0 précédente pour la 3ème composante, à savoir : ∂z c c z Cette dernière expression est vraie à tout instant t, en particulier pour sin t ≠0 , ce qui entraine comme prévu c B0z =0 [2pts] Cette fois-ci, ce sont 3.4) Quelle propriété fondamentale de l'onde plane les deux questions précédentes retrouvent-elles ? B et E sont perpendiculaires à la direction de propagation => l'onde est bien transversale [1pt] 3.5) On suppose de plus (pour simplifier) que E 0y =0 . Montrer en utilisant l'équation de Maxwell (3) de l'exercice 2 que B0x =0 et B0y = E 0x . Quelle(s) propriété(s) fondamentale(s) de l'onde plane retrouve-t-on ? c Page 7/8 UTBM PS21 / Examen Final P08 Auteur du document : Eric Bachard z B0x cos t z E 0x cos t c c et B= Comme E 0y =0 , cela entraîne : E= z . B0y cos t 0 c 0 0 ∣ ∣∣ 0 ∂ Ex ∂x ∂Ex ∂ B ∂ ∧ E=− Si maintenant on calcule rot , on constate que rot E= = 0 ∂y ∂z ∂t ∂ 0 ∂z 0 ∂ B n'aura qu'une seule composante non nulle (car E y ne dépend pas de y), alors que − en aura 2. ∂t z ⋅B0x sin t 0 c c E ∂ B ∂ Ex En effet, − Cela signifie que B0x=0 et . B0y = 0x = = z c ∂t ⋅B sin t ∂z c 0y c 0 0 ∥ E∥ B∥= E⊥ B et ∥ Conclusion : on retrouve bien . [2pts] c ∣ ∣ 3.7) Quel est le type de polarisation de l'onde ? La direction du plan de polarisation ( est rectiligne. [1pt] E , n ) est constante dans le temps, ce qui entraîne que la polarisation de l'onde Fin de l'énoncé Licence de ce document : Ce document est sous Licence Creative Commons sous les termes: Paternité, pas d'utilisation Commerciale. Voir description : http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/fr/ Page 8/8
