Exercices corrigés -Probabilités conditionnelles et indépendance

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Exercices corrigés - Probabilités conditionnelles et indépendance
Indépendance
Exercice 1 - Indépendance et contexte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
1. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, et on considère les événements
Les événements et sont-ils indépendants?
2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.
Indication
Écrire en termes d'ensembles les événements et . Puis calculer les probabilités.
Corrigé
1. On a :
On a donc , et Les événements et sont indépendants.
2. Les événements , et s'écrivent encore exactement de la même façon. Mais cette fois, on a : ,
et . Les événements et ne sont pas indépendants. C'est conforme à l'intuition.
Il n'y a plus la même répartition de boules paires et de boules impaires, et dans les multiples de 3 compris entre 1 et 13, la
répartition des nombres pairs et impairs est restée inchangée.
Exercice 2 - Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Votre voisine a deux enfants dont vous ignorez le sexe. On considère les trois événement suivants :
="les deux enfants sont de sexes différents"
="l'ainé est une fille"
="le cadet est un garçon".
Montrer que , et sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants.
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A= "tirage d'un nombre pair'',
B= "tirage d'un multiple de 3''.
A B
A, B A ∩B
A= { 2, 4, 6, 8, 10, 12}
B= { 3, 6, 9, 12}
A∩B= { 6,12} .
P(A) = 1/ 2 P(B) = 1/ 3 P(A∩B) = 1/ 6 = P(A)P(B). A B
A B A ∩B P(A) = 6/ 13
P(B) = 4/ 13 P(A∩B) = 2/ 13 ≠24/ 169 A B
A
B
C
A B C
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Indication
Calculer la probabilité de , , , ,...
Corrigé
Clairement, on a . Les quatre possibilités pour les deux enfants, supposées équiprobables, sont (F,G), (F,F), (G,G),
(G,F). On en déduit que .
Ensuite correspond à et donc . On en déduit que et sont indépendants. On prouve
de la même façon que et sont indépendants, et que et sont indépendants.
Enfin, et donc . Les trois événements ne sont pas mutuellement
indépendants.
Exercice 3 - Probabilité d'une réunion et indépendance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient événements d’un espace probabilisé . On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités
respectives . Donner une expression simple de en fonction de .
Application : on suppose qu'une personne est soumise à expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle
ait une probabilité d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident?
Indication
Passer par le complémentaire.
Corrigé
Si les événements sont mutuellement indépendants, les événements complémentaires le sont aussi. On en
déduit que
Dans le cas particulier proposé, la probabilité d'avoir au moins un accident vaut donc .
Exercice 4 - Indépendance impossible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On suppose qu'on a un espace probabilisé tel que l'univers est un ensemble fini de cardinal un nombre premier , et que le modèle
choisi soit celui de l'équiprobabilité. Prouver que deux événements et non triviaux (différent de et ) ne peuvent pas être
indépendants.
Indication
Raisonner par l'absurde, calculer le cardinal de et utiliser le théorème de Gauss pour obtenir une contradiction.
Corrigé
Supposons qu'il existe et deux événements non triviaux indépendants. On note le cardinal de et le cardinal de . On a donc
et . Puisque et sont supposés indépendants, et toujours parce que le modèle adopté est celui de
l'équiprobabilité, on a :
Puisque le cardinal est un entier, divise le produit , et par le théorème de Gauss, il divise l'un des deux, disons . D'autre part,
puisque , ceci n'est possible que si ou . Autrement dit, seulement si est ou l'événement certain, ou l'événement
impossible, c'est-à-dire un événement trivial.
Exercice 5 - Circuit électrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
1. Soient trois événements. Montrer que :
2. On dispose de 3 composants électriques et dont la probabilité de fonctionnement est , et de fonctionnement
totalement indépendant les uns des autres. Donner la probabilité de fonctionnement du circuit
A B C A ∩B
P(B) = P(C) = 1
2
P(A) = 1
2
A∩B(F,G)P(A∩B) = = P(A)P(B)
1
4A B
A C B C
A∩B∩C=B∩C P(A∩B∩C) = ≠P(A)P(B)P(C)
1
4
A1, … , Ann(Ω,P)
pi=P(Ai)P(A1∪⋯∪An)p1, … , pn
n
p
A1, … , An
¯¯¯¯¯¯
A1, … ,¯¯¯¯¯¯¯ An
P(A1∪ ⋯ ∪ An) = 1−P(¯¯¯¯¯¯
A1∩ ⋯ ∩ ¯¯¯¯¯¯¯ An)
=1−
n
∏
i=1
P(¯¯¯¯¯¯
Ai)
=1−
n
∏
i=1
(1 −pi).
1−(1 −p)n
Ωp
A B ∅Ω
A∩B
A B m A n B
P(A) = m/p P(B) = n/p A B
card(A∩B) = p×P(A∩B) = .
mn
p
p mn n
n≤p n = 0 n=p B
A, B, C
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) + P(A∩B∩C).
C1, C2C3pi
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2.1. si les composants sont disposés en série.
2.2. si les composants sont disposés en parallèle.
2.3. si le circuit est mixte : est disposé en série avec le sous-circuit constitué de et en parallèle.
Indication
1. Appliquer trois fois la formule .
2. On note l'événement : ``le circuit fonctionne''. Il faut calculer pour le premier cas , pour le second
, et pour le troisième .
Corrigé
1. On procède en deux temps. D'une part :
Mais,
et
On appelle aussi ceci la formule du crible de Poincaré, elle se généralise avec plusieurs événements par récurrence.
2. On note l'événement : ``le composant fonctionne''. Par hypothèse, les événements sont mutuellement indépendants.
Il faut calculer pour le premier cas (le circuit formé par les trois composants disposés en série fonctionne si et
seulement si les trois composants fonctionnent), pour le second (le circuit formé par les trois composants
disposés en parallèle fonctionne si et seulement si un des trois composants fonctionne), et pour le troisième .
On a :
2.1. Par indépendance des événements :
2.2. D'après la formule précédente, et par indépendance des événements :
2.3. L'événement est indépendant de . On a donc :
soit
Exercice 6 - [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque
erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures
sont indépendantes les unes des autres.
1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la -ième lecture ?
2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la -ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour
que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
Indication
1.
2.
Corrigé
1. Notons l'événement "l'erreur numéro 1 n'est pas corrigée par le -ème relecteur". Alors on a et les
événements sont indépendants. On s'intéresse à la probabilité de l'événement qui vaut donc
C1C2C3
P(F∪G) =. . .
FiCiP(F1∩F2∩F3)
P(F1∪F2∪F3)P(F1∩(F2∪F3))
P((A∪B)∪C) = P(A∪B) + P(C)−P((A∪B)∩C).
P((A∪B)∩C) = P((A∩C)∪(B∩C)) = P(A∩C) + P(B∩C)−P(A∩B∩C),
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
FiCiFi
P(F1∩F2∩F3)
P(F1∪F2∪F3)
P(F1∩(F2∪F3))
P(F1∩F2∩F3) = p1p2p3.
P(F1∪F2∪F3) = p1+p2+p3−p1p2−p1p3−p2p3+p1p2p3.
F2∪F3F1
P(F1∩(F2∪F3)) = P(F1)P(F2∪F3) = P(F1)(P(F2) + P(F3)−P(F2∩F3))
P(F1∩(F2∪F3)) = p1(p2+p3−p2p3) .
n
n
Aii P(Ai) = 2/ 3
AiA1∩⋯∩An
2
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2. Notons l'événement "l'erreur numéro n'est pas corrigée à l'issue de la -ième relecture". D'après la question précédente,
on a pour . Le livre est entièrement corrigé après la -ième relecture si l'événement est
réalisé. Les événements étant indépendants, le livre est entièrement corrigé après relectures avec une probabilité valant
Cette probabilité est supérieure à si et seulement si
et donc ceci fonctionne dès que .
Exercice 7 - Indicatrice d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier dans . Pour tout entier , on note
l'événement " divise ". On note également l'événement " est premier avec ". Enfin, on note les diviseurs premiers de .
1. Exprimer en fonction des .
2. Pour tout entier naturel qui divise , calculer la probabilité de .
3. Montrer que les événements sont mutuellement indépendants.
4. En déduire la probabilité de .
5. Application : on note le nombre d'entiers compris entre et qui sont premiers avec . Démontrer que
Indication
1. est premier avec si et seulement si aucun des diviseurs premiers de ne divise .
2. Écrire quels sont tels les élements de .
3. Utiliser un résultat d'arithmétique.
4.
5.
Corrigé
1. On sait que est premier avec si et seulement si aucun des diviseurs premiers de ne divise . On a donc :
2. Puisque qu'on est en situation d'équiprobabilité, il suffit de calculer le cardinal de . Mais si , alors les multiples de
qui sont inférieurs ou égaux à sont , . On a donc
3. Soit des entiers distincts choisis dans . On doit prouver que
Mais,
P(A1∩⋯∩An) =
n
∏
i=1
= .
2
3
2n
3n
Bjj n
P(Bj) = 2n/ 3nj= 1, … , 4 n⋂4
j=1
¯¯¯¯¯¯
Bj
Bjn
4
∏
j=1 (1−)=(1−)4
.
2n
3n
2n
3n
0, 9
(1−)4 ≥0.9 ⟺( )n
≤1−(0.9)1/ 4
⟺nln(2/ 3) ≤ln(1 −0.91/ 4)
⟺n≥
2n
3n
2
3
ln(1 −0.91/ 4)
ln(2/ 3)
n≥10
n> 1 x{ 1,…,n}m≤n Am
m x B x n p1,…,prn
B Apk
m n Am
Ap1,…,Apr
B
ϕ(n) 1 n n
ϕ(n) = n
r
∏
k=1 (1−).
1
pk
x n n x
Am
x n n x
B=¯¯¯¯¯¯¯¯ Ap1∩ ⋯ ∩ ¯¯¯¯¯¯¯¯ Apr.
Amn=km
m n m 2m, … , km
P(Am) = = .
k
n
1
m
i1<⋯<im{ 1, … , r}
P(Api1) … P(Apim) = P(Api1∩⋯∩Apim).
P(Api1) … P(Apim) =
m
∏
j=1
.
1
pij
, … , …
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