ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI FONCTION DE TRANSFERT – FILTRES PASSIFS I. DEFINITION Vs . Ve C’est une fonction complexe. Pour la représenter graphiquement, on utilise, entre autres, ce que l’on appelle les diagrammes de Bode. Dans ce chapitre, nous décrivons cette représentation et nous étudions quelques fonctions de transfert que nous utiliserons ensuite pour l’étude des filtres. La fonction de transfert T ( j ω ) d’un quadripôle Q1, est définit par le rapport : T ( j ω ) = Fig.1.1 : schéma d’un quadripôle II. DIAGRAMME DE BODE D'UNE FONCTION DE TRANSFERT Nous allons voir que si l’on représente T ( j ω ) sur une échelle de fréquence linéaire, on obtient une courbe ne présentant pas d’asymptote lorsque f (avec ω = 2π f ) tend vers les basses ou les hautes fréquences. Le tracé de T ( j ω ) nécessite donc le calcul d’un grand nombre de points. Le tracé en échelle linéaire est donc long et fastidieux. On verra également qu’il ne permet pas de dégager des informations de façon rapide sur le système (fréquence de coupure, bande passante, ...), d’où l’intérêt des diagrammes de Bode. a. L’échelle logarithmique. Dans ce système de graduation, le nombre étiqueté n est placé à une distance log(n) de l'origine , le logarithme employé ici est le logarithme décimal. • • La distance qui sépare 1 de 10 est la même que celle qui sépare 10 de 100 et celle qui sépare 0,1 de 1 car log(100) - log(10) = log(10) - log(1) = log(1) - log(0,1). Chacun de ces intervalles s'appelle un module. la distance qui sépare 1 de 2 est égale à celle qui sépare 10 de 20 mais est supérieure à celle qui sépare 2 de 3 car log(2) - log(1) = log(20) - log(10) > log(3) - log(2). Cela induit une sorte d'irrégularité récurrente dans les graduations. 1 Le quadripôle est un circuit relié à l’extérieur par quatre bornes (Fig.1.1) : 2 bornes d’entrée et 2 de sortie. Il est donc caractérisé par 4 variables : la tension et le courant d’entrée, et la tension et le courant de sortie. 1 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI Exemple d'échelle logarithmique à trois modules L'échelle logarithmique est une alternative à l'échelle linéaire. Elle peut s'avérer préférable lorsqu'on étudie un phénomène utilisant une gamme étendue de valeurs, l'échelle linéaire est mal adaptée. On lui préfère une échelle logarithmique qui espace les valeurs faibles et rapproche les valeurs fortes. b. Le diagramme de Bode Le diagramme de Bode de la fonction de transfert est constitué de deux courbes tracées en fonction de la fréquence f en échelle logarithmique. L’une relative à la norme et l’autre relative à la masse : TdB (f) avec TdB = 20 Log10 lT(f)l : appelé le gain en décibels (exprimé en dB). Ф = Arg (T): argument de T est la phase (exprimé en radians ou en degrés). Il représente le déphasage de la réponse par rapport à l’excitation. Comme pour l’échelle logarithmique, l’utilisation de dB permet de simplifier la quantification de valeurs pouvant s’étaler sur de très larges plages, c à d réduire l’écart entre des valeurs très éloignées pour mieux les retenir et cela sans perdre de la précision. Il est à noter que le dB indique le rapport (c à d, l’écart) entre ce qui entre et ce qui sort d’un circuit (amplificateur par exemple). En effet, lorsqu’un amplificateur apporte un gain de 40 dB (c à d 100 en tension), cela veut dire que le signal de sortie est supérieur de 40 dB en amplitude par rapport au signal d’entrée. - exemple de l’utilisation de dB (les sons audibles par l’oreille) Les puissances détectées par l’oreille s’étendent de Pmin = 10-16 W/cm2 à Pmax = 10-3 W/cm2. Pour simplifier la lecture, ces puissance sont traduits en intensités de sons audibles, définit par P I = 10 ⋅ log , où P0 = Pmin . L’oreille est donc sensible aux sons qui s’étendent sur une gamme de P0 0 dB à 130 dB, ce qui est plus facile à manipuler et à retenir que les premiers chiffres en W/cm2. Il est à noter que dans la définition de l’intensité des puissances en dB, on a utilisé un facteur de 10 avant le logarithme au lieu d’un facteur de 20. En fait, à l’origine, le dB est définit à partir de cette dernière formule, où le Bel correspond à l’échelle logarithmique et le dB vient du fait qu’on a un facteur de 10 avant le log (Bel = 10 dB). Le facteur de 20 dans la première définition dans le cas de rapport des tensions vient du fait que la puissance est proportionnelle au carrée de la tension : P = α ⋅V 2 et 10 ⋅ log P = 10 ⋅ log α ⋅V 2 = 20 ⋅ logV + 10 ⋅ log α ( ) 2 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 T dB = 20 ⋅ log Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI VS V + K = 20 ⋅ log S (on prend K = 0, elle représente le déphasage entre le courant et Ve Ve la tension). N.B. Pour la suite, on utilisera Log pour signifier le logarithme en base 10. Dans certains cas, le diagramme de Bode pourra être représenté en fonction d'une variable réduite f x = , où fo est définie à partir des éléments du circuit. fo Il peut arriver que l'on se contente de simplifier l'étude du diagramme de Bode, et que l'on détermine les asymptotes de la fonction TdB (f) et de l’argument de T (f). Le diagramme obtenu est appelé diagramme asymptotique de Bode. Il rend compte rapidement du comportement de la fonction de transfert. III. ETUDE DE QUELQUES FONCTIONS DE TRANSFERT ELEMENTAIRES : Nous étudierons les quatre fonctions de transfert suivantes : f f 1 1 , T = 1+ j , T = et T = T =j f f f0 f0 1+ j j f0 f0 III.1. La fonction : T = j • f f0 Etude du gain TdB (f) : T dB = 20 ⋅ log T = 20 ⋅ log f est tel que : f0 TdB (f) < 0 lorsque f < fo et TdB (f) > 0 lorsque f > fo. La fonction TdB = f (f) est donc une droite oblique qui passe par fo (fig.1.2). • Etude de la pente de la droite TdB = f (f) : Considérons les fréquences fa et 10 fois la valeur de fa associées aux gains correspondants : f 10f T dBa = T dB ( f a ) = 20 ⋅ log a et T dBa ' = T dB (10f a ) = 20 ⋅ log a . f0 f0 La variation du gain est donc de 20 dB si la variation de la fréquence est multipliée par dix. La pente est donc de 20 dB par décade. On montre aussi que pour des fréquences fb et 2 fb, la variation de gain est de 6 dB, la pente est donc de 6 dB par octave. 3 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI N.B. Une octave et une décade correspondent respectivement à une multiplication par un facteur 2 et 10 de la fréquence L’échelle logarithmique des fréquences ne peut pas démarrer du point 0 (fréquence nulle) du fait que log ( 0 ) = −∞ . • Etude de Ф, l’argument de T : T = T e j Φ = T ( cos Φ + j sin Φ ) cos Φ = Re (T ) Im (T ) π = 0 et sin Φ = = 1 , donc Φ = T T 2 Ce qui implique les diagrammes suivants : Fig.1.2 : Diagrammes asymptotiques de Bode de la fonction T = j III.2. La fonction : T = 1 + j f f0 f f0 f << fo alors T ~ 1 (TdB ~ 0) et Arg (T) = 0. L’asymptote basses fréquences (BF) est donc une droite horizontale. f . Nous pouvons utiliser les résultats précédents ; la pente de TdB, dans sa fo partie non nulle, reste égale à 20 dB par décade. Finalement, on obtient les courbes suivantes : f >> fo alors T ~ j 4 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI Fig.1.3 : Diagrammes asymptotiques de Bode de la fonction T = 1 + j III.3. La fonction : T = f f0 1 f j f0 f f 1 f et Arg (T ) = Arg1-Arg j = − Arg j . Nous pouvons = −20 ⋅ log f f0 f0 f0 j f0 également utiliser les résultats précédents : T dB = 20 ⋅ log TdB > 0 pour f < fo et TdB < 0 pour f > fo. π 2 La pente de la courbe de gain est de - 20 dB / décade (ou bien de -6 dB / octave). On obtient donc les courbes suivantes : Arg (T ) = Φ soit Φ = − 5 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI Fig.1.4 : Diagrammes asymptotiques de Bode de la fonction T = III.4. La fonction : T = 1 f j f0 1 1+ j f f0 Si f << fo alors T ~ 1, donc TdB ~ 0 et Arg T = 0 Si f >> fo alors T 1 : la pente de TdB dans sa partie non nulle reste égale à - 20 dB / décade. f j f0 Soit finalement les courbes suivantes : Fig.1.5 : Diagrammes asymptotiques de Bode de la fonction T = 1 1+ j f f0 6 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI IV. FILTRE « PASSE-BAS » En observant le tracé asymptotique de la figure 1.5, on remarque que le circuit représenté par ce diagramme laisse passer, sans trop les atténuer, les signaux de basse fréquence et atténue fortement les signaux de haute fréquence. On dit qu’il s’agit d’un filtre « Passe-bas ». De façon arbitraire, on a l’habitude de définir une limite entre les basses et les hautes fréquences. Cette limite aboutit aux notions de Bande Passante et de fréquences de coupure. La fréquence de coupure : Les fréquences de coupure du système sont les fréquences pour lesquelles on a : T = En dB, cela devient : T dB = 20 ⋅ log T max 2 T max . 2 , c à d : T dB = T dB.max − 3dB La bande passante : La bande passante est définie par la gamme de fréquences dont le gain est situé entre TdB.max et TdB.max -3dB. Les courbes réelles : On peut construire les courbes réelles du gain et de la phase à partir du diagramme asymptotique (idéalisé). La seule divergence entre les deux courbes se situe au niveau de f0 et de son voisinage. Il f suffit donc de calculer le gain et la phase pour f0 et puis pour 0 et 2f 0 ,par exemple, pour tracer les 2 courbes réelle. Pour les fréquences f < 0,1 ⋅ f 0 et f > 10 ⋅ f 0 , les diagrammes réelles se confondent avec les diagrammes asymptotique (règle du dixième). La figure 1.6 représente le module de la fonction de transfert (en dB), en fonction de la fréquence, d’un un filtre RC passe-bas dont l’équation est donnée au paragraphe III.4. La fréquence de coupure 1 de ce filtre est f 0 = . Pour la présentation graphique, nous avons pris R = 10k Ω et 2π RC C = 10nF ; f 0 ≈ 1.6kHz . La courbe de réponse en gain montre que les fréquences au dessous de f 0 sont transmises avec une atténuation inférieure à 3dB, alors qu’au dessus de f 0 leur atténuation est supérieure à 3dB. La bande passante de ce système est donc [ 0, f 0 ] 7 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI Fig.1.6 : le module d’un filtre passe-bas (fonction de type : T = 1 f 1+ j f0 ) V. INTERET DES DIAGRAMMES DE BODE POUR LES SYSTEMES EN CASCADE On considère un système de n étages, donc de n fonctions de transfert T1, T2,... , Tn, montés en cascade (figure 1.7). Fig.1.7 : système de n étages en cascade. n La fonction de transfert globale T s’écrit : T = T1 ⋅T 2 ⋅⋅⋅T n = ∏T i i =1 n n Le module et la phase de T s’écrivent alors : T = ∏ T i et Φ = ∑ Φ i i =1 i =1 Le module en dB s’écrit : T dB = 20 ⋅ log ∏T i → T dB = ∑T dB.i i =1 i =1 n n 8 ENSA – Kénitra Cours d’Electronique d’instrumentation Chapitre 1 Génie Mécatronique d’automobile– S5 Prof. : R. EL BOUAYADI Donc le module en dB et la phase de la fonction de transfert globale T s’obtiennent en additionnant les modules en dB et les phases des Ti . Il est alors aisé de tracer les diagrammes asymptotiques de T à partir des diagrammes asymptotiques des Ti en additionnant simplement les asymptotes. Exemple : cascade de deux systèmes du premier ordre. On considère deux systèmes du premier ordre définis par leurs fonctions de transfert respectives T1 1 1 et T2 définies par : T1 = et T 2 = (on suppose que f2>f1). f f 1+ j 1+ j f1 f2 Fig.1.8. Diagrammes de Bode de T1, T2 et de T= T1T2. Sur la figure 1.8, on a représenté les diagrammes de Bode de T1 et T2, puis ceux de T = T1T2. Pour le module de T , on a une asymptote horizontale TdB = 0 pour f << f1 , une pente de -20dB/décade entre f1 et f2, puis une asymptote de pente -40dB/décade pour f >> f2. Pour la phase de T, on a une asymptote Ф = 0 pour f << f1 , un palier Φ = − π 2 entre f1 et f2 et une deuxième asymptote Φ = −π pour f >> f2. L’allure des courbes réelles se déduit ensuite très simplement à partir des tracés asymptotiques. 9
