RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix- Travail- Patrie ----------UNIVERSITE DE YAOUNDE I Sapentia- Collativa- Cognitio --------------ECOLE NATIONALE SUPERIEUR POLYTECHNIQUE --------------DÉPARTEMENT DU GENIE INFORMATIQUE -------HUMANITES NUMERIQUES REPUBLIC OF CAMEROON Peace- Work- Fatherland ---------------THE UNIVERSITY OF YAOUNDE I Sapentia- Collativa- Cognitio -----------NATIONAL ADVANCED SCHOOL ENGINEERING -----------DEPARTMENT OF COMPUTER ENGINEERING -------DIGITAL HUMANITIES UE : Méthodes Mathématiques de Cryptographie THEME : ARITHMETIQUE ET COPRS FINI POUR LA CRYPTOGRAPHIE Exposé rédigé et présenté par : TSIMENE YONTA - TIOBOU TSASSE Dilan - EKOUMOU MVOLO SOUS L’ENCADREMENT DU Dr TALE .K 1 Division euclidienne et pgcd 1.1 Divisibilité et division euclidienne Définition 1. Soient a,b ∈ Z. On dit que b divise a et on note b∣a s’il existe q ∈ Z tel que Théorème 1 (Division euclidienne). Soit a 2 Z et b ∈ N\{0}. Il existe des entiers q,r ∈ Z tels que De plus q et r sont uniques. Nous avons donc l’équivalence : r = 0 si et seulement si b divise a 1.2 pgcd de deux entiers Définition 2. Soient a,b ∈ Z deux entiers, non tous les deux nuls. Le plus grand entier qui divise à la fois a et b s’appelle le plus grand diviseur commun de a, b et se note pgcd(a,b). 1.3 Algorithme d’Euclide Lemme 1. Soient a,b ∈ N*. Écrivons la division euclidienne a =bq + r. Alors En fait on a même pgcd(a,b) = pgcd(b,a−qb) pour tout q ∈ Z. Mais pour optimiser l’algorithme d’Euclide on applique le lemme avec q le quotient. Démonstration. Nous allons montrer que les diviseurs de a et de b sont exactement les mêmes que les diviseurs de b et r. Cela impliquera le résultat car les plus grands diviseurs seront bien sûr les mêmes. – Soit d un diviseur de a et de b. Alors d divise b donc aussi bq, en plus d divise a donc d divise bq − a = r. – Soit d un diviseur de b et de r. Alors d divise aussi bq + r = a. Algorithme d’Euclide. On souhaite calculer le pgcd de a,b N*. On peut supposer a ≥ b. On calcule des divisions euclidiennes successives. Le pgcd sera le dernier reste non nul. – division de a par b, a = bq1+r1. Par le lemme , pgcd(a,b) = pgcd(b,r1) et si r1 = 0 alors pgcd(a,b) = b sinon on continue : – b = r1q2 + r2, pgcd(a,b) = pgcd(b,r1) = pgcd(r1,r2), – r1 = r2q3 + r3, pgcd(a,b) = pgcd(r2,r3), –... – rk−2 = rk−1 qk + rk, pgcd(a,b) = pgcd(rk−1,rk), – rk−1 = rkqk +0. pgcd(a,b) = pgcd(rk,0) = rk. Comme à chaque étape le reste est plus petit que le quotient on sait que 0 ≤ ri+1 < ri. Ainsi l’algorithme se termine car nous sommes sûr d’obtenir un reste nul, les restes formant une suite décroissante d’entiers positifs ou nuls : b > r1 > r2 > ... ≥ 0 1.4 Nombres premiers entre eux Définition 3. Deux entiers a,b sont premiers entre eux si pgcd(a,b) = 1. Exemple 6. Pour tout a Z, a et a +1 sont premiers entre eux. En effet soit d un diviseur commun à a et à a +1. Alors d divise aussi a +1 − a. Donc d divise 1 mais alors d = −1 ou d = +1. Le plus grand diviseur de a et a+1 est donc 1. Et donc pgcd(a,a+1) = 1. Si deux entiers ne sont pas premiers entre eux, on peut s’y ramener en divisant par leur pgcd : Exemple 7. Pour deux entiers quelconques a,b Z, notons d = pgcd(a,b). La décomposition suivante est souvent utile : 2 Théorème de Bézout 2.1 Théorème (Théorème de Bézout). Soient a,b des entiers. Il existe des entiers u,v Z tels que La preuve découle de l’algorithme d’Euclide. Les entiers u,v ne sont pas uniques. Les entiers u,v sont des coefficients de Bézout. Ils s’obtiennent en «remontant» l’algorithme d’Euclide Remarque. – Soignez vos calculs et leur présentation. C’est un algorithme : vous devez aboutir au bon résultat ! Dans la partie droite, il faut à chaque ligne bien la reformater. Par exemple 104 − (124 – 104 x 1) x 5 se réécrit en 124 x (−5)+104 x 6 afin de pouvoir remplacer ensuite 104. – N’oubliez de vérifier vos calculs ! C’est rapide et vous serez certain que vos calculs sont exacts. Ici on vérifie à la fin que 600 x 6=124 x (−29) = 4. 2.2 Corollaires du théorème de Bézout 3 Nombres premiers Les nombres premiers sont en quelque sorte les briques élémentaires des entiers : tout entier s’écrit comme produit de nombres premiers. 3.1 Une infinité de nombres premiers Définition 5. Un nombre premier p est un entier ≥ 2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et p. Exemples : 2,3,5,7,11 sont premiers, 4 = 2 x 2, 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4 ne sont pas premiers. Lemme. Tout entier n ≥ 2 admet un diviseur qui est un nombre premier. Démonstration. Soit D l’ensemble des diviseurs de n qui sont ≥ 2 : D = { k ≥ 2 ∣ k∣n }. L’ensemble D est non vide (car n ∈ D), notons alors p = minD. Supposons, par l’absurde, que p ne soit pas un nombre premier alors p admet un diviseur q tel que 1 < q < p mais alors q est aussi un diviseur de n et donc q ∈ D avec q < p. Ce qui donne une contradiction car p est le minimum. Conclusion : p est un nombre premier. Et comme p ∈ D, p divise n. 3.2 Eratosthène et Euclide Comment trouver les nombres premiers ? Le crible d’Eratosthène permet de trouver les premiers nombres premiers. Pour cela on écrit les premiers entiers : pour notre exemple de 2 à 25. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Rappelons-nous qu’un diviseur positif d’un entier n est inférieur ou égal à n. Donc 2 ne peut avoir comme diviseurs que 1 et 2 et est donc premier. On entoure 2. Ensuite on raye (ici en grisé) tous les multiples suivants de 2 qui ne seront donc pas premiers (car divisible par 2) : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Le premier nombre restant de la liste est 3 et est nécessairement premier : il n’est pas divisible par un diviseur plus petit (sinon il serait rayé). On entoure 3 et on raye tous les multiples de 3 (6, 9, 12, . . . ). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Le premier nombre restant est 5 et est donc premier. On raye les multiples de 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 7 est donc premier, on raye les multiples de 7 (ici pas de nouveaux nombres à barrer). Ainsi de suite : 11,13,17,19,23 sont premiers. 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Remarque. Si un nombre n n’est pas premier alors un de ses facteurs est . En effet si n = a x b avec a,b ≥ 2 alors a ≤ √n ou b (réfléchissez par l’absurde !). Par exemple pour tester si un nombre ≤ 100 est premier il suffit de tester les diviseurs ≤ 10. Et comme il suffit de tester les diviseurs premiers, il suffit en fait de tester la divisibilité par 2,3,5 et 7. Exemple : 89 n’est pas divisible par 2,3,5,7 et est donc un nombre premier. Proposition (Lemme d’Euclide). Soit p un nombre premier. Si p∣ab alors p∣a ou p∣b. Démonstration. Si p ne divise pas a alors p et a sont premiers entre eux (en effet les diviseurs de p sont 1 et p, mais seul 1 divise aussi a, donc pgcd (a, p) = 1). Ainsi par le lemme de Gauss p∣b 3.3 Décomposition en facteurs premiers Théorème . Soit n ≥ 2 un entier. Il existe des nombres premiers p1 < p2 < ... < pr et des exposants entiers ɵ1,ɵ2,...ɵr ≥ 1 tels que : De plus les pi et les ɵi (i = 1,...,r) sont uniques. Exemple : 24 = 23 x 3 est la décomposition en facteurs premiers. Par contre 36 = 22 x 9 n’est pas la décomposition en facteurs premiers c’est 22 x 33 4 Congruences 4.1 Définition Définition . Soit n ≥ 2 un entier. On dit que a est congru à b modulo n, si n divise b − a. On note alors a ≡ b (mod n). On note aussi parfois a = b (mod n) ou a ≡ b[n]. Une autre formulation est 4.2 Petit théorème de Fermat Théorème (Petit théorème de Fermat). Si p est un nombre premier et a ∈ Z alors Corollaire . Si p ne divise pas a alors Par le principe de récurrence nous avons démontré le petit théorème de Fermat pour tout a ≥ 0. Il n’est pas dur d’en déduire le cas des a ≤ 0 Maths PCSI Cours Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Table des matières 1 Groupes 1.1 Lois de composition interne 1.2 Groupes . . . . . . . . . . . 1.3 Sous-groupes . . . . . . . . 1.4 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 4 2 Anneaux 2.1 Structure d’anneau . . . . 2.2 Sous-anneaux . . . . . . . 2.3 Morphismes d’anneaux . . 2.4 Divisibilité . . . . . . . . . 2.5 Calculs dans les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 7 3 Corps 3.1 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Pour la suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 9 . . . . . 1 1 Groupes 1.1 Lois de composition interne Dfinition 1 Soit E un ensemble. Une loi de composition interne (LCI) sur E est une application T de E × E dans E, notée généralement de façon infixe : on écrit x T y plutôt que T (x, y), lorsque (x, y) ∈ E × E. Exemples 1 • • • • • • • La somme sur N, N∗ , Z, Q, R, C (mais pas sur Z∗ , Q∗ , R∗ , C∗ ). Le produit sur N, N∗ , Z, Q, R, C. . . La différence sur R ou Z (mais pas sur N). La composition des applications sur F F (applications de F dans F ). La loi ⊕ définie sur R2 par (x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ). La loi ⊗ définie sur R2 par (x1 , y1 ) ⊗ (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) (vous la reconnaissez ?) Les lois ∪, ∩ et ∆ (réunion, intersection et différence symétrique) définies sur P(F ). Dfinition 2 • Une LCI T sur E sera dite associative lorsque : ∀x, y, z ∈ E 3 , (x T y) T z = x T (y T z). • Une LCI T sur E sera dite commutative lorsque : ∀x, y ∈ E 2 , x T y = y T x. • Si T est une LCI associative sur E, e ∈ E est un neutre pour T lorsque : ∀x ∈ E, x T e = e T x = x. Proposition 1 Si T est une LCI associative sur E qui admet un neutre, alors ce neutre est unique. On peut alors parler DU neutre de T . Preuve : On suppose e1 et e2 neutres pour T , et on considère e1 T e2 . . . Exemples 2 • La somme et le produit sur C (donc sur ses sous-ensembles) est associative et commutative, et admettent pour neutres respectifs 0 et 1. • La différence n’est ni associative ni commutative sur R. • La loi ◦ (composition des fonctions de F dans F ) est associative, mais n’est pas commutative (sauf si F est un singleton, auquel cas. . . ). Elle admet un neutre, qui est l’application IdF . • Les lois ∪, ∩ et ∆ sur P(F ) sont associatives et commutatives. Elles admettent pour neutres respectifs ∅, F , et ∅. • ⊕ et ⊗ sont associatives et commutatives sur R2 . • Vue comme LCI sur N∗ , + n’admet pas d’élément neutre. Exercice 1 Montrer que les lois ⊕ et ⊕ sur R2 (cf exemples 1) admettent chacune un neutre. Dfinition 3 Si T est une LCI associative sur E qui admet un neutre e et x ∈ E, on dit que x admet un symétrique pour T s’il existe y ∈ E tel que x T y = y T x = e. Proposition 2 Dans la définition précédente, si y existe, il est unique. On peut alors parler DU symétrique de x pour T . On le note généralement x−1 . Preuve : Partir de y1 T (x T y2 ) = (y1 T x)T y2 . . . 2 Remarques 1 • On peut avoir x T y = eG sans avoir y T x = eG . On prendra par exemple E = NN , T la loi ◦ de composition des fonctions, y : n 7→ n + 1 et x : n 7→ Max(n − 1, 0). • Les lois notées . sont souvent “oubliées” dans l’écriture : x.y devient xy. • Grâce à l’associativité, on s’autorise à noter x T y T z la valeur commune de (x T y) T z et x T (y T z). • Lorsque la loi est additive +, le symétrique est noté −x et est appelé “opposé”. Lorsque la loi est 1 multiplicative ., le symétrique est appelé “inverse”. On n’utilisera JAMAIS la notation (sauf pour les x y complexes-réels-entiers), puisqu’alors la notation serait ambigüe dans le cas d’une loi multiplicative x 1 1 non commutative (ce qui sera la rêgle en algèbre linéaire) : a priori, y· et ·y peuvent être distincts. . . x x Exercice 2 Si x et y admettent un symétrique pour une loi ∗, montrer que x ∗ y admet également un symétrique. 1.2 Groupes Dfinition 4 Un groupe est un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne (G, ∗) tels que : • ∗ est associative ; • ∗ admet un neutre eG ; • tout élément de G est symétrisable (admet un symétrique) pour ∗. Si ∗ est commutative, on dit que (G, ∗) est commutatif, ou encore abélien. Exemples 3 On fournit d’abord des exemples de groupes : dans les deux premiers cas et le dernier, il s’agit de groupes abéliens. Les deux autres (comme la plupart des groupes fonctionnels) sont non commutatifs. • Z, Q, R, C munis de la somme. • Q∗ , R∗ , C∗ , U, Un munis du produit. • L’ensemble des homothéties et translations du plan, muni de la loi ◦. • L’ensemble des permutations (bijections) de [[1, n]] muni de la loi ◦. • L’ensemble P(E) muni de la différence symétrique ∆. Exemples 4 Pour • • • • diverses raisons (à déterminer), les couples suivants ne sont pas des groupes : (N, +), (R, .). (U, +). (E E , ◦). (P(E), ∪), (P(E), ∩). Exercice 3 Montrer que (R2 , ⊕) et (R2 \ {(0, 0)}, ⊗) sont des groupes commutatifs. 1.3 Sous-groupes Dfinition 5 Un sous-groupe d’un groupe (G, ∗) est une partie non vide H de G telle que : • ∗ induit sur H une loi de composition interne. • Muni de cette loi, H est un groupe. On note alors : H < G. Remarques 2 • En pratique, pour montrer qu’une partie non vide H de G en constitue un sous-groupe, il suffit de vérifier : – eG ∈ H ; 3 – H est stable par ∗ ; – pour tout x ∈ H, le symétrique x, a priori dans G, est en fait dans H. • L’intérèt principal de la remarque précédente tient dans le fait que dans bien des cas, on peut montrer que (H, ∗) est un groupe en montrant grâce au critère précédent que c’est un sous-groupe d’un groupe connu. Il est alors inutile de montrer l’associativité, la commutativité et même l’existence d’un neutre : il n’y a que des VERIFICATIONS à faire. Exemples 5 • Pour la loi +, on a la “tour de groupe” (inclusions successives de sous-groupes/groupes) suivante : {0} < 1515Z < Z < Q < R < C • Pour la multiplication usuelle : {1} < Un < U < C∗ mais aussi : {1} < {−1, 1} < Q∗ < R∗ < C∗ • Si G est un groupe, {eG } et G en constituent des sous-groupes (dits triviaux) Exercice 4 Soient H1 et H2 deux sous-groupes de (G, .). Montrer que H1 ∩ H2 est également un sous- groupe de G. On verra en TD que ça se passe moins bien pour la réunion de deux sous-groupes. Exercice 5 On définit l’ensemble : √ √ Z[ 2] = k + l 2 k, l ∈ Z . √ Montrer que (Z[ 2], +) constitue un groupe (+ est l’addition usuelle des réels). 1.4 Morphismes de groupes Dfinition 6 • Soient (G, ∗) et (H, T ) deux groupes. Une application de G dans H est un “morphisme de groupes” lorsque : ∀x, y ∈ G, f (x ∗ y) = f (x) T f (y). • Si G = H et ∗ = T , on parle d’endomorphisme. • Si f est bijective, on parle d’isomorphisme. • Si f est un endomorphisme bijectif, on parle d’automorphisme. Exemples 6 • • • • • • x 7→ 2x réalise un isomorphisme de (R, +) sur (R∗+ , .) ; x 7→ 2x réalise un automorphisme de (R, +) ; x 7→ 3 ln x réalise un isomorphisme de (R∗+ , .) sur (R, +) ; z 7→ |z| réalise un morphisme de (C∗ , .) dans (R∗ , .). Si G est un groupe abélien, x 7→ x2 et x 7→ x−1 réalisent des endomorphismes de G. θ 7→ eiθ réalise un morphisme de (R, +) dans (C∗ , .), et même sur (U, .). Exercice 6 Si f est un morphisme de (G, ∗) dans (H, ◦) et g un morphisme de (H, ◦) dans (K, T ), montrer que g ◦ f réalise un morphisme de (G, ∗) dans (K, T ). Exercice 7 Montrer que si f est un isomorphisme de (G, ∗) sur (H, ◦), alors son application réciproque f −1 réalise un isomorphisme de (H, ◦) sur (G, ∗). 4 Proposition 3 Quelques propriétés élémentaires des morphismes de groupes : f est ici un morphisme de (G, ∗) dans (H, T ). • f (eG ) = eH . • Si f est un isomorphisme, alors son application réciproque réalise un isomorphisme de (H, T ) sur (G, ∗). • Si G1 < G, alors f (G1 ) < H. • Si H1 < H, alors f −1 (H1 ) < G. Preuve : Elémentaire, donc à savoir faire seul ! Dfinition 7 Soit f un morphisme de G dans H. • Le noyau de f , noté Ker f est l’ensemble des antécédents par f de eH : Ker f = x ∈ G; f (x) = eH = f −1 (eH ) (attention, f n’est pas supposée bijective ; il n’est donc pas question de la bijection réciproque de f ). • L’image de f , noté Im f est f (G) (ensemble des images par f des éléments de G). D’après les deux derniers points de la proposition 3, le noyau et l’image de f sont des sous-groupes respectifs de G et H. Exercice 8 Montrer que (U, .) est un groupe, en le voyant successivement comme image et noyau d’un morphisme de groupe. Bien entendu, et c’est une trivialité, un morphisme de G dans H est surjectif si et seulement si son image est égale à H. Ce résultat est d’ailleurs sans intérèt . . . Le résultat suivant est bien plus intéressant, puisqu’il réduit énormément le travail, pour montrer qu’un morphisme est injectif. Proposition 4 Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T ). Alors f est injectif si et seulement si son noyau est réduit à {eG }. Preuve : Elémentaire, donc à savoir faire seul. . . Exercice 9 L’application ϕ : R2 → R2 , (x, y) 7→ (2x − y, 3x + 2y) est-elle injective ? 2 Anneaux 2.1 Structure d’anneau Dfinition 8 Un anneau est un ensemble muni de deux LCI (A, +, .) tels que : • (A, +) est un groupe commutatif de neutre noté 0A . • La loi . est une LCI sur A associative et distibutive à gauche et à droite par rapport à + : ∀x, y, z ∈ A, x.(y + z) = x.y + x.z et (x + y).z = x.z + y.z • La loi . admet un neutre différent de 0A , noté 1A . Si la loi . est commutative, l’anneau est dit commutatif ou abélien. Exercice 10 Si x ∈ A, montrer que 0A .x = 0A (considérer 0A .x + 0A .x). Exemples 7 • (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .) et (C, +, .) sont des anneaux bien connus. • P(E), ∆, ∩) est un anneau plus anecdotique. • (R2 , ⊕, ⊗) est un anneau. . . connu sous une autre identité ! 5 • L’ensemble des suites réelles, muni de l’addition et du produit des suites, est un anneau. Même chose pour l’ensemble des fonctions de I dans R. On déterminera précisément les neutres de ces anneaux. Remarques 3 • Il est nécessaire d’imposer la distributivité à droite et à gauche. Par exemple, (RR , +, ◦) n’est pas un anneau : on a bien (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h pour tout f, g, h, mais pas nécessairement f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h. • Lorsqu’on travaille dans un anneau, de nombreux calculs se passent “comme dans R”. Cela dit, il faut faire attention par exemple à ne pas diviser. Le meilleur moyen pour ne pas dire d’ânerie consiste en fait à “faire comme dans Z”. 2.2 Sous-anneaux Dfinition 9 Soit (A, +, .) un anneau. Une partie non vide A1 de A est un sous-anneau de A lorsque : • 1 A ∈ A1 ; • les lois + et . induisent des LCI sur A1 , et, muni de ces lois, (A1 , +, .) est un anneau. Remarque 4 Contrairement aux sous-groupes, on ne peut pas se passer de la condition 1A ∈ A1 , qui ne découle pas des autres conditions1 . On verra en exercice un contre-exemple. Comme pour les sous-groupes, il est assez moyennement intéressant de montrer à nouveau les associativités et même la distributivité. Fort heureusement, on a le résultat (quasi-évident) suivant : Proposition 5 Une partie A1 de A est un sous-anneau si et seulement si • (A1 , +) est un sous-groupe de (A, +) ; • 1 A ∈ A1 ; • . induit une LCI sur A1 . Exemples 8 • Bien entendu, Z est un sous-anneau de Q qui est un sous-anneau de. . . • L’ensemble des fonctions dérivables sur I constitue un sous-anneau des fonctions continues sur I, qui constitue lui-même un sous-anneau de l’ensemble des fonctions de I dans R. • L’ensemble des suites réelles stationnaires est un sous-anneau de (RN , +, .), qui est un sous-anneau de (CN , +, .) √ Exercice 11 Montrer que Z[ 2] est un sous-anneau de R. Exercice 12 Montrer que si A1 et A2 sont deux sous-anneaux d’un anneau A, alors A1 ∩A2 est également un sous-anneau de A. 2.3 Morphismes d’anneaux Dfinition 10 Soient (A, +, .) et (B, +, .) deux anneaux (on note de la même façon les lois de A et B. . . ). Un morphisme d’anneaux de A vers B est une application de A vers B telle que : • f (1A ) = 1B ; • pour tout x, y ∈ A, f (x + y) = f (x) + f (y) et f (x.y) = f (x).f (y). Exemples 9 • z 7→ z réalise un automorphisme d’anneaux de C. • f→ 7 f (π) réalise un morphisme d’anneaux de RR sur2 R. 1 on se rappelle que dans le cas d’un sous-groupe H de G, la relation eG ∈ H est une conséquence de la définition pour les fonctions, on dit “de E sur F ” plutôt que “de E dans F ”, lorsque le morphisme est surjectif 2 comme 6 • u 7→ u1515 réalise un morphisme d’anneaux surjectif (pourquoi ?) de CN sur C. Remarques 5 • La relation f (1A ) = 1B ne découle pas des autres relations3 ; on ne peut donc pas s’en passer dans la définition. • A fortiori, un morphisme d’anneaux est un morphisme de groupe (pour la première loi). A ce titre, on peut parler de son image et de son noyau. Malheureusement, si l’image est un sous-anneau de l’anneau d’arrivée (le montrer), le noyau n’est pas nécessairement un sous-anneau de l’anneau de départ, ce qui limite l’intéret des morphismes d’anneaux. Cependant, on garde l’équivalence entre l’injectivité de f et le fait que Ker f = {0A }. Exercice 13 Montrer que la composée de deux morphismes d’anneaux est un morphisme d’anneaux. Exercice 14 Montrer que si f est un isomorphisme d’anneaux, alors son application réciproque égale- ment. 2.4 Divisibilité Dfinition 11 Soit (A, +, .) un anneau commutatif. • On dit que x ∈ A est inversible s’il admet un symétrique pour la loi . • On dit que a divise b s’il existe c ∈ A tel que b = ca. On note a|b. • On dit que a est un diviseur de 0 s’il existe b 6= 0 tel que ab = 0. • Un anneau est dit intègre s’il ne contient pas de diviseur de 0 autre que 0 lui-même. Les faits suivants sont faciles à montrer : Proposition 6 Dans un anneau commutatif (A, +, .) : • 0A n’est jamais inversible. • Si x est inversible, alors ce n’est pas un diviseur de 0. • Si x1 , x2 , y ∈ A intègre, avec y 6= 0 et x1 y = x2 y, alors x1 = x2 . On dit qu’“ on peut simplifier” (ce qui ne veut pas dire diviser) par y 6= 0. Exemples 10 • Z est intègre, et ses éléments inversibles sont 1 et −1. • Q, R et C sont des anneaux intègres dont tous les éléments non nuls sont inversibles. • L’ensemble des fonctions de R dans R n’est pas intègre : toute application f qui s’annulle est diviseur de 0 (le montrer). Les éléments inversibles sont les fonctions qui ne s’annullent pas. Exercice 15 Montrer que Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} est un sous-anneau intègre de C, dont les inversibles sont 1, i, −1 et −i. 2.5 Calculs dans les anneaux • On rappelle la formule du binôme de Newton, qui s’étend de Z aux anneaux commutatifs, mais aussi (et cela sert effectivement4 ) dans un anneau quelconque, avec deux éléments qui commutent : Proposition 7 Soient a, b ∈ A, avec ab = ba, et n ∈ N∗ . Alors : (a + b)n = n X Ckn ak bn−k . k=0 Preuve : Récurrence sur N et formule du triangle de Pascal. 3 contrairement 4 en aux morphismes de groupes, pour lesquels la relation ϕ(eG ) = eH est une conséquence de la définition particulier dans les anneaux de matrices 7 • Si x, y ∈ A commutent et n ∈ N∗ , alors x − y|xn − y n , et plus précisément : xn − y n = (x − y) n−1 X xk y n−1−k . k=0 BIEN ENTENDU, pour les deux derniers résultats, l’hypothèse essentielle xy = yx ne sera jamais oubliée. . . • Cas particulier de ce qui précède : si 1 − x est inversible (ce qui n’est pas EQUIVALENT à x 6= 1), on n−1 X xk grâce à la formule : peut calculer k=0 1 − xn = (1 − x) n−1 X xk . k=0 1A commute en effet avec tous les éléments de l’anneau. • On verra en TD de Maple l’algorithme d’exponentiation rapide, qui permet de calculer an en O(ln n) multiplications. L’idée apparaı̂t dans l’exemple suivant : a53 = a.(a2 )26 = a.(a4 )13 = a.a4 .(a8 )6 = a.a4 .(a16 )3 = a.a4 .a16 .a32 . k Il suffit donc de calculer les a2 , et d’en tenir compte dans le résultat final lorsque la puissance en cours est impaire (si (a4 )13 apparaı̂t en cours de calcul, alors a4 interviendra dans le résultat). Au vu de cet exemple, on peut formaliser l’algorithme d’exponentiation rapide de la façon suivante : Fonction Expo_rapide(x,n) Debut Res<-1; # Contiendra à la fin le résultat Puis<-x; # Contiendra les puissances successives de x N<-n; # Puissance à laquelle Puis doit encore ^ etre évalué Tant_que N>0 Si N est impair Alors Res<-Res*Puis Fsi; Puis<-Puis^2; N<-N/2 # en fait, le quotient dans la division euclidienne Fin_Tant_que; RETOURNER(Res) Fin Mise en oeuvre en TD Maple. . . où on verra une seconde version récursive plus rapide à écrire, mais qui semble un peu magique ! Pour prouver la validité de cet algorithme, on peut noter (là encore au vu de l’exemple) PUIS prouver que la quantité Res*Puis^N reste égale à xn en cours d’exécution5 . Quand on veut frimer, on parle d’invariant de boucle. 3 Corps 3.1 Structure de corps Dfinition 12 • Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible. • Si (K, +, .) est un corps, un sous-corps de K est un sous-anneau K1 de K tel que pour tout élément non nul x de K1 , on a x−1 ∈ K1 ; (K1 , +, .) est alors un corps. 5 au début et à la fin de chaque tour de boucle 8 Remarque 6 Si on enlève l’hypothèse de commutativité, on obtient ce que les anglo-saxons appellent “division ring”, traduit piteusement par “anneau à division”. En taupe, dans les temps anciens, le terme de corps désignait d’ailleurs ces anneaux à divisions. En anglais, les corps se nomment “fields”. Pourquoi ? mystère. . . 3.2 • • • • 3.3 Exemples Q, R et C sont des corps, mais pas Z (2 n’est pas inversible). On√verra plus tard le corps des fractions rationnelles (quotients de polynômes). Q[ 2] et Q[i] sont des sous-corps respectifs de R et C. Si on reprend les lois ⊕ et ⊗ des exemples 1, (R2 , ⊕, ⊗) est un corps. . . qui ressemble fortement à C. Pour la suite Il n’existe en Spé (hors MP/MP∗ ) que 2, 5 corps : R, C, et (accessoirement. . . ) Q. Bien entendu, si on passe l’X (et si on n’a pas trop de chance. . . ), il ne faudra rien ignorer des corps finis Fq , mais c’est une autre histoire ! 9 Corps finis 1– Un peu d’algèbre Si A est un anneau commutatif principal, (a) un idéal de A, et a est un élément premier de A alors l’anneau quotient A/(a) est un corps. Exemples : Z/pZ. On note Fp le corps Z/pZ. k[x]/P où k est un corps commutatif et P est un polynôme irréductible. 2– Caractéristique d’un corps Proposition 1. Un corps fini contient un corps Z/pZ où p est un nombre premier. Démonstration— Soit K un corps fini, et soit π l’application π : Z −→ K n 7−→ n · 1 ker π est un idéal de Z, donc de la forme pZ, avec p 6= 0 et p 6= 1. Si p = p1 p2 , on a 0 = π(p) = π(p1 )π(p2 ) dans K, donc π(p1 ) = 0 ou π(p2 ) = 0. donc p1 ∈ pZ ou p2 ∈ pZ. donc p1 = p ou p2 = p car pi ≤ p. donc p est premier. On a donc π : Z −→ Z/pZ = Fp ⊂ K p est le plus petit entier positif tel que p · 1 = 0 dans K. p est appelé la caractéristique du corps. Fp est le plus petit sous-corps de K. Fp est l’intersection des sous-corps de K. Fp est appelé corps premier. Plus généralement, un corps premier est le plus petit corps contenu dans un corps donné. Il est isomorphe à Q, ou à un des corps Fp où p est un nombre premier. La caractéristique d’un corps est le nombre 0 si le corps premier est Q, le nombre p si le corps premier est Fp . 1 3– Nombre d’éléments d’un corps fini. Proposition 2. Un corps fini K de caractéristique p admet pn éléments où n est un entier. Démonstration— En effet, le nombre n est égal à la dimension de K considéré comme espace vectoriel sur Fp : n = dimFp K Proposition 3. Si k est un corps commutatif et P est un polynôme irréductible dans k[x], dimk k[x]/P = deg P Démonstration— Soit A(x) ∈ k[x]. Notons A son image dans k[x]/P . La division euclidienne par P permet d’écrire A(x) = q(x)P (x) + R(x) avec deg R ≤ deg P Cela définit une application à valeurs dans l’espace des polynômes de degré au plus égal à deg P − 1. k[x]/P −→ k[x]deg P −1 A 7−→ R C’est un application linéaire d’espaces vectoriels. Elle est injective car si R = 0 alors A(x) = q(x)P (x) donc A = 0 Elle est surjective car R a pour image R. Remarque. On en déduit que P est un polynôme irréductible dans Fp [x], alors le corps Fp [x]/P a pdeg P éléments. 4– Eléments primitifs On a besoin de deux lemmes avant d’énoncer le théorème. Si d est un entier, on note φ(d) le nombre des entiers x tels que ( 1≤x≤d x est premier à d On appelle φ(d) l’indicateur d’Euler de d. 2 Lemme 4. Le nombre de générateurs de Z/dZ est égal à φ(d). Démonstration— On considère les éléments suivants de Z/dZ, où x est un entier, x son image dans Z/dZ : 0, x, 2x, . . . , mx, . . . , (d − 1)x Si x est premier à d, alors x est un générateur de Z/dZ. Si mx = 0, alors mx ≡ 0 (mod. d), alors mx = nd. Si x est premier à d, comme d | mx, alors d | m ce qui est impossible car m < d. Donc pour tout m < d, mx 6= 0, donc les éléments 0, x, 2x, . . . , mx, . . . , (d − 1)x sont distincts. Donc x est bien générateur. Si x n’est pas premier à d, alors x n’est pas un générateur de Z/dZ. Soit p tel que p | x et p | d. d x d On a x = d, donc x ≡ 0 (mod. d) p p p Donc les éléments 0, x, 2x, . . . , mx, . . . , (d − 1)x ne sont pas distincts. En particulier φ(d) ≥ 1 car un groupe cyclique a au moins un générateur. Lemme 5. Si n est un entier ≥ 1, on a n= X φ(d) d|n Démonstration Soit Cd = nd Z/nZ l’unique sous-groupe de Z/nZ d’ordre d. Soit Φ(d) l’ensemble des générateurs de Cd . Z/nZ est réunion disjointe des Φ(d). On a X X n = Card Z/nZ = Card (Φ(d)) = φ(d). d|n d|n Théorème 6. Si K est un corps fini, alors le groupe multiplicatif K ∗ est cyclique. Démonstration Soit q le nombre d’éléments du corps K, q − 1 celui du groupe K ∗ . Tout élément de K ∗ a un ordre d tel que d divise q − 1. Si d est un diviseur de q − 1 soient Hd∗ l’ensemble des élément de K ∗ d’ordre d ; Hd l’ensemble des racines de X d − 1. On a Hd∗ ⊂ Hd . Si Hd∗ 6= ∅, soit a ∈ Hd∗ . 3 Alors Hd est un groupe formé des éléments x de K tels que xd = 1, il est isomorphe à Z/dZ par n 7−→ an . En effet, a ∈ Hd∗ ⊂ Hd , donc Hd contient le groupe cyclique engendré par a qui admet d éléments; #Hd ≤ d car Hd l’ensemble des racines de X d − 1. donc #Hd∗ = φ(d). Si Hd∗ est l’ensemble des éléments d’ordre d dans K ∗ , il a donc 0 ou φ(d) éléments. G X X q − 1 = #K ∗ = # Hd∗ = #Hd∗ ≤ φ(d) = q − 1 d|q−1 d|q−1 d|q−1 donc le nombre d’éléments de K ∗ d’ordre d | q − 1 est égal à φ(d). En particulier il existe un élément d’ordre q − 1. Cet élément engendre K ∗ . Définition 7. Les générateurs de K ∗ sont appelés éléments primitifs de K. 5– Existence de corps finis Proposition 8. Soit K un corps fini. Soit a un élément primitif de K. L’ensemble des polynômes qui ont a comme racine est un idéal premier de Fp [x]. Démonstration Soit f et g deux polynômes à coefficients dans K. 0 = f g(a) ⇒ f (a) = 0 ou g(a) = 0 Le générateur de cet idéal s’appelle polynôme minimal de a. C’est un polynôme irréductible. Proposition 9. Soit K un corps fini. Soit a un élément primitif de K. Soit f (x) le polynôme minimal de a dans Fp [x]. Alors K ' Fp [x]/(f (x)). Démonstration L’application Fp [x] −→ K g(x) 7−→ g(a) se factorise Fp [x]/(f (x)) −→ K donc définit un homomorphisme de corps qui est – injectif (en tant qu’homomorphisme de corps) – surjectif (son image contient tous les éléments de K ∗ , car elle contient a, a2 ,. . . ,ai ,. . . ) 4 Proposition 10. Si a et b sont des éléments d’un corps K de caractéristique p, alors (a + b)p = ap + bp . Démonstration p p X p ai bp−i . i i=0 p p! (p − 1)! Si 1 ≤ i ≤ p − 1, on a = =p . i i!(p − i)! i!(p − i)! p est un entier, donc i!(p − i)! divise p! = p(p − 1)! i Or i!(p − i)! est premier à p, donc divise (p − 1)!. p Donc est divisible par p, et est donc nul dans K. i p p p p p Il reste (a + b) = b + a . 0 p On a (a + b) = Corollaire 11. Si a et b sont des éléments d’un corps K de caractéristique p, alors n n n (a + b)p = ap + bp . Proposition 12. Soit F un corps et f (x) ∈ F[x]. Il existe un corps L ⊃ F tel que f (x) se décompose en polynômes de degré 1 à coefficients dans L. Démonstration Par récurrence a) Si deg f = 1 alors on peut prendre L = F . b) Supposons deg f = k + 1 Soit g(x) un diviseur premier de f (x). On va montrer que g(x) a au moins une racine dans K = F[x]/(g(x)). Soit α l’image de x par l’application quotient F[x] −→ K. P On = 0 car l’image de g(x) dans K est 0. Mais g(x) = gi xi a pour image P a g(α) P gi αi , donc g(α) = gi αi = 0 dans K. P F[x] g(x) = gi xi ↓ K ↓ 0 ↓ = P gi αi = g(α) Donc f (x) s’écrit f (x) = (x − α)h(x) où h(x) est un polynôme de K[x] de degré k. Donc (par hypothèse de récurrence) il existe un corps L ⊃ K tel que h(x) se décompose en facteurs de degré 1 sur L. Par conséquent f (x) se décompose en facteurs de degré 1 sur L. 5 Théorème 13. Etant donné un nombre premier p et un entier strictement positif n, il existe un corps à pn éléments. Démonstration n Considérons le polynôme f (x) = xp − x. Soit L ⊃ Fp tel que f (x) se décompose en facteurs de degré 1 sur L. Le nombre de ces facteurs est donc pn (= deg f ). Ils sont distincts car le polynôme dérivé n f 0 (x) = pn xp −1 − 1 = −1 n’a pas de racines. Soit K l’ensemble des racines de f (x) dans L. C’est un sous-corps de L car il est stable par les lois de L. En effet, si a et b sont dans K, n n n (a + b)p = ap + bp = a + b n n n (ab)p = ap bp = ab n et a 6= 0 a pour inverse ap −2 : n a ap −2 n = ap n −1 =1 n puisque a est racine du polynôme xp − x = x(xp Donc K est un corps, et il a pn éléments. −1 − 1). 6– Unicité des corps finis Comparons deux corps ayant le même nombre d’éléments, soit q = pn Proposition 14. Soit K un corps ayant q éléments. Les éléments a de K vérifient aq = a. On a Y xq − x = (x − a). a∈K Démonstration Le groupe K ∗ des éléments non nuls a q − 1 éléments. Les éléments a de K ∗ vérifient donc aq−1 = 1. Les éléments a de K vérifient donc a(aq−1 − 1) = aq − a = 0. Si a ∈ K, x − a divise xq − x, donc Y (x − a) divise xq − x. a∈K Il y a égalité car ces deux polynômes ont même degré. 6 Théorème 15. Soient K et L deux corps ayant pn = q éléments. Alors K est isomorphe à L. Démonstration Soit a un élément primitif de K et f (x) son polynôme minimal. On a donc K ' Fp [x]/(f (x)). Comme a ∈ K, a est racine de xq − x, donc f (x) divise xq − x. On a aussi Y xq − x = (x − a). a∈L Donc il existe un élément b ∈ L qui est aussi une racine de f (x). Donc le polynôme minimal de b, soit g(x) est un diviseur de f (x). Puisque f (x) est irréductible et unitaire, on en déduit que f (x) = g(x). Donc K ' Fp [x]/(f (x)) = Fp [x]/(g(x)) On a un homomorphisme Fp [x]/g(x) −→ L h(x) 7−→ h(b) D’où un homomorphisme K ' Fp [x]/(f (x)) = Fp [x]/(g(x)) −→ L Cet homomorphisme est injectif (homomorphisme entre corps) et surjectif car #K = #L. Remarque. On peut reformuler le résultat précédent comme ceci : deux corps finis contenant Fp et ayant le même degré ([K : Fp ] = degFp (K)) sont isomorphes. Ceci n’est plus vrai si les corps ne sont pas finis. Contre exemple : deux corps contenant Q et ayant le même degré ([K : Q] = degQ (K)) √ √ ne sont pas nécessairement isomorphes : Q( 2) 6' Q( 3). Corollaire 16. Tout corps ayant pn éléments est isomorphe à un corps de la forme Fp [x]/(f (x)) où f (x) est un polynôme irréductible de degré n. Démonstration Soit a un élément primitif de K et f (x) son polynôme minimal. K = Fp (a) ' Fp [x]/(f (x)) Exercice : construire les corps F4 , F8 , F16 . Remarque. Il n’existe pas de procédé général pour trouver un polynôme irréductible de degré donné n, c’est-à-dire pour construire un corps Fpn . 7 Définition 17. La réunion des corps finis contenus dans un corps algébriquement clos de caractéristique p est appelée clôture algébrique de Fp . Proposition 18. Deux clôtures algébriques de Fp sont isomorphes. On l’admettra. 7– Extension de corps Proposition 19. Un corps L de caractéristique p contient au plus un corps ayant pr éléments. Démonstration— r En effet s’il en existe un, c’est l’ensemble des racines du polynôme xp − x dans L. Proposition 20. Un corps L ayant pn éléments contient un corps ayant pr éléments si et seulement si r divise n. Démonstration Si le corps L contient un corps K ayant pr éléments alors . dimK L = n/r donc r divise n. Montrons que si r divise n, le corps L contient un corps ayant pr éléments. r | n ⇒ pr − 1 | pn − 1 pn ≡ (pr )n/r ≡ 1n/r ≡ 1 car (mod pr − 1) K ∗ est le sous-groupe cyclique à pr −1 éléments de L∗ qui est le groupe cyclique à pn −1 éléments. Un groupe cyclique à pn − 1 éléments contient un sous-groupe M à pr − 1 r éléments qui est l’ensemble des x tels que xp −1 = 1. r On pose K = M ∪ {0}. C’est l’ensemble des x tels que x(xp −1 − 1) = 0 c’est-à-dire r xp − x = 0. 8– Trace et Norme Soient K ⊂ L deux corps finis ayant respectivement pr = q et pn = q s éléments avec s = n/r. La trace On définit la trace d’un élément x de L comme étant 2 TrL/K x = x + xq + xq + · · · + xq = s−1 X xq s−1 i 0 Propriétés Tr est un forme linéaire surjective sur K Tr(xq ) = Tr(x) 8 Démonstration— Pour montrer que Tr est un forme linéaire surjective sur K, il faut montrer qu’il existe α ∈ L telle que Tr(α) 6= 0. Or 2 Tr(α) = 0 ⇐⇒ α est une racine de x + xq + xq + · · · + xq s−1 = 0. Cette équation est de degré q s−1 et L a q s éléments, donc il existe un élément α de L qui ne vérifie pas l’équation. La norme On définit la norme d’un élément x de L comme étant 2 NL/K x = xxq xq · · · xq = s−1 Y xq s−1 i 0 Propriétés N est un homomorphisme de groupes de L∗ dans K ∗ . N est surjective sur K N (xq ) = N (q) Démonstration— On a q s −1 2 s−1 2 s−1 NL/K x = xxq xq · · · xq = x1+q+q +···+q = x q−1 Soit α un élément primitif de L∗ . L’image de la norme est le sous-groupe cyclique de K ∗ engendré par N (α). Or N (α) = α q s −1 q−1 . Comme α est d’ordre q s − 1, N (α) est d’ordre q − 1 donc engendre K ∗ . 9