A = C[X,Y]/(XY − 1)

Universit´ e Paul Sabatier Novembre 2014
Examen Partiel L3 Alg`ebre
Exercice 1. On consid` ere l’anneau quotient
A=C[X,Y]/(XY −1),
et on d´ esigne par xl’image de la variable Xdans A.
1) Montrer que xest inversible dans A. Montrer que tout ´ el´ ement
non nul ade As’´ ecrit de mani` ere unique sous la forme
a=xmP(x),
avec mun entier relatif, et P∈C[X]un polynˆ ome ` a coefficients
complexes dont le coefficient constant non nul. On note e(a)le
degr´ e de P.
2) Soient aet bdeux ´ el´ ements de A, avec b6=0. Montrer qu’il
existe qet rdans Atels que a=bq +ret r=0 ou e(r)<e(b).
3) En d´ eduire que Aest un anneau principal.
Exercice 2. Soit Aun anneau et f∈A. On pose
A[f−1] = S−1A
o` uS={fn|n∈N}d´ esigne le syst` eme multiplicatif engendr´ e par
f. On a donc un morphisme canonique
p:A→A[f−1],x7→ x
1.
Montrer qu’il existe un unique isomorphisme d’anneaux
ϕ:A[f−1]→A[X]/(f X −1)
tel que ϕ(a)co¨ ıncide avec la classe d’´ equivalence du polynˆ ome constant
apour tout a∈A.
Exercice 3. Soit Aun anneau commutatif unitaire.
1) Soient I⊂Aet J⊂Adeux id´ eaux de A. On suppose qu’il
existe x∈Iet y∈Jtels que 1 =x+y. Construire un isomor-
phisme d’anneaux canonique
A/I×A/J'A/I∩J.
2) On suppose ` a pr´ esent que Aest en outre principal. Soient aet b
deux ´ el´ ements de A, suppos´ es premiers entre eux (i.e. tels qu’au-
cun ´ el´ ement irr´ eductible de Ane divise ` a la fois aet b). D´ eduire
de la question pr´ ec´ edente l’existence d’un isomorphisme cano-
nique
A/(a)×A/(b)'A/(ab)
(le th´ eor` eme chinois).
1

2
Exercice 4. Soit Aun anneau commutatif unitaire, et Eun ensemble.
On note F(E,A)l’ensemble des applications E→A, muni de la
structure d’anneau d´ efinie par les formules :
(f+g)(x) = f(x) + g(x)et (f g)(x) = f(x)g(x)pour tout x∈E.
Lorsque E⊂A, on d´ efinit un morphisme d’anneaux :
e:A[X]→ F(E,A)
P7→ e(P),
o` u, pour un polynˆ ome P=a0+a1X+· · · +anXn, on note e(P)l’ap-
plication
x7→ P(x) = e(P)(x) = a0+a1x+· · · +anxn.
1) Montrer que, lorsque Aest un corps, si Eest infini, le mor-
phisme d’anneaux eest injectif.
2) On suppose que Aest int` egre et infini. Montrer que le mor-
phisme eest injectif.
3) Montrer que, lorsque Aest fini, le morphisme en’est jamais
injectif.
Exercice 5. Soit A=R[cos x, sin x]le sous-anneau de l’anneau des
fonctions r´ eelles ` a une variable form´ e des fonctions de la forme
f(x) = a0+a1cos x+b1sin x+· · · +ancosnx+bnsinnx
(avec a0et a1,b1, . . . , an,bndes nombres r´ eels, n∈N). Montrer que
les fonctions sin x, 1 +cos xet 1 −cos xsont des ´ el´ ements irr´ eductibles
de A. En d´ eduire que An’est pas un anneau factoriel (on pourra
consid´ erer plus particuli` erement la fonction sin2x). En d´ eduire l’exis-
tence d’un id´ eal J⊂R[X,Y]tel que le quotient R[X,Y]/Jne soit pas
factoriel.
Exercice 6. 1) Montrer que l’id´ eal (2, X)de Z[X]n’est pas princi-
pal.
2) Soit Aun anneau commutatif unitaire tel que l’anneau de po-
lynˆ omes A[X]soit principal. Montrer que Aest un corps.