Universit´
e Paul Sabatier Novembre 2014
Examen Partiel L3 Alg`ebre
Exercice 1. On consid`
ere l’anneau quotient
A=C[X,Y]/(XY 1),
et on d´
esigne par xl’image de la variable Xdans A.
1) Montrer que xest inversible dans A. Montrer que tout ´
el´
ement
non nul ade As’´
ecrit de mani`
ere unique sous la forme
a=xmP(x),
avec mun entier relatif, et PC[X]un polynˆ
ome `
a coefficients
complexes dont le coefficient constant non nul. On note e(a)le
degr´
e de P.
2) Soient aet bdeux ´
el´
ements de A, avec b6=0. Montrer qu’il
existe qet rdans Atels que a=bq +ret r=0 ou e(r)<e(b).
3) En d´
eduire que Aest un anneau principal.
Exercice 2. Soit Aun anneau et fA. On pose
A[f1] = S1A
o`
uS={fn|nN}d´
esigne le syst`
eme multiplicatif engendr´
e par
f. On a donc un morphisme canonique
p:AA[f1],x7x
1.
Montrer qu’il existe un unique isomorphisme d’anneaux
ϕ:A[f1]A[X]/(f X 1)
tel que ϕ(a)co¨
ıncide avec la classe d’´
equivalence du polynˆ
ome constant
apour tout aA.
Exercice 3. Soit Aun anneau commutatif unitaire.
1) Soient IAet JAdeux id´
eaux de A. On suppose qu’il
existe xIet yJtels que 1 =x+y. Construire un isomor-
phisme d’anneaux canonique
A/I×A/J'A/IJ.
2) On suppose `
a pr´
esent que Aest en outre principal. Soient aet b
deux ´
el´
ements de A, suppos´
es premiers entre eux (i.e. tels qu’au-
cun ´
el´
ement irr´
eductible de Ane divise `
a la fois aet b). D´
eduire
de la question pr´
ec´
edente l’existence d’un isomorphisme cano-
nique
A/(a)×A/(b)'A/(ab)
(le th´
eor`
eme chinois).
1
2
Exercice 4. Soit Aun anneau commutatif unitaire, et Eun ensemble.
On note F(E,A)l’ensemble des applications EA, muni de la
structure d’anneau d´
efinie par les formules :
(f+g)(x) = f(x) + g(x)et (f g)(x) = f(x)g(x)pour tout xE.
Lorsque EA, on d´
efinit un morphisme d’anneaux :
e:A[X]→ F(E,A)
P7e(P),
o`
u, pour un polynˆ
ome P=a0+a1X+· · · +anXn, on note e(P)l’ap-
plication
x7P(x) = e(P)(x) = a0+a1x+· · · +anxn.
1) Montrer que, lorsque Aest un corps, si Eest infini, le mor-
phisme d’anneaux eest injectif.
2) On suppose que Aest int`
egre et infini. Montrer que le mor-
phisme eest injectif.
3) Montrer que, lorsque Aest fini, le morphisme en’est jamais
injectif.
Exercice 5. Soit A=R[cos x, sin x]le sous-anneau de l’anneau des
fonctions r´
eelles `
a une variable form´
e des fonctions de la forme
f(x) = a0+a1cos x+b1sin x+· · · +ancosnx+bnsinnx
(avec a0et a1,b1, . . . , an,bndes nombres r´
eels, nN). Montrer que
les fonctions sin x, 1 +cos xet 1 cos xsont des ´
el´
ements irr´
eductibles
de A. En d´
eduire que An’est pas un anneau factoriel (on pourra
consid´
erer plus particuli`
erement la fonction sin2x). En d´
eduire l’exis-
tence d’un id´
eal JR[X,Y]tel que le quotient R[X,Y]/Jne soit pas
factoriel.
Exercice 6. 1) Montrer que l’id´
eal (2, X)de Z[X]n’est pas princi-
pal.
2) Soit Aun anneau commutatif unitaire tel que l’anneau de po-
lynˆ
omes A[X]soit principal. Montrer que Aest un corps.
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