chapitre I analyse combinatoire

2eme GP -GI
N.ZEGHICHI
Analyse combinatoire
1- objectif
2- caractéristiques d’expérience aléatoire
3- applications
4- arrangements
5- permutations
6- combinaisons
Coefficient d’ordre
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I-1: Objectif
Dans une expérience aléatoire on doit
déterminer l’:
- Ensemble de possibilités Ω
- Cardinal Ω : Card (Ω)=nombre de possibilités
Exemple:
On lance un Dé à six faces équilibrées
Ω={1;2;3;4;5;6}
Card (Ω)=6
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II-2 : Caractéristique d’une expérience
aléatoire
Dans une Expérience Aléatoire (EA)
- On ne peut pas prévoir le résultat en avance.
- Si l’expérience est répétée dans les mêmes
conditions ( identiques), elle peut donner lieu
à des résultats différents.
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Eléments de l’expérience aléatoire
 Effectifs
 n: effectif total
 P: nombre de tirage.
 L’ordre
Ordonnée (x,y)≠(y,x)
Non ordonnée (x,y)≠(y,x)
 La remise (répétitions)
 Avec remise
 sans remise
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Quelques mots clés
- Successivement (avec remise ou sans remise)
- Simultanément (sans remise)
- Distinct (sans remise)
A partir des 3 éléments on peut déterminer la
nature de l’expérience:
Application;
Arrangement;
Permutation
 ou Combinaison.
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Définition:
I-3 Application
Dans un ensemble de ‘n’ éléments on tire avec remise « P »
éléments qui sont ordonnés.
Avec remise +Ordonne= Application
Exemple 1.1:


De combien de façons peut on former un code de 4 chiffres.
n=10 (les chiffre de 0 à 9); P=4
Ordre: ordonnée (1234 ≠4321)
Remise : avec remise (1122 :répétition des chiffres)
Donc c’est une application:
Le nombre de possibilités de former le code:
Card (Ω)= 104 =10000 façons.
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Définition:
I-4: Arrangement
Dans un ensemble de ‘n’ éléments on tire sans remise « P » éléments qui sont ordonnés.
Sans remise +Ordonne= Arrangement
n!
A 
(n  p)!
P
n
Successivement sans remise
Exemple 1.2:


De combien de façons peut on former un code de 4 chiffres distincts.
n=10 (les chiffre de 0 à 9); P=4
Ordre: ordonnée (1234 ≠4321)
Remise : sans remise (pas de répétition des chiffres)
Donc c’est un arrangement:
Le nombre de possibilités de former le code avec chiffre distincts:
Card (Ω)=
A104 
10!
(10  4)!
En utilisant la calculatrice : n
10
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Définition:
I-5: Permutation
Dans un ensemble de ‘n’ éléments on tire à la fois « n » éléments
qui sont ordonnés.
(n=p) +Sans remise +Ordonne= permutation
A  n!
n
n
Exemple 1.3:
 De combien de façons peut on former un code de 10 chiffres
distincts.
- n=10 (les chiffre de 0 à 9); p=10 , n=P
- Ordre: ordonnée (1234 567890≠4321056789)
- Remise : sans remise (pas de répétition des chiffres)
- Donc c’est une permutation:
 Le nombre de possibilités de former le code avec chiffre distincts:
Card (Ω)= 10!=
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Définition:
I-6: Combinaison
Dans un ensemble de ‘n’ éléments on tire sans remise « P » éléments qui sont
non ordonnés.
Sans remise +Non Ordonne= combinaison
n
n!
   CnP 
p!(n  p)!
 p
Simultanément sans remise
Exemple 1.4:
 Dans un ensemble de 10 hommes et 20 femmes on veut former un groupe de 5
personnes,
 Combien de groupes peut on former
n=30, P=5, Sans remise(un homme ou une femme ne peut pas etre choisi deux fois),
non ordonnée (le classement de chois n’est pas important); donc c’est une
combinaison.
n
30!
30.29.28.27.26.25!
Card (Ω)=    C 5 

30
 p
5!(30  5)!
 
En utilisant la calculatrice : n
30
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5!.25!
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Coefficient d’ordre
Exemple 1.5
Soit une urne contenant 4 boules rouges et 3
boules vertes .On tire successivement sans
remise 3 boules.
1- A « nombre de cas possibles »
7!
3
A

Cad (A)= 7
(7  3)!
2- B « obtenir 2 rouges et une Verte »
2
1
2
1
Card (B)= A4 . A3 .C3 .C1
C32 .C11 Coefficient d’ordre
Même procédure si on tire successivement avec remise (application)
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