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2) Théorème 2 : Cas d’une fonction strictement monotone
Soit une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle
[ ; ]. Pour tout réel compris entre et il existe un unique réel
tel que .
Autrement dit l’équation admet une unique solution appartenant à
l’intervalle [ ; ].
Démonstration :
La fonction étant continue sur l’intervalle [ ; ], le théorème 1 nous permet d’affirmer
qu’il existe au moins un réel tel que pour tout réel compris entre et
La fonction étant strictement monotone sur l’intervalle [ ; ] on a pour tout
[ ; ], tel que ,
On peut donc en conclure que le réel est unique.
Illustration :
Remarque :
Pour démontrer que l’équation a une unique solution sur l’intervalle [ ; ] , il
suffit de démontrer que est continue et strictement monotone sur [ ; ] et que est
compris entre () et ().