2015-Algebre-1-avec-exercices

Algèbre 1
Semestre d’hiver 2015/2016
Université du Luxembourg
Gabor Wiese1
[email protected]
Version du 14 janvier 2016
1Je remercie Agnès David pour sa collaboration à une version antérieure.

Table des matières
Table des matières 2
Préface............................................. 3
Littérature........................................... 4
I Introduction aux mathématiques à l’université 5
1 Les démonstrations et les premiers mots du langage mathématique . . . . . . . . . . 5
2 Logiqueélémentaire .................................. 22
3 Ensembles........................................ 28
4 Applications et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Relationsbinaires.................................... 43
II Systèmes de nombres et structures algébriques 49
6 Les entiers naturels N.................................. 49
7 Groupes......................................... 60
8 Lesentiersrelatifs.................................... 64
9 Anneaux......................................... 68
10 L’anneau des entiers relatifs revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11 Lesnombresrationnels................................. 79
III Débuts de la théorie des groupes 83
12 Sous-groupes ...................................... 83
13 Homomorphismes.................................... 87
14 Le théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
15 Ordres.......................................... 94
16 Sous-groupes distingués et quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
17 Actionsdegroupes ................................... 105
18 Les théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV Objets de base de l’algèbre linéaire abstraite 117
19 Espacesvectoriels.................................... 117
20 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
21 Basesetdimension ................................... 124
22 Homomorphismes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
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TABLE DES MATIÈRES 3
Préface
L’algèbre, qu’est-ce que c’est? Historiquement, on entend par « algèbre » l’étude des équations po-
lynomiales. Au cours des 2000 ans de cette étude, les gens se sont aperçus que certaines structures
revenaient très souvent, et de plus, dans des contextes tout à fait différents! Depuis, les algébristes
s’occupent aussi de l’étude et du développement de ces structures, ainsi que, évidemment, de leurs
applications dans d’autres domaines en sciences, ingénierie et mathématiques. Le cours Algèbre 1
sera consacré à une introduction aux structures algébriques fondamentales : les groupes, les anneaux,
les corps, ainsi qu’aux espaces vectoriels (d’un point de vue plus général que dans le cours d’algèbre
linéaire). Ces structures seront illustrées par des exemples et, parfois, des applications. Les règles et
les méthodes les plus importantes concernant les démonstrations mathématiques seront enseignées et
pratiquées.
En Algèbre 2, nous approfondirons la théorie des anneaux et traiterons quelques compléments au
cours d’algèbre linéaire. En Algèbre 3, nous traiterons la théorie des corps. Le cours culminera au
quatrième semestre par la Théorie de Galois, qui nous permettra de démontrer la constructibilité ou
inconstructibilité à la règle et au compas de certains problèmes de l’Antiquité et l’impossibilité de
résoudre l’équation générale de degré au moins 5par radicaux.
Littérature
Pour le début, qui est sans doute la partie la plus difficile, je recommande les livres suivants qui
devraient être disponibles dans la bibliothèque au Kirchberg.
•Schichl, Steinbauer : Einführung in das mathematische Arbeiten.
•Scharlau : Schulwissen Mathematik : Ein Überblick, Vieweg, 3rd ed., 2001.
•Cramer : Vorkurs Mathematik : Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen,
Springer, 2012.
•Fritzsche : Mathematik für Einsteiger Spektrum.
Voici quelques références : ces livres devraient également être disponibles dans la bibliothèque au
Kirchberg.
•Lelong-Ferrand, Arnaudiès : Cours de mathématiques, Tome 1, Algèbre. Dunod. Ce livre est
très complet et très détaillé. On peut l’utiliser comme ouvrage de référence.
•Siegfried Bosch : Algebra (en allemand), Springer-Verlag. Ce livre est très complet et bien
lisible.
•Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’al-
gèbre; on y trouve beaucoup de sujets rassemblés, écrits de façon concise.
•Siegfried Bosch : Lineare Algebra, Springer-Verlag.
•Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer : Algebra.

4 TABLE DES MATIÈRES
•Christian Karpfinger, Kurt Meyberg : Algebra : Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum Akademi-
scher Verlag.
•Gerd Fischer : Lehrbuch der Algebra : Mit lebendigen Beispielen, ausführlichen Erläuterungen
und zahlreichen Bildern, Vieweg+Teubner Verlag.
•Gerd Fischer : Lineare Algebra : Eine Einführung für Studienanfänger, Vieweg+Teubner Ver-
lag.
•Gerd Fischer, Florian Quiring : Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie : Das
Wichtigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium, Springer Vieweg.
•Perrin : Cours d’algèbre, Ellipses.
•Guin, Hausberger : Algèbre I. Groupes, corps et théorie de Galois, EDP Sciences.
•Fresnel : Algèbre des matrices, Hermann.
•Tauvel : Algèbre.
•Combes : Algèbre et géométrie.
•Godement : Cours d’algèbre.

Chapitre I
Introduction aux mathématiques à
l’université
1 Les démonstrations et les premiers mots du langage mathématique
Objectifs de cette section :
•Comprendre le concept de démonstration;
•comprendre les concepts de définition, lemme, proposition, théorème;
•faire connaissance avec des exemples de démonstrations directes et indirectes;
•faire connaissance avec des exemples de définitions, lemmes, propositions, théorèmes;
•maîtriser la manipulation d’équations simples;
•maîtriser l’utilisation des indices, des sommes et des produits;
•maîtriser les démonstrations par récurrence.
Une grande partie du contenu de cette section a déjà été traitée dans le cours de M. Schlenker pendant
la semaine préparatoire. On donnera donc parfois moins de détails au cours.
Quelques mots au début – Aller Anfang ist schwer... und leicht
Le début des études de mathématiques est (comme Schichl et Steinbauer l’écrivent dans Einführung
in das mathematische Arbeiten)
•très difficile, du fait de l’abstraction (définition, proposition, démonstration) et de l’utilisation
d’un langage particulier, le langage mathématique,
•facile, car une grande partie des sujets a déjà été traitée au lycée.
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