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poly TD

Licence 1 (MIPI & PCGI)
Concepts et Méthodes de la Physique
Polycopié d’exercices
Année universitaire 2017-2018
Pierre et Marie Curie dans leur laboratoire en 1906.
2
Avant-propos
Ce fascicule regroupe des exercices se rapportant au cours de l’U.E. 1P001/1P002 « Concepts et Méthodes
de la Physique ». Il est divisé en chapitres identiques à ceux du polycopié de cours. De la même façon que
pour le cours, les chapitres n’ont pas tous le même volume. Les chapitres 3 et 4 proposent plus d’exercices
que les autres et demandent par conséquent d’y passer plus de temps.
• Chapitre 1 : La démarche du physicien
• Chapitre 2 : Grandeurs physiques, dimensions et unités
• Chapitre 3 : Des systèmes qui évoluent dans le temps
• Chapitre 4 : Des systèmes qui évoluent dans le temps et dans l’espace
– Cinématique : décrire le mouvement
– Dynamique : les lois du mouvement et de l’équilibre
– Dynamique : le point de vue énergétique
• Chapitre 5 : Des systèmes complexes
environ 2 séances
environ 4 séances
environ 6 séances
2 séances
2 séances
2 séances
hors programme 1
Certains exercices sont considérés comme des révisions ou des pré-requis, ils devront être faits par
l’étudiant-e à la maison et ne seront a priori pas corrigés en TD. Ils pourront faire l’objet d’un rapide
contrôle en début de séance. Ces exercices sont repérés par le symbole - .
D’autres exercices seront systématiquement corrigés en TD dans tous les groupes, ils font partie des
« incontournables » et sont repérés par le symbole b . Ils doivent impérativement avoir été préparés
avant la séance de TD.
Enfin une dernière catégorie correspond à des exercices supplémentaires qui seront éventuellement traités
en TD en fonction du temps disponible. À défaut ils pourront être utilisés par l’étudiant-e pour son travail
personnel. Ils sont repérés par le symbole ﬂ .
Certains exercices demandent a priori plus de réflexion, ils sont repérés par le symbole I . Cela ne veut
en aucun cas dire que l’étudiant-e ne doit pas chercher, mais seulement qu’il est normal que cela lui demande
plus d’eﬀorts.
Les symboles pour repérer les exercices
b
ﬂ
I
les exercices à faire seul-e chez soi, qui ne seront a priori pas corrigés en TD.
les exercices incontournables qui sont à préparer avant le TD et seront vus en TD
par toutes les sections.
les exercices pour s’entrainer ou « pour aller plus loin ».
permet de repérer les exercices plus délicats.
Corrolaire : I ne peut cohabiter avec - .
1. À partir de l’année universitaire 2016-2017, le chapitre 5 est devenu hors programme. Les exercices sont proposés pour
ceux qui veulent aller plus loin (ﬂ ).
3
4
CHAPITRE
1
La démarche du physicien
1.1
b Étudier un système physique
1. Quelles sont les diﬀérentes échelles auxquelles s’intéresse la physique ?
2. Donner les échelles caractéristiques de la taille d’un noyau atomique, d’un atome, d’une molécule, d’une
cellule, de la Terre, d’une galaxie, de l’Univers observable.
3. Quelle est la diﬀérence entre un modèle et une théorie ?
4. Quelle démarche suit le physicien ? En quoi cela diﬀère-t-il d’autres sciences comme les mathématiques ?
1.2
b Ordres de grandeur
1. Donner un ordre de grandeur du nombre de secondes dans une année terrestre, du nombre de mètres
dans une année-lumière.
2. Un atome d’hydrogène est composé d’un proton et d’un électron séparés par la distance moyenne a0
(rayon de l’orbite de Bohr). Comparer les forces d’interaction électrostatique et gravitationnelle entre
les deux particules.
Données, dans le système international :
Quantité physique
Rayon de Bohr
Constante de gravitation
Constante de Coulomb
Charge du proton
Masse du proton
Masse de l’électron
Valeur
a0 = 0, 53 ⇥ 10 10
G = 6, 67 ⇥ 10 11
k = 8, 99 ⇥ 109
e = 1, 60 ⇥ 10 19
mp = 1, 67 ⇥ 10 27
me = 0, 91 ⇥ 10 30
Unité S.I.
m
kg 1 .m3 .s 2
m3 .kg1 .s 4 .A
C
kg
kg
2
3. Comparer le poids de l’électron et celui du proton à l’interaction gravitationnelle estimée à la question
précédente.
4. Distance entre deux atomes dans un gaz.
Un récipient de volume V contient n molécules de gaz.
(a) Que vaut v, le volume moyen occupé par une molécule ?
(b) Faire un schéma illustrant V , n, et v, en déduire d, la distance moyenne entre deux molécules.
Données numériques : V = 22, 4 L ; n = 6 ⇥ 1023
5. Un noyau atomique de nombre de masse A a un rayon de l’ordre de r0 ⇥ A1/3 , où r0 = 1, 3 fm est le
rayon d’un nucléon (proton ou neutron).
(a) En supposant que le noyau a une forme sphérique, donner l’expression de son volume V en fonction
de r0 et de A, puis en fonction de A et v le volume moyen occupé par un nucléon.
5
1 LA DÉMARCHE DU PHYSICIEN
(b) En déduire que ce résultat, et donc la loi en A1/3 , est cohérent avec l’hypothèse d’une répartition
homogène de la matière nucléaire au sein du noyau, en supposant toujours qu’il a une forme
sphérique.
(c) Calculer la masse volumique nucléaire en supposant que la masse d’un neutron est la même que
celle d’un proton.
(d) Estimer le rayon RS qu’aurait le soleil s’il n’était composé que de cette matière. On donne la masse
du soleil MS = 2 ⇥ 1030 kg.
1.3
ﬂ Ordres de grandeur
1. En supposant que le corps humain est est constitué à 70 % d’eau et à 30 % de carbone, donner un ordre
de grandeur du nombre d’atomes dans le corps humain (pour lequel vous choisirez une masse appropriée)
Réponse : Nombre total d’atomes ⇠14500 mol, soit environ 1028 .
2. On estime qu’il y a entre 500 et 100 000 espèces de bactéries diﬀérentes vivant dans le corps humain. Les
cellules bactériennes sont beaucoup plus petites que les cellules humaines ; il y a environ mille millions
de millions de bactéries dans le corps, dix fois plus que de cellules humaines. Bien que la flore normale
se situe sur toutes les surfaces exposées à l’environnement (peau, yeux, nez, intestin grêle et côlon), la
grande majorité des bactéries se situe dans le gros intestin. Calculer la masse des bactéries occupant
votre corps sachant que la masse moyenne d’une bactérie est de 10 16 kg. En supposant que votre corps
est principalement constitué de cellules, donner une estimation de la masse moyenne d’une cellule.
Réponse : masse moyenne d’une cellule humaine = 10
dans l’énoncé
1.4
12
kg
masse typique d’une bactérie donnée
b Confrontation de la théorie à l’expérience
Cet exercice peut vous paraître déroutant : "je ne vois pas ce qu’on attend de moi" ; l’idée est avant tout
de vous faire prendre conscience qu’une mesure sans erreurs ne veut rien dire. Comme pour la plupart des
exercices, la lecture de l’ensemble du texte permet souvent de mieux comprendre ce qui est demandé.
Discuter les éléments suivants à l’aune de ce que vous savez de la relation théorie – expérience en physique.
1. Le professeur Tournesol 2 a estimé que la fusée X-FLR 6 devait emporter à son bord 300 kg de combustible liquide pour aller sur la Lune. Le premier essai de vol montre qu’il en a fallu 295 kg. Que faut-il
en conclure ?
2. La masse du combustible liquide de la fusée est estimée grâce à un système de mesure dont le fabricant
précise qu’il a une précision relative de 0,5%. Est-il possible de dire que l’estimation du Prof. Tournesol
est fausse ?
3. Si la masse de combustible mesurée lors de cet essai avait été de 299, 9 kg, aurait-il été possible de dire
que cette estimation était correcte ?
4. De manière générale, en quoi consiste une mesure en physique ? À quoi sert-elle ?
1.5
b (1. et 2.) ﬂ I Loi de Hubble
En 1915, un astronome américain Vesto Slipher remarqua une dilatation du spectre de la lumière émise
par les galaxies vers les grandes longueurs d’ondes. Ce décalage vers le rouge est appelé en anglais redshift.
Plusieurs années plus tard, en 1929, l’astrophysicien américain Edwin Hubble relia la dilatation spectrale
relative z = ( r
s )/ s d’une galaxie à sa distance d selon la loi c z = Hd. r et s sont respectivement la
longueur d’onde émise par la source et celle observée, et c est la vitesse de la lumière.
Les distances astronomiques sont souvent exprimées en parsecs (1 pc = 3.08 ⇥ 1016 m) ou en années-lumière.
1. Quelle est la dimension de z ? De la constante H ?
2. Célèbre personnage fictif, grand scientifique, créé par Hergé, dans ses albums de bandes dessinées les Aventures de Tintin.
6
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
2. À partir de la Fig. 1, estimer une valeur de H (en unités SI ). Comparer avec la valeur connue de
H ' (72 ± 9) km.s 1 .Mpc 1 .
3. Hubble attribua la dilatation spectrale z à l’eﬀet Doppler-Fizeau, qui induit le décalage de la longueur
d’onde d’une onde acoustique ou électromagnétique lorsque la distance entre l’émetteur et le récepteur
varie au cours du temps. On a alors ve = c z où ve est la vitesse d’éloignement. Quelle est la vitesse
d’éloignement pour une galaxie située à 200 Mpc ?
4. Quelle interprétation peut-on en tirer ? Calculer H
en Gyr (Giga year ).
1
et en déduire une estimation de l’âge de l’univers
Compléments – La distance de Hubble donnée dans le polycopié de cours (chapitre 1, Fig. 1) est obtenue en multipliant cet
âge par la vitesse de la lumière c. On obtient ainsi l’ordre de grandeur de la taille de l’Univers observable. En multipliant
ensuite par la masse volumique moyenne de l’Univers – estimée par diﬀérentes méthodes instrumentales trop compliquées
pour être expliquées ici – on obtient l’ordre de grandeur de la masse de l’Univers observable (chapitre 1, Fig. 2).
Les galaxies les plus lointaines actuellement observées ont émis leur lumière lorsque l’Univers était très
jeune, âgé seulement d’environ 500 millions d’années.
5. La vitesse de récession (éloignement) de la galaxie M51, dite du tourbillon (whirlpool en anglais), est
de 640 km.s 1 . Calculer sa distance. Quelle est l’âge de la lumière reçue ? Pourquoi cette galaxie ne
fait-elle pas partie des objets astrophysiques de l’Univers jeune ?
Réponses : 1. z est sans dimension. H est homogène à l’inverse d’un temps ; 2. le graphique donne H '
75 km.s 1 .Mpc 1 soit dans le système S.I. : H ' 2, 4 ⇥ 10 18 s 1 ; 3. ve = 15000 km/s ; 4. Les distances
qui séparent les galaxies augmentent au cours du temps, donc l’univers est en expansion. L’univers a environ
14 milliards d’années ; 5. d = 9 Mpc ; la lumière reçue a été émise il y a 30 millions d’années environ, ce
qui est peu devant l’âge de l’univers.
Figure 1 – Loi de Hubble
7
1 LA DÉMARCHE DU PHYSICIEN
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin du chapitre 1 :
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
– Savoir donner un sens précis au vocabulaire scientifique introduit dans le chapitre : physique, universalité,
théorie, loi, modèle, expérience, mesure, reproductibilité, complexité ;
– intégrer la notion de domaine de validité d’une loi, d’une théorie ;
– connaître des ordres de grandeur caractéristiques des diﬀérentes échelles de longueur, de durée et de
masse, du microscopique au macroscopique donnés dans les Figures 1 et 2 du polycopié de cours ;
– connaître la structure d’un atome, savoir utiliser les numéro atomique et nombre de masse Z et A, savoir
définir un élément chimique, un isotope, un ion ;
– connaître la définition de l’unité de masse atomique et sa valeur approximative ;
– connaître l’expression vectorielle de la force gravitationnelle entre deux masses ponctuelles, et de la force
électrostatique entre deux charges ponctuelles. Connaître la valeur approximative de la constante de
Newton et de la constante K apparaissant dans la force électrostatique. Connaître la valeur de la charge
élémentaire ;
– connaître les constituants éléments de la matière : protons, neutrons, électrons, quarks ;
– pouvoir nommer les quatre interactions fondamentales et donner des exemples de leur manifestation.
Avoir des notions sur la cohésion de la matière aux diﬀérentes échelles : à quelle échelle la cohésion est-elle
assurée par l ?interaction forte, électrostatique ou gravitationnelle ? Comprendre qu’à certaines échelles
les interactions fondamentales se manifestent sous la forme de force résiduelle à la description plus simple,
comme par exemple les forces de frottements (interaction électromagnétique à notre échelle).
8
CHAPITRE
2
Grandeurs physiques, dimensions et unités
Avant de commencer ce chapitre, il est vivement conseillé de réviser les outils mathématiques suivants,
étudiés au lycée :
– Manipulation des puissances de 10 ;
– manipulation des exposants : xa ⇥ xb = xa+b , (xa )b = xab , ... ;
– usage de la relation xa = ea ln x ;
– les fonctions exp et ln : principales propriétés, limites, valeurs particulières, dérivées et représentations
graphiques (ce sera nécessaire pour le chapitre suivant) ;
voir l’encadré 1 « logarithme et exponentielle » page 29 du polycopié de cours.
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
– Savoir donner un sens précis au vocabulaire scientifique introduit dans le chapitre : grandeur physique,
dimension, unité, homogénéité d’une relation, équation aux dimensions, analyse dimensionnelle ;
– connaître la valeur approximative de la vitesse de la lumière dans le vide, c ' 3, 0 ⇥ 108 m.s
1
;
– connaître la définition de la mole et de la valeur approximative du nombre d’Avogadro, NA ' 6, 0 ⇥
1023 mol 1 ;
– connaître les unités du système international (S.I.), les principaux multiples et sous-multiples ;
– connaître quelques unités importantes hors S.I. : fermi, angström, unité astronomique, année-lumière,
minute, heure, année, tonne ;
– pouvoir donner l’unité S.I. d’une grandeur à partir de sa dimension ;
– savoir utiliser l’analyse dimensionnelle pour vérifier l’homogénéité d’une formule ou déterminer la
dimension d’une grandeur physique inconnue ;
voir fiche 1 « Utiliser l’analyse dimensionnelle (1) – homogénéité » page 30 du polycopié
de cours ;
– compétence plus avancée : savoir identifier dans des cas simples une loi d’échelle à partir de l’analyse
dimensionnelle ;
voir fiche 2 « Utiliser l’analyse dimensionnelle (2) – loi d’échelle » page 31 du polycopié de
cours.
9
2 GRANDEURS PHYSIQUES, DIMENSIONS ET UNITÉS
2.1
- Dimension d’une grandeur physique
En physique, plusieurs grandeurs fondamentales suﬃsent à exprimer toutes les autres grandeurs en fonction de ces premières. Les sept grandeurs physiques de base, donc indépendantes, sont définies dans le cours.
1. En s’appuyant sur des propriétés ou des lois physiques connues, déterminer les dimensions des grandeurs
suivantes : vitesse, accélération, quantité de mouvement, force, énergie cinétique, travail d’une force,
puissance (on précisera dans chaque cas l’unité de cette grandeur dans le système international et son
unité usuelle le cas échéant).
2. Vérifier que les expressions F ` cos ✓, mgz, 12 mv 2 , 12 kx2 représentent une forme d’énergie si F désigne
une force, z une altitude, ✓ un angle, x et ` des longueurs, m une masse, v une vitesse, k la constante
de raideur d’un ressort.
Indications : dans l’éventualité où vous ne connaîtriez pas la force de rappel d’un ressort, vous pourrez retrouver la dimension de k en vous aidant de fiche 2 page 31 du polycopié de cours.
2.2
- Ne confondons pas unité et dimension...
Montrer que les unités suivantes : N.m, kWh, g.cm2 .s 2 correspondent à une seule et même dimension.
Quels facteurs permettent de passer d’un système d’unités à l’autre ?
Réponse : toutes ces unités correspondent à une énergie dont l’unité SI est le Joule : J.
1 N.m = 1 J ; 1 kWh = 3,6 MJ ; 1 g.cm2 .s 2 = 10 7 J.
2.3
b Homogénéité d’une formule littérale
En raisonnant sur l’homogénéité des formules, et pour chacune des situations ci-dessous, dire quelle est
la formule plausible entre les formules proposées :
1. L’angle ✓ par rapport à la verticale dont s’écarte un pendule conique de longueur l, de masse m, tournant
à la vitesse angulaire ! autour d’un axe vertical, g étant l’accélération de la pesanteur, s’exprime sous
la forme :
mg
g
mg
cos ✓ = 2 ou cos ✓ = 2 ou sin ✓ = 2 .
! l
! l
! l
2. L’altitude h d’un satellite sur une orbite circulaire de rayon R autour de la Terre (R = h + RT où RT
est le rayon de la Terre) en fonction de sa période T sur son orbite et de l’accélération de la pesanteur
au niveau du sol g, s’exprime sous la forme :
r
r
r
2 2
2 2
4 2 2
3 T R
3 T R g
3 T R g
h=
R
ou
h
=
R
ou
h
=
RT
T
T
4⇡ 2
4⇡ 2
4⇡ 2
3. La portée horizontale x du tir d’un projectile de masse m dont la vitesse initiale ~v fait un angle ↵ avec
l’horizontale s’exprime sous la forme :
x=
mv 2 g sin 2↵
v 2 g sin 2↵
v 2 tan 2↵
v 2 sin2↵
ou x =
ou x =
ou x =
g
g
g
g
Indication : deux des expressions sont homogènes mais l’une peut être mise en défaut en utilisant votre
"sens physique"
2.4
- Équations aux dimensions
Trouver, à une constante multiplicative près (indication : voir fiche 2 page 31 du polycopié de cours.), les
relations donnant respectivement :
1. la vitesse v de propagation d’une onde dans une corde de masse linéique
et soumise à la force de tension T .
(masse par unité de longueur)
2. la force de poussée d’Archimède, en fonction du volume V du corps immergé, de la masse volumique ⇢
du fluide et du champ de pesanteur g.
10
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
3. l’équivalence entre masse au repos m, vitesse de la lumière c et énergie E (formule d’Einstein).
4. la fréquence d’oscillation ⌫ d’un mobile de masse m accroché à un ressort de constante de raideur k.
Réponses : 1. v = C1
sans dimension.
2.5
p
T / ; 2. PA = C2 ⇢V g ; 3. E = C3 mc2 ; 4. ⌫ = C4
p
k/m, avec Ci une constante
ﬂ Partie I du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2015
(Propulsion aquatique)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, présente le même type de diﬃculté que
l’exercice 2.4, vous êtes donc encouragé-e à le consulter pour vous assurer que vous avez assimilé le raisonnement.
Réponses : 2. Fturb = C1 v 2 r2 ⇢ ; 3. r = r2 : dimension d’une surface. La force dépend de la section de l’animal
oﬀerte au fluide ; 5. On trouve typiquement quelques 103 N ; 9. et 10. = 1 et ✏ = 1 ; 11. [⌘] = M.L 1 .T 1
(unité S.I. kg.m 1 .s 1 ) ; 12. Fvisc ' 2 10 14 N.
2.6
b Précision et chiﬀres significatifs : mesure de la longueur d’un crayon
La longueur d’un crayon est mesurée à l’aide d’un double décimètre et la valeur lue est entre 14,1 et
14,2 cm, plus proche de 14,1. Ci-dessous, diﬀérentes propositions pour transcrire cette mesure :
14,15 cm
141 mm
0,1415 m
0,14150 m
ou
14,1 cm
1. Quel est le nombre de chiﬀres significatifs de chacune de ces notations ?
2. Quelle est l’écriture qui transcrit le mieux la mesure ?
Pour améliorer la précision de cette mesure, il est possible d’imaginer un protocole expérimental dans lequel
10 crayons identiques sont alignés bout à bout.
3. Que donnerait la mesure de la longueur totale de ces 10 crayons ?
4. Quel est l’intérêt de mesurer la longueur de 10 crayons pour déterminer la longueur d’un crayon ?
Indication : Reportez-vous au polycopié de TP où l’intérêt de mesurer la durée de 10 périodes plutôt que celle
d’une seule est discuté.
5. Le double décimètre est-il adapté à cette nouvelle mesure ?
6. Y aurait-il un intérêt à faire 10 mesures de la longueur d’un même crayon ?
2.7
b Précision et chiﬀres significatifs : mesure des dimensions d’une table
Un catalogue de mobilier donne les dimensions du plateau rectangulaire d’une table : 160 cm ⇥ 80 cm.
1. Calculer le périmètre de la table et donner le résultat avec un nombre de chiﬀres significatifs cohérent.
2. De la même façon, calculer la surface de la table.
2.8
- Le pendule - limite des oscillations de faible amplitude
Un pendule simple est animé d’un mouvement périodique d’oscillation dans un champ gravitationnel
uniforme. L’amplitude des oscillations est considérée comme très petite. Il s’agit de montrer qu’il est possible
d’obtenir des informations sur la période T du mouvement sans référence explicite à l’équation du mouvement.
Indication : cet exercice est traité dans le poly de cours.
1. Quels sont les paramètres pertinents du système dont va dépendre la période T ?
2. Trouver la relation entre T et ces paramètres à l’aide d’une analyse dimensionnelle.
Réponses : paramètres pertinents
: masse m, champ de pesanteur caractérisé par l’accélération de la pesanteur
p
g, longueur du fil `. T = C `/g.
11
2 GRANDEURS PHYSIQUES, DIMENSIONS ET UNITÉS
2.9
b Expérience de Cavendish
Dans l’expérience proposée par le physicien anglais Henry Cavendish en 1798 on utilise un pendule de
torsion. Il s’agit d’un fil mécanique vertical dont une extrémité est fixe, et l’autre solidaire d’une tige légère de
longueur 2 l et ici de masse négligeable. Cette tige porte à ses extrémités, A et B, deux masselottes identiques
de masse m. La tige (horizontale) peut ainsi tourner autour de l’axe vertical que matérialise le fil, lequel
exerce des actions qui tendent à ramener celle-ci vers la position de repos.
En approchant de A et B de manière symétrique simultanément deux boules identiques de masse M ,
on provoque la rotation du pendule de torsion qui adopte une nouvelle position d’équilibre A0 B 0 définie par
l’angle ↵ = (AB, A0 B 0 ). La cause de la rotation de la tige est la force attractive de gravitation qui s’exerce
respectivement entre chacune des masselottes placées en A et B et chacune des boules de masse M .
1. Quelle est l’expression de l’intensité de la force de gravitation Fg s’exerçant entre une masselotte et la
boule correspondante, leurs centres respectifs étant distants de r ? Donner l’unité S.I. et la dimension
de chacune des grandeurs intervenant dans son expression.
2. L’angle ↵ est donné par l’équation suivante dans laquelle C est la constante de torsion du fil :
GmM
l = C↵.
r2
(a) Quelle est la dimension de C ?
(b) Calculer la valeur de la constante de Newton G, sachant que pour m = 60, 0 g, M = 40, 0 kg,
r = 21, 6 cm, l = 25, 0 cm, et C = 6, 00 ⇥ 10 7 S.I., la mesure de ↵ a donné 1, 43 mrad.
3. L’expérience de Cavendish a parfois été dénommée, par abus de langage, « expérience de la pesée de la
Terre ». Pourquoi ?
2.10
ﬂ Énergie de rotation de la molécule HCl
Il s’agit ici d’étudier les mouvements de rotation de la molécule de HCl. Les masses respectives des atomes
H et Cl sont notées : mH et mCl . La distance R entre ces deux atomes est supposée constante.
1. La masse réduite de la molécule est égale à :
µ=
mH mCl
.
mH + mCl
Quelle est la dimension de µ ?
Note : la notion de masse réduite est couramment utilisée dans les problèmes à deux corps, le mouvement
des deux masses peut alors être réduit au mouvement d’un seul corps de masse égale à la masse réduite.
2. L’énergie de rotation Erot de la molécule HCl dépend de µ, R et de h, la constante de Planck. L’énergie de
rotation peut s’écrire sous la forme littérale : Erot = Cµ↵ R h , où C est une constante sans dimension.
(a) Quelle est la dimension d’une énergie E ? D’une fréquence ⌫ ?
(b) Sachant qu’une onde électromagnétique de fréquence ⌫ peut aussi être décrite comme un jet de
corpuscules (les photons) dont chacune possède l’énergie E = h⌫, déterminer la dimension de h.
(c) Déterminer par analyse dimensionnelle la valeur des paramètres ↵,
de Erot en fonction de µ, R et de h.
et . En déduire l’expression
2
h
Réponse : Erot = C µR
2.
2.11
ﬂ I Similitudes et loi de Kepler
Il s’agit ici d’établir la 3e loi de Kepler à l’aide de méthodes s’appuyant sur la similitude. Ces dernières
consistent à trouver les caractéristiques d’une situation se déroulant à une certaine échelle, à partir d’une
situation « similaire » à une autre échelle. Ce type de raisonnement est typiquement celui mis en œuvre pour
étudier le comportement des avions, des bateaux ou des sous-marins, à l’aide de maquettes. De façon générale,
lorsque deux situations sont similaires, il existe une correspondance entre les lois.
La 3e loi de Kepler relie la période T de l’orbite elliptique d’une planète autour du Soleil (de masse MS )
2
4⇡ 2
au demi grand-axe a de cette ellipse : Ta3 = GM
= Constante.
S
12
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
1. Démonstration par analogie dimensionnelle : une étoile de masse M coïncide avec l’origine O des coordonnées d’un repère Oxyz. Elle interagit par la force de gravitation avec une planète de masse m,
située en un point A. Sous l’eﬀet de cette force, la planète acquiert une trajectoire fermée et périodique
de période T dans Oxyz.
Rappels : la force de gravitation entre deux masses s’exprime sous la forme :
F~ =
G
!
mM
~r
~ur avec ~r = OA et ~ur =
r2
r
et la loi fondamentale de la dynamique s’écrit dans ce cas :
d2 !
r
=
dt2
GM
~ur .
r2
Précisons aussi que r et ~ur dépendent du temps. une écriture plus explicite (mais plus lourde) est donc :
!
d2 r(t)
=
dt2
GM
r(t)
ur (t).
2~
L’observation indique qu’il existe plusieurs trajectoires planétaires autour de l’astre de masse M . Cellesci sont homothétiques mais de périodes diﬀérentes. Une hypothèse peut être faite : si ~r1 (t) est une
solution du mouvement, alors ~r2 (t) = ↵~r1 ( t) en est une autre, pourvu que les facteurs d’échelle ↵ et
soient convenablement adaptés. Trouver la relation entre ces facteurs d’échelle pour que l’hypothèse
soit vérifiée. (Indication : utiliser le changement de variable t0 = t, la réponse est ↵3 2 = 1 ).
2. À l’aide du résultat précédent, retrouver la 3e loi de Kepler, c’est à dire que pour des trajectoires
elliptiques le rapport entre T 2 et a3 , est indépendant de la planète considérée.
3. Calculer, en années, les périodes de révolution de Mercure et de Neptune, dont les trajectoires approximativement circulaires sont caractérisées par des distances au Soleil valant respectivement : aM =
0, 39 au et aN = 30, 06 au, l’unité astronomique (symbole au) correspondant à la distance Terre-Soleil.
Réponses : TM = 0, 24 TT et TN = 165 TT , c’est à dire TM = 0, 24 yr et TN = 165 yr.
2.11.1
ﬂ Partie I du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2016
(Orbites des planètes autour d’une étoile)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion de faire un exercice supplémentaire pour vous assurer que vous avez bien assimilé la notion de loi d’échelle.
Réponses : 1. graphe (d), les points de données s’ajustent le long d’une droite de pente ↵ ; 2. TTT = ( aaT )↵ ;
3. Pour Uranus, cela donne 84, 0 = 19, 6↵ soit ↵ = ln 84, 0/ ln 19, 6 = 4, 5/3 = 1, 5 ; 4. et 5. cours ;
6. [T ] = [D] · [a]↵ · [Me ] · [G] , = 12 , ↵ = 3 = 32 et = = 12 ; 7. La loi d’échelle obtenue ci-dessus
Me
donne ( TTT ) = ( aaT ) 3/2 ( M
) 1/2 où MS est la masse du Soleil et T , a et Me les caractéristiques du système
S
Me
Me
WISE 1217+16ab, soit ( M
) = ( aaT )3 ( TTT ) 2 et donc ( M
) = 7, 63 /129, 82 ' 103 /104 = 0, 1, l’étoile WISE
S
S
1217+16A est donc moins massive que le Soleil.
13
2 GRANDEURS PHYSIQUES, DIMENSIONS ET UNITÉS
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
– Savoir donner un sens précis au vocabulaire scientifique introduit dans le chapitre : grandeur physique,
dimension, unité, homogénéité d’une relation, équation aux dimensions, analyse dimensionnelle ;
– connaître la valeur approximative de la vitesse de la lumière dans le vide, c ' 3, 0 ⇥ 108 m.s
1
;
– connaître la définition de la mole et de la valeur approximative du nombre d’Avogadro, NA ' 6, 0 ⇥
1023 mol 1 ;
– connaître les unités du système international (S.I.), les principaux multiples et sous-multiples ;
– connaître quelques unités importantes hors S.I. : fermi, angström, unité astronomique, année-lumière,
minute, heure, année, tonne ;
– pouvoir donner l’unité S.I. d’une grandeur à partir de sa dimension ;
– savoir utiliser l’analyse dimensionnelle pour vérifier l’homogénéité d’une formule ou déterminer la
dimension d’une grandeur physique inconnue ;
voir fiche 1 page 30 du polycopié de cours.
Objectifs avancés du chapitre :
Pour ceux qui souhaitent aller au-delà des objectifs de base, en particulier dans le but de poursuivre en
Licence de Physique, l’objectif avancé suivant est recommandé :
– savoir identifier dans des cas simples une loi d’échelle à partir de l’analyse dimensionnelle (comme dans
les exemples du pendule et de l’explosion d’une bombe atomique) ;
voir fiche 2 page 31 du polycopié de cours.
Outils mathématiques qu’il faut savoir utiliser à la fin de ce chapitre :
– Manipulation des puissances de 10 ;
– manipulation des exposants : xa ⇥ xb = xa+b , (xa )b = xab , ... ;
– usage de la relation xa = ea ln x ;
– les fonctions exp et ln : principales propriétés, limites, valeurs particulières, dérivées et représentations
graphiques (ce sera nécessaire pour le chapitre suivant) ;
voir l’encadré 1 page 29 du polycopié de cours.
14
CHAPITRE
3
Des systèmes qui évoluent dans le temps
Avant de commencer ce chapitre, il est vivement conseillé de réviser les outils mathématiques suivants,
étudiés au lycée :
– Les outils mathématiques à connaître à la fin du chapitre 2 si vous ne les maîtrisez pas encore ;
– les fonctions trigonométriques (voir encadré 2 « les fonctions trigonométriques » page 62 du
polycopié de cours) ;
– les règles de dérivation et d’intégration et l’interprétation graphique de ces deux opérations (voir encadrés 3 « dérivation » et 4 « primitives et intégration » pages 63-64 du polycopié de cours).
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
– Vous devez connaître les 3 évolutions simples qui ont été décrites : linéaire, exponentielle, sinusoïdale.
Ceci signifie connaître le vocabulaire associé et l’expression mathématique de l’évolution temporelle, être
capable de tracer la fonction Q(t) en mettant en évidence les caractéristiques importantes de la courbe ;
– dans les cas des évolutions linéaire et exponentielle, vous devez savoir comment chaque type d’évolution
peut être identifié à partir de données expérimentales et également connaître les propriétés de chaque
loi d’évolution concernant la variation absolue et relative de la grandeur pendant un intervalle de temps
donné. Vous devez connaître les deux équations diﬀérentielles qui conduisent à ces deux évolutions génériques. Pour chaque cas, vous devez pouvoir citer des exemples ;
voir fiche 3 « comparaison entre l’évolution linéaire et l’évolution exponentielle » page 59,
fiche 4 « utiliser les propriétés de l’évolution linéaire » page 60 et fiche 5 « utiliser les
propriétés de l’évolution exponentielle » page 61 du polycopié de cours ;
– vous devez connaître le concept d’échelle de temps caractéristique de l’évolution et pouvoir l’utiliser pour
faire des comparaisons ou des approximations ;
– vous devez connaître l’exemple de la radioactivité : définition, vocabulaire associé (radioactivité ↵ et ,
constante radioactive, demi-vie, activité), équation d’évolution et résolution dans le cas simple A ! B ;
– en complétant ce que vous avez appris au premier chapitre, vous devez savoir ce qu’est un modèle physique,
comment on le diﬀérencie d’une théorie, ce qu’est la notion de domaine de validité, ce qui fait la qualité
d’un modèle (comparaison aux résultats des expériences).
15
3 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS
3.1 Évolution linéaire
Voir les fiches méthodologiques 3 page 59 et 4 page 60 du polycopié de cours.
3.1.1
- Réaction chimique
Pour une réaction chimique d’ordre zéro, la vitesse de réaction est indépendante de la concentration molaire [A] du réactif, et on peut donc écrire : d[A]
dt = k, avec k la constante de vitesse.
Remarque : la notation [A] désigne bien, comme indiqué, la concentration molaire de l’espèce chimique A. Il
ne s’agit pas de la dimension de l’espèce, ce qui n’aurait aucun sens . . .
1. Quelle est la dimension de k, quelle est son unité S.I ?
Un exemple de réaction d’ordre zéro est la bougie brûlant à l’air. La quantité de cire qui brûle par seconde
est la même du début à la fin de la combustion, et elle ne dépend pas de la hauteur de la bougie, ni de la
masse d’air présente. Pour une bougie cylindrique la variation de la hauteur par unité de temps est donc
constante. Notons k cette variation.
2. Quelle est la dimension de k ? Quel est son signe ?
3. Quelle est l’équation diﬀérentielle qui décrit l’évolution de la hauteur h(t) de la bougie au cours du
temps ? La bougie a initialement une hauteur h0 , décrire et tracer l’évolution de la hauteur d’une
bougie brûlant à l’air en fonction du temps.
Réponses et indications :
1. [k] =Quantité de matière⇥L 3 ⇥ T 1 , l’unité S.I. correspondante est mol.m 3 .s 1 .
2. [k] = L ⇥ T 1 , k < 0, la hauteur de la bougie diminue.
3. Faire figurer la hauteur initiale de la bougie, et la limite de validité de la solution de l’équation diﬀérentielle, intervalle de temps durant lequel la solution de l’équation diﬀérentielle a un sens physique.
3.1.2
b Fusion de la glace
Un mélange d’eau liquide et de glace (eau solide) est fait à 0 C. À un instant précis, pris comme instant
initial, le mélange est mis en contact avec un milieu extérieur à la température de 20 C. Dans ces conditions,
un flux de chaleur (énergie) constant passe de l’extérieur vers le mélange, et entraine la fusion d’une masse
croissante de glace.
La fusion d’une masse unitaire de solide requiert un apport d’énergie fixé, qui ne dépend que de la
substance et qui est nommé chaleur latente L. À 0 C, la chaleur latente de fusion de la glace (eau solide)
est de 333 kJ.kg 1 .
La quantité d’eau liquide est initialement de 10 L, correspondant à une masse M0 , la masse de glace
initialement présente est de mg0 est de 1, 4 kg.
1. Écrire la relation entre une masse de glace donnée mg et la quantité d’énergie E nécessaire à faire fondre
cette masse.
2. La mesure de F , le flux d’énergie qui arrive vers le mélange eau-glace, indique qu’il vaut F = 0, 8 kJ.s 1 .
Quelle masse de glace , mgf ondue , du mélange a fondu au bout d’une minute ? Quelle masse d’eau liquide
y a-t-il alors dans le mélange ?
Évolution de la composition du mélange : raisonnement sur les variations infinitésimales.
Pendant un intervalle de temps infinitésimale dt, les variations infinitésimales des masses d’eau liquide M , de
glace mg , de glace fondue mg f ondue sont respectivement notées dM , dmg , dmg f ondue . Par ailleurs la quantité
infinitésimale d’énergie nécessaire à faire fondre une masse infinitésimale de glace dmg est notée dE.
3. Quelle relation existe-t-il entre le flux F introduit à la question 2, dE et dt ?
4. Écrire la relation entre F , dmg f ondue et dt.
5. Écrire la relation entre dmg et dmg f ondue .
16
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
6. Écrire la relation entre dM et dmg .
7. En déduire l’équation diﬀérentielle régissant l’évolution de la masse d’eau liquide M et vérifier que le
sens de variation est cohérent (on supposera qu’il y a toujours de la glace dans le mélange).
8. Résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales.
9. Vérifier que l’on retrouve bien le résultat de la question 2.
10. Tracer sur un même graphe l’évolution de la masse d’eau et de la masse de glace, si la masse de glace
mg était initialement de 1,4 kg.
3.1.3
ﬂ Partie II.A du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2016
(Processeur isolé thermiquement)
Cet exercice, que vous trouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion de faire un exercice supplémentaire pour vous assurer que vous avez bien assimilé l’évolution linéaire.
Réponses : 1. [E] et [P] cours, [C] = [E]/[✓] = M · L2 · T 2 · ⇥ 1 (capacité calorifique) ; 2. E(t + t) E(t) =
d✓(t)
Pc
1
Pc t, soit dE(t)
; 3. d✓(t)
dt = Pc , d’où dt = k1 avec k1 = C , k1 = 45/0, 75 = 60K · s
dt = constante, l’évolution est donc linéaire ; 4. ✓(t) = ✓a + k1 t ; 5. droite de pente positive ; 6. ✓(t) = ✓m pour t = tm = ✓mkm✓a ,
tm = 1, 3s, cette durée est très courte, l’ordinateur ne peut donc pas fonctionner sans système de refroidissement pour le processeur.
3.2 Évolution exponentielle
Voir les fiches méthodologiques 3 page 59 et 5 page 61 du polycopié de cours.
Voir également l’encadré 6 sur les équations diﬀérentielles du premier ordre, page 66.
3.2.1
- Fonction exponentielle
Soit la fonction temporelle y(t) = Ae
du temps t.
1. Calculer
dy
dt
t/⌧
où A et ⌧ désignent deux constantes positives indépendantes
et préciser le signe de cette dérivée.
2. Soit la fonction f (t) = ln (y(t)), tracer cette fonction.
Indication : voir encadré mathématique 1 page 29 du polycopié de cours.
3.2.2
b Temps caractéristiques - représentations graphiques
Pour les étudiants de MIPI, cet exercice est aussi une préparation au TP « Écoulements ». Les étudiants
sont invités à faire le rapprochement.
Deux récipients (1) et (2) de même volume communiquent entre eux par un petit tube. Les hauteurs h1
et h2 de liquide dans chacun de ces récipients varient avec le temps t selon les lois :
h1 (t) =
H
2
1 + exp (
t
⌧)
et h2 (t) =
H
2
1
exp (
t
⌧)
1. Calculer les dérivées dh1 /dt dh2 /dt de ces deux fonctions. Quel est le signe de chacune ?
2. Tracer sur le même graphique l’allure des deux graphiques h1 (t) et h2 (t) en précisant les valeurs aux
limites.
3. Déterminer les fonctions aﬃnes y1 (t) et y2 (t) dont les graphes sont tangents à l’origine à ceux de h1 (t)
et h2 (t), respectivement.
4. Quelles sont les valeurs de y1 (⌧ ) et y2 (⌧ ) ?
5. Tracer y1 (t) et y2 (t) sur le graphe précédent.
17
3 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS
3.2.3
b Fonction logarithme
La fonction logarithme népérien est la fonction inverse de la fonction exponentielle, c’est-à-dire que
ln(ex ) = x , où e est une constante remarquable (comme ⇡). Sa propriété essentielle est de transformer
un produit en somme : ln(ab) = ln(a) + ln(b).
En physique, on utilise souvent le logarithme décimal noté log10 (accessible via la touche log sur votre
calculette) défini par : log10 (x) = ln x/ ln 10.
La fonction logarithme népérien peut se généraliser à toutes les bases, de la manière suivante :
loga (ax ) = x
1. En vous servant de la formule (1), montrer que loga (x) =
log10 (10n ) ?
(1)
ln x
ln a .
Que valent log10 (1), log10 (10), log10 (100),
2. Il est donc facile de manipuler les puissances de 10 avec les logarithmes. Sachant que log10 (2) ' 0, 3,
trouver sans calculette la valeur de log10 (2000).
3. Résoudre l’équation 2 = 10x
1
.
4. Sachant que l’intensité L d’une grandeur x exprimée en décibels (dB) vaut L = 10 log10 (x/x0 ) où x > 0
et x0 est une valeur de référence, montrer que diviser x par deux revient à diminuer L de 3 dB.
5. Application en physique acoustique : en mesure du bruit, le décibel exprime le rapport de l’intensité
acoustique I, qui remplace x dans la question précédente, à une valeur de référence I0 qui correspond
à un son tout juste perceptible (0 dB). Sur cette échelle, une conversation correspond à 60 dB, le son
d’un baladeur à son amplitude maximale à 115 dB environ.
Sachant que l’intensité acoustique I varie comme le carré de la pression acoustique (P 2 ), déterminer le
rapport des pressions acoustiques correspondantes.
3.2.4
b Échelle de Richter
L’échelle de Richter, du nom du sismologue américain Charles Richter, est une échelle, introduite en 1935,
qui permet de comparer entre eux diﬀérents séismes. Si A(d) représente l’amplitude maximale des ondes P
(ondes de compression ou longitudinales) et S (ondes de cisaillement ou transversales), reçues à une distance
d de l’épicentre du séisme, et A0 (d) une amplitude de référence, la magnitude de Richter MR d’un séisme est
le rapport logarithmique suivant MR = log10 [A(d)/A0 (d)].
1. Quelle est la magnitude d’un séisme d’amplitude A0 ?
2. Quelle est l’amplitude d’un séisme de magnitude 5 ?
3. Un des plus forts séismes en France a eu lieu à Languidic (Bretagne) en 2002, il était de magnitude 5,4.
Le raz de marée (tsunami) de 2004 dans l’océan Indien a été provoqué par un séisme de magnitude 9,3
environ. Comparer les amplitudes des deux séismes.
3.2.5
b Diagramme semi-logarithmique
Voir le commentaire de l’exercice 3.2.2. Il est en particulier utile de se reporter aux représentations
graphiques proposées dans le fascicule de TP.
Le graphique de la figure 2 représente un diagramme « semi-log » en ordonnée (il s’agit du logarithme en
base 10, voir exercice 3.2.3).
1. Quelles sont les coordonnées des points (1) et (2) ?
2. Montrer qu’une droite représente une fonction exponentielle. Quelles fonctions sont représentées par les
courbes (A) et (B) ?
3. Un graphique « semi-log » en y montre une droite de pente 0, 3. Quelle est la fonction représentée ?
18
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
Figure 2 – Diagramme semi-logarithmique.
3.2.6
ﬂ Diagramme "log-log"
Un graphique « log-log » est un graphique dans lequel les abscisses et les ordonnées sont en échelle logarithmique (il s’agit toujours du logarithme en base 10). Ce type de graphique est adapté à la représentation de
grandeurs ayant un grand domaine de variation, ainsi que des grandeurs exprimées en dB (voir exercice 3.2.3).
1. Un tel graphique peut-il représenter des valeurs négatives ou nulles ?
2. Montrer qu’une droite sur ce type de graphique représente une loi de puissance du type y = b xa avec
a et b des constantes. Est-il équivalent d’utiliser un log décimal ou népérien ?
3. Un graphique log-log montre une série de points qui s’alignent suivant une droite de pente 2. Montrer
que cela correspond à une fonction de type y = Kx 2 (loi de puissance de pente 2) où K est une
constante.
Réponses : 1. Non pour les valeurs nulles, oui pour les valeurs négatives (mais pas simultanément avec des
valeurs positives) ; 2. log(y) = a log(x) + log(b) ; ln(y) = a ln(x) + ln(b) ; donc dans les deux cas une droite
de pente a, la puissance de la loi y = b xa ; seule la valeur de l’ordonnée à l’origine diﬀère (log(b) ou ln(b)).
19
3 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS
3.3 Modélisation : exponentielle
3.3.1
- Concentration dans le sang
La concentration d’un médicament introduit dans le sang au temps t = 0 varie suivant la loi C(t) = C0 e
kt
.
1. Si t est exprimé en heures, quelle est l’unité pour k ?
2. Que représente C0 ?
3. Tracer C(t)
4. Calculer ⌧ , la constante de temps du phénomène sachant que k = 2 h
3.3.2
1
. Résultat : ⌧ =
1
k
= 0, 5 h.
- Désintégration radioactive
Le phénomène de désintégration radioactive d’un atome est régi par la loi dN
dt =
nombre d’atomes à l’instant t et est une constante positive indépendante du temps.
1. Montrer que N = N0 e
t
N , où N désigne le
est solution de l’équation. Que représente N0 ?
2. Tracer N (t). Quelle est la constante de temps du phénomène de désintégration ?
Indications : il s’agit ici d’une question de cours, se reporter au poly de cours page 58.
3.3.3
b I Les vases communicants
Note : un exercice préliminaire a déjà été vu, exercice 3.2.2
Deux cuves cylindriques de section S communiquent par un tuyau AB de longueur L, de diamètre d et
de section s petite par rapport à S, fermé à son extrémité B par un robinet. Ce robinet étant fermé, la cuve
de gauche est remplie d’eau jusqu’au niveau H, la cuve de droite étant vide, puis le robinet est ouvert. Cet
instant est pris comme origine des temps. h1 (t) et h2 (t) sont les niveaux respectifs dans les cuves de gauche
et de droite à l’instant t.
On cherche à établir la loi d’évolution de h1 (t). La section S est suﬃsamment grande pour que les
eﬀets de viscosité soient négligeables dans les cuves. En revanche, l’écoulement est visqueux dans le tuyau
de communication : le tuyau oﬀre une certaine résistance au passage de l’eau, quantifiée par sa résistance
hydraulique Rh . Cette résistance peut être calculée pour un tuyau cylindrique de rayon r et de longueur L
et son expression est :
8µL
Rh =
,
⇡r4
où µ désigne la viscosité du fluide.
1. Quel est l’état final du système ?
2. Écrire la relation existant entre h1 (t) et h2 (t).
1 (t)
3. Que représente la dérivée dhdt
? Quel est son signe ? Donner l’expression du débit d’eau Q(t) ; le débit
est défini comme un volume de liquide écoulé à travers une section du conduit par unité de temps.
20
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
4. La diﬀérence de pression
suivante :
P = PA
PB à la base des axes A et B est relié au débit Q(t) par la relation
P = Rh Q
où Rh est la « résistance hydraulique ». Quelle est l’analogie avec la loi d’Ohm ?
Par ailleurs, la pression hydrostatique en A et B vaut respectivement PA = ⇢gh1 + Patm et PB = ⇢gh2 + Patm .
Ces notions seront introduites plus tard dans le cours.
5. Déduire de ce qui précède une équation diﬀérentielle vérifiée par la fonction h1 (t). (On ne cherchera pas
ici à résoudre cette équation).
6. En posant ⌧ = Rh S/2⇢g, réécrire l’équation diﬀérentielle de la question précédente en faisant apparaître
la constante ⌧ et la hauteur initiale H.
7. Déterminer la solution h1 (t) de cette équation satisfaisant la condition initiale à t = 0 ; la tracer.
8. A.N. : Calculer ⌧ à partir des données suivantes : µ = 10
⇢ = 1000 kg·m 3 ; g (pesanteur) = 10 m·s 2 .
3.3.4
3
Pa·s ; L = 30 cm ; d = 4 mm ; S = 100 cm2 ;
ﬂ I Datation au carbone 14
Pour mesurer la concentration de 146 C dans un objet en bois avec une précision de 10
10 désintégrations de ce radio-isotope (demi-vie T1/2 = 5730 ans).
2
4
, il faut détecter
1. Quelle précision relative (incertitude relative) obtient-on sur l’âge de l’objet ?
2. Si l’objet remonte à l’Ancien Empire Egyptien (environ 2600 avant J.C.), combien de temps prendra
la mesure si l’échantillon a une masse de 0,1 g (126 C est le constituant dominant du bois et les autres
éléments seront négligés : à l’équilibre, la concentration de 146 C dans le bois vivant par rapport au 126 C
est 1, 3 ⇥ 10 12 ) ?
Réponses : 1. 83 ans ; 2. 8, 1 jours.
3.3.5
ﬂ
Évolution de l’abondance de carbone 14 dans l’atmosphère.
On appelle S le taux de production constant de 14
6 C dans l’atmosphère terrestre, dû au bombardement
de rayons cosmiques. La quantité de 14
C
présente
à
un
instant t dans l’atmosphère est notée N (t).
6
1. Écrire l’équation diﬀérentielle qui décrit l’évolution de N (t) en fonction de S dans le cas hypothétique
où le carbone 14 ne se désintègrerait pas.
2. Écrire l’équation diﬀérentielle qui décrit l’évolution de N (t), sachant que le temps caractéristique, aussi
appelé durée de vie moyenne, d’un noyau de carbone 14 est ⌧ .
3. Donner la solution de cette équation, en posant N0 la quantité de carbone 14 initialement présente.
4. Que vaut N en régime permanent ? Dépend-t-il de N0 ? Pourquoi ? Actuellement, sommes-nous en régime
permanent ?
5. Discuter l’évolution graphique de N(t) suivant diﬀérentes valeurs de ⌧ S et N0 .
dN (t)
t/⌧
Réponses : 1. S = dN
= N
+ ⌧ ⇥ S(1
dt ; 2.
dt
⌧ + S ; 3. N = N0 ⇥ e
N = S ⇥ ⌧ , ne dépend pas de N0 ; âge de la terre (4,6 Gyr)
⌧
3.3.6
e
t/⌧
) ; 4. Régime permanent
b Contamination radioactive
Les retombées dans l’atmosphère d’une explosion nucléaire contiennent de l’iode 131 radioactif. Cet iode
se répand sur le sol, est absorbé par des vaches, contamine le lait et se fixe ensuite totalement sur la glande
thyroïde des buveurs de lait (l’élimination physiologique de l’iode dans la thyroïde ne sera pas prise en
compte).
1. La demi-vie t1/2 de l’iode 131 est de 8 jours : calculer la valeur de la constante radioactive
et en seconde 1 .
21
en jour
1
3 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS
2. À t = 0 des comptages ont montré une activité A de 700 picocuries (pCi) par litre de lait (rappel :
10 12 Ci = 3.7 · 10 2 Bq). Donner l’activité d’un litre de lait en becquerels. Quel est le nombre d’atomes
d’iode 131 à t = 0 ?
3. Un individu a acheté plusieurs litres de lait et boit un litre tous les matins, le premier étant bu à t0 = 0.
Quel est le nombre N0 d’atomes radioactifs d’iode-131 fixés sur sa thyroïde à t0 = 0 (après avoir bu un
litre de lait) ?
4. Quel est, en fonction de N0 et t1 , le nombre N1 d’atomes radioactifs d’iode 131 fixés sur sa thyroïde à
t1 = 1 jour (après avoir bu deux litres de lait) ?
5. Quel est, en fonction de N0 et n, le nombre Nn à tn = n jours (après avoir bu (n + 1) litres de lait) ?
6. Une réduction sensible des fonctions de la glande thyroïde, entraînant des troubles sérieux, apparaît si
l’activité de l’iode 131 atteint 2000 pCi. Ce stade serait-il atteint à t = 3 jours ?
Données : 21/8 ⇡ 1, 1 ; 22/8 ⇡ 1, 2 ; 23/8 ⇡ 1, 3.
3.3.7
ﬂ Partie II du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2015
(Persistance rétinienne)
Cet exercice, que vous trouverez en annexe de ce polycopié, permet de vous assurer que vous avez bien
assimilé la modélisation et la mise en équation d’une évolution exponentielle.
Réponses : 2. N (t) = N0 e t/⌧ ; 3. Graphe : voir polycopié de cours ; 4. [A] = T 1 et [B] = T 1 (car
[N ] = 1) ; 5. L’équation se réécrit dN
AN +B : (i) le terme AN (terme de perte) correspond à la desexdt =
citation des molécules (pendant dt, AN (t)dt molécules se desexcitent) ; la probabilité de désexcitation pendant
dt est A dt. Analogie avec la radioactivité : A joue le rôle de la constante radioactive, soit A = ⌧ 1 ; (ii) le
terme B (terme de gain) correspond à l’excitation des molécules par les photons incidents (pendant dt, B dt
molécules sont excitées) ; comme il faut exactement un photon pour exciter une molécule, le nombre de photons
reçus pendant dt vaut B dt. D’après la définition de l’éclairement (énoncé), ce nombre vaut aussi ES dt. Soit
B = ES ; 6. Neq = SE ⌧ = 6 103 molécules ; 7. N (t) = Neq 1 e t/⌧ ; 8. Graphe : voir polycopié de cours ;
9. Temps longs : t
⌧ , N (t) ' Neq ; Temps courts : t ⌧ ⌧ , N (t) ' Neq 1 1 + ⌧t ' Neq ⌧t (développement
limité à l’ordre 1 de l’exponentielle : ex ' 1 + x pour x ⌧ 1) ; 10. T = 1/f = 10 2 s = 10 ms ⌧ ⌧ = 50 ms. À
chaque fois que le néon s’éteint, les molécules commencent à se désexciter. Cependant, d’après II.A il faudrait
attendre une durée ⌧ pour que ce processus ait un eﬀet notable alors que le néon se rallume après une durée
T ⌧ ⌧ . Les molécules n’ont pas le temps de se désexciter et nous avons une sensation d’éclairement constant.
3.4 Modélisation : dynamique des populations
3.4.1
- Équations diﬀérentielles
Voir les encadrés mathématiques 3 page 63, 4 page 64, 6 page 66 et 7 page 119 du polycopié de cours.
1. Résoudre les équations diﬀérentielles du premier ordre suivantes :
(a)
= 0 avec x(0) = x0 = 1 ; indication : dans la notation mathématique "classique" à laquelle vous
êtes probablement habitué-e, cela revient à résoudre y 0 = 0 avec y(0) = 1 ;
(b)
dx
dt
dx
dt
(c)
dx
dt
= 3t avec x(1) =
3
2
; réécrire si besoin cette équation dans la notation mathématique "classique" ;
+ x = 1 avec x0 = 0 ; indication : cette équation est moins triviale que les précédentes.
Réponses : (a) x(t) =Constante= 1 ; (b) l’équation diﬀérentielle proposée s’écrit aussi y 0 = 3t avec
y(1) = 3/2, la solution est x(t) = 32 t2 ; (c) l’équation diﬀérentielle proposée s’écrit aussi y 0 + y = 1 avec
y(0) = 0, la solution est x(t) = 1 e t .
2. Soit la fonction y(t) = A cos(!t + )
(a) Calculer y 0 (t) =
(b) Montrer que
d2 y
dt2
dy
dt
et y 00 (t) =
d2 y
dt2
+ ! 2 y = 0. Comment appelle-t-on ce type d’équation ?
Réponse : il s’agit de l’équation de l’oscillateur harmonique.
22
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
3.4.2
b Équilibre dynamique
Deux compartiments 1 et 2 sont séparés par une paroi perméable aux ions présents en nombre N1 et N2
dans les compartiments à un instant t donné. Les compartiments ont des volumes V1 et V2 .
Le nombre de passages par unité de temps de 1 vers 2 est proportionnel au nombre de particules dans
le compartiment 1 et à la probabilité de passage d’une particule du compartiment 1 vers le compartiment 2
par unité de temps (notée k1 ). La probabilité de passage d’une particule de 2 vers 1, par unité de temps, est
logiquement notée k2 .
L’équation bilan qui caractérise la variation infinitésimale de nombre N1 de particules dans le comparti1
ment 1 au cours du temps : dN
dt s’écrit donc :
dN1
= k 1 N1 + k 2 N2
dt
Une équation bilan, aussi appelée « équation du banquier », consiste à comptabiliser « ce qui arrive » – « ce
qui sort ».
1. Quel est la dimension de ki ?
2. Justifier l’équation bilan énoncée ci-dessus.
3. Vérifier le caractère « indiscernable » des indices 1 et 2 (autrement dit, le fait que les indices 1 et 2 ont
2
un rôle symétrique), en écrivant dN
dt .
4. À quoi correspond le fait que k1 et k2 peuvent avoir des valeurs diﬀérentes ?
5. Donner la condition d’équilibre et en déduire une relation entre les nombres d’ions N1equ et N2equ dans
chaque compartiment au bout d’un temps suﬃsamment long pour que l’équilibre soit atteint. L’équilibre
correspond à la limite mathématique de la fonction pour un temps « infini ».
6. Soit N le nombre total de particules : N = N1 + N2 . Que vaut
dN
dt
?
7. Récrire l’équation diﬀérentielle (1) en fonction de N1 uniquement, et la résoudre. On notera Ni1 le
nombre de particules dans le compartiment 1 à l’instant initial.
8. Reprendre la question précédente avec l’indice 2.
9. Proposer une autre méthode pour retrouver les résultats de la question précédente (sans résoudre une
équation diﬀérentielle) et vérifier le résultat.
10. En fixant k2 = 10k1 , dessiner N1 (t) et N2 (t) pour 2 situations initiales diﬀérentes : Ni1 = Ni2 = N2 et
Ni1 = N ; Ni2 = 0. L’état d’équilibre dépend-t-il des conditions initiales ?
3.4.3
ﬂ I Ordinateurs
Le nombre de ménages vivant en France équipés d’un ordinateur est noté N (t) (t exprimé en années et
N (t) en millions de ménages). L’origine des temps pour cette étude est fixée en 1980 et à cette époque, seuls
10 000 ménages possédaient un ordinateur. Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, N est
solution de l’équation diﬀérentielle :
dy
= 0, 022 y (20 y) .
(1)
dt
1. Que vaut N (0) ?
2. En introduisant la fonction u(t) : u = 1/N , démontrer que N est solution de (1) si, et seulement si, u
est solution de l’équation diﬀérentielle :
dy
= 0, 44 y + 0, 022
(2)
dt
23
3 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS
3. Résoudre (2) et en déduire l’ensemble des solutions de l’équation (2).
4. Démontrer alors que N , fonction de t, est définie sur [0 ; +1[ par : f (t) = 20/(1 + 1999 e
0.44t
).
5. Démontrer que pour tout réel t de [0 ; +1 [, 0 < f (t) < 20.
6. En déduire, sans calcul, que N est strictement croissante sur [ 0 ; +1 [.
7. Calculer la limite de N (t) lorsque t tend vers +1.
8. Selon l’INSEE 3 , en 2007, le nombre de ménages était de 27 millions et le taux d’équipement des ménages
en ordinateurs était de 59 %, Est-ce en accord avec le modèle ? Pour information, selon une projection
de l’INSEE, en 2020, le nombre de ménages sera de 28 millions.
Réponses : 1. N (0) = 0, 01 ; 3. N = 1/ ke
3.4.4
0.44t
+ 1/20 ; 7. 20 (soit 20 millions de ménages)
ﬂ Partie I de l’examen de décembre 2016 (Pisciculture)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion de faire un exercice supplémentaire pour vous assurer que vous avez bien assimilé "la dynamique des populations ", vous constaterez
qu’il est extrêmement proche de l’exercice 3.4.2 où vous trouverez donc une grande partie des réponses.
Réponses : 1. [k1 ] = [k2 ] = T 1 ; 3. dNdt2 (t) = k2 N2 (t) + k1 N1 (t) ; 4. A = k1 + k2 et B = k2 N ; 5. Évolution
exponentielle décroissante (car k1 + k2 > 0) vers une valeur asymptotique (car B 6= 0) ; 6. N1eq = B
A =
k2
B
At
N
;
7.
résultat
que
l’on
peut
aussi
obtenir
par
échange
d’indice
;
8.
N
(t)
=
Ke
+
(solution
1
k1 +k2
A
de l’équation sans second membre avec une constante K + solution particulière), soit en tenant compte des
conditions initiales N1 (t) = (N0 N1eq )e (k1 +k2 )t + N1eq ; 9. ⌧ = (k1 + k2 ) 1 ; 10. N0 = N2 , N1eq = N4 ; 11.
la courbe est une exponentielle décroissante, valeur initiale (t=0) N0 = N2 , valeur asymptotique N1eq = N4 ,
la tangente à l’origine coupe l’asymptote en t = ⌧ ; 12. la courbe est une exponentielle croissante, valeur
initiale identique, N0 = N2 , valeur asymptotique N2eq = 3N
4 , même temps caractéristique.
3.4.5
ﬂ Partie II.B du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2016
(Processeur refroidi)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion de faire un exercice supplémentaire pour vous assurer que vous avez bien assimilé l’évolution exponentielle
Réponses : 7. . [R] =
[✓]
[Pd ]
=M
1
·L
2
· T 3 · ⇥ ; 8. Entre t et t + dt, l’énergie E augmente de Pc dt en raison
de la chaleur dégagée par le fonctionnement et diminue de Pd dt grâce au dissipateur, d’où dE(t)
Pd (t),
dt = Pc
d✓(t)
Pd (t)
✓(t) ✓a
d✓(t)
Pc
Pc
1
pour la température dt = C
= C
C
RC , soit dt +k2 ✓(t) = k3 avec k2 = RC et k3 = k1 +k2 ✓a ;
9. solution de l’équation sans second membre : ✓(t) = Ae k2 t , solution particulière de l’équation avec second
membre : ✓(t) = k3 /k2 , soit solution générale : ✓(t) = Ae k2 t + k3 /k2 , CI ✓(0) = ✓a = A + k3 /k2 , d’où
✓(t) = ( kk32 ✓a )e k2 t + kk32 ; 10. Temps caractéristique : ⌧ = 1/k2 = RC, [⌧ ] = [R] · [C] = (M 1 · L 2 · T 3 ·
⇥ 1 ) ⇥ (M · L2 · T 2 · ⇥) = T , ⌧ = 1s ; 11. Pour t
⌧ , l’exponentielle peut être négligée dans ✓(t), soit
✓(t) ' kk32 = ✓s ; 12. ✓s = kk32 = kk12 + ✓a = 80 C, cette température est inférieure à la limite ✓m = 100 C,
le processeur peut donc fonctionner sans surchauﬀe ; 13. Courbe qui commence à ✓a en t = 0, qui rejoint
exponentiellement l’asymptote horizontale (✓s ), la tangente à l’origine coupe l’asymptote en t = ⌧ .
3.5 Modélisation : compléments
3.5.1
ﬂ Dérivées numériques
1. Rappeler la définition de la dérivée première d’une fonction continue f (t).
2. La fonction est maintenant discrétisée avec un pas
t (échantillonnage).
3. Institut national de statistique et des études économiques
24
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
(a) Comment s’écrit la variable t en fonction de
Réponse : t = n
t?
t où n est un entier naturel positif ou négatif
(b) Réécrire la dérivée première en fonction de
(c) Réécrire la dérivée première en fonction de 2
t.
t : c’est la dérivée centrale.
3. Comment améliorer la précision de la dérivée ? Qu’est-ce qui limite cette méthode ?
4. Résolution numérique d’une équation diﬀérentielle. Discrétiser l’équation diﬀérentielle suivante
df (t)
= ↵f
dt
en utilisant le résultat de la question 2. Expliquer comment cela permet une résolution numérique.
Comment s’appelle cette méthode ?
3.5.2
ﬂ I Une bougie conique
On étudie la combustion d’une bougie de forme conique, ayant une base circulaire de rayon R, une hauteur
2
totale H (et la pointe en haut). Le volume d’un tel cône est : V0 = R 3H⇡ .
1. On peut considérer que le volume de cire brûlée par unité de temps est constant et vaut C.
Quelle est l’équation diﬀérentielle qui décrit l’évolution du volume de la bougie de V (t) en fonction du
temps ?
2. Résoudre cette équation pour déterminer V (t) en fonction de t, C et V0 .
Réponse : V (t) =
Ct + V0 si on considère que la bougie est allumée à t = 0.
3. On cherche maintenant à évaluer l’équation d’évolution de la hauteur h(t) de la bougie. Quelle est la
relation entre V (t) et h(t) ?
Indication : Faire un schéma. Il pourra être utile d’introduire v(t), le volume du cône de bougie ayant
déjà été brulé. Ce cône a un rayon à la base que l’on pourra appeler r(t) et une hauteur égale à H h(t).
Réponse : V (t) = V0
v(t) ; r(t) =
R(H h)
H
et v(t) =
(H h)⇡r 2
3
=
(H h)3 ⇡R2
3H 2
4. En déduire l’expression de la hauteur h(t) de la bougie en fonction de t, C, H et R. Faire une courbe
indicative de h(t). À quel instant la bougie sera-t-elle entièrement brûlée ?
Réponse : à t =
3.5.3
⇡HR2
3C
ﬂ I Équations diﬀérentielles, avancées
Résoudre les équations diﬀérentielles du premier ordre suivantes :
1. dh
h = e 2t avec h0 = h(0) = 13
dt
2.
dr
dt
+ r = sin(t) avec r0 = r(0) = 0
Réponses : 1. h(t) = 13 e 2t ; solution particulière r(t) = 12 [sin(t) cos(t)], solution finale r(t) = 12 [e t +
sin(t) cos(t)] (il suﬃt de prendre une solution particulière sous forme de combinaison de sinus et cosinus
(rSP (t) = B ⇥ cos(t) + C ⇥ sin(t))).
3.5.4
ﬂ I Équation diﬀérentielle avec second membre
dy
+ by = f (t) ,
dt
où f (t) est une fonction quelconque et b, une constante positive, on considère la solution possible y = A(t)e
où A(t) est une fonction à déterminer.
Pour résoudre l’équation diﬀérentielle
1. Calculer A(t) si f (t) = 0.
2. Exprimer A(t) dans le cas général et montrer que A(t) = A(0) +
3. Exemples : (a) f (t) = at ; (b) f (t) = eat .
Rt
0
bt
0
f (t0 )ebt dt0 .
Réponses : 1. Pour f (t) = 0, la solution est de la forme y = Ce bt , soit A(t) =R C, avec C = constante ;
2. On reporte la solution dans l’équation dA
bA + bA e bt = f (t) soit A(t) = f (t)ebt dt ; 3. (a) f (t) =
dt
bt
at
at, y = (a/b) ⇥ (t 1/b) + Ce ; (b) f (t) = e , y = eat /(a + b) + Ce bt .
25
3 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
– Vous devez connaître les 3 évolutions simples qui ont été décrites : linéaire, exponentielle, sinusoïdale.
Ceci signifie connaître le vocabulaire associé et l’expression mathématique de l’évolution temporelle, être
capable de tracer la fonction Q(t) en mettant en évidence les caractéristiques importantes de la courbe ;
– dans les cas des évolutions linéaire et exponentielle, vous devez savoir comment chaque type d’évolution
peut être identifié à partir de données expérimentales et également connaître les propriétés de chaque
loi d’évolution concernant la variation absolue et relative de la grandeur pendant un intervalle de temps
donné. Vous devez connaître les deux équations diﬀérentielles qui conduisent à ces deux évolutions génériques. Pour chaque cas, vous devez pouvoir citer des exemples ;
voir fiches 3 page 59, 4 page 60 et 5 page 61 du polycopié de cours ;
– vous devez connaître le concept d’échelle de temps caractéristique de l’évolution et pouvoir l’utiliser pour
faire des comparaisons ou des approximations ;
– vous devez connaître l’exemple de la radioactivité : définition, vocabulaire associé (radioactivité ↵ et ,
constante radioactive, demi-vie, activité), équation d’évolution et résolution dans le cas simple A ! B ;
– en complétant ce que vous avez appris au premier chapitre, vous devez savoir ce qu’est un modèle physique,
comment on le diﬀérencie d’une théorie, ce qu’est la notion de domaine de validité, ce qui fait la qualité
d’un modèle (comparaison aux résultats des expériences).
Objectifs avancés du chapitre :
Pour ceux qui souhaitent aller au-delà des objectifs de base, en particulier dans le but de poursuivre en
Licence de Physique, les objectifs avancés suivants sont recommandés :
– Le plus important : comprendre le principe du raisonnement diﬀérentiel pour obtenir l’équation diﬀérentielle
qui régit l’évolution d’un système. Savoir mettre en œuvre cette méthode dans des cas simples (cf. exemples
du chapitre).
– Très utile également : comprendre dans les diﬀérents exemples du cours la démarche suivie pour enrichir
progressivement un modèle et être capable de donner le sens physique de chaque terme pour les diﬀérentes
équations d’évolution qui ont été discutées.
Outils mathématiques qu’il faut savoir utiliser à la fin de ce chapitre :
– En révisant ce que vous avez appris au premier chapitre, vous devez connaître les fonctions exponentielle
et logarithme, savoir les utiliser ;
– connaître les fonctions trigonométriques, savoir les utiliser ;
voir encadré 2 page 62 du polycopié de cours ;
– connaître les règles de dérivation et d’intégration et l’interprétation graphique de ces deux opérations ;
voir encadré 3 page 63 du polycopié de cours ;
voir encadré 4 page 64 du polycopié de cours ;
– savoir reconnaître une équation diﬀérentielle linéaire du premier ordre à coeﬃcients constants. Savoir la
résoudre lorsqu’elle est homogène (pas de second membre) ou que le second membre est constant ;
voir encadré 6 page 66 et fiche 9 page 122 du polycopié de cours ;
– savoir ce qu’est un développement limité, savoir calculer le développement limité au premier ordre d’une
fonction ;
voir encadré 5 page 65 du polycopié de cours.
26
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
CHAPITRE
4
Des systèmes qui évoluent dans le temps
et dans l’espace
4.1 La cinématique : décrire le mouvement
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
– Savoir donner un sens précis au vocabulaire scientifique introduit dans cette partie : cinématique, référentiel, repère, repère cartésien, horloge, relativité du mouvement, centre d’inertie (ou centre de masse),
centre de gravité ;
– savoir qu’une grandeur physique vectorielle est équivalente à trois quantités scalaires qui peuvent être ses
trois composantes dans un repère donné, mais aussi une intensité, une direction et un sens ;
– savoir définir un référentiel, connaître ce que l’on appelle le référentiel du laboratoire, le référentiel terrestre, le référentiel géocentrique, le référentiel héliocentrique ;
– savoir déterminer le centre d’inertie d’un système dans les cas simples (solide homogène, système constitué
de deux solides, ...) ;
– savoir définir, et utiliser pour des mouvements à une dimension, les grandeurs physiques suivantes : les
vecteurs position, vitesse, quantité de mouvement et accélération, la grandeur scalaire énergie cinétique ;
– connaître la loi d’additivité des vitesses, savoir eﬀectuer une transformation de Galilée ;
voir fiche 6 « utiliser la loi de composition des vitesses » page 116-117 dans le polycopié de
cours.
4.1.1
- Vitesse et accélération d’un mobile
!
On s’intéresse au déplacement d’un mobile sur un axe (Ox), repéré par le vecteur position !
x (t) = x(t) i
où x(t) est décrit par l’équation horaire suivante (avec x en cm et t en s) :
x(t) = 16 12t + 2t2 .
1. Quelle est la dimension des coeﬃcients numériques 16,
12 et 2 ? Que représentent ces coeﬃcients ?
2. Déterminer les positions du mobile aux diﬀérents instants demandés :
t (s)
x(t) (cm)
0
1
2
3
4
5
3. Représenter le graphe donnant la position du mobile en fonction du temps, x(t).
!
!
4. Donner l’expression des vecteurs vitesse !
v (t) = v(t) i et accélération!
a (t) = a(t) i du mobile.
5. Représenter les graphes de v(t), de k!
v (t)k et de a(t) en fonction du temps.
27
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
6. Reporter sur l’axe de déplacement du mobile, les positions x(t) ainsi que les vecteurs vitesse !
v (t) et
accélération !
a (t) du mobile aux diﬀérents instants mentionnés dans le tableau.
7. Définir les plages temporelles où le mobile accélère et celle(s) où il ralentit. Quelle est l’orientation
relative des vecteurs vitesse et accélération sur les diﬀérentes plages temporelles ?
8. À quel moment td
ration ?
t
le mobile fait-il demi-tour ? Quelles sont alors sa position, sa vitesse et son accélé-
9. Au bout de 5 secondes, à quelle distance d0 de sa position initiale le mobile se trouve-t-il ? Quelle
distance totale a-t-il alors parcourue ?
10. Quelle est sa vitesse moyenne entre t = 0 s et t = 3 s ?
Eléments de réponse : la courbe x(t) est représentée par une parabole convexe de sommet (t = 3, x(3) = 2) ;
v(t) par une droite croissante passant par les points (t = 0, v(0) = 12) et (t = 3, v(3) = 0) ; et a(t) par une
droite horizontale. Le mobile ralentit jusqu’à t < 3 s, puis accélère dans l’autre sens. À t = 5 s, le mobile est
à une distance de 10 cm de sa position initiale et il a alors parcouru une distance de 26 cm.
4.1.2
- Questions de vitesse et d’accélération
1. Une voiture peut-elle avoir au même instant une vitesse orientée vers le nord et une accélération orientée
vers le sud ?
2. La vitesse d’un objet peut-elle être nulle quand au même instant son accélération est diﬀérente de zéro ?
3. Peut-on aﬃrmer qu’une voiture n’accélère pas si son compteur indique une vitesse constante de 60 km/h ?
4. Deux mobiles se déplacent sur une droite dans le même sens. Pendant un intervalle de temps t, le
mobile A est devant le mobile B et pendant ce même intervalle de temps, le mobile A accélère alors que
le mobile B ralentit, pourtant B dépasse A. Pourquoi ?
Eléments de réponse : 1. Oui, voir la question 7 de l’exercice précédent ; 2. Oui, voir question 8 de l’exercice
v
précédent ; 3. Le vecteur accélération quantifie la variation du vecteur vitesse au cours du temps : ~a = d~
dt et
informe donc sur la variation de la norme de ~v (t) mais aussi sur son changement de direction...
4.1.3
- Relativité de Galilée
Un bateau (B), un kayak (K) et un nageur (N) descendent une rivière à vitesse constante. À l’instant t1 ,
le kayak dépasse le nageur. À l’instant t2 , c’est le bateau qui dépasse le nageur. Le schéma ci-dessous indique
les positions des trois mobiles aux deux instants considérés dans le référentiel lié à la berge.
1. Représenter les positions des 3 mobiles dans le référentiel lié au bateau à l’instant t2 . Dans quel(s) sens
un passager du bateau voit-il le kayak et le nageur se déplacer ?
28
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
2. Représenter les positions des 3 mobiles dans le référentiel lié au kayak à l’instant t2 . Dans quel(s) sens
le kayakeur voit-il le bateau et le nageur se déplacer ?
3. Du point de vue du passager du bateau, qui a parcouru la distance la plus grande : le kayak ou le
nageur ? Dans quel référentiel la distance parcourue par le nageur est-elle la plus grande ?
4. Dans le référentiel du bateau, la vitesse du nageur vN/B est-elle supérieure, inférieure ou égale à la
vitesse du kayak vK/B ? Dans quel référentiel la vitesse du nageur est-elle la plus grande ?
5. Représenter les vecteurs vitesses du kayak !
v
et du nageur !
v
dans le référentiel du bateau.
K/B
N/B
6. Représenter les vecteurs vitesse du bateau !
v B/K et du nageur !
v N/K dans le référentiel lié au kayak.
!
7. Représenter les vecteurs vitesse du bateau v B/berge et du nageur !
v N/berge dans le référentiel lié
à la berge, ainsi que le vecteur vitesse du nageur !
v N/B dans le référentiel du bateau. Vérifier la
transformation galiléenne des vitesses.
8. Représenter les vecteurs vitesse du bateau !
v B/berge et du kayak !
v K/berge dans le référentiel lié à la
berge, ainsi que le vecteur vitesse du bateau !
v
dans le référentiel du kayak. Vérifier la transformation galiléenne des vitesses.
B/K
Eléments de réponse : dans le référentiel du bateau, le nageur parcourt 5 unités de distance (ud) vers la
gauche pendant l’intervalle de temps (t2 t1 ) ; sa vitesse (algébrique), dans le référentiel du bateau est donc
-5 ud/(t2 t1 ). De la même façon, vN/Be = 1ud/(t2 t1 ), vB/Be = 6ud/(t2 t1 ), vB/K = 3ud/(t2 t1 ),
vK/Be = 3ud/(t2 t1 ). On vérifie ainsi que : vN/Be = vN/Ba + vB/Be .
4.1.4
b S’arrêter
1. La distance d’arrêt d’un pétrolier moderne navigant à la vitesse de v0 = 30 km.h
suppose qu’il freine de façon uniforme.
1
est de 5 km. On
(a) Déterminer les expressions de la vitesse vx (t) et de la position x(t) du pétrolier lors de son ralentissement. On prendra comme origine des temps le moment où le pétrolier commence à freiner.
(b) En déduire le temps nécessaire pour arrêter le pétrolier.
2. Sur route humide, des freins en état permettent de ralentir un véhicule d’environ 5 m.s 2 et on estime le
temps de réaction moyen d’un automobiliste ⌧ de l’ordre de 0, 5 s. Le mouvement d’un véhicule freinant
peut alors se décomposer en deux phases (I et II).
(a) Expliciter et caractériser ces deux phases.
Les deux questions suivantes peuvent aussi être traitées dans l’ordre inverse : (c) puis (b)
(b) Déterminer les expressions de la vitesse et de la position du véhicule pendant les deux phases du
mouvement : vIx (t) et vIIx (t) ; xI (t) et xII (t). On prendra comme origine des temps le moment
où le conducteur réalise qu’il doit freiner.
(c) Représenter la position, la vitesse et l’accélération du véhicule en fonction du temps.
(d) En déduire la distance d’arrêt typique d’un automobiliste conduisant à une vitesse v0 de 70 km.h
par temps de brouillard.
29
1
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
4.1.5
b Vitesse excessive
Sur une portion rectiligne d’autoroute où la vitesse est limitée à vl = 130 km.h 1 , la distance d qui sépare
deux radars est de 10 km. Un automobiliste, sitôt franchi le premier radar à la vitesse autorisée, accélère
uniformément pendant une durée ⌧1 de 7 s jusqu’à la vitesse excessive de ve = 170 km.h 1 qu’il conserve
jusqu’à 500 m avant le second radar ; il ralentit alors uniformément de façon à retrouver la vitesse autorisée
au niveau du second radar.
1. Définir les trois phases du mouvement du véhicule.
2. Déterminer les expressions de sa vitesse et de sa position pendant les trois phases du mouvement :
vIx (t), vIIx (t) et vIIIx (t) ; puis xI (t), xII (t) et xIII (t). Préciser quelle est l’origine des temps et des
positions choisie.
3. Représenter son accélération, sa vitesse instantanée et sa position depuis le premier radar, en fonction
du temps.
4. En déduire combien de temps ⌧ dure le parcours entre les deux radars.
5. Quelle est sa vitesse moyenne vmoy entre les deux radars ?
6. Quel temps l’automobiliste a-t-il ainsi « gagné » par rapport à une conduite à la vitesse autorisée ?
4.1.6
b Un nageur et un kayakiste en sens inverse
Un kayakiste et un nageur se déplacent l’un vers l’autre sur un plan d’eau en l’absence de courant. Les
deux avancent à vitesse constante, le kayakiste allant deux fois plus vite que le nageur. Un pêcheur observe
la scène depuis la berge et constate que les deux sportifs initialement distants de 42 m, se croisent 14 s plus
tard.
1. Représenter les vecteurs vitesse du nageur !
v N/berge et du kayak !
v K/berge dans le référentiel de la
!
berge, puis le vecteur vitesse du kayak v K/N dans le référentiel du nageur.
2. Déterminer k!
v
k.
N/berge
3. En reprenant la valeur de k!
v N/berge k trouvée à la question précédente, mais en considérant maintenant
que les deux sportifs se déplacent dans le même sens, le kayakiste étant initialement 42 m derrière le
nageur, calculer le temps que le kayakiste met pour rattraper le nageur.
4. Les vitesses des deux sportifs sont elles réalistes ?
Ces mêmes sportifs se déplacent maintenant sur une rivière où le courant ne peut être négligé. Le kayakiste
remonte la rivière, le nageur la descend. Le pêcheur observe toujours la scène depuis la berge et constate à
nouveau que les deux sportifs initialement distants de 42 m, se croisent 14 s plus tard.
5. Représenter les vecteurs vitesse du nageur et du kayakiste dans ces nouvelles conditions (en choisissant
correctement le référentiel) et vérifier que cette observation est possible. Est-il possible d’en déduire la
vitesse du courant ? Quelle diﬀérence le pêcheur peut-il observer entre les deux situations (avec et sans
courant) ?
4.1.7
ﬂ Déplacement d’un train
La vitesse algébrique d’un train se déplaçant en ligne droite selon un axe Ox orienté d’est en ouest est
représentée en fonction du temps ci-après.
1. Représenter les profils de son accélération a(t), de sa position x(t) et du module de son vecteur vitesse
k!
v (t)k.
2. Décrire les quatre phases qui constituent le parcours de ce train entre t = 0 et t = tf inal .
3. Quelle distance le train a-t-il parcourue entre t = 0 et t = 1 min ? Avec quelle vitesse moyenne ?
Réponses : x(1)
x(0) = 0, 6 km ; vmoy = 0, 6 km.min
1
.
4. Même question pour la totalité du parcours.
Réponses : d = 4, 8 km et vmoy = 0, 8 km.min
1
.
30
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
Vitesse algébrique du train :
4.1.8
ﬂ I Le « 100 m » de Usain Bolt, athlète jamaïcain
Usain Bolt détient le record du monde de course du 100 m en 9s 58 (Berlin, août 2009).
1. En supposant qu’il eﬀectue une course uniformément accélérée, en déduire sa vitesse et son accélération
au moment où il franchit la ligne d’arrivée.
2. Sa vitesse de pointe mesurée est de 12, 42 m.s
parait-elle correcte ?
1
. L’hypothèse d’une course uniformément accélérée vous
3. Sa course comporte en réalité une première phase d’accélération suivie d’une phase où il tente de
maintenir sa vitesse qui décline cependant vers la fin de la course. On simplifie en modélisant sa course
par une première phase d’accélération décroissant linéairement avec le temps (a(t) = A Bt où A et B
sont des constantes positives) suivie par une phase où il maintient sa vitesse. Quelles sont les dimensions
de A et B ?
4. Représenter l’allure de son accélération, puis de sa vitesse au cours du temps pendant la course.
5. Déterminer la distance parcourue pendant la phase d’accélération, sa durée, ainsi que la valeur de son
accélération initiale prévues par le modèle. En réalité, l’athlète atteint 95% de sa vitesse maximale après
38 m. Commenter.
6. Récemment, une guépard femelle du zoo de Cincinnati a été chronométrée à 5, 95 s sur 100 m, terminant
sa course à 98 km.h 1 (« Cheetah Breaks Speed Record Beats Usain Bolt by Seconds », National Geographic, 20/06/2012). Montrer que le modèle précédent n’est pas adapté pour décrire la course du guépard.
Eléments de réponse : 1. vf = 20, 9 m.s 1 > 12, 42 m.s
ration : ⌧1 = 4, 58 s, accélération initiale : A = 5, 42 m.s
pendant la phase d’accélération : d1 = 124 m > 100 m !
4.1.9
1
2
, a = 2, 18 m.s 2 ; 5. durée de la phase d’accélé; 6. avec le modèle précédent, distance parcourue
ﬂ Un marcheur qui saurait accélérer
Un marcheur se déplace le long d’un chemin rectiligne d’un point A à un point B pendant l’intervalle de
temps t. En supposant que le marcheur accélère tout le long du trajet, lequel des points est-il compatible
avec sa position au temps t/2 : M1 , M2 ou M3 ?
Élément de réponse : M1 .
31
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
4.1.10
ﬂ I Moitié du temps versus moitié de la distance
Deux amis entreprennent un treck de 60 km. Le premier parcourt la moitié du chemin en marchant et
l’autre en courant alors que l’autre participant marche la moitié du temps et court l’autre moitié du temps.
En supposant qu’ils courent et marchent à vitesse constante, lequel arrive le premier ?
Indication : représenter sur un même graphe la distance parcourue par les deux sportifs en fonction du temps.
Éléments de réponse : celui qui court la moitié du temps arrive le premier.
4.1.11
ﬂ Le lièvre et ... un autre lièvre
À partir du même point de départ, deux coureurs accélèrent uniformément avec la même accélération
jusqu’à la ligne d’arrivée mais l’un part 1 s avant l’autre. La distance les séparant reste-elle identique pendant
le parcours ? À quel moment sont-ils le plus proches ? Combien de temps les sépare à l’arrivée ?
Indication : déterminer les équations horaires des deux lièvres en prenant la même origine des temps.
Éléments de réponse :
La distance les séparant augmente linéairement avec le temps pendant toute la durée du parcours du second
coureur car sa vitesse est en tout instant supérieure à celle du deuxième coureur :
a
v1 (t) v2 (t) = at a(t 1) = a > 0 et x1 (t) x2 (t) = at
.
2
a 2
a
2
À l’arrivée, 1 s les sépare : x1 (t) = t et x2 (t) = (t 1) .
2 r
2
r
2d
2d
d = x1 (t1 ) = x2 (t2 ), t1 =
et t2 =
+ 1 = t1 + 1.
a
a
4.1.12
ﬂ Accélération d’un ascenseur
On souhaite que la montée d’un ascenseur depuis le niveau Jussieu jusqu’au 6e étage de la tour centrale
ne prenne que 30 s. Depuis le niveau Jussieu, l’ascenseur commence par accélérer uniformément pendant un
intervalle de temps t1 , puis continue à monter à vitesse constante pendant un intervalle de temps t2 = 4 t1
et enfin ralentit uniformément pendant un intervalle de temps t3 = t1 pour s’arrêter au 6e étage.
1. Évaluer la hauteur du 6e étage.
2. Quelle doit être l’accélération de l’ascenseur pour que la montée au 6e étage ne prenne que 30 s ?
Éléments de réponse : voir exercice 4.1.5 "Vitesse excessive". a = 0, 16 m.s
4.1.13
2
.
ﬂ Collision ?
À cause d’une erreur d’aiguillage, deux trains se retrouvent à rouler l’un vers l’autre sur les mêmes rails
décrivant une ligne droite, l’un roulant à 95 km.h 1 , l’autre à 110 km.h 1 . Quand les deux conducteurs s’en
aperçoivent, il ne reste plus que 250 m entre eux. Après un temps de réaction respectivement de 0, 3 s pour
l’un et de 0, 8 s pour l’autre, les deux conducteurs se mettent à freiner uniformément, avec une décélération
4 m.s 2 . Éviteront-ils la collision ?
Éléments de réponse : voir exercice 4.1.4 « S’arrêter ». Distance de freinage des deux trains = 236 m < 250 m.
32
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
4.2 La dynamique : comprendre les causes du mouvement
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de cette partie :
– Savoir donner un sens précis au vocabulaire scientifique introduit dans cette partie : dynamique, principe,
théorème, système isolé ou pseudo-isolé, loi de conservation ;
– savoir ce qu’est un référentiel galiléen (ou inertiel), connaître les principes de la dynamique : principe
d’inertie, principe fondamental de la dynamique dans ses diﬀérentes formulations, principe des actions
réciproques et principe de relativité ;
– connaître la notion de force, savoir décrire entièrement une force (point d’application, intensité, direction
et sens). Connaître les forces suivantes : force de gravité entre deux masses, force électrostatique entre
deux charges, poids, réaction normale d’un support, force de frottement solide dans les régimes statique
et cinétique, force de frottement fluide dans les régimes linéaire et quadratique, force élastique (ou force
de rappel) ;
– connaître la méthode générale de résolution des équations du mouvement : définir le référentiel, le système,
faire le bilan des forces, déterminer la résultante des forces extérieures, écrire le principe fondamental de
la dynamique, résoudre les équations diﬀérentielles avec les conditions initiales. Savoir mettre en œuvre
cette méthode dans des cas à une dimension, savoir refaire les nombreux exemples donnés dans le cours
(chute libre, trajectoire balistique, chute avec frottement fluide linéaire, mouvement horizontal sur un
support avec frottement, oscillateurs horizontal et vertical). Naturellement, c’est la méthode qui doit être
acquise et il est inutile de savoir par cœur le résultat pour un exemple précis ;
voir fiche 7 « étude du mouvement d’un système soumis à des forces extérieures » page 118
dans le polycopié de cours ;
– connaître la condition d’équilibre pour la résultante des forces. Savoir la mettre en œuvre dans des
situations à une ou deux dimensions ;
– savoir quand la quantité de mouvement est conservée. Savoir utiliser sa conservation pour un système de
deux solides. Savoir traiter le problème de la collision élastique à une dimension.
Important : avant de commencer cette série d’exercice, il est recommandé de réviser tout ce
qui a déjà été appris sur les équations diﬀérentielles, résumé dans la fiche méthodologique 9
page 122 du polycopié de cours, et de bien étudier la fiche fiche 7 « étude du mouvement d’un
système soumis à des forces extérieures » page 118.
4.2.1
b Lancer vertical
Un objet de masse m = 1 kg est lancé vers le haut depuis une hauteur h = 1 m avec une vitesse initiale
verticale v0 ~uz avec v0 = 3 m.s 1 . Les frottements de l’air sont négligés.
1. Déterminer l’équation horaire z(t) de l’objet.
2. Déterminer la hauteur maximale atteinte par l’objet.
3. Déterminer le temps qu’il met à retomber au sol.
4.2.2
ﬂ La fronde
La question est de savoir jusqu’à quelle hauteur pourra monter une pierre de masse m, projetée verticalement à l’aide d’une fronde. Le problème est modélisé en considérant que la pierre est attachée à une corde
de longueur ` à laquelle un mouvement de rotation uniforme dans un plan vertical est communiqué comme
représenté sur le schéma ci-dessous. La pierre fait n tours en un temps ⌧ . La corde est lâchée au moment où
33
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
la pierre atteint le point A situé à une altitude d au-dessus du sol. Les frottements de l’air et la masse de
la corde sont négligés. L’axe vertical orienté vers le haut est noté Oz et le niveau du sol est choisi comme
origine des positions. L’accélération de la pesanteur est notée g.
Données numériques : m = 40 g ; ` = 1, 0 m ; n = 8 ; ⌧ = 1, 0 s ; d = 1, 50 m.
1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l’accélération de la pierre une fois la corde lâchée.
2. Donner l’expression de la position z(t) de la pierre au cours du temps en fonction de `, n, ⌧ , g, d.
Représenter la position de la pierre z(t) en fonction du temps.
Réponse : z(t) = d +
2⇡`nt
⌧
gt2
2 .
3. Déterminer h, la hauteur jusqu’où monte la pierre, en fonction de `, n, ⌧ , g, d. Quelle serait cette
hauteur sur la lune où l’accélération de la pesanteur vaut un sixième de celle de la Terre ?
Réponse : h = d +
1 2⇡`n 2
2g ( ⌧ )
= 7, 7 ⇥ 102 m.
4. Au cours de sa trajectoire, à quelle altitude h0 la pierre retombe-t-elle avec la même vitesse qu’au
moment du lâcher ?
Réponse : h0 = d.
5. Combien de temps après
q le lâcher, tsol , la pierre touche-t-elle le sol ?
Réponse : tsol = vgi + 2h
g ' 10 s.
6. Comment sont modifiées qualitativement les réponses aux questions précédentes si les frottements de
l’air sont pris en compte. Pour simplifier, la résultante des forces de frottements est supposée d’intensité
constante, opposée à la vitesse de la pierre.
4.2.3
b Glissement
Considérons un objet de masse m = 2 kg sur un plan horizontal (xOy). Après un choc, une vitesse initiale
v0 ~ux avec v0 = 2 m.s 1 est communiquée à l’objet.
1. Hypothèse initiale : l’objet glisse sans frottement. Représenter les forces qui s’exercent sur l’objet. Écrire
l’équation horaire de son mouvement.
2. Les frottements de l’objet sur le plan sont maintenant pris en compte : le coeﬃcient de frottement
cinétique est µc = 0, 2. Écrire l’équation horaire du mouvement de l’objet. Au bout de quelle distance
l’objet s’arrête-t-il ?
Remarque : il peut être intéressant d’aller regarder l’exercice 4.3.4 qui est similaire, mais avec une approche
énergétique
4.2.4
b I Le principe de relativité de Galilée
Dans un port, un bateau à voile avance à la vitesse constante v0 le long d’un quai. Un marin en vigie en
haut d’un mât de hauteur h lâche une pierre. Galilée, assis sur un banc, regarde la pierre tomber depuis le
quai.
1. À votre avis, la pierre tombe-t-elle au pied, en avant, ou en arrière du mât ?
34
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
2. Quelle est l’accélération de la pierre et sa vitesse initiale dans le référentiel lié au bateau ? Quelle est
l’équation horaire de la pierre dans le repère du bateau ? En déduire où le marin voit tomber la pierre.
3. Quelle est l’accélération de la pierre et sa vitesse initiale dans le référentiel lié au quai ? Quelles sont
les équations horaires de la pierre z(t) et x(t) dans le référentiel du quai. En déduire où Galilée voit
tomber la pierre.
4. Le bateau avance maintenant avec une accélération constante a0 .
(a) Le référentiel du bateau est-il toujours un référentiel galiléen ?
(b) Quelles sont les équations horaires de la pierre dans le référentiel du quai ?
(c) Quelles sont les équations horaires de la pierre dans le référentiel du bateau ?
(d) Où le marin et Galilée voient-ils tomber la pierre selon que le bateau accélère (a0 > 0) ou ralentit
(a0 < 0) ?
4.2.5
b Constantes de raideur
Soit un objet de masse m et d’épaisseur a placé dans un tube de longueur L à l’intérieur duquel il peut
se déplacer sans frottement. Il est relié aux extrémités du tube par des ressorts de même longueur à vide `0
et de raideur k1 et k2 inconnues (2`0 + a < L).
Afin de déterminer les constantes de raideur des ressorts, deux expériences sont réalisées :
– Expérience A : le tube est placé à l’horizontale ; lorsque l’équilibre est atteint la mesure de la longueur du
ressort 1 est `1 .
– Expérience B : le tube est placé à la verticale avec le ressort 1 au-dessous de l’objet ; lorsque l’équilibre est
atteint la mesure de la longueur du ressort 1 est `01 .
Données numériques : m = 150 g ; a = 2 cm ; L = 32 cm ; `0 = 10 cm ; `1 = 18 cm ; `01 = 15 cm.
1. Faites un schéma des forces s’exerçant sur la masse à l’équilibre pour chacune des expériences.
2. Déduire de l’expérience A le rapport des raideurs
k2
k1 .
3. Déduire des résultats des deux expériences la valeur des raideurs de chacun des ressorts.
4. Le tube est toujours placé verticalement mais le ressort 1 est maintenant disposé au dessus de la masse
m. Déterminer la nouvelle valeur de la longueur de chacun des deux ressorts, l”1 et l”2 .
4.2.6
ﬂ I Frottements statiques et cinétiques
Soit un bloc de laiton de 2 kg sur une plaque en acier. La plaque fait un angle ↵ avec l’horizontale. Une
impulsion est donnée au bloc de laiton vers le haut du plan incliné, selon la ligne de plus grande pente et de
telle sorte qu’à t = 0 le bloc a une vitesse v0 . Le coeﬃcient de frottement cinétique laiton/acier sera noté fc
et le coeﬃcient statique fs .
Il s’agit d’un exercice à la limite du programme ; un des points délicats est de garder à l’esprit le domaine de
validité des expressions écrites : en particulier lorsqu’un objet s’arrête, le frottement dynamique devient nul.
1. Faire un schéma du dispositif en indiquant les forces appliquées au bloc.
2. Quelle distance le bloc parcourt-il avant de s’immobiliser ?
Données numériques : ↵ = 20 , fc = 0, 4, v0 = 2 m.s
Réponse : dimmo =
v02
2g(sin ↵+fc cos ↵)
1
= 28 cm.
3. Une fois le bloc de laiton immobilisé, la plaque d’acier est progressivement soulevée de façon à augmenter ↵. Quelle est la valeur limite ↵max de l’angle entre la plaque d’acier et l’horizontale pour laquelle le
bloc de laiton se met à bouger ?
Donnée numérique : fs = 0, 5
Réponse : ↵max = 27 .
35
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
4.2.7
ﬂ Un livre contre un mur
Un livre de masse m est plaqué contre un mur vertical par application d’une force F~ horizontale. En plus
~ le mur induit une force de frottement statique f~ parallèle au mur (verticale ici),
de la réaction normale R,
avec un coeﬃcient de frottement statique µ0 qui dépend des matériaux dont sont constitués les surfaces du
livre et du mur.
1. Quelle est la dimension de µ0 ?
2. Comment varie µ0 en fonction de la rugosité du mur ?
3. Le livre est immobile : quelle relation vectorielle existe-il entre les forces agissant sur le livre ?
~ + F~ = ~0.
Réponse : P~ + f~ + R
4. Faire la liste de ces forces. et un schéma les représentant. Projeter la relation vectorielle trouvée dans
la question précédente sur les deux axes (vertical et horizontal).
Réponse : en projetant : fz
mg = 0 et Fx + Rx = 0.
5. À l’aide des relations trouvées précédemment et en utilisant la contrainte sur la norme de f~, montrer
que si le livre n’est pas plaqué assez fort, il tombe. Trouver la force minimale qu’il faut appliquer pour
que le livre soit plaqué au mur.
mg
Réponse : Fx >
.
µ0
4.2.8
b Collision de particules
Cet exercice est très similaire à ce qui est proposé dans la préparation du TP "Collisions" pour les étudiants
de PCGI. Il est vivement conseillé de s’y reporter lors de la préparation du TD et réciproquement
Une particule ↵ de masse m émise avec une vitesse u par un corps radioactif, vient heurter en un point O
une particule cible de masse M initialement au repos. Le choc est supposé élastique, et les particules après le
choc se meuvent dans la même direction. Un capteur placé en un point A distant de d du point O enregistre
tour à tour les instants de passage t1 et t2 des deux particules.
Données numériques : u = 106 m.s
1
; d = 10 cm
1. Faire un schéma. Quel est le système mécanique étudié ? Quelle(s) force(s) peuve(nt) être négligée(s)
ici ?
2. Comment varie la quantité de mouvement de ce système ? son énergie mécanique ?
3. Exprimer la vitesse v de la particule ↵ après le choc en fonction de u et du rapport de masse x = M
m.
Exprimer la vitesse w de la particule de masse M après le choc. Quelle est la particule qui passe la
première devant le détecteur ?
4. Il s’écoule une durée t entre le passage des deux particules. Que vaut alors le rapport de masse x ?
Sachant que t = 2, 25 ⇥ 10 7 s, en déduire la nature de la particule cible.
5. Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles ce dispositif ne peut pas mesurer M ?
6. Est-il justifié d’utiliser la mécanique non relativiste ?
4.2.9
ﬂ La tour d’impesanteur
Dans le livre de Dan Brown, « Anges et Démons », le personnage principal, R. Langdon, professeur
d’histoire à Harvard, se rend en visite au CERN. Il y découvre avec étonnement une tour d’impesanteur dans
laquelle les chercheurs du CERN viennent se détendre.
« Le professeur Robert Langdon avait assisté à d’étranges spectacles au cours de sa vie, mais celui- là
était bien le plus insolite. Dans une énorme chambre circulaire flottaient des hommes en état d’apesanteur.
Ils étaient trois. L’un d’eux fit une cabriole tout en lui adressant un petit signe de la main.
Mon Dieu, songea Langdon éberlué, je suis chez les dingues ! »
L’état d’impesanteur est en fait obtenu grâce à une puissante souﬄerie qui envoie de l’air verticalement vers
le haut de la tour.
36
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
1. Quel est le bilan des forces appliquées à un chercheur dans la tour d’impesanteur ?
2. Par analyse dimensionnelle, donner la résistance de l’air en fonction de S, la surface frontale du corps
du chercheur, de v, la vitesse relative du corps du chercheur dans l’air, et de ⇢air la masse volumique
de l’air.
3. Il est possible de montrer que cette force s’écrit sous la forme : F = 12 Cx S ⇢air v 2 où Cx , sans dimension,
est un coeﬃcient de pénétration dans l’air. Quelle doit être la vitesse de l’air envoyé par la souﬄerie
afin que les chercheurs puissent rester en lévitation ?
Données numériques : chercheur de masse m = 80 kg, Cx = 0, 4, S = 0, 6 m2 , ⇢air = 1, 25 kg.m
Réponse : vair/tour = vair/chercheur = 72, 3 m.s
4.2.10
1
3
.
b Expérience de Millikan
L’expérience de Millikan (1910) a permis de montrer la quantification de la charge électrique.
Entre deux plaques métalliques horizontales de charges électriques opposées (ce qui constitue un condensateur plan horizontal) est établie une atmosphère gazeuse dans laquelle de fines gouttelettes de glycérine
sont pulvérisées. Le mouvement de ces gouttes est observé au microscope. L’atmosphère gazeuse se traduit
~ où R est le rayon d’une gouttelette, ⌘ une
par une force de frottement visqueux de la forme F~⌫ = 6⇡⌘R V
~ la vitesse de la goutte. La poussée d’Archimède sera négligée. À
constante (viscosité du milieu gazeux) et V
l’instant initial t0 = 0 la vitesse est considérée nulle. Le mouvement est supposé rectiligne et vertical.
1. Le champ électrique n’est pas établi. Donner l’expression de la vitesse en fonction du temps d’une goutte
initialement immobile. En déduire l’existence d’une vitesse limite vL . Au bout de combien de temps la
vitesse atteint-elle sa valeur limite à 10 3 près ?
Indication : C’est à dire le temps ⌧ pour lequel vL vLv(⌧ ) = 10 3
Faire l’application numérique. Que pouvons-nous déduire de ce calcul ?
~ = E~j est établi (E > 0). On admettra à ce stade du cours que E = U avec `
2. Le champ électrique E
`
la distance séparant les 2 armatures du condensateur et U la diﬀérence de potentiel entre elles et que
~ Une des gouttes apparaît immobile. Calculer la charge électrique q de cette goutte, préciser
F~ = q E.
son signe. Faire l’application numérique.
3. La goutte observée reçoit maintenant une charge électrique supplémentaire par ionisation sous l’eﬀet
d’un faisceau de rayons X. Son mouvement est rectiligne, uniforme,vertical dirigé vers le haut et la
mesure de sa vitesse correspond à un déplacement de 20 mm en 58 s. En déduire la nouvelle charge
électrique de la goutte. Conclure.
Données numériques : R = 1, 8 µm ; ⌘ = 1, 8.10
4.2.11
5
Pa.s ; ⇢glycérine = 885 kg.m
3
; U = 37, 5 kV ; ` = 28 mm.
ﬂ I Chute d’une fourmi
Pourquoi une fourni ne s’écrase-elle pas en tombant d’une table d’un mètre de haut ? Que se passerait-il
si elle tombait de la Tour Eiﬀel ?
Indication : on suppose qu’en tombant, l’air exerce une force de frottement F = kv proportionnelle à sa
vitesse de chute v, avec k = 4.7 ⇥ 10 4 SI. La fourmi a une masse m = 15 mg, la tour Eiﬀel une hauteur
h ' 300 m.
37
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
4.2.12
ﬂ I Fusée
Une fusée de masse initiale m0 = 1000 t décolle verticalement en expulsant de la matière avec un débit
massique constant q = 4 t.s 1 . La matière expulsée a une vitesse par rapport à la fusée u ~uz avec u =
5000 m.s 1 .
1. En faisant un bilan de quantité de mouvement sur le système fusée + gaz expulsé entre deux instants
t et t + dt, trouver une expression de dv
dt .
Réponse :
dv
dt
=
qu
m(t)
g
2. Exprimer v(t). Calculer v à t = 2 min après le décollage.
Réponse : v (t = 2 min) = 2, 1 ⇥ 103 m.s
1
3. Comparer la poussée au décollage au poids de la fusée. Quelle est alors l’accélération de la fusée ? Est-ce
supportable pour un astronaute ?
Réponse : P = qu m0 g = 1, 0⇥107 N, a =
P
m0
= 10, 2m.s
2
⇡ 1 g très supportable pour un astronaute.
Remarque : ensuite l’accélération continue à augmenter progressivement (a (t = 2 min) = 2, 8g) et devient donc de plus en plus diﬃcile à supporter pour d’éventuels astronautes.
4.2.13
ﬂ Partie I de l’examen de décembre 2015
(déplacement d’une bactérie dans un liquide)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion de faire quelques révisions sur
l’analyse dimensionnelle, puis d’étudier la dynamique dans les cas suivants : mouvement rectiligne uniforme
(partie I.A.) puis mouvement décéléré allant jusqu’à l’arrêt (partie I.B.). La dernière partie de l’exercice
(partie I.C.) permet de réviser les collisions dans un cas simple très proche du cours.
Réponses : 1. C = k⌘`r ; 2. mouvement rectiligne uniforme : la résultante des forces est nulle, ce qui donne
0
0
! = ↵V
= 6⇡RV
C
k`r . Le résultat ne dépend pas de ⌘, la vitesse de rotation ! fixe la vitesse V0 indépen↵
damment de la viscosité du fluide ; 3. environ 100 tours par seconde ; 4.-6. m dv
↵v, v(t) = V0 e m t ,
dt =
↵
m
6
0
x(t) = mV
1 e mt , ⌧ = m
µm ;
↵
↵ = 6⇡⌘R ; 7. graphe : voir polycopié de cours ; 9. ⌧ ' 0, 2 µs et D ' 2⇥10
1
0
1
12. V ' 10 µm.s et V ' +0, 1 µm.s : la bactérie rebondit sur le globule.
4.2.14
ﬂ Partie II de l’examen de décembre 2016 (Déplacer une armoire)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion de faire un exercice supplémentaire pour vous assurer que vous avez bien assimilé la dynamique avec frottements et les collisions.
Réponses : 1. P~ et R~N verticaux et de sens opposés, F~ et R~T horizontaux et de sens opposés ; 2. ⌃F~ = ~0 avec
P~ = M g u~y , R~N = RN u~y , F~ = F u~x et R~T = RT u~x , d’où RN = M g et RT = F ; 3. RT,max = µ0 M g et
donc Fmin = µ0 M g ; 4. Système = {déménageur+armoire} , conservation de la quantité de mouvement et de
2
l’énergie cinétique, c’est à dire un système de deux équations : mvd = mvd0 + M v0 et 12 mvd 2 = 12 mvd0 + M v0 2
M m
0
~
~
dont la résolution donne v0 = M2m
RT u~x , RT = µRN = µM g,
+m vd et vd =
M +m vd ; 5. ⌃F = RT =
1
2
vx (t) = v0 µgt avect vx (0) = v0 , x(t) = v0 t 2 µgt avec x(0) = 0, la vitesse en fonction du temps est
représentée par une droite décroissante qui part de v0 à t = 0 et s’interrompt quand elle coupe l’axe des
abscisses (vx = 0) ; 6. ;, la position en fonction du temps est une parabole "tournée vers le bas", qui part de
x = 0 en t = 0, la courbe s’interrompt au moment où la vitesse s’annule, ce qui correspond au sommet de
v0
la parabole ; 7. vx (tmax ) = 0, tmax = µg
, xmax = x(tmax ) = v0 2 /2µg ; 8. v0 = 1m · s 1 , xmax = 25cm ;
9. Translation rectiligne uniforme, donc ⌃F~ = ~0, calcul similaire à la question 2 mais avec RT = µRN
car l’armoire est en mouvement, d’où F = RT = µM g ; 10. force constante, donc W (F~ ) = F d = µM Gd ;
11. Seul le poids travaille lorsque l’armoire est soulevée : W (P~ ) = M gh, le déménageur doit donc fournir
un travail W (P~ ) = M gh. Le rapport des deux travaux est µd/h = 2 ;
38
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
4.3 La dynamique : le point de vue énergétique
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de cette partie :
– savoir ce qu’est la puissance instantanée d’une force, être capable de la calculer dans les cas de mouvements à une dimension. Savoir ce qu’est le travail d’une force, être capable de le calculer dans les cas de
mouvements à une dimension. Savoir si la puissance ou le travail sont moteur ou résistant ;
– connaître le théorème de l’énergie cinétique et savoir l’utiliser pour des mouvements à une dimension ;
– connaître la notion de force conservative, savoir ce qu’est l’énergie potentielle et le lien entre force et
énergie potentielle. Connaître l’énergie potentielle dont dérivent les forces suivantes : force de gravité
entre deux masses, force électrostatique entre deux charges, poids, force élastique (ou force de rappel) ;
– connaître la notion d’énergie mécanique, savoir quand elle est conservée. Connaître le théorème de l’énergie
mécanique. Savoir l’utiliser dans les cas de mouvements à une dimension ;
voir fiche 8 « étude du mouvement d’un système soumis à des forces extérieures » page 120121 dans le polycopié de cours ;
– savoir ce qu’est un paysage énergétique et pouvoir l’exploiter pour déterminer graphiquement l’intensité
et le sens de la force, les limites du mouvement et l’évolution de la vitesse, les positions d’équilibre et leur
stabilité, le caractère lié ou diﬀusif de l’état du système.
Important : il est conseillé de bien étudier la fiche 8 « faut-il utiliser la force ou l’énergie pour
étudier un mouvement ? » pages 120-121 du polycopié de cours, dans laquelle est proposée une
comparaison entre l’approche cette partie et celle de la partie précédente (4.2).
4.3.1
- Questions de cours
Comme toujours, il est indispensable d’avoir assimilé le cours avant de commencer les exercices. Les
questions ci-dessous ont toutes leur réponse dans le cours. Il est vivement conseillé de savoir y répondre
avant de poursuivre.
1. Qu’est-ce qu’une force conservative ?
2. Les forces de frottement sont-elles des forces conservatives ? (justifier votre réponse)
3. Énoncer le théorème de l’énergie cinétique et détailler le nom et la signification physique des diﬀérents
termes. En introduisant la notion d’énergie mécanique, en déduire un théorème de l’énergie mécanique
montrant le rôle des forces non conservatives dans le bilan d’énergie. Expliciter chaque terme.
4. Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur pour une masse m soumise au champ de
pesanteur g. Préciser le choix d’orientation de la verticale et du "zéro" des énergies potentielles.
5. Donner l’expression de l’énergie potentielle associée à la force de rappel d’un ressort de raideur k.
Préciser la signification de chaque terme de l ?expression.
6. Donner l’expression générale de l’énergie potentielle associée à deux masses m et M distantes de r.
7. Donner l’expression générale de l ?énergie potentielle associée à deux charges q et Q distantes de r.
8. Qu’appelle-t-on énergie mécanique ? Dans quel cas, cette énergie est-elle conservée ?
4.3.2
- Travail lors d’une chute
Note : cet exercice est entièrement traité dans le polycopié de cours, page 104. .
Un opérateur lâche un objet de masse m sans vitesse initiale depuis un point A situé à une hauteur zA
au-dessus du sol. Données numériques : m = 1 kg ; zA = 1 m.
1. Calculer le travail du poids entre le point A et le point d’atterrissage de l’objet.
2. Même question si l’opérateur communique à l’objet une vitesse initiale v0 ~uz avec v0 = 1 m.s
39
1
.
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
4.3.3
b Plongeon
On considère un plongeoir situé à une hauteur h = 10 m au dessus de la surface de l’eau d’une piscine.
1. On considère un plongeur de masse m = 80 kg qui va s’élancer du plongeoir. À partir du moment où il
quitte le plongeoir, quelle(s) interaction(s) subit le plongeur ?
Indication : Dans les exercices proposés dans ce polycopié nous employons le plus souvent le mot
"force", "interaction" a le même sens. Quelle interaction subit le plongeur ? ⌘ À quelle force est soumis
le plongeur ?
2. Évaluer la variation d’ « énergie potentielle de ce plongeur » entre le plongeoir et l’eau. Cette variation
est-elle positive ou négative ?
3. En supposant que la variation d’énergie potentielle soit entièrement convertie sous forme d’énergie
cinétique, quelle serait la vitesse d’impact de l’homme avec l’eau ? On donnera le résultat en km.h 1 .
4. La vitesse du plongeur au cours du plongeon peut s’écrire sous trois formes diﬀérentes en fonction du
choix arbitraire d’un axe (0z) de référence :
p
p
p
;
(b) v = 2gz
;
(c) v =
2gz ,
(a) v = 2g(h z)
où g = 10 m s 2 est la norme du champ de pesanteur terrestre. Faire un schéma de l’axe z correspondant
à ces trois situations (on précisera l’origine et le sens de l’axe dans chaque cas).
5. Donner l’expression de l’énergie potentielle de l’homme de masse m en fonction de z pour chacune des
définitions de l’axe z considérées en 4.
4.3.4
b Distance d’arrêt
Cet exercice est une approche énergétique de l’exercice 4.2.3 qui proposait une approche dynamique. Les
résultats sont bien entendu identiques !
Soit un objet de masse m glissant sur un plan horizontal xOy. À l’instant initial, il a une vitesse initiale
v0 selon l’axe (0x). Le coeﬃcient de frottement cinétique est µc . L’objet s’immobilise après avoir parcouru
une distance d.
1. Rappeler la définition de µc . Ce dernier est-il plus grand que le coeﬃcient de frottement statique µs ?
2. Faire un schéma des diﬀérentes forces qui s’appliquent sur l’objet.
3. Exprimer le travail de ces forces entre l’instant initial et l’arrêt.
4. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, calculer la distance d.
Données numériques : m = 2 kg ; v0 = 2m.s
4.3.5
1
; µc = 0, 2.
ﬂ Toboggan
Un enfant de masse m = 20 kg s’élance du haut d’un toboggan de longueur l = 3 m. L’angle d’inclinaison du
toboggan avec le sol est ↵ = 30 . On fait l’hypothèse de l’absence de frottement au cours de la glissade.
1. Déterminer la hauteur du toboggan.
2. Quelles sont les forces en jeu et les énergies potentielles associées ?
3. Déterminer le travail du poids de l’enfant au cours de sa descente et faire l’application numérique.
4. Déterminer la vitesse de l’enfant en bas du toboggan.
Eléments de réponse : 1. h =
4.3.6
l
2
; 3. W = 300 J ; 4. v = 7, 7 m.s
1
.
b Collision et ressort
Cet exercice est à rapprocher de l’exercice 4.2.8 sur les collisions, dans la partie dynamique. Comme lui, il
est en lien avec le TP "Collisions" proposé aux étudiants de PCGI. Il est vivement conseillé de (re-)lire le
fascicule de TP à cette occasion. En particulier, les expressions demandées ici ont donc déjà été calculées.
40
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
Soit un ressort horizontal de raideur k et de longueur à vide L0 , lié à gauche à un point fixe P et à droite
à une masse M . La masse glisse sans frottement sur un plan horizontal suivant un axe Ox passant par le
ressort et orienté de droite à gauche. L’origine (x = 0) correspond à la position de la masse M au début de
l’expérience.
Un objet de masse m glisse sans frottement selon l’axe Ox et vient percuter la masse M . La vitesse de la
masse m avant la collision est vm ~ux .
p
p
Données numériques : k = 1 N.m 1 ; |vm | = 3m.s 1 ; m = 1kg ; M = 2kg ; L0 = 5m ; 2 = 1, 4 ; 3 = 1, 7
1. Faire une figure. Quel est le signe de vm ? Justifier le choix inhabituel de l’orientation de l’axe Ox.
Dans un premier temps le choc est supposé élastique. Les vitesses des masses m et M juste après la collision
0
0
sont respectivement vm
~ux et vM
~ux .
0
2. Montrer que vM
=
2m
M +m vm .
Faire l’application numérique.
3. Toujours dans l’hypothèse d’un choc élastique, calculer xmax , la position de l’extrémité du ressort et
Lmin sa longueur minimal, lors de sa compression maximale.
Le choc est maintenant supposé mou : la masse m s’encastre dans la masse M . La vitesse de la masse m + M
0
juste après la collision est vM
ux .
+m ~
0
4. Montrer que vM
+m =
m
m+M vm .
Faire l’application numérique.
5. Calculer la compression maximale du ressort (x0max , L0min ). Commenter le résultat en termes énergétiques.
4.3.7
ﬂ Énergie dépensée lors d’un marathon
Pour évaluer l’énergie dépensée par un bon coureur lors d’un marathon sur un terrain plat, le modèle
suivant est proposé : le corps du coureur est supposé rigide, et ses jambes sont assimilées à deux cylindres de
hauteur H = 1 m et de rayon R = 5 cm. La masse volumique moyenne du corps ⇢ est celle de l’eau.
1. Pourquoi les coureurs s’eﬀorcent-ils de maintenir en permanence leur tronc à hauteur constante ?
2. Le coureur avance à une vitesse horizontale constante v = 5 m.s 1 . À chaque pas, il dépense une énergie
moyenne e pour permettre à une jambe d’acquérir la vitesse v après que le pied a quitté le sol. Calculer
e en supposant que toute l’énergie est fournie à la jambe sous forme d’énergie cinétique.
Réponse : e ' 98 J
3. Quelle est l’énergie E dépensée lors d’un marathon (environ 42 km), sachant que le coureur a une foulée
de 1 m ? Exprimer le résultat en kcal (1 cal = 4, 18 J).
Réponse : E ' 985 kcal.
4. I (plus délicat). En réalité, la dépense énergétique est plutôt de 3000 kcal. Quelles sont les principales
faiblesses du modèle ? Commenter l’ordre de grandeur du résultat obtenu à la question 3.
4.3.8
b I Paysage énergétique
Note : les trois premières questions de cet exercice sont une application directe du cours et peuvent être
considérées comme des questions de cours.
Un point matériel M se déplaçant sans frottement sur un axe horizontal Ox fixe possède une énergie
potentielle U (x).
1. Faites un schéma de la situation physique étudiée.
2. Quelle est la direction de la force agissant sur M ? Donner son expression vectorielle.
3. Qu’appelle-t-on position d’équilibre stable ou instable de M ?
4. À l’instant t = 0, M est lâché sans vitesse initiale en un point P0 de coordonnée x0 . Indiquer qualitativement quel sera le mouvement ultérieur du point M pour chacune des figures ci-après donnant l’allure
de la variation de U (x) au voisinage de P0 . Dans le cas de la figure (e), le point P2 est-il accessible à M ?
41
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
4.3.9
b Lancement d’une fusée - Vitesse de libération
Une fusée (de masse m) est lancée depuis la surface de la Terre (masse MT et rayon RT ). Les forces de
frottements au cours de son évolution ultérieure sont négligées. Seule l’interaction gravitationnelle entre la
fusée et la terre est considérée.
1. Faire un schéma de la situation physique étudiée en précisant le système d’axe utilisé.
2. Donner l’expression de l’énergie potentielle de la fusée dans le champ gravitationnel de la terre (on
appellera r la distance terre-fusée). Tracer Ep(r).
3. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, ou la conservation de l’énergie mécanique, déterminer
la vitesse minimale initiale (dite vitesse de libération) v0 qui doit être donnée à la fusée pour qu’elle
puisse échapper à l’influence de la Terre (c’est à dire s’éloigner infiniment de la Terre).
Indication : la vitesse de la fusée à la surface de la terre (juste après son lancement) n’est pas nulle et vaut
v0 ; en revanche l’énergie minimale à fournir à la fusée est celle qui lui donne une vitesse nulle à l’infini.
4. Quelle est la valeur de v0 dans le cas de la Lune ? dans le cas d’une étoile à neutrons ?
Données numériques : RT = 6400 km ; g = 9, 81 m.s 2 (champ gravitationnel à la surface de la Terre). Pour
la Lune : ML ' 7, 3 ⇥ 1022 kg et RL ' 1700 km. Pour l’étoile à neutrons : M = 3 ⇥ 1030 kg et R = 10 km.
4.3.10
ﬂ Expérience de Rutherford
L’énergie potentielle d’un système de deux charges q et q 0 situées à une distance r l’une de l’autre a pour
0
expression : Ep (r) = Kqq
+ constante où K est la constante de Coulomb.
r
1. La convention usuelle est de fixer la valeur de la constante additive à zéro. À quoi cela correspond-il
« physiquement » ?
2. Faire un graphe représentant Ep (r) (avec la constante nulle et qq 0 > 0).
3. Les particules ↵ sont constituées de deux protons et deux neutrons (He2+ ). Une telle particule, de
vitesse initiale v0 , est envoyée vers un noyau d’or (de charge +Ze) . Le vecteur vitesse est porté par la
droite joignant la particule ↵ et le noyau. D’après le graphique précédent, quelle sera la trajectoire de
la particule ?
4. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, exprimer la distance minimale d’approche de la
particule ↵ vis-à-vis du noyau d’or.
Données numériques : Z = 79, m↵ = 6.7 ⇥ 10
1
K = 4⇡✏
= 9 ⇥ 109 USI.
0
Réponse : rmin =
4KZe2
mv02
27
kg, e = 1, 6 ⇥ 10
19
C, v0 = 2 ⇥ 107 m.s
1
et
= 27 fm.
5. Le rayon d’un atome d’or est de 1, 4 Å et le rayon du noyau d’un atome d’or est d’environ 8 fm. Discuter
l’intérêt de cette expérience pour sonder la structure de la matière.
Réponse : On traverse le nuage électronique pour s’approcher du noyau sans le percuter. On obtient
ainsi une borne supérieure pour la taille du noyau.
42
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
6. Que se passerait-il si le projectile utilisé était un neutron et non une particule ↵ ?
Réponse : Un neutron permettrait d’éviter la répulsion électrostatique et de toucher le noyau.
4.3.11
ﬂ Pendule
Déterminer l’expression de l’énergie mécanique Em du système constitué de la Terre et d’un pendule de
longueur ` et de masse m, pour un angle ✓ quelconque entre le fil et la verticale. En utilisant le fait que l’énergie mécanique du système est conservée (les frottements sont négligés), déterminer l’équation diﬀérentielle
gouvernant l’évolution temporelle de ✓, angle entre le pendule et la verticale.
4.3.12
b Trampoline
Un trampoline est constitué d’une plaque posée sur un ressort de raideur k, de longueur au repos l0 et
de masse négligeable. Le champ de pesanteur est g. Un athlète de masse m eﬀectue des sauts selon un axe
vertical Oy, l’origine O étant choisie au niveau du trampoline au repos. Au cours d’un saut, il se trouve en
un point M situé à une hauteur repérée par son ordonnée y.
1. Faire un schéma du système trampoline-athlète en distinguant les deux cas : y > 0 et y < 0.
2. Déterminer l’énergie potentielle Ep (y) associée aux forces exercées sur l’athlète, en distinguant les deux
cas y > 0 et y < 0.
3. Existe-t-il un position d’équilibre ? Si oui déterminer cette position d’équilibre ye en fonction des données
du problème.
4. La figure ci-après représente la variation de Ep en fonction de y. Elle a été tracée avec les données
numériques indiquées à la fin de l’énoncé.
Repérer dans ce graphe les deux formes de Ep (y) déterminées en 2 ? Quelle abscisse a été choisie pour
le "zéro" d’énergie potentielle ? Quelle sont les valeurs des constantes introduites en 2 ? Que remarquezvous pour y = 0 ?
5. L’athlète saute sur le trampoline depuis une plate-forme située à une hauteur y = h = 1, 8m par rapport
au trampoline au repos. Dans un premier temps les frottements sont supposés absents. En vous aidant
43
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
du graphe, déterminer l’expression de la position la plus basse ym atteinte par l’athlète. Décrire le
mouvement ultérieur de l’athlète. Quelle est la hauteur maximale de laquelle l’athlète peut sauter s’il
ne veut pas toucher le sol lorsque le trampoline s’aﬀaisse ?
6. Les frottements internes du ressort lors du rebond sont maintenant pris en compte : l’énergie mécanique est supposée décroître de 20% au cours de chaque compression et de 20% au cours de chaque
décompression du ressort.
Déterminer l’équation vérifiée pas la position minimale yM 1 atteinte par l’athlète lors de la première
réception sur le trampoline.
De la même façon, quelle expression vérifie l’altitude maximale hM 2 à laquelle l’athlète remonte après
le premier rebond ?
Les expressions de yM 1 et hM 2 ne sont pas demandées.
7. Indiquer sur le graphe les positions extrêmes (bas et haut) atteintes par l’athlète au cours des diﬀérents
rebonds. Quelle est la position finale ?
8. Facultatif - Vérifier l’exactitude du graphe fourni ainsi que les diﬀérentes valeurs numériques obtenues
par une résolution analytique du problème.
Données : m = 50 kg, k = 1000 N.m
1
Figure représentant l’énergie potentielle en fonction de la position :
4.3.13
b et ﬂ I Énergie potentielle d’une bague sur une tige
Une bague peut glisser sans frottement le long d’une tige. Elle est fixée à un ressort, dont l’autre extrémité
est attachée en un point situé à la distance a de la tige (voir figures ci-après pour les notations). La bague a
une masse m. Le ressort, de masse négligeable, a une raideur k et une longueur à vide `0 , et exerce une force
F~ sur la bague.
a) Tige horizontale
b) Tige verticale
44
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
1. La tige est d’abord placée horizontalement (cas a figure ci-après). Faire le bilan des forces qui s’exercent
sur la bague. Pourquoi est-il possible de dire que l’énergie potentielle liée à la force de tension du ressort
F~ ne dépend que de x, alors que le ressort ne tire pas seulement selon cette direction ?
2. Calculer l’énergie potentielle Ep (x) due à F~ , en fonction de x et des données.
3. Ci-dessous le graphe donnant les allures de Ep (x) selon que la longueur au repos du ressort est plus
grande ou plus petite que la longueur a.
Discuter des positions d’équilibre et de leur stabilité.
4. La tige est maintenant placée verticalement (cas b figure ci-après). Faire un bilan des forces, et préciser
quelles sont les forces qui vont contribuer à l’énergie potentielle totale de la bague.
5. Calculer l’énergie potentielle Ep (x) de ces forces.
6. Ci-dessous le graphe donnant l’allure de Ep (x) dans le cas a > `0 .
Commenter par rapport au cas de la tige horizontale.
7. ﬂ I Étudier graphiquement la variation de l’énergie potentielle Ep (x) pour a < `0 , en décomposant les
contributions des diverses énergies potentielles, et mettre en évidence une qu’il existe une masse critique
mc (dont on ne cherchera pas à donner l’expression) qui sépare deux types de situations. Tracer l’allure
de l’énergie potentielle dans les deux cas m < mc et m > mc . Commenter les résultats.
4.3.14
ﬂ I
Lévitation d’une perle chargée électriquement
Un anneau de rayon R porteur d’une charge électrique Q > 0 est posé sur une table. Une tige très fine
est placée verticalement en son centre, le long de laquelle peut se mouvoir une perle de masse m et porteuse
d’une charge électrique q > 0. Les frottements le long de la tige seront négligés.
1. Faire un schéma des forces qui s’exercent sur la perle. À l’aide de considérations de symétrie, préciser
la direction de la force résultante qui s’exerce sur la perle. À quelle condition peut-il y avoir équilibre ?
2. Justifier que l’expression de l’énergie potentielle du système s’écrit :
Ep (z) = mgz + KQq
1
(z 2
+ R2 )
1/2
,
où z est la hauteur de la perle par rapport à la table et K la constante de Coulomb .
Pour quelle valeur de z le "zéro" de l”énergie potentielle a-t-il été fixé ?
Réponses : perle sur la table
45
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
3. Montrer que la perle subit (entre autres forces) une force verticale dont la valeur algébrique est donnée
par l’expression :
F (z) = KQq
z
(z 2
+ R2 )
3/2
Vérifier l’homogénéité de cette expression.
4. Tracer sur un même graphe les projections verticales de ces forces en fonction z. Montrer qu’il y a
diﬀérents cas possibles selon la valeur de m (introduire pour cela une masse critique mc ). Comment
déterminer graphiquement les positions d’équilibre ? Expliquer dans chaque cas ce qui se passe si la
perle est légèrement déplacée de sa position d’équilibre, et discuter la stabilité de l’équilibre.
5. Tracer l’allure de Ep (z) pour les deux cas : m < mc et m > mc . Retrouver les positions d’équilibre et
leur caractère stable ou instable.
4.3.15
ﬂ Partie II de l’examen de décembre 2015 (saut à l’élastique)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion d’étudier un mouvement avec
deux phases : une phase de chute libre très étudiée en cours, qui est abordée par les forces puis par le point
de vue énergétique, et une phase avec un rappel élastique, abordée uniquement sous l’angle énergétique.
Travailler cet exercice est une bonne occasion de réviser ces façons d’étudier le mouvement, comme expliqué
dans la fiche 8 du polycopié de cours. Attention : dans l’exercice, l’axe vertical est dirigé vers le bas.
Réponses : 13. à 18. : toutes ces questions sont résolues dans le polycopié de cours ; 19. [k] = M.T 2 ; 20.
P~ = mg~uz et F~ = k(z L0 )~uz ; 21. Ep (z) = mgz + cste pour le poids et Ep (z) = 12 k(z L0 )2 + cste
2
pour la force de rappel élastique ; 22. Ep = mg L + 12 k L2 ; 23. Ec = 0 12 mvB
= mgL0 ; 24.
la relation recherchée est obtenue par le théorème de l’énergie mécanique : Em = Ec + Ep = 0 ; 25.
Lmax = H L0 soit kmin = (H2mgH
L0 )2 : le résultat dépend de m, il faut choisir l’élastique en fonction de
la masse du sauteur ; 26. position d’équilibre stable à 53 m ; 27. discussion du paysage énergétique à partir
de la conservation de l’énergie mécanique : oscillations entre z = 0 (point A) et zmax < H = 78 m, vitesse
maximum en zeq = 53 m ; 28. Em ' 56 kJ et Ep,min ' 21 kJ pour z = zeq , donc l’énergie cinétique maximum
vaut Ec,max ' 56 21 = 35 kJ, soit vmax ' 32 m.s 1 ' 115 km.h 1 ; 29. dans le cas réaliste, l’énergie mécanique est dissipée à cause des forces de frottement, l’amplitude des oscillations décroît et le sauteur finit par
s’arrêter en zeq .
4.3.16
ﬂ Partie III de l’examen de décembre 2016 (Satellite en orbite)
Cet exercice, que vous retrouverez en annexe de ce polycopié, est l’occasion de faire un exercice supplémentaire pour vous assurer que vous avez bien assimilé le point de vue énergétique.
Réponses q
: 1. et 2. cours ; 3. [v(r)] = [KGa M b rc ] donc L · T 1 = 1 ⇥ (M 1 · L3 · T 2 )a ⇥ M b ⇥ Lc ,
v(r) = K GM
~r , on obtient mv 2 /r = GM m/r2 on en déduit K = 1 ;
r ; 4. En "projetant" le pfd sur u
dE (r)
p
5. forces conservatives pour associer un énergie potentielle, F (r) =
dr , avec la convention proposée
Ep (r) = GM m/r ; 6. Ec (r) = Ep (r)/2, Em (r) = Ec (r) + Ep (r) = Ep (r)/2 ; 7. Em = constante ; 8. sur
le graphique, on "lit" Ec1 = 10, 5 · 1010 J ; 9. Pour passer sur l’orbite circulaire, il faut lui redonner une
énergie cinétique Ec = Ep (r1 )/2, à nouveau sur le graphe on "lit" Ep (r1 ) = 2, 0 · 1010 J.
46
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
– Savoir donner un sens précis au vocabulaire scientifique introduit dans ce chapitre : cinématique, dynamique, référentiel, repère, repère cartésien, horloge, relativité du mouvement, centre d’inertie (ou centre
de masse), centre de gravité, principe, théorème, système isolé ou pseudo-isolé, loi de conservation ;
– savoir qu’une grandeur physique vectorielle est équivalente à trois quantités scalaires qui peuvent être ses
trois composantes dans un repère donné, mais aussi une intensité, une direction et un sens ;
– savoir définir un référentiel, connaître ce que l’on appelle le référentiel du laboratoire, le référentiel terrestre, le référentiel géocentrique, le référentiel héliocentrique ;
– savoir déterminer le centre d’inertie d’un système dans les cas simples (solide homogène, système constitué
de deux solides, ...) ;
– savoir définir, et utiliser pour des mouvements à une dimension, les grandeurs physiques suivantes : les
vecteurs position, vitesse, quantité de mouvement et accélération, la grandeur scalaire énergie cinétique ;
– connaître la loi d’additivité des vitesses, savoir eﬀectuer une transformation de Galilée ;
voir fiche 6 page 116-117 dans le polycopié de cours ;
– savoir ce qu’est un référentiel galiléen (ou inertiel), connaître les principes de la dynamique : principe
d’inertie, principe fondamental de la dynamique dans ses diﬀérentes formulations, principe des actions
réciproques et principe de relativité ;
– connaître la notion de force, savoir décrire entièrement une force (point d’application, intensité, direction
et sens). Connaître les forces suivantes : force de gravité entre deux masses, force électrostatique entre
deux charges, poids, réaction normale d’un support, force de frottement solide dans les régimes statique
et cinétique, force de frottement fluide dans les régimes linéaire et quadratique, force élastique (ou force
de rappel) ;
– connaître la méthode générale de résolution des équations du mouvement : définir le référentiel, le système,
faire le bilan des forces, déterminer la résultante des forces extérieures, écrire le principe fondamental de
la dynamique, résoudre les équations diﬀérentielles avec les conditions initiales. Savoir mettre en œuvre
cette méthode dans des cas à une dimension, savoir refaire les nombreux exemples donnés dans le cours
(chute libre, trajectoire balistique, chute avec frottement fluide linéaire, mouvement horizontal sur un
support avec frottement, oscillateurs horizontal et vertical). Naturellement, c’est la méthode qui doit être
acquise et il est inutile de savoir par cœur le résultat pour un exemple précis ;
voir fiche 7 page 118 dans le polycopié de cours ;
– connaître la condition d’équilibre pour la résultante des forces. Savoir la mettre en œuvre dans des
situations à une ou deux dimensions ;
– savoir quand la quantité de mouvement est conservée. Savoir utiliser sa conservation pour un système de
deux solides. Savoir traiter le problème de la collision élastique à une dimension ;
– savoir ce qu’est la puissance instantanée d’une force, être capable de la calculer dans les cas de mouvements à une dimension. Savoir ce qu’est le travail d’une force, être capable de le calculer dans les cas de
mouvements à une dimension. Savoir si la puissance ou le travail sont moteur ou résistant ;
– connaître le théorème de l’énergie cinétique et savoir l’utiliser pour des mouvements à une dimension ;
– connaître la notion de force conservative, savoir ce qu’est l’énergie potentielle et le lien entre force et
énergie potentielle. Connaître l’énergie potentielle dont dérivent les forces suivantes : force de gravité
entre deux masses, force électrostatique entre deux charges, poids, force élastique (ou force de rappel) ;
– connaître la notion d’énergie mécanique, savoir quand elle est conservée. Connaître le théorème de l’énergie
mécanique. Savoir l’utiliser dans les cas de mouvements à une dimension ;
voir fiche 8 page 120-121 dans le polycopié de cours ;
– savoir ce qu’est un paysage énergétique et pouvoir l’exploiter pour déterminer graphiquement l’intensité
et le sens de la force, les limites du mouvement et l’évolution de la vitesse, les positions d’équilibre et
leur stabilité, le caractère lié ou diﬀusif de l’état du système.
47
4 DES SYSTÈMES QUI ÉVOLUENT DANS LE TEMPS ET L’ESPACE
Objectifs avancés du chapitre :
Pour ceux qui souhaitent aller au-delà des objectifs de base, en particulier dans le but de poursuivre en
Licence de Physique, les objectifs avancés suivants sont recommandés :
– Savoir démontrer le théorème de l’énergie cinétique et le théorème de l’énergie mécanique à partir du
principe fondamental de la dynamique dans un cas de mouvement à une dimension ;
– savoir caractériser les diﬀérents types de mouvement à partir de la vitesse et de l’accélération. Connaître
l’exemple donné en complément du mouvement circulaire uniforme et l’application à une planète du système
solaire, l’expression de l’accélération centripète dans ce cas, et la troisième loi de Kepler ;
– savoir étudier le mouvement d’oscillation de faible amplitude autour d’une position d’équilibre en faisant
une approximation harmonique de l’énergie potentielle ;
– objectif avancé hors programme (voir les compléments du chapitre) : connaître la notion d’événement en
relativité restreinte. Connaître la transformation de Lorentz et ses conséquences pour la dilatation des
durées et la contraction des longueurs. Savoir calculer le facteur de Lorentz. Savoir retrouver la limite
classique des lois relativistes ;
– objectif avancé hors programme (voir les compléments du chapitre) : étudier comment la généralisation
des théorèmes énergétiques à des système plus complexes qu’un solide indéformable conduit à introduire
la notion d’énergie interne.
Outils mathématiques qu’il faut savoir utiliser à la fin de ce chapitre :
– En complétant ce que vous avez appris au chapitre 3, vous devez savoir résoudre les équations diﬀérentielles
du premier et du deuxième ordre (sans terme du premier ordre) à coeﬃcients constants quand elles sont
homogènes ou qu’elles ont un second membre constant ;
voir encadré 7 page 119 et fiche 9 page 122 dans le polycopié de cours ;
– vous devez savoir eﬀectuer un développement limité au premier ordre, et savoir préciser le domaine de
validité de cette approximation ;
voir encadré 5 page 65 dans le polycopié de cours ;
– vous devez savoir projeter un vecteur sur un axe, savoir eﬀectuer une somme vectorielle à une ou deux
dimensions, savoir calculer le produit scalaire de deux vecteurs.
48
Symboles pour repérer les exercices : - exercices à faire seul-e chez soi ; b exercices incontournables à préparer avant le TD
ﬂ exercices supplémentaires pour s’entrainer ; I exercices plus délicats.
CHAPITRE
5
Des systèmes complexes
Note importante : depuis l’année universitaire 2016-2017, le chapitre 5 est hors programme.
Sa lecture est néanmoins fortement conseillée, en particulier pour la partie 5.1 « les états de
la matière ». Les deux exercices ci-dessous permettent alors de s’entraîner.
5.1 ﬂ Nature des atmosphères terrestre et lunaire.
1. Rappeler l’expression de la vitesse de libération depuis un astre de rayon R à la surface duquel l’accélération de la pesanteur est g (voir exercice 4.3.9).
2. Quelle température devrait atteindre l’atmosphère terrestre pour que les molécules d’oxygène atteignent
la vitesse de libération ? Précisez votre réponse : s’agit-il de toutes les molécules ?
3. Même question pour l’hydrogène (très rare dans l’atmosphère terrestre).
4. Même question pour ces deux gaz sur la Lune, si celle-ci avait gardé une atmosphère.
5. Que peut-on en déduire sur la température des surfaces terrestre et lunaire lors de leur formation ?
6. Dans les conditions actuelles de température du sol lunaire (de -20 C à 130 C), une atmosphère
semblable à la nôtre pourrait-elle rester autour de la Lune ?
Données : rayons de la Terre et de la Lune RT = 6400 km et RL = 0, 27RT ; accélération de la pesanteur sur
la Lune : gL = g/6.
p
p
Éléments de réponse. Vitesse
GM/R l’accélération de la pesanteur.
p de libération : vlib = 2GM /R = 2gR avec g =2 gRm
Vitesse thermique : vth = 3kT /m. La condition vth > vlib donne T > Tlib = 3 k . La vitesse thermique correspond
à l’énergie cinétique moyenne, il y a donc des molécules avec des vitesses plus faibles ou plus élevées. On obtient :
Atome/molécule
O2
O
H2
H
Température de libération sur Terre (K)
164000 82000
10250
5125
Température de libération sur la Lune (K)
7400
3700
460 (190 C) 230 (-40 )
La Terre a gardé l’oxygène moléculaire, sous forme d’atomes d’oxygène s’étant réarrangés sous forme de molécules par
suite du refroidissement de l’atmosphère, et a perdu en revanche l’hydrogène sous ses deux formes. En analysant les
données du tableau précédent, nous en déduisons que la température de formation de la Terre (température de surface)
devait être comprise entre 10000 et 80000 K. La Lune, elle, n’a rien gardé : sa température de formation était donc
supérieure à 7400 K. Actuellement, notre satellite naturel a une température de surface comprise entre -20 et +130
C : la Lune pourrait garder l’oxygène et l’hydrogène moléculaires.
5.2 ﬂ I Dissociation de l’oxygène moléculaire.
On considère une mole de dioxygène à la température T0 = 300 K et à la pression P0 = 1 bar. On la
chauﬀe à volume constant et on mesure la pression à diﬀérentes températures :
T (K)
P (bars)
1000
3, 333
2000
6, 668
3000
10, 29
4000
19, 18
5000
32, 17
1. Comparer les valeurs de P à celles qu’on aurait si les molécules O2 étaient stables.
2. Soit N1 le nombre d’atomes O, et N2 celui des molécules non dissociées. Calculer le coeﬃcient de
dissociation = N1 /(N1 + N2 ) aux températures indiquées.
49
5 DES SYSTÈMES COMPLEXES
3. Evaluer d’après ces mesures l’ordre de grandeur de l’énergie de dissociation d’une molécule O2 (en eV).
Éléments de réponse. Les molécules d’oxygène (molécules diatomiques d’oxygène dit moléculaire) se décomposent à
haute température suivant la réaction O2 ! 2O. Nous considérons une mole d’oxygène moléculaire comme un gaz
parfait enfermé dans le récipient dont le volume est constant. D’après l’équation d’état des gaz parfaits, la pression
est, dans ces conditions, proportionnelle à la température du gaz. Ainsi, si les molécules d’oxygène sont stables, sachant
que le nombre de particules dans l’enceinte n’augmente alors pas, la pression que l’on mesure doit être proportionnelle à
la température. Ceci n’est plus vérifié dès 3000 K, température à laquelle la pression d’une mole d’oxygène moléculaire
serait de 10 atmosphères, alors que l’on mesure 10,29 atm. Au-delà de 3000 K, l’écart est plus marqué : 13,333
atmosphères contre 19,18 mesurées à 4000 K, 16,667 atmosphères contre 32,17 mesurées à 5000 K.Donc, nous pouvons
en conclure que le nombre de particules a varié dans l’enceinte : l’oxygène est présent non seulement sous forme
moléculaire mais aussi sous forme atomique. Ce mélange de gaz peut être considéré comme un gaz parfait lui-même.
Initialement, l’enceinte contient une mole de molécules d’oxygène soit N0 = 6, 02 ⇥ 1023 molécules (N0 est le nombre
N1
d’Avogadro). Pour N1 atomes d’oxygène dans l’enceinte, il reste N2 = N0
molécules d’oxygène moléculaire
2
non dissociées. La pression totale P dans⇣ l’enceinte
de
volume
V
est
donnée
par
la loi des gaz parfaits : P V =
⌘
T
1
(N1 + N2 ) kT = N0 + N21 kT soit PP0 = 1 + 12 N
(on
utilise
la
valeur
initiale
P0 V = N0 kT0 ). Ceci permet de
N0
T0
⇣
⌘
P0 T
trouver l’expression du coeﬃcient de dissociation : = 2 1
. Aux températures indiquées, on obtient :
P T0
T (K)
1000
0
2000
4 ⇥ 10
4
3000
6 ⇥ 10
2
4000
0.61
5000
0.96
Une molécule d’énergie cinétique Ec = 32 kT , évaluée pour T = 5000 K se décompose en deux atomes d’oxygène chacun
ayant la même énergie cinétique que la molécule : l’énergie nécessaire à cette décomposition est donc 2 ⇥ 32 kT 32 kT =
3
kT , ce qui représente la variation d’énergie potentielle du "système molécule" qui est détruit. C’est donc l’énergie de
2
dissociation E d’une molécule. Application numérique : E ' 0, 65 eV.
Ce que vous devez savoir et savoir faire à la fin de ce chapitre :
En raison d’un volume horaire limité, l’ensemble du chapitre 5 est hors programme depuis l’année 2016-2017.
Il est néanmoins abordé au dernier amphi en tant que conclusion du cours en forme d’ouverture, et sa lecture
est particulièrement encouragée pour les étudiants qui envisagent de continuer à étudier la Physique. Les
objectifs de base après cette lecture sont les suivants :
– Vous devez connaître les diﬀérents états de la matière et savoir les caractériser qualitativement au plan
macroscopique et microscopique.
– Vous devez connaître les notions qualitatives qui ont été données sur les liaisons chimiques, savoir ce que
l’on appelle la matière condensée, avoir une idée de l’ordre de grandeur des énergies chimiques mises en
jeu dans la matière ordinaire, savoir retrouver l’ordre de grandeur des énergies thermiques à partir de la
température.
– Vous devez connaître la notion de variables d’état, l’équation d’état du gaz parfait, les conditions normales
de température et de pression, la constante de Boltzmann et la constante des gaz parfait, savoir calculer
le volume molaire.
– Vous devez savoir relier la pression et la température à l’énergie cinétique moyenne des particules dans
un gaz, connaître la notion de vitesse quadratique moyenne et de densité d’énergie interne.
– Vous devez pouvoir donner les caractéristiques principales de la propagation des ondes dans la matière,
et donner des exemples, savoir ce qu’est une onde périodique et définir sa période et sa longueur d’onde.
– Vous devez savoir ce qu’est le mouvement brownien, donner les caractéristiques principales de la diﬀusion
de la matière, et donner des exemples.
Des objectifs avancés plus ambitieux seraient les suivants :
– Comprendre le rôle de l’approche statistique dans l’interprétation microscopique de la pression et de la
température dans un gaz.
– Comprendre, à travers les exemples de l’équation de propagation des ondes et de l’équation de la diﬀusion
donnés en complément, la notion de champ et l’utilisation en physique des fonctions de deux variables et
des dérivées partielles.
50
Table des matières
1 La démarche du physicien
1.1 b Étudier un système physique
1.2 b Ordres de grandeur . . . . .
1.3 ﬂ Ordres de grandeur . . . . .
1.4 b Confrontation de la théorie à
1.5 b (1. et 2.) ﬂ I Loi de Hubble
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l’expérience
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2 Grandeurs physiques, dimensions et unités
2.1 - Dimension d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 - Ne confondons pas unité et dimension... . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 b Homogénéité d’une formule littérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 - Équations aux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 ﬂ Partie I du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2015
(Propulsion aquatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 b Précision et chiﬀres significatifs : mesure de la longueur d’un crayon . .
2.7 b Précision et chiﬀres significatifs : mesure des dimensions d’une table . .
2.8 - Le pendule - limite des oscillations de faible amplitude . . . . . . . . .
2.9 b Expérience de Cavendish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 ﬂ Énergie de rotation de la molécule HCl . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 ﬂ I Similitudes et loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 ﬂ Partie I du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre
(Orbites des planètes autour d’une étoile) . . . . . . . . . . . . . .
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13
3 Des systèmes qui évoluent dans le temps
3.1 Évolution linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 - Réaction chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2
b Fusion de la glace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 ﬂ Partie II.A du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2016
(Processeur isolé thermiquement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Évolution exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 - Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 b Temps caractéristiques - représentations graphiques . . . . . . . . . . . .
3.2.3 b Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 b Échelle de Richter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 b Diagramme semi-logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 ﬂ Diagramme "log-log" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Modélisation : exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 - Concentration dans le sang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 - Désintégration radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 b I Les vases communicants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 ﬂ I Datation au carbone 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 ﬂ Évolution de l’abondance de carbone 14 dans l’atmosphère. . . . . . . .
3.3.6 b Contamination radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 ﬂ Partie II du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2015
(Persistance rétinienne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Modélisation : dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 - Équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 b Équilibre dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 ﬂ I Ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 ﬂ Partie I de l’examen de décembre 2016 (Pisciculture) . . . . . . . . . . .
3.4.5 ﬂ Partie II.B du contrôle continu synchronisé en amphi de novembre 2016
(Processeur refroidi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Modélisation : compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 ﬂ Dérivées numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 ﬂ I Une bougie conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 ﬂ I Équations diﬀérentielles, avancées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 ﬂ I Équation diﬀérentielle avec second membre . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Des systèmes qui évoluent dans le temps et l’espace
4.1 La cinématique : décrire le mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 - Vitesse et accélération d’un mobile . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 - Questions de vitesse et d’accélération . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 - Relativité de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 b S’arrêter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 b Vitesse excessive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 b Un nageur et un kayakiste en sens inverse . . . . . . . . . . . .
4.1.7 ﬂ Déplacement d’un train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.8 ﬂ I Le « 100 m » de Usain Bolt, athlète jamaïcain . . . . . . . .
4.1.9 ﬂ Un marcheur qui saurait accélérer . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.10 ﬂ I Moitié du temps versus moitié de la distance . . . . . . . .
4.1.11 ﬂ Le lièvre et ... un autre lièvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.12 ﬂ Accélération d’un ascenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.13 ﬂ Collision ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 La dynamique : comprendre les causes du mouvement . . . . . . . . . . .
4.2.1 b Lancer vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 ﬂ La fronde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 b Glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 b I Le principe de relativité de Galilée . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 b Constantes de raideur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 ﬂ I Frottements statiques et cinétiques . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.7 ﬂ Un livre contre un mur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.8 b Collision de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.9 ﬂ La tour d’impesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.10 b Expérience de Millikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.11 ﬂ I Chute d’une fourmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.12 ﬂ I Fusée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.13 ﬂ Partie I de l’examen de décembre 2015
(déplacement d’une bactérie dans un liquide) . . . . . . . . . . . .
4.2.14 ﬂ Partie II de l’examen de décembre 2016 (Déplacer une armoire)
4.3 La dynamique : le point de vue énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 - Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 - Travail lors d’une chute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 b Plongeon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 b Distance d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 ﬂ Toboggan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6 b Collision et ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.7 ﬂ Énergie dépensée lors d’un marathon . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.8 b I Paysage énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.9 b Lancement d’une fusée - Vitesse de libération . . . . . . . . . .
4.3.10 ﬂ Expérience de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.11 ﬂ Pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.12 b Trampoline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.13 b et ﬂ I Énergie potentielle d’une bague sur une tige . . . . . .
4.3.14 ﬂ I Lévitation d’une perle chargée électriquement . . . . . . . .
4.3.15 ﬂ Partie II de l’examen de décembre 2015 (saut à l’élastique) . .
4.3.16 ﬂ Partie III de l’examen de décembre 2016 (Satellite en orbite) .
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46
5 Des systèmes complexes
5.1 ﬂ Nature des atmosphères terrestre et lunaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 ﬂ I Dissociation de l’oxygène moléculaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
49
Annexes : annales des sujets de contrôle continu et première session d’examen de l’année passée
53
52
Annexes : annales des sujets de contrôle continu et
première session d’examen des deux années passées
Vous trouverez successivement dans les pages suivantes :
–
–
–
–
le
le
le
le
sujet
sujet
sujet
sujet
du contrôle continu synchronisé en amphi de l’année 2015-2016 (lundi 2 novembre 2015) ;
de la première session d’examen de l’année 2015-2016 (mardi 15 décembre 2015) ;
du contrôle continu synchronisé en amphi de l’année 2016-2017 (jeudi 3 novembre 2016) ;
de la première session d’examen de l’année 2016-2017 (mardi 13 décembre 2016).
Ces sujets vous sont fournis pour votre travail personnel. Des renvois dans le polycopié
vous permettent de savoir quand aborder chaque partie de ces sujets au fur et à mesure de
l’avancement du cours. Ces renvois comportent de nombreux éléments de réponse.
53
Année Universitaire 2015-2016
Licence 1 – Parcours MIPI/PCGI
Concepts et Méthodes de la Physique (1P001 & 1P002)
Contrôle continu – durée 1h30
Documents et calculatrice interdits.
Téléphones portables éteints et rangés dans les sacs.
Les deux parties du sujet et de nombreuses questions sont indépendantes et des résultats intermédiaires sont donnés, vous êtes donc encouragé-e à lire l’ensemble du sujet avant de commencer à
le traiter. Les expressions littérales sont demandées avant toute application numérique. Vous êtes
vivement encouragé-e à en vérifier l’homogénéité. Aucune réponse non justifiée ne sera prise en
compte.
I
I.A
Propulsion aquatique
Nage des grands animaux
Dans cet exercice, nous nous intéressons aux grands animaux marins (poissons, mammifères
marins). Nous modélisons un tel animal par un corps de forme cylindrique de rayon r. Quand l’animal
#‰
progresse à vitesse #‰
v , il subit une force de frottement F turb , due à la formation de turbulences dans
son sillage. L’intensité de cette force est de la forme
Fturb = C1 v ↵ r ⇢ ,
(1)
où ⇢ est la masse volumique de l’eau, C1 est une constante "sans dimension", ↵, et sont des
exposants que nous déterminerons.
1. Donnez les dimensions des grandeurs suivantes : v, r, ⇢ et Fturb .
2. Déterminez les exposants ↵, et par analyse dimensionnelle.
3. Quelle est l’interprétation physique du terme r dans l’équation (1) ?
4. Proposez des valeurs de ⇢, r et v qui vous semblent crédibles dans le cas d’un dauphin.
5. En déduire l’ordre de grandeur de Fturb pour un dauphin, sachant que C1 ⇡ 0,1 (on attend ici
que vous donniez la bonne puissance de 10 dans votre estimation).
Nous considérons le dauphin nageant en ligne droite à vitesse constante le long d’un axe (Ox).
# ‰
Son vecteur position est noté OM = x(t)u# ‰x et son vecteur vitesse #‰
v = v u# ‰x , où v est une constante.
v
O ux
x
6. Que vaut le vecteur accélération #‰
a?
7. En admettant que la position à t = 0 est x(t = 0) = 0, donnez l’équation horaire de x(t).
8. Représentez l’allure du graphe de x(t).
1P001/1P002
I.B
page 2/3
Contrôle continu 2015/2016
Nage des êtres microscopiques
Les êtres microscopiques (plancton, bactéries) sont soumis à un autre type de frottement qui
met en jeu la viscosité du fluide. L’intensité de cette force Fvisc , pour un objet sphérique de rayon
r et de vitesse v, est de la forme
Fvisc = C2 ⌘ r v ✏ ,
(2)
où C2 est une constante "sans dimension" et ⌘ est la grandeur appelée viscosité, qui ne dépend que
du fluide considéré.
Nous avons mesuré expérimentalement cette force pour des billes de diﬀérents rayons, à des
vitesses diﬀérentes dans un liquide visqueux. Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant.
Ces mesures sont toutes eﬀectuées dans le même fluide, de la glycérine, la valeur de la viscosité ⌘
ne change donc pas d’une mesure à l’autre dans le tableau.
r = 1 cm
r = 2 cm
v = 1 cm · s
2,81 mN
5,62 mN
1
v = 10 cm · s
1
28,08 mN
56,17 mN
Tableau 1 : Force mesurée pour deux rayons et deux vitesses diﬀérentes.
L’incertitude sur ces mesures est de 0,01 mN.
9. En comparant les forces obtenues pour une vitesse fixée, déduisez la valeur de l’exposant
de l’équation (2).
10. En utilisant une démarche similaire, trouvez la valeur de l’exposant ✏ de l’équation (2).
11. Connaissant
et ✏, quelle est la dimension de la grandeur ⌘ ? Donnez son unité S.I.
12. D’après les données suivantes, estimez la valeur de Fvisc pour une bactérie dans l’eau.
Données :
— rayon typique d’une bactérie : 1 mm ;
— vitesse typique d’une bactérie : 1 mm · s 1 ;
— viscosité de l’eau : 1,0 ⇥ 10 3 S.I. ;
— C2 ⇡ 20.
II
Persistance rétinienne
On se propose de modéliser simplement le phénomène de persistance rétinienne : l’œil continue
à percevoir une image pendant un temps court après qu’elle ait disparue.
Les cellules de la rétine contiennent des molécules photo-sensibles. En absorbant de la lumière,
ces molécules passent dans un état excité, ce qui provoque un influx nerveux. La sensation lumineuse
est donc directement liée au nombre N de molécules excitées dans une cellule.
Modélisation :
Deux mécanismes font varier le nombre N de molécules excitées dans une cellule de la rétine.
a. Quand un photon de lumière visible atteint la cellule, une molécule passe immédiatement
dans un état excité.
b. Une molécule excitée retourne spontanément à son état de repos par un processus aléatoire,
similaire à la radioactivité, avec un temps caractéristique ⌧ , où ⌧ = 50 ms.
1P001/1P002
II.A
page 3/3
Contrôle continu 2015/2016
Passage à l’obscurité
On considère qu’une cellule, initialement éclairée, est placée dans l’obscurité à t = 0. On note
N0 le nombre de molécules excitées dans la cellule à t = 0. On admet que N (t) a pour équation
d’évolution
dN
N
=
.
dt
⌧
1. Quel est l’ordre de cette équation diﬀérentielle ? Est-elle homogène ?
(3)
2. Résoudre l’équation et donner la loi d’évolution N (t).
3. Tracer la courbe N (t) en faisant figurer le temps caractéristique.
II.B
Éclairement continu
La cellule, dont la surface vaut S = 20 mm2 , reçoit maintenant un éclairement constant
E = 6 · 1015 photons/m2 /s (nombre de photons arrivant sur la cellule par unité de temps et de
surface). L’équation d’évolution devient alors
dN
+ AN = B,
dt
(4)
où A et B sont des constantes.
4. Quel est l’ordre de cette équation diﬀérentielle ? Déterminez les dimensions de A et B pour que
cette équation soit homogène.
5. À partir des données du problème et des processus d’excitation et de désexcitation décrits cidessus (paragraphe "modélisation"), donner la signification physique du terme AN et du terme
B et donner l’expression des constantes A et B en fonction de E, S et ⌧ .
6. L’équation (4) a une solution constante N (t) = Neq .
dN
(a) Que vaut alors
?
dt
(b) Exprimer Neq en fonction de A et B, puis en fonction de E, S et ⌧ . Donner le résultat
numérique.
7. On suppose que l’éclairement constant commence à t = 0 et qu’il n’y a à cette date encore
aucune molécule excitée, soit N (0) = 0. Déterminez l’expression de N (t) dans ce cas.
8. Représenter l’allure du graphe de N (t) en faisant apparaître ⌧ et Neq .
9. Bonus (il n’est pas nécessaire de répondre à cette question pour pouvoir passer à la suivante) :
quel est le comportement aux temps courts et aux temps longs de N (t) ? Précisez le sens de
"temps courts" et "temps longs".
II.C
Clignotement
10. Les tubes fluorescents utilisés dans l’éclairage de cet amphithéâtre clignotent à une fréquence
f = 100 Hz. En vous appuyant sur les parties précédentes, expliquez pourquoi nous avons
néanmoins une sensation d’éclairage constant.
Année Universitaire 2015-2016
Licence 1 – Parcours MIPI/PCGI
Concepts et Méthodes de la Physique (1P001 & 1P002)
Examen 1ère session – durée 2h
Documents et calculatrice interdits.
Téléphones portables éteints et rangés dans les sacs.
Les di↵érentes parties du sujet et de nombreuses questions sont indépendantes et des résultats intermédiaires sont donnés, vous êtes donc encouragé-e à lire l’ensemble du sujet avant de commencer à le
traiter. Les expressions littérales sont demandées avant toute application numérique. Vous êtes vivement
encouragé-e à en vérifier l’homogénéité. Aucune réponse non justifiée ne sera prise en compte.
I
Déplacement d’une bactérie dans un liquide.
Une bactérie de masse m est constituée d’un corps de forme cylindrique de rayon R, qui se termine par
une flagelle de longueur ` constituée de filaments torsadés formant un ”tire-bouchon” de rayon r : voir
figure 1. Pour avancer, la bactérie se sert de cette flagelle comme d’une hélice en la faisant tourner.
Les deux premières parties sont consacrées à deux phases successives du mouvement de la bactérie : dans
la partie I.A, elle avance à vitesse constante, propulsée par sa flagelle, et dans la partie I.B, la rotation
de la flagelle s’interrompt et la bactérie finit par s’arrêter. La troisième partie, I.C, étudie comment le
mouvement de la bactérie est a↵ecté par une collision sur un globule rouge.
On ne s’intéresse qu’au mouvement horizontal selon l’axe (Ox). En e↵et le poids de la bactérie
est équilibré par la poussée d’Archimède et il n’y a pas de mouvement vertical.
Caractéristiques numériques de la bactérie : m = 1, 5 ⇥ 10
15
kg, R = 0, 5 µm, ` = 4 µm et r = 0, 2 µm.
Figure 1 – Déplacement d’une bactérie.
I.A
Mouvement horizontal à vitesse constante.
— La rotation de la flagelle permet à la bactérie de produire une force motrice F~M = C ! ~ux où C
est une constante positive (qui n’est pas sans dimension) et ! la vitesse angulaire de rotation de
la flagelle, de dimension [!] = T 1 .
— Le contact de la bactérie avec le liquide qui l’entoure se traduit par l’existence d’une force de
frottement visqueux donnée par F~R = ↵ ~v avec ↵ = 6⇡ ⌘ R, où ⌘ est la viscosité du liquide, de
dimension [⌘] = M.L 1 .T 1 .
La bactérie se déplace à vitesse horizontale constante ~v = V0 ~ux .
1
1) Les deux dimensions caractéristiques de la flagelle, ` et r, peuvent a priori intervenir dans l’expression de la constante C qui définit la force F~M . Est-ce-que C est égale à : k ⌘, k ⌘ ` r ou k ⌘ ` r 2 , sachant
que k est un coefficient sans dimension ?
2) Écrire la composante selon (Ox) de la résultante des forces s’appliquant sur la bactérie. En déduire
l’expression de ! en fonction de V0 et des grandeurs caractéristiques de la bactérie. Pour se propulser à
une vitesse V0 donnée, la bactérie doit-elle adapter la vitesse de rotation de sa flagelle à la viscosité du
liquide environnant ?
3) Application numérique : calculer l’ordre de grandeur du nombre de tours par seconde,
flagelle si la vitesse de la bactérie est V0 = 10 µm.s 1 . On donne k ⇡ 0, 3.
I.B
!
2⇡ ,
de la
Distance d’arrêt de la bactérie.
À l’instant t = 0, la bactérie arrête de faire tourner sa flagelle et la force motrice F~M s’annule. On
étudie alors son mouvement horizontal avec les conditions initiales x(t = 0) = 0 et v(t = 0) = V0 .
4) Quelle est désormais la composante sur l’axe (Ox) de la résultante des forces s’appliquant sur la
bactérie ? En déduire une équation di↵érentielle pour la vitesse v(t).
5) Déterminer la solution v(t) de cette équation di↵érentielle, puis l’intégrer pour obtenir x(t).
6) Exprimer l’échelle de temps caractéristique ⌧ de l’évolution en fonction de m, ⌘ et R.
7) Tracer sur deux graphes di↵érents les fonctions v(t) et x(t) en faisant apparaı̂tre ⌧ .
8) Donner l’expression de la distance D à laquelle la bactérie s’arrête.
9) Application numérique : le liquide est de l’eau, de viscosité ⌘ = 1, 0 ⇥ 10
les valeurs numériques de ⌧ et D. Commenter.
I.C
3 kg.m 1 .s 1 .
Calculer
Collision de la bactérie contre un globule rouge.
La bactérie est en mouvement comme dans la partie I.A avec une vitesse constante ~v = V0 ~ux et
V0 = 10 µm.s 1 . Elle entre en collision avec un globule rouge de masse M = 3, 0 ⇥ 10 13 kg au repos.
Juste après la collision, la vitesse de la bactérie est V ~ux et celle du globule rouge V 0 ~ux .
10) Le système {bactérie + globule rouge} est supposé pseudo-isolé au cours de la collision.
– Quelle quantité vectorielle est conservée ? En déduire une première relation entre V0 , V , V 0 , m et M .
– La collision est élastique. En déduire une seconde relation entre les mêmes grandeurs.
11) À l’aide des deux relations précédentes, montrer que la vitesse de l’obstacle après la collision vaut
2m
V 0 = m+M
V0 . En déduire la vitesse V de la bactérie juste après la collision.
12) Application numérique : estimer les vitesses V et V 0 . Commenter.
2
II
Saut à l’élastique.
Dans cet exercice, les frottements sont négligés, sauf à la dernière question.
Modélisation du saut à l’élastique : le sauteur est supposé ponctuel et possède une masse m. Le saut
est modélisé via une décomposition en deux phases :
— Phase 1 : chute libre du point A (z = 0) au point B (zB = L0 , longueur de l’élastique à vide).
— Phase 2 : rappel élastique en dessous du point B, soit pour z > zB avec zB = L0 . L’élastique est
alors modélisé par un ressort parfait de raideur k et de longueur à vide L0 .
Ces deux phases sont représentées sur la figure 2 ci-dessous. L’axe (Oz) est défini sur cette figure :
on note qu’il est vertical et orienté vers le bas.
Figure 2 – Les deux phases de la chute du sauteur.
II.A
Phase 1 : chute libre.
Le sauteur s’élance, sans vitesse initiale, du point A (zA = 0).
13) À quelle(s) force(s) est soumis le sauteur ?
Approche du mouvement par le principe fondamental de la dynamique.
14) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse v(t) et la position z(t)
du sauteur pendant cette phase, en tenant compte des conditions initiales et de l’orientation de l’axe (Oz).
Cette première phase se termine au point B : la longueur parcourue est alors AB = L0 , voir figure 2.
15) Déterminer en fonction de L0 la durée tB de la chute du sauteur de A à B puis sa vitesse vB en B.
16) Représenter sur des graphes séparés l’évolution temporelle de l’accélération, de la vitesse et de la
position du sauteur de t = 0 à tB , en faisant figurer L0 , tB et vB .
Approche énergétique du mouvement.
17) Par un calcul direct sans utiliser l’énergie potentielle, calculer le travail sur le trajet de A à B de
la (ou des) force(s) s’appliquant sur le sauteur.
18) (Re)trouver par le théorème de l’énergie cinétique l’expression de la vitesse vB du sauteur en B.
3
II.B
Phase 2 : rappel élastique
À partir du point B, et uniquement pour z > zB , l’élastique est modélisé par un ressort parfait,
de constante de raideur k, de longueur au repos L0 = AB, voir figure 2. Le sauteur est alors retenu par
l’élastique. Le point le plus bas de sa trajectoire est en C, l’élastique a alors une longueur L0 + L.
19) Quelle est la dimension de k ? quelle est son unité S.I. ?
20) À quelle(s) force(s) est soumis le sauteur au cours de cette 2ème phase ? Donner l’expression
vectorielle de chacune de ces forces.
21) Ces forces sont-elles conservatives ? Donner l’expression de l’énergie potentielle dont dérive chaque
force conservative, en précisant la convention adoptée dans le choix du point d’énergie potentielle nulle.
Vérifier dans chaque cas que l’énergie potentielle proposée permet de retrouver l’expression de la force.
22) En déduire la variation
de L.
Ep de l’énergie potentielle totale du sauteur entre B et C en fonction
23) Que vaut la vitesse du sauteur en C ? En déduire la variation
sauteur entre B et C en fonction m, g et L0 .
Ec de l’énergie cinétique du
24) En utilisant une propriété de l’énergie mécanique et les résultats précédents, montrer que
m g (L0 +
L) =
k
( L)2 .
2
Ne pas chercher à résoudre cette équation mais vérifier son homogénéité.
25) On veut garantir au sauteur avant le saut qu’il ne va pas s’écraser : donner en fonction de L0 et H
la valeur maximum autorisée de L. Utiliser ensuite cette expression de Lmax et le résultat précédent
pour en déduire l’expression de la valeur minimum kmin autorisée de la constante de raideur de l’élastique.
Pour choisir l’élastique utilisé pour le saut, faut-il tenir compte de la masse du sauteur ou uniquement de
la hauteur H au-dessus du sol ?
II.C
Paysage énergétique
La figure 3 représente le paysage énergétique du sauteur (c’est à dire son énergie potentielle totale
Ep (z)) pour les deux phases d’un saut avec k > kmin (valeur minimum déterminée à la question 25). Le
sauteur s’élance en z = 0 sans vitesse initiale. Cette figure est à rendre avec votre copie.
26) Indiquer sur la figure l’altitude zeq de la seule position d’équilibre possible. Est-elle stable ou
instable ?
27) En s’appuyant sur la figure 3, décrire le mouvement du sauteur au cours du temps. Tracez sur la
figure l’énergie mécanique et l’énergie cinétique du sauteur en fonction de sa position.
28) Question bonus : le sauteur a une masse m = 70 kg. En s’appuyant sur la figure
p 3, estimer l’ordre
de grandeur numérique de la vitesse maximum atteinte au cours du saut. On donne 10 ⇡ 3, 2.
29) Décrire brièvement le mouvement du sauteur en faisant maintenant l’hypothèse plus réaliste que
les frottements ne sont pas négligeables.
4
Cette feuille est à joindre à votre copie.
Section :
Numéro d’anonymat :
Figure 3 – Paysage énergétique : énergie potentielle Ep (z) du sauteur.
5
Année Universitaire 2016-2017
Licence 1 – Portails MIPI & PCGI
Concepts et Méthodes de la Physique (1P001 & 1P002)
Contrôle continu – Durée 1h30
Documents et calculatrices interdits.
Téléphones portables éteints et rangés dans les sacs.
Les diﬀérentes parties du sujet et de nombreuses questions sont indépendantes et des résultats
intermédiaires sont donnés, vous êtes donc encouragé-e à lire l’ensemble du sujet avant de commencer
à le traiter. Les expressions littérales sont demandées avant toute application numérique. Vous êtes
vivement encouragé-e à en vérifier l’homogénéité. Aucune réponse non justifiée ne sera prise en
compte.
I
Orbites des planètes autour d’une étoile
Une planète extrasolaire, ou exoplanète, est une planète située en-dehors du Système Solaire
(en orbite autour d’une autre étoile que le Soleil). Les astronomes ont déjà découvert plus de 3500
exoplanètes (source : exoplanet.eu). Le tableau ci-dessous indique les caractéristiques des orbites
de quelques planètes du système solaire et d’une exoplanète.
— La période de révolution est notée T , et exprimée ici en années
terrestres (il s’agit de la durée d’une orbite autour de l’étoile).
— L’orbite d’une planète est toujours elliptique (schéma cicontre : le point E désigne l’étoile). On note a la valeur du
demi-grand axe de l’orbite. a est donnée en Unité Astronomique (UA) définie comme la valeur de a pour l’orbite terrestre.
Nom
Mercure
Terre
Jupiter
Uranus
WISE 1217+16A b
T (année)
0,24
1,0
11,9
84,0
129,8
a (UA)
0,39
1,0
5,2
19,6
7,6
En étudiant les planètes du système solaire, on remarque que la relation entre la période et le
demi-grand axe de chaque planète est une loi d’échelle, que l’on peut écrire sous la forme
T = C a↵ ,
(1)
où C est une constante et ↵ un exposant qui sera à déterminer dans cet exercice.
1. Pour mettre en évidence cette loi d’échelle, on propose les graphes suivants (qu’on ne demande
pas de tracer) : (a) T en fonction de a ; (b) ln (T ) en fonction de a ; (c) T en fonction de ln (a) ;
(d) ln (T ) en fonction de ln (a) ; (e) exp (T ) en fonction de a ; (f) T en fonction de exp (a) ;
(g) exp (T ) en fonction de exp (a).
Sans chercher à réaliser ce graphe, dites quel choix vous paraît le meilleur, en expliquant quelle
propriété permettra de conclure qu’il y a bien une loi d’échelle de la forme donnée par l’équation (1).
1P001/1P002
page 2/4
Contrôle continu 2016/2017
2. À partir de la loi d’échelle (1), écrivez la relation entre les rapports
aT sont la période et le demi-grand axe de l’orbite de la Terre.
✓
T
TT
◆
et
✓
◆
a
, où TT et
aT
3. En utilisant les valeurs données pour Uranus, déterminez la valeur de l’exposant ↵.
Vous pourrez utiliser les valeurs numériques suivantes : ln(84) = 4,5 ; ln(19,6) = 3 ;
log10 (84) = 1,9 ; log10 (19,6) = 1,3 ; exp(84) = 3 · 1036 ; exp(19,6) = 3,2 · 108 .
Nous admettons dans la suite que la période de révolution d’une planète en orbite
autour d’une étoile ne dépend que de la masse Me de l’étoile, de la valeur du demigrand axe a de l’orbite, et de la constante de Newton G.
4. Donnez l’expression vectorielle de la force de gravitation exercée par un corps de masse M1 sur
un corps de masse M2 situé à la distance r.
5. Donnez la dimension des diﬀérents termes contenus dans cette loi.
6. Par analyse dimensionnelle, déterminez les exposants ↵,
T = D a ↵ Me G ,
et
de la relation
(2)
où D est une constante sans dimension. Retrouvez-vous la valeur de ↵ obtenue à la question 3 ?
7. Bonus : l’étoile autour de laquelle orbite WISE 1217+16A b (exoplanète dont les caractéristiques sont indiquées dans la table ci-dessus) est-elle plus ou moins massive que le Soleil ?
II
Refroidissement d’un processeur
Le processeur est le composant d’un ordinateur chargé d’eﬀectuer des calculs. Comme le fonctionnement du processeur s’accompagne d’une production d’énergie, il s’échauﬀe : il est donc nécessaire
de le refroidir.
Définitions :
— Quand l’énergie E du processeur varie d’une quantité dE, sa température ✓ varie de d✓ :
dE = C d✓ ,
(3)
où C est une constante appelée capacité calorifique du processeur.
— Si le processeur reçoit une puissance P (soit une énergie par unité de temps) pendant une
durée dt, son énergie varie d’une quantité dE telle que
dE = P dt .
(4)
— On rappelle que la température est une dimension de base indépendante de la masse, de la
longueur et du temps (dimensions M, L et T). On note cette dimension ⇥, soit [✓] = ⇥ pour
la température du processeur.
— L’unité S.I. de la température est le kelvin (symbole K). L’unité usuelle est le degré Celsius
(symbole C). On passe des kelvins aux degrés Celsius en retirant 273, 15. On remarque donc
qu’une diﬀérence de température ✓ = ✓2 ✓1 a la même valeur numérique dans les deux
unités.
1P001/1P002
II.A
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Contrôle continu 2016/2017
Processeur isolé thermiquement
Dans cette partie, on admet que le processeur ne peut pas évacuer son énergie. La seule cause
de variation de son énergie E est due à la chaleur dégagée par son fonctionnement lorsqu’il eﬀectue
des calculs : on note Pc la puissance ainsi fournie au processeur lorsqu’il est en fonctionnement.
Données :
— puissance fournie au processeur par la chaleur dégagée par son fonctionnement : Pc = 45 W ;
— capacité calorifique du processeur : C = 0,75 J · K 1 .
1. Donnez les dimensions des grandeurs E, Pc , et C définies dans l’énoncé.
2. Montrez que l’équation d’évolution de la température ✓(t) du processeur est de la forme
3.
4.
5.
6.
d✓(t)
= k1 ,
(5)
dt
où k1 est une constante, dont vous donnerez l’expression en fonction de Pc et C.
Vérifiez que la valeur numérique de k1 est k1 = 60 S.I. et précisez l’unité.
À quelle type d’évolution temporelle conduit l’équation (5) ?
Les cycles de calcul démarrent à t = 0, le processeur est alors à la température ambiante
✓a = 20 C. Donnez l’expression de ✓(t).
Représentez le graphe de ✓(t) en faisant figurer clairement la valeur initiale.
Le processeur ne peut plus fonctionner si sa température dépasse ✓m = 100 C. Donnez l’expression de la date tm à laquelle il cesse de fonctionner, puis sa valeur numérique. Commentez.
II.B
Processeur refroidi
Afin de contrôler la température du processeur, on le
connecte à un dissipateur (schéma ci-contre). Un ventilateur
permet de maintenir la surface du dissipateur en contact avec
de l’air à la température ambiante ✓a = 20 C. Le dissipateur
permet alors d’extraire du processeur une puissance
ventillateur
air à
a
dissipateur
✓(t) ✓a
Pd (t) =
,
(6)
R
où R est une constante appelée résistance thermique, dont la
valeur dépend de la forme et du matériau du dissipateur. Il y
processeur à (t)
a donc désormais pour le processeur un mécanisme de chauffage (celui étudié dans la partie II.A) et un processus de refroidissement (décrit ci-dessus).
Donnée. La résistance thermique du dissipateur vaut : R = 1,33 S.I.
7. Donnez la dimension de R.
8. Montrez que l’équation d’évolution de la température du processeur est alors de la forme
d✓(t)
+ k2 ✓(t) = k3 ,
(7)
dt
où k2 et k3 sont des constantes dont vous donnerez l’expression en fonction de Pc , C, R et ✓a .
Vérifiez que la valeur numérique de k2 est k2 = 1 S.I. et précisez l’unité.
Il est en grande partie possible de continuer les questions suivantes en admettant l’équation (7).
1P001/1P002
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Contrôle continu 2016/2017
9. Les cycles de calcul démarrent à t = 0, le processeur est alors à la température ambiante
✓a = 20 C. Sans remplacer k2 et k3 par les expressions que vous avez trouvées, donnez l’expression littérale de ✓(t), solution de l’équation (7).
10. Quel est le temps caractéristique ⌧ de cette évolution ? Donnez d’abord l’expression littérale,
dont vous vérifierez la dimension, puis la valeur numérique.
11. Montrez que la température se stabilise rapidement à la valeur ✓s dont vous donnerez l’expression
littérale.
12. Vérifiez que dans ces conditions le processeur peut fonctionner sans surchauﬀe.
13. On précise que ✓s > ✓a . Représentez le graphe de ✓(t) en faisant apparaître ✓a , ✓s et ⌧ .
Année Universitaire 2016-2017
Licence 1 – Parcours MIPI/PCGI
Concepts et Méthodes de la Physique (1P001 & 1P002)
Examen 1re session – durée 2h
Documents et calculatrice interdits.
Téléphones portables éteints et rangés dans les sacs.
Les di↵érentes parties du sujet et de nombreuses questions sont indépendantes et des résultats intermédiaires sont donnés, vous êtes donc encouragé-e à lire l’ensemble du sujet avant de commencer à le
traiter. Les expressions littérales sont demandées avant toute application numérique. Vous êtes vivement
encouragé-e à en vérifier l’homogénéité. Aucune réponse non justifiée ne sera prise en compte.
I
Pisciculture.
Dans une ferme d’élevage on considère un nombre N fixé de poissons répartis dans deux bassins B1
et B2 . Ces bassins communiquent via des fentes permettant le passage des poissons de B1 vers B2 et de
B2 vers B1 , voir figure 1. Les populations de poissons à l’instant t dans B1 et B2 sont notées N1 (t) et
N2 (t) respectivement.
k1
B1
B2
k2
Figure 1 – Les bassins B1 et B2 et les probabilités de passage k1 et k2 d’un poisson par unité de temps.
On admet que le nombre de passages par unité de temps de poissons de B1 vers B2 est proportionnel
à la population N1 (t) de poissons et à la probabilité de passage d’un poisson de B1 vers B2 par unité
de temps, probabilité notée k1 . De la même façon le nombre de passages par unité de temps de poissons
de B2 vers B1 est proportionnel à la population N2 (t) de poissons et à la probabilité de passage d’un
poissons du B2 vers B1 par unité de temps, probabilité notée k2 . L’équation di↵érentielle à laquelle obéit
le nombre de poissons contenus dans le bassin B1 est donnée par :
dN1 (t)
=
dt
k1 N1 (t) + k2 N2 (t) .
(1)
1) Donner les dimensions de k1 et k2 .
2) Justifier l’équation (1) en e↵ectuant le bilan du nombre de poissons qui entrent dans B1 et qui
sortent de B1 durant un intervalle de temps dt.
3) Déterminer, par analogie avec ce qui précède, et en justifiant votre réponse, l’équation di↵érentielle
à laquelle obéit le nombre de poissons contenus dans B2 .
4) On rappelle que le nombre total N de poissons est constant (il n’y a aucune autre ouverture que
celles permettant de passer d’un bassin à l’autre, et il n’y a ni décès ni naissance de poissons). En déduire
que la population N1 (t) obéit à l’équation di↵érentielle
dN1 (t)
+ AN1 (t) = B ,
dt
avec A et B deux constantes dont on donnera les expressions en fonction de k1 , k2 et N .
5) À quel type d’évolution temporelle correspond l’équation di↵érentielle (2) ?
1
(2)
6) Écrire la condition d’équilibre pour laquelle la population du bassin B1 n’évolue plus, soit N1 (t) = N1eq .
Donner la valeur d’équilibre N1eq en fonction de A et B puis de k1 , k2 et N .
2
7) Que vaut alors dN
dt (t) ? Vérifiez à partir du résultat de la question précédente que la valeur de N2
1
dans cette situation est N2eq = k1k+k
N.
2
8) Résoudre l’équation di↵érentielle (2) pour N1 (0) = N0 , en faisant d’abord apparaı̂tre N0 , A et B,
puis en exprimant la solution en fonction de N0 , k1 , k2 et N1eq .
9) Quelle est l’échelle de temps caractéristique ⌧ de cette évolution ?
10) À t = 0 les deux bassins sont également peuplés, soit N1 (0) = N2 (0) = N0 . On suppose de plus
que la probabilité de passage de B1 vers B2 est trois fois plus élevée que celle de B2 vers B1 . Que valent
N0 et N1eq en fonction de N avec ces conditions ?
11) Tracer la solution N1 (t) dans les conditions de la question précédente. Faire apparaı̂tre l’échelle
de temps caractéristique ⌧ et les valeurs N , N0 et N1eq .
12) Sans aucun calcul supplémentaire, tracer sur le même graphique la solution N2 (t).
II
Déplacer une armoire
Un déménageur de masse m veut déplacer une armoire de masse M sur un sol horizontal, avec m < M .
Les coefficients de frottement statique et cinétique entre l’armoire et le sol sont notés µ0 et µ, avec µ < µ0 .
On se place dans un référentiel d’inertie (ou galiléen) lié au sol et on adopte un repère cartésien avec l’axe
(O, ~ux ) horizontal et l’axe (O, ~uy ) vertical vers le haut.
Données numériques : les masses du déménageur et de l’armoire valent m = 75 kg et M = 225 kg.
Les coefficients de frottement valent µ0 = 0, 4 et µ = 0, 2.
13) Le déménageur pousse sur l’armoire avec une force horizontale constante F~ = F ~ux (avec F > 0).
~ N et
Les autres forces auxquelles est soumise l’armoire sont son poids P~ , la réaction normale du sol R
~ T . Le déménageur ne pousse pas assez fort : l’armoire reste au repos. Faire un
la force de frottement R
schéma en indiquant le repère et les forces.
14) Déterminer les normes RN et RT de la réaction normale et de la force de frottement en fonction
de F et M , et de l’accélération de la pesanteur g.
15) Pour que l’armoire reste au repos, quelle est la valeur maximale de l’intensité RT de la force
de frottement ? En déduire la valeur minimale Fmin de la force que doit exercer le déménageur pour
commencer à mettre l’armoire en mouvement.
16) Le déménageur prend son élan et vient taper l’armoire avec une vitesse vd ~ux . Le choc est élastique.
Quelles sont les grandeurs physiques conservées au cours du choc, et pour quel système ? La vitesse du
déménageur après le choc est vd0 ~ux et celle de l’armoire v0 ~ux . Montrer que
v0 =
2m
vd .
M +m
17) Le choc a lieu en x = 0 à t = 0. Après le choc (t > 0), le déménageur n’est plus en contact avec
l’armoire. Quelle est alors la résultante des forces extérieures qui s’appliquent sur l’armoire ? Déterminer
les composantes sur ~ux de l’accélération, de la vitesse et de la position de l’armoire, respectivement notées
ax (t), vx (t) et x(t), et représenter l’allure des graphes de vx (t) et de x(t).
18) Déterminer la date tmax et la position xmax de l’armoire lorsqu’elle s’arrête. Les indiquer sur les
graphes de la question précédente.
19) Application numérique : Le déménageur percute l’armoire avec une vitesse vd = 2 m.s
la vitesse v0 de l’armoire juste après le choc, puis la distance xmax à laquelle elle s’arrête.
2
1
. Calculer
20) Plutôt que de donner un coup sur l’armoire, le déménageur la met en mouvement à t = 0 en
appliquant une force d’intensité supérieure à la limite déterminée à la question 15), puis, pour t > 0, la
pousse avec une force constante F~ = F ~ux de manière à la déplacer à vitesse constante le long de ~ux .
Déterminer l’expression de F .
21) Avec cette nouvelle méthode, le déménageur dépense une énergie égale au travail de la force F~ :
que vaut-il pour un déplacement de longueur d le long de ~ux ?
22) La longueur du déplacement vaut d = 10 m. Comment se compare le travail nécessaire à celui
que le déménageur devrait fournir pour soulever verticalement l’armoire d’une hauteur h = 1 m ?
III
Satellite en orbite
On considère un satellite en orbite autour de la Terre. Le satellite est assimilé à un point matériel de
masse m. La Terre est considérée comme un corps sphérique de rayon R, de masse M et de centre O. On
se place dans le référentiel terrestre supposé inertiel (ou galiléen). Le système étudié est le satellite. On
note G la constante de gravitation.
Données numériques : M = 6, 0 ⇥ 1024 kg ; R = 6400 km ; G = 6, 7 ⇥ 10
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S.I. ; m = 2000 kg.
23) On note ~ur un vecteur unitaire dirigé de O vers le satellite. Donner l’expression vectorielle de la
force gravitationnelle F~ exercée par la Terre sur le satellite en fonction de G, M et m, et de r, la distance
entre le satellite et le centre de la Terre. Faire un schéma pour illustrer la situation.
24) Quelle est la dimension de G et l’unité S.I. associée ?
25) Le satellite est sur une orbite circulaire de rayon r et n’est soumis à aucune autre force que F~ .
La norme de sa vitesse est alors constante et ne dépend que de G, M et r, sous la forme
v(r) = K Ga M b rc ,
avec K une constante ⌧ sans dimension . Déterminer les trois exposants a, b et c par analyse dimensionnelle et écrire l’expression obtenue pour v(r).
26) On peut montrer que sur une orbite circulaire uniforme de rayon r parcourue avec une vitesse de
norme v(r), l’accélération vaut
v 2 (r)
~a =
~ur ,
r
où ~ur est le vecteur unitaire défini à la question 23). En appliquant le principe fondamental de la
dynamique au satellite, obtenir l’expression de la vitesse v(r) et en déduire que K = 1.
27) En déduire l’expression de l’énergie cinétique Ec (r) du satellite sur une orbite de rayon r.
28) À quelle type de force peut-on associer une énergie potentielle ? Pour une force F~ = F (r) ~ur de
ce type, quelle est la relation mathématique entre Ep (r) et F (r) ? Donner l’expression de Ep (r) pour la
force gravitationnelle. Par convention on prendra cette énergie potentielle Ep (r) nulle à l’infini.
29) À partir des questions 27) et 28), exprimer Ec (r) en fonction de Ep (r) pour le satellite en orbite
circulaire au rayon r. En déduire l’énergie mécanique Em (r) de ce satellite en fonction de Ep (r).
30) Le satellite est lancé en r = R avec une énergie cinétique Ec1 puis n’est soumis qu’à la force de
gravitation exercée par la Terre. Que peut-on en déduire pour la variation de son énergie mécanique ?
31) La figure jointe en annexe (et à rendre avec votre copie) représente l’énergie potentielle gravitationnelle Ep (r) en fonction de la distance r au centre de la Terre pour r R. Déterminer graphiquement
Ec1 pour atteindre r1 = 40000 km avec une vitesse nulle.
32) Le satellite étant arrivé en r1 à vitesse nulle, un moteur s’allume brièvement pour lui fournir le
travail W nécessaire à sa mise sur une orbite circulaire de même rayon r1 , ce qui nécessite d’augmenter
son énergie cinétique. À partir de la question 29), déterminer numériquement W .
3
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Section :
Numéro d’anonymat :
Figure 2 – Paysage énergétique : énergie potentielle gravitationnelle Ep (r) en fonction de la distance r
au centre de la Terre.
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