D´
epartement d’Electricit´
e, Electronique et Informatique
(Institut Montefiore)
Notes th´
eoriques du cours ELEC0029
Electric Power System Analysis
La machine synchrone
(mod`
ele d´
etaill´
e)
Thierry VAN CUTSEM
directeur de recherches FNRS
professeur adjoint ULg
f´
evrier 2017
Ce chapitre est la prolongation du chapitre du cours ELEC0014 traitant de la machine synchrone.
Un mod`
ele plus d´
etaill´
e est consid´
er´
e. Il est abondamment utilis´
e dans les ´
etudes dynamiques. Il
inclut l’effet des amortisseurs et s’applique aussi bien aux machines `
a rotor lisse qu’`
a celles `
a
pˆ
oles saillants.
Ce mod`
ele repose sur la transformation de Park, utilis´
ee aussi dans l’analyse d’autres composants
de r´
eseaux.
1 Mod´
elisation au moyen de circuits magn´
etiquement coupl´
es
Nous allons repr´
esenter la machine synchrone par un certain nombre d’enroulements, magn´
etique-
ment coupl´
es, dont certains sont en mouvement.
Le mod`
ele ´
electrique d’une machine synchrone ne d´
epend pas du nombre pde paires de pˆ
oles
qu’elle comporte (´
evidemment les valeurs de certains param`
etres changent avec p, p.ex. le mo-
ment d’inertie et l’´
energie cin´
etique des masses tournantes). Pour des raisons de simplicit´
e, nous
consid´
ererons donc une machine `
a une seule paire de pˆ
oles (p= 1).
1.1 Signification des enroulements
La machine id´
ealis´
ee que nous allons ´
etudier est repr´
esent´
ee `
a la figure 1. Le stator est muni de
trois enroulements rep´
er´
es a, b et c, d´
ecal´
es de 120 degr´
es. Le rotor comporte un certain nombre
d’enroulements ´
equivalents, r´
epartis selon deux axes : l’axe direct qui co¨
ıncide avec celui de l’en-
roulement d’excitation et l’axe en quadrature, perpendiculaire au pr´
ec´
edent. Nous plac¸ons arbi-
trairement l’axe en quadrature en retard sur l’axe direct par rapport au sens de rotation.
Nous avons donn´
e au rotor une forme en pˆ
oles saillants mais les d´
eveloppements qui suivent s’ap-
pliquent ´
egalement `
a une machine `
a rotor lisse. Pour celle-ci, il suffit de consid´
erer que le rotor
pr´
esente une parfaite sym´
etrie de r´
evolution.
Le nombre d’enroulements rotoriques caract´
erise le degr´
e de raffinement du mod`
ele. Toutefois, il
ne faut pas perdre de vue qu’un mod`
ele plus sophistiqu´
e requiert davantage de donn´
ees pour tous
les param`
etres qui y interviennent et que le gain est marginal si les donn´
ees ne sont pas fiables.
Cette remarque prend tout son sens si l’on consid`
ere qu’en pratique seul le circuit d’excitation
est accessible aux instruments de mesure. Les param`
etres (r´
esistances, inductances, . . .) des autres
circuits sont d´
etermin´
es de mani`
ere indirecte (p.ex. r´
eponse de la machine lors d’un essai en court-
circuit, r´
eponse en fr´
equence, identification par calcul num´
erique).
Compte tenu de ces consid´
erations, le mod`
ele le plus r´
epandu pour la machine synchrone est ce-
lui `
a quatre ou trois enroulements rotoriques. L’axe direct comporte l’enroulement d’excitation,
2
θr
axe
direct
axe de la
phase a
c
cquadrature
axe en
b
a
f
d1
f
d1
a
b
q2
q1
q2
q1
FIGURE 1 – machine synchrone id´
ealis´
ee
d´
esign´
e par f1et un circuit ´
equivalent d´
esign´
e par d12. Ce dernier repr´
esente l’effet des amortis-
seurs. L’axe en quadrature comporte deux enroulements, d´
esign´
es par q1et q23. L’un repr´
esente
l’effet des courants de Foucault induits dans la masse du rotor, l’autre tient compte des amortis-
seurs. Toutefois, dans les machines `
a pˆ
oles saillants, le rotor est g´
en´
eralement constitu´
e de tˆ
oles et
les courants de Foucault sont n´
egligeables. Pour ces machines, on ne consid`
ere donc qu’un seul
enroulement (q2) dans l’axe en quadrature.
Les d´
eveloppements qui suivent s’appliquent au cas g´
en´
eral d’une machine `
a quatre enroulements
rotoriques. Le mod`
ele `
a trois enroulements s’en d´
eduit par des simplifications assez ´
evidentes.
Notons enfin que l’enroulement d’excitation est soumis `
a une tension vftandis que les circuits
d1, q1et q2sont court-circuit´
es en permanence.
1.2 Relations tensions-courants-flux
Comme nous nous int´
eressons principalement `
a des g´
en´
erateurs, nous adoptons la convention
g´
en´
erateur dans chaque enroulement statorique. En revanche, ´
etant donn´
e qu’on fournit de la puis-
sance `
a l’enroulement d’excitation, nous y adoptons la convention moteur. Rappelons que ces
choix sont arbitraires ; leur m´
erite est de conduire `
a des puissances positives pour un g´
en´
erateur en
r´
egime ´
etabli.
Pour les enroulements statoriques, on a :
va(t) = Raia(t)a
dt
1. “f” pour “field winding” en anglais
2. “d” pour “direct”
3. “q” pour “quadrature”
3
axe de la phase a
va
ia
ib
vb
vc
ic
q
iq1
iq2
vq2= 0
vq1= 0
id1
vfif
θ
d
ROTOR
˙
θr
vd1= 0
STATOR
FIGURE 2 – enroulements de la machine synchrone : conventions de signe
vb(t) = Raib(t)b
dt
vc(t) = Raic(t)c
dt
o`
uRaest la r´
esistance d’une des phases et ψle flux total embrass´
e par l’enroulement consid´
er´
e.
Ces relations s’´
ecrivent sous forme matricielle :
vT=RTiTd
dtψT(1)
o`
u l’indice Td´
esigne des grandeurs triphas´
ees et o`
u l’on a pos´
eRT=diag(RaRaRa).
Pour les enroulements rotoriques on a de mˆ
eme :
vf(t) = Rfif(t) + f
dt (2)
0 = Rd1id1(t) + d1
dt (3)
0 = Rq1iq1(t) + q1
dt (4)
0 = Rq2iq2(t) + q2
dt (5)
et sous forme matricielle :
vr=Rrir+d
dtψr(6)
o`
u l’indice rd´
esigne des grandeurs rotoriques et o`
u l’on a pos´
eRr=diag(RfRd1Rq1Rq2).
4
1.3 Inductances
Les ´
equations ci-dessus sont tout-`
a-fait g´
en´
erales ; en particulier, aucune hypoth`
ese n’est faite sur
les propri´
et´
es du milieu magn´
etique. Dans ce cours, nous nous limitons toutefois au r´
egime lin´
eaire
et n´
egligeons la saturation du mat´
eriau magn´
etique.
Sous cette hypoth`
ese flux et courants sont li´
es par :
ψT
ψr=LT T (θr)LT r(θr)
LT
T r(θr)Lrr iT
ir(7)
dans laquelle θrest la position angulaire du rotor, d´
efinie par convention comme l’angle entre l’axe
direct du rotor et l’axe de la phase a(voir figures 1 et 2).
Les matrices d’inductances LT T et LT r d´
ependent de la position du rotor. Ce n’est pas le cas de
la matrice Lrr ´
etant donn´
e que, vu du rotor, le stator se pr´
esente toujours de la mˆ
eme mani`
ere,
quelle que soit la position du rotor (on n´
eglige ici l’effet des encoches dans lesquelles sont log´
es
les conducteurs).
Les composantes de LT T (θr)et LT r(θr)sont ´
evidemment des fonctions p´
eriodiques. D´
evelopp´
ees
en s´
erie de Fourier, celles-ci comportent, en principe, des harmoniques spatiaux. Comme men-
tionn´
e`
a dans le cours ELEC0014, on s’arrange en pratique pour rendre ces harmoniques aussi
faibles que possible. Nous les n´
egligerons donc, ce qui conduit au mod`
ele de machine sinuso¨
ıdale
dans lequel les matrices d’inductances prennent la forme suivante :
LT T (θr) =
L0+L1cos 2θrLmL1cos 2(θr+π
6)LmL1cos 2(θrπ
6)
LmL1cos 2(θr+π
6)L0+L1cos 2(θr2π
3)LmL1cos 2(θr+π
2)
LmL1cos 2(θrπ
6)LmL1cos 2(θr+π
2)L0+L1cos 2(θr+2π
3)
(8)
LT r(θr) =
Laf cos θrLad1cos θrLaq1sin θrLaq2sin θr
Laf cos(θr2π
3)Lad1cos(θr2π
3)Laq1sin(θr2π
3)Laq2sin(θr2π
3)
Laf cos(θr+2π
3)Lad1cos(θr+2π
3)Laq1sin(θr+2π
3)Laq2sin(θr+2π
3)
(9)
Lrr =
Lff Lf d10 0
Lfd1Ld1d10 0
0 0 Lq1q1Lq1q2
0 0 Lq1q2Lq2q2
(10)
Dans ces expressions, toutes les constantes Lsont positives, les signes ad´
equats ayant ´
et´
e intro-
duits. Partant de la figure 1, ces diff´
erentes expressions se justifient comme suit :
la self-inductance de la phase statorique aest maximale quand l’axe direct co¨
ıncide avec l’axe
de cette phase (θr= 0). En effet, les lignes de champ (cf cours ELEC0014) trouvent alors le
chemin maximal dans le mat´
eriau ferromagn´
etique. Pour la mˆ
eme raison, la self-inductance est
minimale quand l’axe en quadrature co¨
ıncide avec l’axe de la phase a(θr=π/2). Par ailleurs,
un retournement de 180 degr´
es du rotor ne modifie pas cette self-inductance ;
les self-inductances des phases bet cse d´
eduisent de celle de la phase aen remplac¸ant θrpar
θr±2π/3;
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