Support TS CH2 L2etL3 ESATIC 2019

Chapitre 2
DEFINITIONS, CLASSIFICATION ET
MODELISATION DES SYSTEMES LINEAIRES
I.
SYSTEMES
1. Définition :
Un système est un ensemble isolé de dispositifs orientés, qui établit un lien de cause à effet entre
des signaux d’entrée (appelés excitations) et des signaux de sortie (appelés réponses ou mesures). Ces
deux types de signaux peuvent se distinguer aisément, dans la mesure où les excitations sont des
grandeurs indépendantes (leurs valeurs peuvent être choisies indépendamment les unes des autres), tandis
que les réponses sont généralement liées les unes aux autres. De plus, il est souvent nécessaire de
distinguer les excitations sur lesquelles l’utilisateur peut agir, appelées commandes, de celles qui ne
peuvent être maîtrisées, appelées perturbations.
Fig.1.1
Cette définition regroupe bien évidemment une très grande variété de phénomènes physiques.
Un système est aussi un modèle mathématique d’un processus physique qui relie le signal d’entrée
(excitation ou cause) au signal de sortie (réponse ou effet).
De façon générale, la relation de cause à effet qui lie la commande x(t) et la mesure y(t) peut être
vue comme une transformation de x(t) en y(t). Cette transformation peut être représentée par le symbole
mathématique :
=
ou T est l’opérateur représentant les règles bien définies par lesquelles x est
transformé en y.
Fig.1.2 système scalaire (a) et système multi variables (b)
Comme pour les signaux, quelques caractéristiques supplémentaires permettent également de
préciser la nature des systèmes étudiés.
Un système peut consister en des composants physiques (réalisation matérielle ou hardware
realisation en anglais) ou en un algorithme qui calcule le signal de sortie en fonction du signal d’entrée
(réalisation logicielle ou software realisation).
De façon plus pratique, un système physique consiste en des composants interconnectés, qui sont
caractérisés par leurs relations aux bornes. En plus, un système est gouverné par des lois
d’interconnexions. Par exemple, dans un système électrique, les relations aux bornes sont les relations
familières tension-courant pour les résistances, les inductances, condensateurs, transformateurs,
transistors et ainsi de suite, de même que les lois d’interconnexion (lois de Kirchhoff). En utilisant ces lois,
1
on obtient des équations mathématiques qui lient les sorties aux entrées. Ces équations représentent un
modèle mathématique du système. Ainsi on peut considérer qu’un système est défini par ses entrées, ses
sorties et son modèle mathématique.
L’étude des systèmes consiste en trois axes majeurs : la modélisation mathématique, l’analyse
et la conception. Même si nous allons utiliser la modélisation mathématique, notre travail sera
principalement orienté analyse et conception. En fait, la grande partie de ce livre est dévolue au problème
d’analyse, comment déterminer les sorties d’un système pour une entrée donnée et un modèle
mathématique du système. Nous allons aussi considérer l’approche conception ou synthèse, comment
construire un système qui produira un ensemble de sorties en fonctions de certaines entrées données.
2. Donnée nécessaire pour calculer la réponse d’un système
Pour comprendre de quelle donnée on a besoin pour calculer la réponse d’un système, considérons
un simple circuit RC qui a une source de courant ( ) comme signal d’entrée. La tension de sortie ( ) est
donnée par
( )= . ( )+
( )
(Eq.1.1a)
Fig.1.3 : Exemple d’un système électrique simple
Les limites de l’intégrale partent de −∞ à , parce que cette intégrale représente la charge du
condensateur par rapport au courant qui circule dans le condensateur, et cette charge est le résultat du
courant qui circule dans le condensateur depuis −∞.
Maintenant, Eq.1.1a peut être exprimée comme suit
( )= . ( )+
( )
L’intégrale du milieu est
( )=
(0) + . ( ) +
( )
+
(Eq.1.1b)
(0), la tension du condensateur à = 0.
( )
≥0
(Eq.1.1c)
Cette équation peut être généralisée
( )=
( )+ . ( )+
( )
≥
(Eq.1.1d)
A partir de Eq.1.1a, la tension de sortie ( ) à un instant peut être calculée si nous connaissons le
courant d’entrée dans le condensateur à travers son passé entier(−∞ à ). De façon similaire, si nous
connaissons le courant d’entrée ( ) à partir d’un moment , en utilisant Eq.1.1d, on peut aussi calculer
( )
≥
grâce à la connaissance du courant d’entrée connue ( ), la tension initiale du
condensateur. Ainsi, ( ) contient toute l’information liée au passé entier du circuit (−∞ à ) dont nous
avons besoin pour calculer ( )
≥ . Ainsi, la réponse d’un système à
≥ peut être déterminée
de ses entrée(s) durant l’intervalle à avec certaine conditions initiales à = .
De l’exemple précédent, on a eu seulement besoin d’une condition initiale. Cependant, dans des
systèmes plus complexes, plusieurs conditions initiales peuvent être nécessaires. Nous savons per
exemple, que dans un réseau RLC passif, les valeurs initiales de tous les courants d’inductances et toutes
2
les tensions des condensateurs sont nécessaires pour déterminer les sorties à tout instant
entrées sont données sur l’intervalle [0, ].
II.
≥ 0 si les
CLASSIFICATION DES SYSTEMES
Les systèmes peuvent être classés en plusieurs catégories non exclusives. Nous citons ici celles qui
nous intéressent pour notre livre.
1. Systèmes linéaires et non linéaires
1. Concept de linéarité
Un système dont la sortie est proportionnelle à son entrée est un exemple de système linéaire. Mais
la linéarité implique plus que cela ; elle implique aussi la propriété d’additivité : si plusieurs entrées agissent
sur un système, alors l’effet total sur le système dû à toutes ces entrées peut être déterminé en considérant
une entrée à la fois en considérant les autres entrées nulles. L’effet total est donc la somme de tous les
effets des composants.
D’un point de vue purement technique, les systèmes linéaires vérifient le principe de superposition
et le principe d’homogénéité énoncés comme suit :
Principe d’homogénéité
Un système vérifie le principe d’homogénéité si pour une entrée $%( ), la sortie est donnée
par $&( ).
Principe de superposition
La réponse &( ) d’un système linéaire à une entrée %( ) composée de la combinaison linéaire de
plusieurs entrées %( ) = ∑() $( %( ( ) est la somme des réponses élémentaires &( ( ) à chacune des
entrées individuelles &( ) = ∑() $( &( ( )
Ainsi l’hypothèse de linéarité va permettre l’utilisation d’outils analytiques, graphiques très simples et
puissants tels que les transformées de Laplace et de Fourier, le calcul opérationnel ou le théorème de
convolution.
Toutefois, l’hypothèse de linéarité est valide dans un domaine précis et ne tient pas compte d’un
certain nombre de phénomènes purement non linéaires. En effet, la plupart des systèmes physiques sont
en réalité non linéaires (bras de robot, phénomènes électrostatiques) ou font apparaitre des phénomènes
non linéaires (hystérésis, seuil, zone morte, frottement sec). Il conviendra donc de toujours justifier en
pratique l’hypothèse de linéarité et d’identifier son domaine de validité.
2. Réponse d’un système linéaire
Par souci de simplicité, nous discuterons seulement des systèmes à une seule entrée - une seule
sortie (SISO). Mais la discussion peut être facilement étendue aux systèmes à entrées multiples et sorties
multiples (MIMO).
La sortie d'un système à ≥ 0 est le résultat de deux causes indépendantes: les conditions initiales
du système (ou l'état du système) à = 0 et l'entrée ( ) pour ≥ 0. Si un système doit être linéaire, la
sortie doit être la somme des deux composants issus de ces deux causes: d'une part, la composante de
réponse libre (ou en anglais «zero input response ») qui résulte seulement des conditions initiales à =
0 à l'entrée ( ) = 0 pour ≥ 0, et puis la composante réponse forcée (ou en anglais «zero state
response »)qui résulte seulement de l'entrée ( ) pour ≥ 0, lorsque les conditions initiales (à = 0) sont
supposées à être égale à zéro. Lorsque toutes les conditions initiales appropriées sont à zéro, le système
est dit être dans l'état zéro. La sortie du système est nulle lorsque l'entrée est égale à zéro uniquement si
le système est à l'état zéro.
En résumé, la réponse d’un système linéaire peut s’exprimer comme la somme de la réponse libre
et de la réponse forcée :
3
Réponse totale=réponse libre + réponse forcée
Cette propriété des systèmes linéaires, qui permet la séparation en composants résultant des conditions
initiales et du signal d’entrée, est appelée propriété de décomposition.
Pour notre circuit RC, on a obtenu la réponse ( )
( )=
(0)
*+,
-é/0123 456-3
( )
+ *77777+77777,
. ( )+
≥0
(Eq.1.2)
-é/0123 80- é3
De l’équation (1.2) il est clair que si l’entrée ( ) = 0
≥ 0, la sortie ( ) = (0). Et donc (0) est la
composante libre de la réponse ( ). De même, si l’état du système (la tension (0) dans ce cas) est à
zéro à = 0, la sortie est donnée par le second membre à droite de l’équation (1.2). C’est la composante
forcée de la réponse ( ).
Exemple 1 :
Montrer que le système décrit par l’équation
Réponse :
Soit ( ) %
Alors
9:=
9
<(
9:
9
+ 3 ( ) = ( ) est linéaire.
) les réponses du système respectivement aux entrées
+3 ( )=
9:>
9
( ) %
+ 3 <( ) =
<(
( ) %
<(
).
).
En multipliant la première équation par ? et la seconde par ?< et en les additionnant on obtient :
[?
( ) + ?<
<(
( ) + ?<
)] + 3[?
<(
)] = ?
( ) + ?<
<(
)
Mais cette dernière équation est de la même forme que l’équation du système, avec ( ) = ? ( ) +
?< < ( ) et ( ) = ? ( ) + ?< < ( )
Ainsi, quand le signal d’entrée est ? ( ) + ?< < ( ), la réponse du système est ? ( ) + ?< < ( ). Par
conséquent, le système est linéaire.
En utilisant cet argument, on peut généraliser le résultat pour montrer qu’un système décrit par une
équation différentielle de la forme :
@A
BC D
BC F D
+
@
+ ⋯ + @C D(E) = HC
F
BEC
BEC F
I
BI D
+ ⋯ + HC
BEI
F
BD
+ HC J(E)
BE
(KL. F. M)
est un système linéaire. Les coefficients N5 % O5 dans cette équation peuvent être des constantes ou des
fonctions du temps.
Application 1
Montrer que le système décrit par l’équation suivante est linéaire
+
<
( )= ( )
3. Autres données sur les systèmes linéaires
Presque tous les systèmes observés dans la pratique deviennent non linéaires lorsque des signaux
suffisamment grands leur sont appliqués. Cependant, il est possible d'approximer la plupart des systèmes
non linéaires par des systèmes linéaires pour l'analyse petit-signal. L'analyse des systèmes non linéaires
est généralement difficile. Des non-linéarités peuvent surgir de tant de façons que les décrire avec une
forme mathématique classique est impossible. Non seulement chaque système est une catégorie en soi,
4
mais, même pour un système donné, les variations des conditions initiales ou des amplitudes du signal
d'entrée peut changer la nature du problème. D'autre part, la propriété de superposition des systèmes
linéaires est un principe unificateur puissant qui permet une solution générale. La propriété de superposition
(linéarité) simplifie grandement l'analyse des systèmes linéaires. En raison de la propriété de
décomposition, on peut évaluer séparément les deux composants de la sortie. La composante libre, peut
être calculée en supposant que l'entrée est nulle, et la composante forcée peut être calculée en supposant
des conditions initiales nulles. De plus, si on exprime une entrée ( ) en tant que somme de fonctions plus
simples,
( )=N
( ) + N<
<(
) + ⋯ + NP
P(
)
P(
)
ensuite, du fait de la linéarité, la réponse ( ) est donnée par
( ) + N<
( )=N
où
((
)est la réponse forcée à l’entrée
((
<(
) + ⋯ + NP
).
Cette observation apparemment triviale a de profondes implications. Comme nous allons le voir à
plusieurs reprises dans les chapitres suivants, il se révèle extrêmement utile et ouvre de nouvelles voies
pour l'analyse des systèmes linéaires. Par exemple, considérons une quelconque entrée ( ) telle que celle
représentée sur la Fig. 1.2a. On peut approximer ( ) avec une somme d'impulsions rectangulaires de
largeur ∆ et d'amplitudes différentes. L'approximation s'améliore lorsque ∆ → 0, lorsque les impulsions
rectangulaires deviennent des impulsions espacées de
∆ secondes (avec ∆ → 0). Ainsi, une entrée arbitraire peut être remplacée par une somme pondérée
d'impulsions espacées de ∆ (∆ → 0) secondes d'intervalle. Par conséquent, si nous connaissons la
réponse du système à une impulsion unité ou impulsion de Dirac, nous pouvons déterminer immédiatement
la réponse du système à une entrée arbitraire ( ) en additionnant la réponse du système pour chaque
impulsion composant ( ). Une situation similaire est représentée sur la Fig. 1.2b, où ( ) est approximée
par une somme d'échelons d'amplitude variable et espacés de ∆ secondes. L'approximation s'améliore
quand ∆ diminue. Par conséquent, si l'on connaît la réponse du système à une entrée échelon unité, on
peut calculer la réponse du système à une entrée arbitraire ( ) avec une relative facilité. L'Analyse
temporelle des systèmes linéaires (voir le chapitre 2) utilise cette approche.
Fig.1.2
Des chapitres suivants utilisent la même approche, mais utilisent plutôt des sinusoïdes ou des
exponentielles comme composants de base du signal. Nous montrons que tout signal d'entrée quelconque
peut être exprimé comme une somme pondérée des sinusoïdes (ou exponentielles) ayant des fréquences
différentes. Ainsi la connaissance de la réponse du système à une sinusoïde permet de déterminer la
réponse du système à une entrée arbitraire ( ).
2. Systèmes invariants et systèmes variant dans le temps
Les Systèmes dont les paramètres ne changent pas avec le temps sont (aussi appelés systèmes à
paramètres constants) des systèmes invariants dans le temps ou stationnaires. Pour de tels systèmes, si
l'entrée est retardée de T secondes, la sortie est la même que précédemment mais retardée de T (en
supposant que les conditions initiales sont également décalées de T).
5
Cette propriété est exprimée graphiquement dans la figure.1.3. Nous pouvons aussi illustrer cet
immeuble, comme le montre la Fig.1.4. On peut retarder la sortie y (t) d'un système S par l'application de
la sortie ( ) à un deuxième retard T (Fig.1.4a). Si le système est invariant dans le temps, alors la sortie
retardée ( − S) peut également être obtenue en retardant d'abord l'entrée ( ) avant de l'appliquer au
système, comme le montre la Fig.1.4b. En d'autres termes, le système S et le décalage temporel permute
si le système S est invariant dans le temps. Ce ne serait pas vrai pour les systèmes variant dans le temps.
Considérons, par exemple, un système variable dans le temps spécifié par ( ) = %
( ). La sortie d'un
( T)
( − S). En revanche, la sortie pour le système sur la Fig.1.4b est
tel système à la Fig.1.4a est %
%
( − S)
Fig.1.4 Propriété d’invariance temporelle
Fig.1.5 Illustration de l’invariance temporelle
Il est possible de vérifier que le système de la figure.1.1 est un système invariant. Les Réseaux
composées d'éléments RLC et d'autres éléments actifs couramment utilisés tels que les transistors sont
des systèmes invariants dans le temps. Un système avec une relation d'entrée-sortie décrit par une équation
différentielle linéaire de la forme donnée dans l'exemple 1 (1.3) est un système linéaire invariant dans le
temps (LTI) lorsque les coefficients N5 et O5 de cette équation sont des constantes. Si ces coefficients sont
des fonctions du temps, alors le système est un système linéaire variable dans le temps. Le système décrit
dans l’application 1 est linéaire variant dans le temps. Un autre exemple bien connu d'un système variable
dans le temps est le microphone de carbone, dans lequel la résistance R est une fonction de la pression
mécanique générée par les ondes sonores sur les granules de carbone du microphone. Le courant de sortie
du microphone est ainsi modulé par les ondes sonores, comme on le souhaite.
Application 2 :
Montrer que le système décrit par l’équation suivante est un système à paramètres variant dans le temps
( ) = (sin( )) ( − 2)
Indication : Montrer que ce système ne satisfait pas la propriété d’invariance temporelle
3. Systèmes à mémoire et systèmes sans mémoire
Comme observé précédemment, la sortie d'un système à un instant E dépend généralement de
l'ensemble de l'entrée passée. Cependant, dans une classe particulière de systèmes, la sortie à un instant
t ne dépend que de son entrée à cet instant. Dans les réseaux résistifs, par exemple, n'importe quel signal
de sortie du réseau à un instant t ne dépend que de l'entrée à l'instant t. Dans ces systèmes, l'histoire
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passée est pertinente pour déterminer la réponse. Ces systèmes sont dits systèmes instantanés ou sans
mémoire. Plus précisément, un système est dit instantané (ou sans mémoire) si sa sortie à tout instant t
dépend, tout au plus, sur la force de son entrée (s) au même instant t, et non sur le passé ou les valeurs
futures de ses entrées. Sinon, le système est dit être dynamique (ou un système à mémoire). Un système
dont la réponse à t est complètement déterminée par les signaux d'entrée au cours des dernières secondes
T [intervalle de (t - T) à t] est un système à mémoire finie avec une mémoire de T secondes. Les Réseaux
contenant des éléments inductifs et capacitifs sont généralement à mémoire infinie parce que la réponse
de ces réseaux à tout instant t est déterminée par leurs entrées sur l'ensemble du passé (- ∞, t). Cela est
vrai pour le circuit RC de la Fig. 1.1.
Dans ce livre, nous allons généralement examiner les systèmes dynamiques. Les Systèmes instantanées
sont un cas particulier des systèmes dynamiques.
4. Systèmes causals et systèmes non causal
Un système causal (également connu sous le nom physique ou non anticipatif) est un système dont la
sortie, à tout instant ne dépend que de la valeur de l'entrée ( ) à ≤ 0. En d'autres termes, la valeur de
la sortie à l'instant présent ne dépend que des valeurs passées et présentes de l'entrée ( ), et non de ses
valeurs futures. Pour le dire simplement, dans un système de causalité la sortie ne peut pas commencer
avant que l'entrée soit appliquée. Si la réponse commence avant l'entrée, cela signifie que le système
connait l'entrée dans l'avenir et agit sur cette connaissance avant que l'entrée lui soit appliquée. Un système
qui viole la condition de causalité est appelé un système non causal (ou anticipatif).
Tout système pratique qui fonctionne en temps réel doit nécessairement être causal. Nous ne savons pas
encore comment construire un système qui peut répondre aux futures entrées (entrées non encore
appliquées). Un système non causal est un système prophétique qui sait le signal d'entrée à venir et agit
sur lui dans le présent. Ainsi, si nous appliquons une entrée à partir de = 0 à un système non causal, la
sortie serait commencée avant même = 0. Par exemple, considérerons le système spécifié par
( ) = ( − 2) + ( + 2)
(Eq.1.4)
Pour l'entrée x(t) illustré sur la Fig.1.6a, la sortie y(t), calculé à partir de l'équation précédente
(Fig.1.6b) commence avant même que l'entrée soit appliquée. L'équation montre que y(t), la sortie à l'instant
t, est donnée par la somme des valeurs de l'entrée 2 secondes avant et 2 secondes après t (à t -2 et t + 2,
respectivement). Mais si nous opérons le système en temps réel à t, nous ne savons pas ce que la valeur
de l'entrée sera à 2 secondes plus tard. Ainsi, il est impossible de mettre en œuvre ce système en temps
réel. Pour cette raison, les systèmes non causals sont irréalisables en temps réel.
Fig. 1.6 : Un système non causal et sa réalisation à partir du décalage d’un système causal
POURQUOI ÉTUDIER LES SYSTEMS NON CAUSALS ?
La discussion qui précède peut suggérer que les systèmes non causals n'ont aucune utilité pratique. Ce
n'est pas le cas ; ils sont utiles dans l'étude des systèmes pour plusieurs raisons. Premièrement, les
systèmes non causals sont réalisables lorsque la variable indépendante est autre que le « temps » (par
exemple, l'espace). Considérons, par exemple, une charge électrique de densité Z( ) placée le long de
l'axe des pour ≥ 0. Cette densité de charge produit un champ électrique [( ) qui est présent à chaque
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point sur l'axe de = − ∞ à ∞. Dans ce cas, l'entrée [ie, Z de densité de charge ( )] commence à =
0, mais sa production [le champ électrique [( )] commence avant = 0. De toute évidence, ce système
de charge d'espace est non causal. Cette discussion montre que seuls les systèmes temporels (systèmes
avec le temps comme variable indépendante) doivent être causals pour être réalisable. Les termes "avant"
et "après" n'ont une connexion spéciale avec la causalité que lorsque la variable indépendante est le temps.
Cette connexion est perdue pour les variables autres que le temps. Les Systèmes intemporelles, comme
ceux qui se produisent en optique, peuvent être non causals et être réalisables.
De plus, même pour les systèmes temporels, tels que ceux utilisés pour le traitement du signal, l'étude
des systèmes non causals est importante. Dans de tels systèmes, nous pouvons avoir toutes les données
d'entrée préenregistrées. (Cela arrive souvent avec la parole, les signaux géophysiques et
météorologiques, et avec des sondes spatiales.) Dans de tels cas, les valeurs futures de l'entrée sont
disponibles pour nous. Par exemple, supposons que nous avions un ensemble d'enregistrements de
signaux d'entrée disponibles pour le système décrit par l'équation. (Eq.1.4). Nous pouvons alors calculer
( ) puisque, pour tout t, il suffit de consulter les dossiers pour trouver la valeur de l'entrée 2 secondes
avant et 2 secondes après t. Ainsi, les systèmes non causals peuvent être réalisées, mais pas en temps
réel. Nous pouvons donc être en mesure de réaliser un système non causal, pourvu que nous sommes
prêts à accepter un temps de retard dans la sortie. Considérons un système dont la sortie ( ) est le même
que \( ) dans l'équation. (Eq.1.4) retardé de 2 secondes (figure 1.6c), de sorte que
\( ) = ( − 2) = ( − 4) + ( )
Ici, la valeur de la sortie D à tout instant E est la somme des valeurs de l'entrée x à l'instant t et à l'instant
4 secondes plus tôt [à E = (E − ^)]. Dans ce cas, la sortie à un instant t ne dépend pas de la valeur future
de l'entrée, et le système est causal. La sortie de ce système, qui est D(E), est identique à celui dans
l'équation. (Eq.1.4) ou la Fig.1.6b sauf pour un délai de 2 secondes. Ainsi, un système peut être réalisé non
causale ou estimés de manière satisfaisante en temps réel en utilisant un système causal avec un retard.
Une troisième raison pour l'étude de systèmes non causals est qu'ils fournissent une limite supérieure
de la performance des systèmes causals. Par exemple, si nous voulons concevoir un filtre pour séparer un
signal du bruit, puis le filtre optimal est toujours un système non causal. Bien qu'irréalisable, la performance
de ce système non causale agit comme la limite supérieure de ce qui peut être réalisé et nous donne une
norme pour évaluer la performance des filtres causals.
À première vue, les systèmes non causals peuvent sembler être impénétrables. En fait, il n'y a rien de
mystérieux dans ces systèmes et leur réalisation approximative grâce à des systèmes physiques avec
retard. Si nous voulons savoir ce qui se passera d'ici un an, nous avons deux choix : aller à un prophète
(une personne irréalisable) qui peut donner les réponses instantanément, ou aller à un homme sage et lui
laisser un délai d'un an pour nous donner, la réponse ! Si l'homme sage est vraiment sage, il peut même
être en mesure, par les tendances qu'il étudie, de deviner astucieusement l'avenir de très près avec un
retard de moins d'un an. Tel est le cas avec les systèmes non causals, rien de plus et rien de moins.
Application 3
Montrer que le système décrit par l’équation suivante est non causal :
`a
( )= _
a
( )
Montrer que ce système peut être réalisé physiquement si on accepte un décalage de 5 secondes dans le
signal d’entrée.
5. Systèmes à temps continu et systèmes à temps discret
Les signaux définis ou spécifiés sur un ensemble continu de temps sont des signaux à temps
continus, notés par des symboles ( ), ( ) et ainsi de suite. Les systèmes dont les entrées et les sorties
sont des signaux à temps continus sont dits systèmes à temps continus. De même, les signaux définis
uniquement à des instants discrets de temps , , … , 1 sont des signaux à temps discrets, noté par les
symboles ( 1 ), ( 1 ) et ainsi de suite, ou n est un entier. Les systèmes dont les signaux d’entrée et de
8
sortie sont des signaux à temps discrets sont dits aussi systèmes à temps discrets. Un ordinateur
numérique est un exemple familier de ce type de système. En pratique, les signaux à temps discrets peuvent
provenir de l’échantillonnage des signaux à temps continus. Par exemple, quand l’échantillonnage est
uniforme, les instants discrets , , … , 1 sont uniformément espacés tel que : (` − ( = S
& ?.
Dans ce cas, les signaux à temps discrets représentés par l’échantillonnage des signaux à temps
continus ( ), ( ) et ainsi de suite peuvent être exprimés par (cS), (cS) ; et ainsi de suite ; par
convention, nous simplifierons cette notation en [c], [c],…, étant bien entendu que [c] = (cS) et que
n est un entier. On a représenté un signal à temps discrets typique à la Fig.1.7. Un signal à temps discrets
peut aussi être vu comme une séquence de nombres …, [−1], [0], [1], [2], … Ainsi un système à temps
discrets peut être vu comme le traitant une séquence de nombres [c] et produisant une séquence de
nombres [c].
Fig.1.7 : Signal à temps discret
Les signaux à temps discrets proviennent naturellement de situations liées à un temps discret, comme
les études de la population, les problèmes d’amortissement, les modèles de revenu national, le tracking
RADAR. Ils peuvent aussi provenir du résultat de l’échantillonnage des signaux à temps continus par des
systèmes à données échantillonnées, filtrage numérique et les trucs du genre.
6. Systèmes analogiques et systèmes discrets
Nous avons déjà présenté les signaux analogiques et les signaux numériques dans le chapitre 2 de ce
livre. Si les signaux d’entrée et de sortie x et y d’un système sont analogiques, alors le système est dit
analogique. Si les signaux d’entrée et de sortie sont des séquences numériques, alors le système est dit
numérique.
Fig.1.8 : système analogique (a) ; système numérique(b)
7. Systèmes inversibles et systèmes non inversibles
Un système e effectue certaines opérations sur le signal d'entrée. Si nous pouvons obtenir l'entrée J(E)
depuis la sortie D(E) correspondante par une opération, le système e est dit inversible. Lorsque plusieurs
entrées différentes donnent lieu à la même sortie (comme dans un redresseur), il est impossible d'obtenir
l'entrée à partir du signal de sortie, et le système est dit non inversible. Par conséquent, pour un système
inversible, il est essentiel que chaque entrée possède une sortie unique, de sorte qu'il existe une
correspondance unique entre une entrée et la sortie correspondante. Le système qui réalise l'opération
inverse [obtention de J(E) à partir de D(E)] est le système inverse de e. Par exemple, si e est un intégrateur
idéal, alors son système inverse est un dérivateur idéal. Considérons un système e relié en parallèle avec
son inverse ef, comme le montre la Fig.1.9. L'entrée J(E) à ce système en tandem des résultats dans le
signal D(E) à la sortie e et le signal D(E), qui agit maintenant comme une entrée à ef, les rendements
sauvegarder le signal J (E) à la sortie de ef, donc, ef, annule l'opération de e sur J(E), ce qui donne de
retour J(E). Un système dont la sortie est égale à l'entrée (pour toutes les entrées possibles) est un
9
système identité. Un système en cascade avec son système inverse, comme le montre la Fig. 1.9, conduit
à un système d'identité.
Fig.1.9 : La mise en cascade d’un système et son inverse conduit à un système identité
En revanche, un redresseur, spécifié par une équation ( ) = | ( )|, est non inversible parce que
l'opération de redressement ne peut être annulée. Les Systèmes inverses sont très importants en traitement
du signal. Dans de nombreuses applications, les signaux sont déformés au cours du traitement, et il est
nécessaire d'annuler la distorsion. Par exemple, dans la transmission de données sur un canal de
communication, les signaux sont faussés dues à la réponse en fréquence non idéale et la bande passante
finie d'un canal. Il est nécessaire de rétablir autant que possible le signal dans sa forme originale. Cette
opération est également utilisée dans les systèmes audio et les systèmes photographiques.
8. Systèmes stables et systèmes instables
Les systèmes peuvent également être classés comme des systèmes stables ou instables. La stabilité
peut être interne ou externe. Si chaque entrée bornée appliquée à la borne d'entrée résultats en une sortie
bornée, le système est dit pour être stable à l'extérieur. La stabilité externe peut être déterminée par des
mesures au niveau des bornes externes (entrée et sortie) du système. Ce type de stabilité est également
connu comme stabilité dans le sens BIBO (entrée bornée/sortie bornée). Le concept de stabilité interne est
reporté au Chapitre 2 parce qu'il exige une certaine compréhension du comportement du système interne,
introduit dans ce chapitre.
D’autres classifications, comme les systèmes déterministes et probabilistes, sont au-delà des propos
de ce livre et ne sont pas pris en compte ici. Cependant, seuls les systèmes dynamiques seront étudiés ici,
car ils correspondent à tous les phénomènes qui font intervenir le stockage ou la dissipation d’énergie. Le
cas des autres types de systèmes (systèmes algébriques, systèmes séquentiels) ne sera donc pas examiné
ici. De plus, les systèmes étudiés par la suite seront presque exclusivement des systèmes mono variables
ou systèmes uni variables ou systèmes scalaires, c’est-à-dire pour lesquels l’observateur n’accède qu’à
une seule grandeur de commande et n’observe qu’une seule grandeur de sortie.
III.
MODELE D’UN SYSTEME : DESCRIPTION ENTREE-SORTIE
Une description du système en ce qui concerne les mesures sur les bornes d'entrée et de sortie est
appelée description entrées-sorties. Comme mentionné précédemment, la théorie des systèmes englobe
une variété de systèmes, tels que les systèmes électriques, mécaniques, hydrauliques, acoustiques,
électromécaniques, et chimiques, ainsi que sociaux, politiques, économiques et biologiques. La première
étape dans l'analyse de tout système est la construction d'un modèle de système, qui est une
expression mathématique ou une règle qui se rapproche de manière satisfaisante du comportement
dynamique du système. Dans ce chapitre, nous ne considérerons que les systèmes en temps continu.
Le processus de développement d’un modèle mathématique constitue le lien entre réalité et théorie
mathématique. Le modèle ne doit pas être trop simpliste au risque de ne pas représenter la réalité mais
doit être suffisamment simple pour ne pas rendre inutilement complexes les étapes d’analyse des propriétés
du système et de synthèse des régulateurs. La phase de modélisation est donc essentielle dans le
processus
d’analyse
et
de synthèse d’un système de commande. En Automatique, le modèle mathématique d’un système
dynamique est défini comme un ensemble d’équations qui représentent le comportement dynamique du
système avec la précision souhaitée.
Le processus de modélisation consiste premièrement en l’identification du système et de ses
composants élémentaires. Le modèle mathématique idéal est obtenu en écrivant les lois physiques
10
régissant le comportement du système. Quelle que soit la nature physique du système à étudier, cette étape
résulte en l’écriture des équations différentielles et algébriques (linéaires, non linéaires, à coefficients
constants ou variant dans le temps) qui forment l’expression mathématique du comportement idéal du
système. Un certain nombre d’hypothèses de travail sont ainsi formulées définissant la classe des modèles
utilisés. L’ultime phase consiste alors à mettre en œuvre des méthodes d’analyse permettant le passage
de ces modèles mathématiques vers des modèles particulièrement dédies l’Automatique.
La démarche globale peut ainsi se résumer de la manière suivante :
1. Définir le système à étudier et ses composants élémentaires
2. Formuler le modèle mathématique idéal et dresser la liste des hypothèses à retenir
3. Ecrire les lois physiques régissant le comportement du système et les équations différentielles et
algébriques associées
4. Définir le modèle dédié à l’Automatique
Au début de ce chapitre, nous avons introduit le concept de systèmes et de certaines de leurs
propriétés générales. Ici et dans certains des chapitres suivants, nous allons apprendre à connaître
différentes méthodes qui peuvent être utilisées pour modéliser ces systèmes. Nous allons commencer en
regardant les systèmes en temps continu et nous limiter aux SSLICs.
Dans ce chapitre, nous sommes à la recherche d'une forme standardisée de modèle du système
qui représente les caractéristiques entrée-sortie d'un système par des équations mathématiques,
indépendant de la mise en œuvre du système.
Ce livre traite par la suite de trois techniques de modélisation pour les systèmes à temps continu :
 Équations différentielles en tant que représentation mathématique de la relation d'entrée-sortie,
 Des schémas fonctionnels (Diagrammes Blocs) comme une représentation graphique de la relation
entre entrée, sortie et états internes,
 Les modèles de l'Etat qui sont l'équivalent des diagrammes.
L'élément commun à ces trois techniques de modélisation est l'utilisation de signaux dépendant du
temps, dans lequel la dérivée et l'intégrale par rapport au temps joue un rôle important. Par conséquent,
ces types de modèle du système peuvent être classés comme « modèles de domaine temporel ». Leurs
compléments sont des « modèles de domaine de fréquence", qui seront examinés dans les prochains
chapitres.
1. Analyse du système
Notre objectif est de trouver un modèle de système sans détails de la mise en œuvre du système.
Comment cela peut-il être atteint ? Nous allons utiliser l'analyse d'un circuit électrique pour montrer les
étapes essentielles.
Dans de nombreuses manières il est possible d'ignorer l'expansion spatiale des composants électriques
sur une carte de circuit et de travailler à la place avec des circuits équivalents, constitués d'éléments
concentrés. Des dispositifs à semi-conducteurs sont un exemple de cela parce que leur comportement
interne compliqué ne peut être modélisé avec précision qu'en utilisant la physique d'état solide. Leurs effets
à l'intérieur d'un circuit électrique, sont, cependant, souvent linéaire assez pour être adéquatement
modélisés par des éléments simples comme les résistances et sources idéales.
La deuxième étape est le remplacement des composants physiques avec leurs équivalents idéaux, par
exemple, de véritables résistances deviennent ohmique, les fils deviennent des conducteurs parfaits, les
condensateurs ont une capacité idéale, etc.
Les réseaux électriques résultant peuvent être analysés en utilisant des méthodes classiques, par
exemple, loi des mailles ou analyse nodale. Il en résulte des équations différentielles ordinaires à
coefficients constants, dans lequel seuls les signaux d'entrée et de sortie et leurs dérivés se produisent.
Ce processus peut également être appliqué à d'autres dispositifs physiques qui, comme les circuits
électriques, peuvent être décrits par le potentiel électrique (par exemple tension) et les quantités de flux
11
(courant électrique par exemple). L'analyse en conséquence simplifie les systèmes mécaniques, systèmes
pneumatiques, hydrauliques et thermiques avec les équations différentielles. Le même raisonnement
s’applique à d'autres types de système, par exemple, de la chimie, de la biologie ou de l'économie.
Les simplifications mentionnées ne sont évidemment pas toujours permises. Les équations différentielles
ordinaires sont, par exemple, impropres aux problèmes du domaine de la dynamique des fluides. Dans de
nombreuses autres utilisations, cependant, ils sont d'une grande importance, et nous allons donc les
examiner plus en profondeur.
2. Equations différentielles linéaires à coefficients constants
Les équations différentielles établissent des relations entre les dérivés des quantités dépendantes par
rapport aux variables indépendantes. EIles sont appelées équations différentielles ordinaires si les dérivés
n'apparaissent qu'en fonction de l'une des variables indépendantes (par exemple le temps). Les équations
différentielles avec des dérivés dépendant de plus d'une variable indépendante (par exemple le temps et
trois coordonnées spatiales) sont appelées équations aux dérivées partielles.
Une équation différentielle est dite linéaire si les dérivées individuelles sont multipliées par les facteurs
seulement et combinées par addition. En outre, si les facteurs de dérivés ne dépendent pas de variables
indépendantes, le terme « équation différentielle à coefficients constants » est utilisé.
Pour la modélisation des systèmes en temps continu, nous avons juste besoin d'équations différentielles
ordinaires avec le temps comme la seule variable indépendante. Dans ces équations les signaux d'entrées
et de sortie du système doivent se produire comme variables dépendantes. Nous allons bientôt découvrir
que les systèmes linéaires, et invariants dans le temps peuvent être modélisés par les équations
différentielles linéaires à coefficients constants, et nous allons donc nous limiter à ce type d'équation.
Des exemples simples pour les équations différentielles linéaires à coefficients sont :
Eq.1.
h +2 i =
h +3 i +2 =2 i −
La forme générale d'une équation différentielle linéaire ordinaire avec des coefficients constants est
lm n
ls t
u
∑p
k) αk lom = ∑r) βr los
Eq.1.
Le plus grand indice v d’un coefficient non nul $w détermine ce qu'on appelle l'ordre de l'équation
différentielle. Afin de simplifier la discussion, posons x = v et considérons que certains, mais pas tous les
coefficients y( soient égal à zéro.
Pour une fonction donnée ( ), il existe jusqu'à v différentes solutions linéairement indépendantes
( ) à Eq1. Pour une solution particulière, nous devons donner v conditions. Pour les problèmes de
conditions initiales, celles-ci seraient v conditions initiales (0), i (0), h (0), ….
L'équation différentielle Eq1 décrit un système à temps continu, si ( ) est le signal d'entrée, et ( )
est le signal de sortie. Pour l'instant, nous ignorons peut-être les conditions initiales ; leur influence sera
discutée en profondeur dans un chapitre ultérieur.
Montrons maintenant que (2.3) représente un système invariant. Par substitution des variables z =
− dans Eq.1. (2,3), il en résulte immédiatement que ( − ) conduit à la solution ( − ). Pour montrer
( ) % < ( ) et les solutions
la linéarité nous considérons les deux signaux d'entrée différents
correspondantes ( ) % < ( ). En introduisant l'équation linéaire { ( ) = | ( ) + } < ( ) dans Eq.1. (2,3)
on vérifie que { ( ) = | ( ) + } < ( ) est une solution de l'équation différentielle, et donc le signal de sortie
du système.
Chaque système qui peut être modélisé à l'aide d'équations différentielles linéaires à coefficients
constants (2.3) est donc un système SLIC. Cela signifie que nous avons trouvé notre première méthode
pour la modélisation de ces systèmes sous la forme d'une équation différentielle. Cette méthode répond à
nos exigences initiales :

Modélisation d’un SSLIC indépendamment de sa réalisation
12

Représentation de la relation entrée-sortie, sans connaissance des détails de son comportement
interne.
3. Exemples de modèles entrée-sortie
La complexité du modèle résultant va conditionner le choix des méthodes d’analyse et de synthèse qu’il
sera possible de lui appliquer. Il est donc très important d’établir un bon compromis entre la précision du
modèle et sa complexité. Ce chapitre a pour but de donner les principes de base de la modélisation des
systèmes dynamiques les plus courants rencontrés dans le domaine électrique, mécanique et
électromécanique sans pour autant prétendre à l’exhaustivité.

Systèmes électriques
Pour construire un modèle de système, nous devons étudier les relations entre les différentes variables
dans le système. Dans les systèmes électriques, par exemple, il faut déterminer un modèle satisfaisant de
la relation tension-courant de chaque élément, comme la loi d'Ohm pour une résistance. En outre, nous
devons déterminer les diverses contraintes sur les tensions et courants lorsque plusieurs éléments
électriques sont interconnectés. Ce sont les lois de l'interconnexion ou lois de Kirchhoff bien connus pour
la tension et le courant (loi des mailles et loi des nœuds). De toutes ces équations, nous éliminons les
variables indésirables pour obtenir les équations en fonction des variables d'entrée et de sortie souhaitées.
Les exemples suivants illustrent le mode opératoire de dériver des relations d'entrée-sortie pour des
systèmes électriques SLI.
Exemple 2 :
Pour le circuit série RLC de la fig.1.10, trouver l'équation d'entrée-sortie reliant la tension d'entrée ( )
au courant de sortie (courant de boucle) ( ).
Fig.6.10
Application de la loi de Kirchhoff en tension (loi des mailles)
~(
)+
•(
)+
( )= ( )
(Eq.1.5)
En utilisant les lois de tension-courant de chaque élément (inductance, la résistance et condensateur), on
peut exprimer cette équation
+ 3 ( ) + 2_
( )
= ( )
Avec
~(
) = € z( )
•(
)=
( )%
( )=
Z( )
=
•
( )
•
En dérivant l’équation on obtient :
9> :
9
>
9:
+39 +2 ( )=
9‚
9
(Eq.1.6)
Cette dernière équation différentielle est la relation d’entrée- sortie entre la sortie ( ) et l’entrée ( ).
Il est plus pratique d'utiliser une notation D compact pour l'opérateur différentiel / . Ainsi
13
BD
B‡ D
≡ …D(E) †E
≡ …‡ D(E) ˆ‰ Š‹Œ•‹ Žˆ ••‹‰ˆ
BE
BE‡
Avec cette notation on obtient (• < + 3• + 2) ( ) = • ( )
L'opérateur différentiel est l'inverse de l'opérateur intégral, afin que nous puissions utiliser l'opérateur
1/D pour représenter l'intégrale
1
_ ( ) ≡
( )
•
Par conséquent la loi des mailles devient
<
’
‘• + 3 + “ ( ) = ( )
(Eq.1.7)
Rappelons que l'équation. (Eq.1.7) n'est pas une équation algébrique, et • < + 3• + 2 n'est pas un
terme algébrique que ( ) multiplie; c'est un opérateur qui agit sur ( ). Cela signifie que nous devons
effectuer les opérations suivantes sur ( ): prendre la dérivée seconde de ( ) et y ajouter 3 fois la dérivée
première de ( ) et 2 fois ( ). De toute évidence, un polynôme en D multiplié par ( ) représente une
certaine opération différentielle sur ( ).
Exemple 3
Déterminer l’équation reliant l’entrée à la sortie pour le circuit RC série de la Fig.1.11. Si l’entrée est la
tension ( ) et la sortie est :
a. Le courant ”( )
b. La tension aux bornes du condensateur ( )
Fig.1.11
où
a. L’équation de la maille de ce circuit est
1
”( ) + _ ”( )
•
= ( )
[Z. 1.8
15”( ) + 5 _ ”( )
= ( )
[Z. 1.9
Avec la notation opérationnelle vue plus haut on obtient
5
15”( ) + ”( ) = ( )
•
b. En multipliant l’équation Eq.6.10 par D on a
9:
(15• + 5)”( ) = • ( )
Comme ”( ) = • 9 = a • ( ) on a après substitution
[Z. 1.10
ou 15
(3• + 1) ( ) = ( ) ou bien
3
”
+ 5”( ) =
+ ( )= ( )
Application 4
Déterminer l’équation reliant l’entrée à la sortie pour le circuit RC série de la Fig.1.10. Si l’entrée est la
tension ( ) et la sortie est :
a. La tension de la bobine ~ ( )
b. La tension aux bornes du condensateur ( )
Réponses
14
a. (• < + 3• + 2) ~ ( ) = • < ( )
b. (• < + 3• + 2) ( ) = 2 ( )

Systèmes mécaniques
Un Mouvement dans le plan peut être résolu en mouvement de translation (rectiligne) et en mouvement
de rotation (torsion). Le Mouvement de translation sera considéré en premier. Nous nous limiterons à des
mouvements dans une seule dimension.
Systèmes en translation
Les éléments de base utilisés dans la modélisation des systèmes de translation sont des masses
idéales, ressorts linéaires et amortisseurs produisant un amortissement visqueux. Les lois des différents
éléments mécaniques sont maintenant présentées.
Pour une masse M (fig.1.12a), une force ( ) provoque un mouvement ( ) et l’accélération ( ).
De la loi du mouvement de Newton,
( ) = x œ( ) = x
<
<
= x• < ( )
([Z. 6.11)
Fig.1.12. : Quelques éléments des systèmes mécaniques en translation
La force de ( ) nécessaire à l'étirement (ou compression) d'un ressort linéaire (Fig.1.12b de) d'une
valeur ( ) est donnée par
( ) = ?. ( )
Pour un amortisseur linéaire (Fig.1.12c de), qui opère en vertu de frottement visqueux, la force de
déplacement de l'amortisseur est proportionnelle à la vitesse relative ( ) d'une surface par rapport à l'autre.
Ainsi
( ) = } i( ) = }
= }• ( )
où B est le coefficient d'amortissement de l'amortisseur ou le frottement visqueux.
Exemple 4
Trouver la relation d'entrée-sortie pour le système mécanique de translation représenté sur la
Fig.1.13a ou son équivalent dans la Fig.1.13b. L'entrée est la force ( ), et la sortie est la position de masse
( ).
Fig.6.13a
15
Dans les systèmes mécaniques, il est utile de dessiner un diagramme du corps libre de chaque
jonction, qui est un point où deux ou plusieurs éléments sont reliés. Dans la Fig.1.13, le point représentant
la masse est une jonction. Le déplacement de la masse est noté y(t). Le ressort est également tendue par
la quantité y(t), et par conséquent, il exerce une force −ž ( ) sur la masse. L'amortisseur exerce une force
−} ( ) sur la masse comme indiqué dans le diagramme du corps libre (Fig.1.13c). D'après la deuxième loi
de Newton, la force nette doit être x h ( ). Donc
Ou bien
x h ( ) = −} i ( ) − ž ( ) + ( )
(x• < + }• + ž) ( ) = ( )
Systèmes en rotation
Dans les systèmes de rotation, le mouvement d'un corps peut être défini comme son mouvement
autour d'un certain axe. Les variables utilisées pour décrire un mouvement de rotation sont le couple (à la
place de la force), position angulaire (à la place de position linéaire), la vitesse angulaire (à la place de la
vitesse linéaire), et l'accélération angulaire (à la place de l'accélération linéaire). Les éléments du système
sont la masse en rotation ou moment d'inertie (à la place de la masse) et des ressorts de torsion et
amortisseurs de torsion (à la place des ressorts et amortisseurs linéaires). Les équations de borne pour ces
éléments sont analogues aux équations correspondantes pour les éléments de translation. Si J est le
moment d'inertie (ou masse en rotation) d'un corps tournant autour d'un certain axe, le couple externe
nécessaire pour ce mouvement est égale à J (masse en rotation) fois l'accélération angulaire. Si θ est la
position angulaire du corps, Ÿh est son accélération angulaire, et
¡% = ¢£h = ¢
<
£
<
= ¢• < £( )
De même, si K est la rigidité d’un ressort de torsion (par unité de torsion angulaire), et θ est le
déplacement angulaire d'une terminaison du ressort par rapport à l'autre, alors
¡% = ž£
Finalement, le couple dû à l'amortissement visqueux d'un amortisseur de torsion de coefficient
d'amortissement B est
¡% = }£i ( ) = }•£( )
Exemple 5
L'attitude d'un aéronef peut être contrôlée par trois ensembles de surfaces (représentée en ombre à la
Fig.1.14.): Ascenseurs, gouvernail, et les ailerons. En manipulant ces surfaces, on peut poser l'appareil sur
une trajectoire voulue. L'angle de roulis φ peut être commandé par déviation dans la direction opposée des
deux surfaces d'ailerons comme représenté sur la Fig.1.14. En considérant seulement le mouvement de
roulis, trouver l'équation reliant l'angle de roulis φ à l'entrée (déviation) θ.
Les surfaces des ailerons de générer un couple autour de l'axe de roulis proportionnelle à l'angle de
déflexion d’aileron Ÿ. Soit ¤Ÿ, où est la constante de proportionnalité. Le Frottement de l'air dissipe le
couple ¥¦i(E). Le couple disponible pour le mouvement de roulis est alors ¤Ÿ(E) − ¥¦i(E).
Si J est le moment d'inertie de l'avion par rapport (axe de roulis) à l'axe X, alors
Fig.1.14 : control d’altitude d’un avion
16
§¦i(E) = ¤¨©ª«† ¬†E
= ¤Ÿ(E) − ¥¦i(E)
Et
¢
<
<
+}
-
= £( )
(¢• < + }•)-( ) = £( )
Ceci est l'équation souhaitée reliant la sortie (angle de roulis φ) à l'entrée (angle d'aileron θ). La vitesse
de rotation ω est -i( ). Si la sortie désirée est la vitesse de rotation ω au lieu de l'angle de rotation φ, alors
l'équation d'entrée-sortie serait
B®
§
+ ¥® = ¤Ÿ ¨© (§… + ¥)®(E) = ¤Ÿ(E)
BE
Application 5
Un Couple Γ( ) est appliqué sur le système mécanique de rotation représenté sur la figure.1.14a. La
raideur de ressort de torsion est K; la masse de rotation (le moment d'inertie de l'arbre de sur le cylindre)
est J; le coefficient d'amortissement visqueux entre le cylindre et le sol est B. Trouver l'équation reliant
l'angle θ de sortie au couple d’entrée Γ.
[Astuce : Un diagramme du corps libre est montré dans la figure.1.14b.]
Fig.1.15 : Système de rotation
Réponse :
¢

<
£
<
+}
£
+ ž£( ) = Γ( )
(¢• < + }• + ž)£( ) = Γ( )
Systèmes électromécaniques
Une grande variété de systèmes électromécaniques convertis des signaux électriques en mouvement
mécanique (énergie mécanique) et vice versa. Ici, nous considérons l'exemple assez simple d'un moteur à
courant continu à armature contrôlée entraîné par une source de courant x(t), comme représenté sur la
Fig.6.16a. Le couple Γ( ) généré dans le moteur est proportionnel au courant d'induit les x(t). Donc
°(E) = ± J(E)
Ce couple entraîne une charge mécanique dont le diagramme du corps libre est montré dans la
figure.6.16b. L'amortissement visqueux (à coefficient B) dissipe un couple }£i ( ).
Fig.6.16 : moteur à courant continu à armature contrôlée
où žT est une constante du moteur.
Si J est le moment d'inertie de la charge (y compris le rotor du moteur), le couple net Γ( ) − }£i ( ) doit être
égal à ¢£h ( ):
¢£h ( ) = Γ( ) − }£i ( )
17
Soit (¢• < + }•)£( ) = Γ( ) = žT ( ) dont la forme conventionnelle est :
B‡ Ÿ
BŸ
§ ‡ +¥
= ± J(E)
BE
BE
Cependant, (1 / D) D n'est pas nécessairement unité. L'utilisation de la règle de Cramer dans la
résolution d'équations intégro-différentielles simultanées va toujours entraîner l'annulation des opérateurs
1/D et D. Cette procédure peut donner des résultats erronés lorsque le facteur D apparait dans le
numérateur ainsi que dans le dénominateur. Cela arrive, par exemple, dans les circuits avec des boucles
tous-inductance ou des ensembles tout-condensateur. Pour éliminer ce problème, éviter l'opération
intégrale dans les équations du système de sorte que les équations résultantes soient différentielles plutôt
que intégro-différentielle. Dans les circuits électriques, cela peut être fait en utilisant une charge (au lieu de
courants) variables dans les boucles contenant des condensateurs et en choisissant les courants variables
pour les boucles sans condensateurs. Dans la littérature ce problème de commutativité de D et 1/D est
largement ignoré. Comme mentionné précédemment, une telle procédure donne des résultats erronés
uniquement dans des systèmes spéciaux, tels que les circuits à boucles tout-inductance ou à ensembles
tout-condensateur. Heureusement ces systèmes constituent une très petite fraction des systèmes avec
lesquels nous travaillons.
IV.
DESCRIPTIONS EXTERNE ET INTERNE D’UN SYSTÈME
La relation d'entrée-sortie d'un système est une description externe de ce système. Nous avons trouvé
une description externe (non pas la description interne) des systèmes dans tous les exemples examinés
jusqu'ici. Cela peut dérouter le lecteur parce que dans chacun de ces cas, nous avons calculé la relation
d'entrée-sortie en analysant la structure interne de ce système. Pourquoi est-ce que ce n'est pas une
description interne ? Qu'est ce qui rend une description interne ? Bien qu'il soit vrai que nous avons trouvé
la description d'entrée-sortie par l'analyse interne du système, nous l'avons fait pour sa commodité. Nous
aurions pu obtenir la description d'entrée-sortie en faisant des observations à ses bornes (bornes d'entrée
et de sortie) externes, par exemple, en mesurant la sortie pour certaines entrées comme une impulsion ou
une sinusoïde. Une description qui peut être obtenue à partir de mesures sur les bornes extérieures (même
lorsque le reste du système est étanche à l'intérieur d'une boîte noire inaccessible) est une description
externe. De toute évidence, la description d'entrée-sortie est une description externe. Qu'est-ce donc une
description interne ? Une description interne est capable de fournir les renseignements complets sur tous
les signaux possibles dans le système. Une description externe ne peut pas donner une telle information
complète. Une description externe peut toujours être trouvée à partir d'une description interne, mais l'inverse
n'est pas nécessairement vrai. Nous allons maintenant donner un exemple pour clarifier la distinction entre
une description externe et une description interne.
Soit le circuit de la figure.1.17a avec l'entrée ( ) et la sortie ( ) enfermés à l'intérieur d'une "boîte
noire" avec seulement les bornes d'entrée et de sortie accessibles. Pour déterminer sa description externe,
nous appliquons une tension connue ( ) aux bornes d'entrée et mesurons la tension de sortie résultante
( )
Fig.6.17 : un système qui ne peut pas être décrit par des mesures externes
18
Supposons aussi qu'il y a une certaine charge initiale ² présente sur le condensateur. La tension
de sortie dépendra généralement à la fois, de l'entrée x(t) et de la charge initiale ² . Pour calculer la sortie
résultant en raison de la charge ² , on pose l'entrée ( ) = 0 (court-circuit à l'entrée).
Dans ce cas, les courants dans les deux résistances 2 ³ dans les branches supérieures et
inférieures au niveau des bornes de sortie sont égaux et opposés en raison de la nature équilibrée du circuit.
De toute évidence, la charge du condensateur produit une tension nulle à la sortie.
Maintenant, pour calculer la sortie ( ) résultant de la tension d'entrée ( ), on suppose nulle la
charge du initiale du condensateur (court-circuit aux bornes du condensateur). Le courant ”( ) (Fig.1.17a),
dans ce cas, se divise également entre les deux branches parallèles parce que le circuit est équilibré.
Ainsi, la tension aux bornes du condensateur demeure à zéro. Par conséquent, pour le calcul du courant
”( ), le condensateur peut être retiré ou remplacé par un court-circuit. Le circuit résultant est équivalent à
celui représenté sur la Fig.1.17b, ce qui montre que l'entrée ( ) voit une charge de 5³, et
1
”( ) =
( )
5
<
De même, parce que ( ) = 2”( ) c N ( ) = ( )
a
Ceci est la réponse totale. Il est clair que pour la description externe, ne pas exister du condensateur.
Aucune mesure externe ou externe observation peuvent détecter la présence du condensateur. En outre,
si le circuit est enfermé à l'intérieur d'une « boîte noire » de sorte que seuls les terminaux externes sont
accessibles, il est impossible de déterminer les courants (ou) des tensions à l'intérieur du circuit à partir de
mesures ou d'observations externes. Une description interne, cependant, peut fournir tous les signaux
possibles à l'intérieur du système. Dans l'exemple 7, nous trouverons la description interne de ce système
et montrer qu'il est capable de déterminer tous les signaux possibles dans le système.
Pour la plupart des systèmes, les descriptions externes et internes sont équivalentes, mais il y a
quelques exceptions, comme dans le cas présent, où la description externe donne une image insuffisante
des systèmes. Cela se produit lorsque le système est incontrôlable et / ou inobservable.
La Figure.1.18 montre des représentations structurelles des systèmes incontrôlables et non
observables simples. Dans la Fig.1.18a, nous notons que la partie du système (sous-système S2) à
l'intérieur de la boîte ne peut pas être commandé par l'entrée ( ). Dans la Fig.1.18b, certaines des sorties
du système (dans les sous-S2) ne peut être observée à partir des bornes de sortie. Si nous essayons de
décrire un de ces systèmes par l'application d'une entrée externe ( ) et en mesurant ensuite la sortie ( ),
la mesure ne sera pas caractériser l'ensemble du système, mais seulement la partie du système (ici S1)
qui est à la fois visible et contrôlable (reliée à la fois à l'entrée et la sortie). Ces systèmes ne sont pas
souhaitables dans la pratique et devraient être évités dans toute la conception du système. Le système
présenté à la figure.1.17a ne peut être ni contrôlable ou ni observable. Il peut être représenté
structurellement par une combinaison des systèmes Fig.1.18a et 1.18b.
Fig.1.18 : Structures de systèmes non contrôlables et non observables
La tension de sortie ( ) résultant en raison de la charge du condensateur [en supposant ( ) = 0] est
la réponse libre, ce qui, comme on l'a montré ci-dessus, est égal à zéro. La composante de la sortie due à
l'entrée ( ) (en supposant la charge initiale du condensateur nulle) est la réponse forcée. L'analyse
complète de ce problème est donnée plus tard dans l'exemple 7.
19