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Chapitre 2
DEFINITIONS, CLASSIFICATION ET
MODELISATION DES SYSTEMES LINEAIRES
I. SYSTEMES
1. Définition :
Un système est un ensemble isolé de dispositifs orientés, qui établit un lien de cause à effet entre
des signaux d’entrée (appelés excitations) et des signaux de sortie (appelés réponses ou mesures). Ces
deux types de signaux peuvent se distinguer aisément, dans la mesure où les excitations sont des
grandeurs indépendantes (leurs valeurs peuvent être choisies indépendamment les unes des autres), tandis
que les réponses sont généralement liées les unes aux autres. De plus, il est souvent nécessaire de
distinguer les excitations sur lesquelles l’utilisateur peut agir, appelées commandes, de celles qui ne
peuvent être maîtrisées, appelées perturbations.
Fig.1.1
Cette définition regroupe bien évidemment une très grande variété de phénomènes physiques.
Un système est aussi un modèle mathématique d’un processus physique qui relie le signal d’entrée
(excitation ou cause) au signal de sortie (réponse ou effet).
De façon générale, la relation de cause à effet qui lie la commande x(t) et la mesure y(t) peut être
vue comme une transformation de x(t) en y(t). Cette transformation peut être représentée par le symbole
mathématique :    ou T est l’opérateur représentant les règles bien définies par lesquelles x est
transformé en y.
Fig.1.2 système scalaire (a) et système multi variables (b)
Comme pour les signaux, quelques caractéristiques supplémentaires permettent également de
préciser la nature des systèmes étudiés.
Un système peut consister en des composants physiques (réalisation matérielle ou hardware
realisation en anglais) ou en un algorithme qui calcule le signal de sortie en fonction du signal d’entrée
(réalisation logicielle ou software realisation).
De façon plus pratique, un système physique consiste en des composants interconnectés, qui sont
caractérisés par leurs relations aux bornes. En plus, un système est gouverné par des lois
d’interconnexions. Par exemple, dans un système électrique, les relations aux bornes sont les relations
familières tension-courant pour les résistances, les inductances, condensateurs, transformateurs,
transistors et ainsi de suite, de même que les lois d’interconnexion (lois de Kirchhoff). En utilisant ces lois,

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on obtient des équations mathématiques qui lient les sorties aux entrées. Ces équations représentent un
modèle mathématique du système. Ainsi on peut considérer qu’un système est défini par ses entrées, ses
sorties et son modèle mathématique.
L’étude des systèmes consiste en trois axes majeurs : la modélisation mathématique, l’analyse
et la conception. Même si nous allons utiliser la modélisation mathématique, notre travail sera
principalement orienté analyse et conception. En fait, la grande partie de ce livre est dévolue au problème
d’analyse, comment déterminer les sorties d’un système pour une entrée donnée et un modèle
mathématique du système. Nous allons aussi considérer l’approche conception ou synthèse, comment
construire un système qui produira un ensemble de sorties en fonctions de certaines entrées données.
2. Donnée nécessaire pour calculer la réponse d’un système
Pour comprendre de quelle donnée on a besoin pour calculer la réponse d’un système, considérons
un simple circuit RC qui a une source de courant  comme signal d’entrée. La tension de sortie  est
donnée par
(Eq.1.1a)
Fig.1.3 : Exemple d’un système électrique simple
Les limites de l’intégrale partent de, parce que cette intégrale représente la charge du
condensateur par rapport au courant qui circule dans le condensateur, et cette charge est le résultat du
courant qui circule dans le condensateur depuis.
Maintenant, Eq.1.1a peut être exprimée comme suit
(Eq.1.1b)
L’intégrale du milieu est , la tension du condensateur à  .
   (Eq.1.1c)
Cette équation peut être généralisée
(Eq.1.1d)
A partir de Eq.1.1a, la tension de sortie  à un instant  peut être calculée si nous connaissons le
courant d’entrée dans le condensateur à travers son passé entier. De façon similaire, si nous
connaissons le courant d’entrée  à partir d’un moment , en utilisant Eq.1.1d, on peut aussi calculer
grâce à la connaissance du courant d’entrée connue
, la tension initiale du
condensateur. Ainsi, 
 contient toute l’information liée au passé entier du circuit  dont nous
avons besoin pour calculer    . Ainsi, la réponse d’un système à    peut être déterminée
de ses entrée(s) durant l’intervalle   avec certaine conditions initiales à   .
De l’exemple précédent, on a eu seulement besoin d’une condition initiale. Cependant, dans des
systèmes plus complexes, plusieurs conditions initiales peuvent être nécessaires. Nous savons per
exemple, que dans un réseau RLC passif, les valeurs initiales de tous les courants d’inductances et toutes

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les tensions des condensateurs sont nécessaires pour déterminer les sorties à tout instant    si les
entrées sont données sur l’intervalle!"#.
II. CLASSIFICATION DES SYSTEMES
Les systèmes peuvent être classés en plusieurs catégories non exclusives. Nous citons ici celles qui
nous intéressent pour notre livre.
1. Systèmes linéaires et non linéaires
1. Concept de linéarité
Un système dont la sortie est proportionnelle à son entrée est un exemple de système linéaire. Mais
la linéarité implique plus que cela ; elle implique aussi la propriété d’additivité : si plusieurs entrées agissent
sur un système, alors l’effet total sur le système dû à toutes ces entrées peut être déterminé en considérant
une entrée à la fois en considérant les autres entrées nulles. L’effet total est donc la somme de tous les
effets des composants.
D’un point de vue purement technique, les systèmes linéaires vérifient le principe de superposition
et le principe d’homogénéité énoncés comme suit :
Principe d’homogénéité
Un système vérifie le principe d’homogénéité si pour une entrée$%, la sortie est donnée
par$&.
Principe de superposition
La réponse & d’un système linéaire à une entrée % composée de la combinaison linéaire de
plusieurs entrées %'$
(
%
( ()
est la somme des réponses élémentaires &
(
 à chacune des
entrées individuelles &'$
(
&
( ()
Ainsi l’hypothèse de linéarité va permettre l’utilisation d’outils analytiques, graphiques très simples et
puissants tels que les transformées de Laplace et de Fourier, le calcul opérationnel ou le théorème de
convolution.
Toutefois, l’hypothèse de linéarité est valide dans un domaine précis et ne tient pas compte d’un
certain nombre de phénomènes purement non linéaires. En effet, la plupart des systèmes physiques sont
en réalité non linéaires (bras de robot, phénomènes électrostatiques) ou font apparaitre des phénomènes
non linéaires (hystérésis, seuil, zone morte, frottement sec). Il conviendra donc de toujours justifier en
pratique l’hypothèse de linéarité et d’identifier son domaine de validité.
2. Réponse d’un système linéaire
Par souci de simplicité, nous discuterons seulement des systèmes à une seule entrée - une seule
sortie (SISO). Mais la discussion peut être facilement étendue aux systèmes à entrées multiples et sorties
multiples (MIMO).
La sortie d'un système à    est le résultat de deux causes indépendantes: les conditions initiales
du système (ou l'état du système) à   et l'entrée  pour    Si un système doit être linéaire, la
sortie doit être la somme des deux composants issus de ces deux causes: d'une part, la composante de
réponse libre (ou en anglais «zero input response ») qui résulte seulement des conditions initiales à  
 à l'entrée   pour   " et puis la composante réponse forcée (ou en anglais «zero state
response »)qui résulte seulement de l'entrée  pour  , lorsque les conditions initiales (à   ) sont
supposées à être égale à zéro. Lorsque toutes les conditions initiales appropriées sont à zéro, le système
est dit être dans l'état zéro. La sortie du système est nulle lorsque l'entrée est égale à zéro uniquement si
le système est à l'état zéro.
En résumé, la réponse d’un système linéaire peut s’exprimer comme la somme de la réponse libre
et de la réponse forcée :

4
Réponse totale=réponse libre + réponse forcée
Cette propriété des systèmes linéaires, qui permet la séparation en composants résultant des conditions
initiales et du signal d’entrée, est appelée propriété de décomposition.
Pour notre circuit RC, on a obtenu la réponse 
*
+
,
-./0123456-3
*
7
7
7
7
7
+
7
7
7
7
7
,
-./012380-.3
(Eq.1.2)
De l’équation (1.2) il est clair que si l’entrée    , la sortie  . Et donc   est la
composante libre de la réponse. De même, si l’état du système (la tension   dans ce cas) est à
zéro à  , la sortie est donnée par le second membre à droite de l’équation (1.2). C’est la composante
forcée de la réponse.
Exemple 1 :
Montrer que le système décrit par l’équation
9:
9
;  est linéaire.
Réponse :
Soit 
%
<
 les réponses du système respectivement aux entrées
%
<
.
Alors 
9:
=
9
;
%
9:
>
9
;
< <
.
En multipliant la première équation par ? et la seconde par ?
<
et en les additionnant on obtient :
!?
?
< <
#;!?
?
< <
# ?
?
< <
Mais cette dernière équation est de la même forme que l’équation du système, avec  ?
?
< <
 et  ?
?
< <
Ainsi, quand le signal d’entrée est?
?
< <
, la réponse du système est?
?
< <
. Par
conséquent, le système est linéaire.
En utilisant cet argument, on peut généraliser le résultat pour montrer qu’un système décrit par une
équation différentielle de la forme :
@ABCD
BEC@FBCFD BECF G@CDE HCI BID BEIGHCF BD BE HCJE
KLFM
est un système linéaire. Les coefficients N
5
%O
5
dans cette équation peuvent être des constantes ou des
fonctions du temps.
Application 1
Montrer que le système décrit par l’équation suivante est linéaire
<
3. Autres données sur les systèmes linéaires
Presque tous les systèmes observés dans la pratique deviennent non linéaires lorsque des signaux
suffisamment grands leur sont appliqués. Cependant, il est possible d'approximer la plupart des systèmes
non linéaires par des systèmes linéaires pour l'analyse petit-signal. L'analyse des systèmes non linéaires
est généralement difficile. Des non-linéarités peuvent surgir de tant de façons que les décrire avec une
forme mathématique classique est impossible. Non seulement chaque système est une catégorie en soi,

5
mais, même pour un système donné, les variations des conditions initiales ou des amplitudes du signal
d'entrée peut changer la nature du problème. D'autre part, la propriété de superposition des systèmes
linéaires est un principe unificateur puissant qui permet une solution générale. La propriété de superposition
(linéarité) simplifie grandement l'analyse des systèmes linéaires. En raison de la propriété de
décomposition, on peut évaluer séparément les deux composants de la sortie. La composante libre, peut
être calculée en supposant que l'entrée est nulle, et la composante forcée peut être calculée en supposant
des conditions initiales nulles. De plus, si on exprime une entrée  en tant que somme de fonctions plus
simples,
 N
N
< <
GN
P P
ensuite, du fait de la linéarité, la réponse  est donnée par
 N
N
< <
GN
P P
où 
(
est la réponse forcée à l’entrée
(
.
Cette observation apparemment triviale a de profondes implications. Comme nous allons le voir à
plusieurs reprises dans les chapitres suivants, il se révèle extrêmement utile et ouvre de nouvelles voies
pour l'analyse des systèmes linéaires. Par exemple, considérons une quelconque entrée  telle que celle
représentée sur la Fig. 1.2a. On peut approximer  avec une somme d'impulsions rectangulaires de
largeur Q et d'amplitudes différentes. L'approximation s'améliore lorsqueQ R , lorsque les impulsions
rectangulaires deviennent des impulsions espacées de
Q secondes (avecQ R ). Ainsi, une entrée arbitraire peut être remplacée par une somme pondérée
d'impulsions espacées de Q (Q R ) secondes d'intervalle. Par conséquent, si nous connaissons la
réponse du système à une impulsion unité ou impulsion de Dirac, nous pouvons déterminer immédiatement
la réponse du système à une entrée arbitraire en additionnant la réponse du système pour chaque
impulsion composant. Une situation similaire est représentée sur la Fig. 1.2b, où  est approximée
par une somme d'échelons d'amplitude variable et espacés de Q secondes. L'approximation s'améliore
quand Q diminue. Par conséquent, si l'on connaît la réponse du système à une entrée échelon unité, on
peut calculer la réponse du système à une entrée arbitraire  avec une relative facilité. L'Analyse
temporelle des systèmes linéaires (voir le chapitre 2) utilise cette approche.
Fig.1.2
Des chapitres suivants utilisent la même approche, mais utilisent plutôt des sinusoïdes ou des
exponentielles comme composants de base du signal. Nous montrons que tout signal d'entrée quelconque
peut être exprimé comme une somme pondérée des sinusoïdes (ou exponentielles) ayant des fréquences
différentes. Ainsi la connaissance de la réponse du système à une sinusoïde permet de déterminer la
réponse du système à une entrée arbitraire 
2. Systèmes invariants et systèmes variant dans le temps
Les Systèmes dont les paramètres ne changent pas avec le temps sont (aussi appelés systèmes à
paramètres constants) des systèmes invariants dans le temps ou stationnaires. Pour de tels systèmes, si
l'entrée est retardée de T secondes, la sortie est la même que précédemment mais retardée de T (en
supposant que les conditions initiales sont également décalées de T).