BAC2020-cours[1]

1. L’étude d’une fonction numérique.
2. Le logarithme népérien
3. Les fonctions exponentielles.
4. Le calcul intégral.
5. Les suites numériques.
6. Les nombres complexes.
RÉSUMÉ
MATHS
TleS BAC 2020

Résumé
Etude d’une fonction numérique
Domaine de définition
Pour déterminer le domaine de définition d’une
fonction numérique , on cherche à résoudre :
▪Les propositions d’inégalité obtenues en écrivant
que les dénominateurs sont non nuls.
▪Les inéquations obtenues en écrivant que les
expressions qui se trouvent à l’intérieur des
racines carrées sont positives.
▪Les inéquations obtenues en écrivant que les
expressions qui se trouvent à l’intérieur des
logarithmes sont strictement positives.
P Continuité en un point
Soit
f
une fonction numérique définie sur un
intervalle ouvert et soit
0
xI
.
f
est continue en
0
x
( ) ( )
00
lim
xxf x f x →=
.
I Dérivabilité et interprétation graphique
Soit
f
une fonction numérique définie sur un
intervalle ouvert et
0
xI
▪
f
est dérivable en
0
x
, s’il existe un nombre réel
l
tel que :
( ) ( ) ( )
0
00
0
lim '
xx
f x f x l f x
xx
→
−==
−
.
▪L’équation de la tangente à en point
d’abscisse
0
x
est :
( )( ) ( )
0 0 0
'y f x x x f x= − +
.
Dérivées usuelles
I Opérations sur les fonctions dérivables
V Extremums
Soient une fonction dérivable sur un intervalle et
0
xI
.Si
'f
s’annule et change de signe en
0
x
, alors
f
admet un extremum en
0
x
et
( )
f
C
admet une
tangente horizontale au point d’abscisse
0
x
.
C Non dérivabilité en un point
Si
( ) ( )
0
0
0
lim
xx
f x f x
xx
+
→
−=
−
ou
( ) ( )
0
0
0
lim
xx
f x f x
xx
−
→
−=
−
alors
( )
f
C
admet une demi-tangente verticale à
droite ou à gauche du point d’abscisse
0
x
.
f
'f
I
/aa
0
ax
a
1
x
2
1
x
−
*
*
/
n
xn
1n
nx −
x
1
2x
*+
sin x
cosx
cosx
sinx−
x
e
x
e
ln x
1
x
*+
f
'f
uv+
''uv+
uv
''u v uv+
u
v
2
''u v uv
v
−
*
/
n
un
1
'n nu u −
1
u
2
'u
u
−
u
'
2
u
u
u
e
'u ue
lnu
'u
u
( )
sin ax b+
( )
.cosa ax b+
( )
cos ax b+
( )
.sina ax b−+

Résumé
Etude d’une fonction numérique
C Point d’inflexion
▪Si
''f
s’annule et change de signe en
0
x
alors le
point
( )
( )
00
;x f x
est un point d’inflexion de
( )
f
C
▪Si
'f
s’annule et ne change pas de signe en
0
x
alors
le point
( )
( )
00
;x f x
est un point d’inflexion de
( )
f
C
C Asymptotes
▪Si
( )
lim
xf x m →+ =
ou
( )
lim
xf x m →− =
alors
( )
f
C
admet une asymptote horizontale d’équation
ym=
au voisinage de
+
ou
x= −
▪Si
( )
lim
xafx
+
→= 
ou
( )
lim
xafx
−
→= 
alors
( )
f
C
admet une asymptote verticale d’équation
xa=
à droite ou à gauche du point d’abscisse
a
.
▪Si
( ) ( )
( )
lim 0
xf x ax b → − + =
alors
y ax b=+
est
une asymptote oblique de
( )
f
C
au voisinage de
C Diagramme
C Positon relative d’une courbe et une droite
Pour étudier la positon relative d’une courbe
( )
f
C
et
une droite
( )
D
d’équation
y ax b=+
, on étudie le
signe de la différence :
( )
f x y−
.
( )
f x y−
+
−
( )
f
C
et
( )
D
( )
f
C
est
au-dessus de
( )
D
( )
f
C
est
au-dessous de
( )
D

Résumé
Etude d’une fonction numérique
C l’intersection avec les axes du repère
▪Pour déterminer les abscisses des points
d’intersection de
( )
f
C
avec l’axe des abscisses, on
résout dans
f
D
l’équation
( )
0fx=
.
▪Les coordonnées du point d’intersection de
( )
f
C
avec l’axe des ordonnées sont
( )
( )
0; 0f
C Théorème des valeurs intermédiaires
Soient
f
une fonction continue sur un intervalle et
a
et
b
deux éléments de . Pour tout nombre
k
compris entre
( )
fa
et
( )
fb
, il existe au moins un réel
c
compris entre
a
et
b
tel que:
( )
f c k=
.
Et si
f
est continue et strictement monotone sur ,
alors
c
est unique.
C Résultat du TVI
▪Soient
f
une fonction continue sur un
;ab
. si
( ) ( )
0f a f b
, alors l’équation
( )
0fx=
admet au moins une solution dans
;ab
.
▪Et si
f
est continue et strictement monotone sur
;ab
, alors cette solution est unique.
f
f
f
C L’axe de symétrie
La droite d’équation
xa=
est l’axe de symétrie de
la courbe représentative d’une fonction numérique
f
si et seulement si :
( )
:2
ff
x D a x D  − 
et
( ) ( )
2f a x f x−=
C Le centre de symétrie
Le point
( )
;A a b
est le centre de symétrie de la
courbe représentative d’une fonction numérique
f
si
et seulement si :
( )
:2
ff
x D a x D  − 
et
( ) ( )
22f a x b f x− = −
.

Résumé
Logarithme népérien
I Logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est une fonction
continue sur
0;+
définie comme étant la
primitive de
1
xx
sur
0;+
qui s’annule en 1
P Propriétés algébriques
Soient
x
et
y
deux nombres réels strictement positifs
▪
( )
ln ln lnx y x y+ = 
▪
1
ln ln x
x
=−
▪
ln ln ln
xxy
y
=−
▪
( )
ln ln
r
x r x=
pour tout
r
I Résolution d’équations et d’inéquations
Soient
x
et
y
deux nombres réels strictement positifs
▪
ln lnx y x y=  =
▪
ln lnx y x y  
▪
ln a x a x e=  =
pour tout
a
▪
ln a x a x e  
pour tout
a
I Dérivabilité
▪La fonction logarithme népérien est une
fonction dérivable sur
0;+
et on a :
( )
1
0; : ln 'xx
x
  + =
▪Si
u
est une fonction dérivable et strictement
positive sur un intervalle , alors la fonction
( ) ( )
( )
lnf x u x=
est dérivable sur et pour
tout
xI
, on a :
( ) ( )
( )
'
'ux fx ux =
V Limites de références
▪
lim ln
xx →+ = +
et
0
lim ln
xx
+
→= −
▪
0
lim ln 0
xxx
+
→=
▪
ln
lim 0
x
x
x
→+ =
▪
1
ln
lim 1
1
x
x
x
→=
−
▪
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+=
▪
( )
*
0
: lim ln 0
n
x
n x x
+
→
  =
▪
( )
*ln
: lim 0
n
x
x
nx
→+
  =
I Le signe
▪
0;1 : ln 0xx  
▪
( )
ln 0 1xx=  =
▪
1; : ln 0xx  + 
C Tableau de variation
x
0
+
ln x
+
−
C Sa courbe representative