TleS BAC 2020 1. L’étude d’une fonction numérique. 2. Le logarithme népérien 3. Les fonctions exponentielles. 4. Le calcul intégral. 5. Les suites numériques. 6. Les nombres complexes. RÉSUMÉ MATHS f Résumé Etude d’une fonction numérique f Domaine de définition Pour déterminer le domaine de définition d’une fonction numérique , on cherche à résoudre : ▪ I Opérations sur les fonctions dérivables f f' Les propositions d’inégalité obtenues en écrivant que les dénominateurs sont non nuls. Les inéquations obtenues en écrivant que les expressions qui se trouvent à l’intérieur des racines carrées sont positives. Les inéquations obtenues en écrivant que les expressions qui se trouvent à l’intérieur des logarithmes sont strictement positives. ▪ ▪ u v u ' v − uv ' v2 nu ' u n−1 * u' u2 u' 2 u − u eu u ' eu et soit x0 I . ln u u' u sin ( ax + b ) a.cos ( ax + b ) cos ( ax + b ) −a.sin ( ax + b ) x → x0 I Dérivabilité et interprétation graphique une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert et x0 I V Extremums est dérivable en x0 , s’il existe un nombre réel l tel que : lim x → x0 ▪ u ' v + uv ' 1 u est continue en x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) . ▪ uv une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert Soit u '+ v ' un / n P Continuité en un point Soit u+v f ( x ) − f ( x0 ) = l = f ' ( x0 ) . x − x0 Soient une fonction dérivable sur un intervalle et x0 I .Si f ' s’annule et change de signe en x0 , alors ( ) admet un extremum en x0 et C f admet une L’équation de la tangente à en point d’abscisse x0 est : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) . tangente horizontale au point d’abscisse x0 . Dérivées usuelles f' f a / a 0 ax a 1 x xn / n x sin x − * 1 x2 I * n x n−1 1 +* 2 x C Non dérivabilité en un point cos x cos x − sin x ex ex ln x 1 x Si lim+ x→ x0 alors +* f ( x ) − f ( x0 ) = x − x0 (C ) admet f ou lim− x→ x0 f ( x ) − f ( x0 ) = x − x0 une demi-tangente verticale à droite ou à gauche du point d’abscisse x0 . Résumé Etude d’une fonction numérique C Point d’inflexion ▪ ▪ Si f '' s’annule et change de signe en x0 alors le point ( x0 ; f ( x0 ) ) est un point d’inflexion de ( C f ) ▪ ( ) Si lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 alors y = ax + b est x→ ( ) une asymptote oblique de C f au voisinage de Si f ' s’annule et ne change pas de signe en x0 alors le point ( x0 ; f ( x0 ) ) est un point d’inflexion de ( C f ) x=a C Diagramme C Asymptotes ▪ ( ) Si lim f ( x ) = m ou lim f ( x ) = m alors C f x→+ x→− admet une asymptote horizontale d’équation y = m au voisinage de + ou x = − ▪ lim f ( x ) = ou lim− f ( x ) = alors Si x →a+ x→a (C ) admet une asymptote verticale d’équation C Positon relative d’une courbe et une droite f à droite ou à gauche du point d’abscisse a . ( ) Pour étudier la positon relative d’une courbe C f et une droite ( D ) d’équation y = ax + b , on étudie le signe de la différence : f ( x ) − y . + − (C ) est (C ) est f ( x) − y (C ) f et ( D ) f au-dessus de ( D ) f au-dessous de ( D ) Résumé Etude f d’une fonction numérique C l’intersection avec les axes du repère C L’axe de symétrie ▪ La droite d’équation x = a est l’axe de symétrie de la courbe représentative d’une fonction numérique f si et seulement si : Pour déterminer les abscisses des résout dans D f l’équation f ( x ) = 0 . ▪ points f d’intersection de ( C f ) avec l’axe des abscisses, on ( ) Les coordonnées du point d’intersection de C f f ( avec l’axe des ordonnées sont 0; f ( 0 ) ) une fonction continue sur un intervalle et a et b deux éléments de . Pour tout nombre k compris entre f ( a ) et f ( b ) , il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que: f ( c ) = k . Et si est continue et strictement monotone sur alors c est unique. , C Résultat du TVI a ; b . si f ( a ) f ( b ) 0 , alors l’équation f ( x) = 0 admet au moins une solution dans a ; b . ▪ Soient ▪ Et si une fonction continue sur un est continue et strictement monotone sur a ; b , alors cette solution est unique. C Le centre de symétrie Le point A ( a ; b ) est le centre de symétrie de C Théorème des valeurs intermédiaires Soient x D f : ( 2a − x ) D f et f ( 2a − x ) = f ( x ) la courbe représentative d’une fonction numérique f si et seulement si : x D f : ( 2a − x ) D f et f ( 2a − x ) = 2b − f ( x ) . Résumé Logarithme népérien I Logarithme népérien V Limites de références La fonction logarithme népérien est une fonction ▪ continue sur ▪ 0; + primitive de x définie comme étant la 1 sur 0; + qui s’annule en 1 x lim ln x = + et lim+ ln x = − x →+ x →0 lim x ln x = 0 x →0+ ▪ ln ( x + y ) = ln x ln y ▪ ▪ 1 ln = − ln x x ▪ ln x =0 x →+ x ln x lim =1 x →1 x − 1 ln ( x + 1) lim =1 x →0 x ( n * ): lim+ xn ln x = 0 ▪ (n ): P Propriétés algébriques ▪ lim ▪ Soient x et y deux nombres réels strictement positifs ▪ ▪ x ln = ln x − ln y y x →0 * ln x =0 x →+ x n lim I Le signe ln ( x r ) = r ln x pour tout r ▪ x 0;1 : ln x 0 I Résolution d’équations et d’inéquations ▪ ln ( x ) = 0 x = 1 Soient x et y deux nombres réels strictement positifs ▪ x 1; + : ln x 0 ▪ ln x = ln y x = y ▪ ln x ln y x y ▪ ln x = a x = ea pour tout a ▪ ln x a x ea pour tout a C Tableau de variation x ln x − I Dérivabilité ▪ La fonction logarithme népérien est une fonction dérivable sur 0; + et on a : x 0; + : ( ln x ) ' = 1 x ▪ Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle , alors la fonction f ( x ) = ln ( u ( x ) ) est dérivable sur tout x I , on a : f ' ( x ) = u '( x) u ( x) + + 0 et pour C Sa courbe representative Résumé Fonction exponentielle I Fonction exponentielle V Limites de références La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien lim e x = 0 et ▪ x →− lim xe x = 0− ▪ x →− P Propriétés algébriques ▪ e x+ y = ex e y ▪ ex 0 ▪ e− x = e x− y = ▪ (e ) x r lim ▪ 1 ex ▪ ex = + x →+ x n ex −1 lim =1 x →0 x ▪ Soient x et y deux nombres réels ex ey lim e x = + x →+ ▪ ( n ): x →− ▪ (n ): lim * * lim x n e x = 0 x →+ ex = + xn I Le signe = e rx pour tout r x ▪ C Tableau de variation et courbe I Lien avec logarithme népérien ( )=x ▪ Pour tout x , on a : ln e ▪ Pour tout x *+ : ex 0 − x x ln x , on a : e ( ) = x ex + + 0 I Résolution d’équations et d’inéquations C La courbe Soient x et y deux nombres réels ▪ ex = e y x = y ▪ ex e y x y ▪ e x = a x = ln a pour tout a *+ ▪ e x a x ln a pour tout a *+ I Dérivabilité ▪ La fonction exponentielle est une fonction dérivable sur et on a : x : ( ex ) ' = ex ▪ Si u est une fonction dérivable sur un intervalle u x , alors la fonction f ( x ) = e ( ) est dérivable sur et pour f ' ( x ) = u ' ( x ) eu( x) tout xI , on a : V Fonction puissance Soit a *+ f ( x) = ax x , on a : a x = e x ln a et la fonction est dérivable sur et on a : : f ' ( x ) = ( a x ) ' = ln a a x Résumé Calcul intégral P Primitives usuelles I Intégration et ordre F = f Soient x r +1 f +C r +1 xr / r −1 f 1 x sin x − cos x + C cos x sin x + C f ( x ) dx g ( x ) dxx = a ▪ e +C x u ' u r / r −1 f ( x ) dx 0 b a I Intégration par parties Soient u et v deux fonctions dérivables sur a ; b telles que u ' et v ' continues sur a ; b . b b b a a a Soit eu + C u 'sin u − cosu + C u 'cos u sin u + C une fonction continue sur un intervalle et F une fonction Primitive de sur a ; b . entre a et b est le nombre réel : b a = F (b ) − F ( a ) P Propriétés ▪ f ( x ) dx = − f ( x ) dx ▪ f ( x ) dx = f ( x ) dx ( f + g )( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx ▪ ▪ b a a b a b f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx c b a c b b a a b b b a a a une fonction continue sur un intervalle avec a b . La valeur moyenne de réel : sur est le 1 b f ( x ) dx b − a a C Calcul des aires Soient une fonction continue sur un intervalle et I Intégration d’une fonction continue a est positive sur a ; b , alors u r +1 +C r +1 u ' eu f ( x ) dx = F ( x ) a V Valeur moyenne d’une fonction continue ln u + C b a F = f u' u L’intégrale de b ( uv ')( x ) dx = ( uv )( x ) − ( u ' v )( x ) dx P Primitives composées Soient b De même , si ln x + C x et g des fonctions continues sur a ; b Si pour tout x a ; b on a : f ( x ) g ( x ) donc x+C 1 e ▪ ( ) sa courbe dans un R.O O ; i ; j . L’aire du domaine délimité par , l’axe des abscisses ,et les droites d’équations et x = b est égale à b a f ( x ) dx multiplié par l’unité d’aire Résumé Calcul intégral C Calcul d’aire Soient et g deux intervalle fonctions et ( ) domaine délimité par b a sur un et Cg sont leurs courbes respectivement dans un R.O d’équations continues , et (O ; i ; j ) . (C ) x=b g L’aire du ,et les droites est égale f ( x ) − g ( x ) dx multiplié par l’unité d’aire à Résumé Les suites numériques I Raisonnement par récurrence I Suite croissante/décroissante/constante Le raisonnement par récurrence vise à démontrer une propriété P ( n ) , à partir d’un certain rang n0 . Les ▪ ( un )nn est une suite croissante si et seulement étapes sont les suivantes : ▪ ( un )nn est une suite décroissante si et Initialisation : on montre que P ( n0 ) est vraie. Hérédité : Soit un entier naturel n n0 . On suppose que P ( n ) est vraie (hypothèse de récurrence), et on s’en sert pour montrer que P ( n + 1) est vraie. Conclusion : on en déduit que P ( n ) est vraie pour tout n . 0 si : ( n n0 ) : un un+1 . 0 seulement si : ( n n0 ) : un un+1 . ▪ ( un )nn est une suite constante si et seulement 0 si : ( n n0 ) : un = un+1 . I Suite majorée/minorée/bornée ▪ ( un )nn est une suite majorée si et seulement s’il 0 existe un réel M tel que : ( n n0 ) : un M . P Suite arithmétique ( un )nn est une suite arithmétique si et seulement 0 s’il existe r IR tel que : ( n n0 ) : un+1 − un = r I Terme général d’une suite arithmétique Si ( un )nn est une suite arithmétique de raison r alors : 0 ( n p n0 ) : un = u p + ( n − p ) r u p + u p +1 + ... + un = (u p + un ) ( n − p + 1) 2 V Suite géométrique ( un )nn est une suite géométrique si et seulement 0 s’il existe q IR tel que : ( n n0 ) : un+1 = q un I Terme général d’une suite géométrique Si ( un )nn est une suite géométrique de raison q 0 alors : ( n p n0 ) : un = u p q n− p . C Somme de termes successifs Si ( un )nn est une suite géométrique de raison q 1 0 alors : ( n p n0 ) : ▪ ( un )nn est une suite bornée si et seulement si 0 elle est majorée et minorée. I Suite convergente/divergente seulement si sa limite est finie. ▪ On dit qu’une suite est divergente si et seulement si elle n’est pas convergente. Si ( un )nn est une suite arithmétique alors : ( n p n0 ) : 0 existe un réel m tel que : ( n n0 ) : un m . ▪ On dit qu’une suite est convergente si et I Somme de termes successifs 0 ▪ ( un )nn est une suite minorée si et seulement s’il 1 − q n− p +1 u p + u p +1 + ... + un = u p 1− q I Convergence et variation ▪ Toute suite croissante et majorée est convergente. ▪ Toute suite décroissante et minorée est convergente. I Critères de convergence Critère 1 : ( un ) et ( vn ) des suites numériques et l ▪ ( n0 ) ( n n0 ): un − l vn . ▪ lim vn = 0 n→+ Alors ( un ) est convergente et lim un = l . n→+ Si : f Résumé Les suites numériques Critère 2 : ( un ) et ( vn ) deux suites numériques ( n0 ) (n n0 ): un vn ▪ Si ▪ Si lim un = + alors lim vn = − alors n→+ n→+ telles que : lim vn = + . n→+ lim un = − . n→+ Critère 3 : ( un ) , ( vn ) et ( wn ) des suites numériques et I Suite de la forme un+1 = f ( un ) Soient ( un )nn une suite numérique définie par : 0 un+1 = f ( un ) et ▪ ▪ ▪ un0 I . ▪ ( un )nn un intervalle tel que I D f . Si : continue sur . f (I ) I . est une suite convergente. 0 l IR telles que : ( n0 f ) ( n n0 ): vn un wn Alors lim un = l où l est la solution de l’équation : Si lim vn = lim wn = l alors lim un = l I Attention I Limite de la suite géométrique ( q n ) Ne pas croire que la suite définie par un+1 = f ( un ) a le n→+ n→+ n→+ ▪ Si q 1 alors lim q = + . ▪ Si q = 1 alors lim q = 1 . ▪ Si −1 q 1 alors lim q = 0 . ▪ Si q −1 alors q n n’a pas de limite. n n→+ n n→+ n n→+ r I Limite de la suite ( n ) Soit r * ▪ Si r 0 alors lim nr = + . n→+ ▪ Si r 0 alors lim nr = 0 . n→+ I Suite de la forme vn = f ( un ): Si ( un ) l et ( vn ) nn0 une suite numérique convergente de limite une fonction continue en l alors la suite nn0 définie par vn = f ( un ) tel que n n0 est convergente et sa limite est f ( l ) . n→+ f ( x) = x . même sens de variation de la fonction . Résumé Les nombres complexes ( On rapporte le plan à un R.O.N.D O, e1 ; e2 ) ▪ Le point M ( z ) est appelé l’image ponctuelle du complexe z ; et le complexe z est appelé l’affixe du point M ( z ) et on écrit : z = aff ( M ) . I Définitions ▪ On pose i 2 = −1 . L’ensemble des nombres complexes, noté = z = a + ib / ( a; b ) l’ensemble : 2 . , est ▪ Le réel a est appelé La partie réelle du nombre complexe z et est notée e ( z ) . ▪ Le réel b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe z et est notée m ( z ) . ▪ L’écriture a + ib est appelée la forme algébrique du nombre complexe z . ▪ Si e ( z ) = 0 le nombre complexe z est appelé imaginaire pur. P Egalité de deux nombres complexes Soit ( z ; z ') z = z' 2 e ( z ) = e ( z ') et m ( z ) = m ( z ') I Equation du 2ème degré à coefficients réels On considère l’équation ( E ) : az 2 + bz + c = 0 avec a 0 et Soit = b − 4ac son discriminant. ▪ Le point u ( z ) est appelé l’image vectorielle du complexe z ; et le complexe z est appelé l’affixe du vecteur u ( z ) . V Affixe d’un vecteur/milieu/barycentre On considère les points A ( z A ) et B ( zB ) . ▪ L’affixe du vecteur AB est zB − z A . z A + zB . 2 ▪ L’affixe de G le barycentre de A ( ) et B ( ) est z A + zB avec + 0 . + ▪ L’affixe du milieu du segment AB est I Le conjugué d’un nombre complexe Le conjugué du nombre complexe z = a + i b est le nombre complexe z = a − i b 2 ▪ Si 0 , alors ( E ) admet deux solutions réelles −b − −b + et z2 = . z1 = 2a 2a ▪ Si = 0 , ( E ) admet une seule solution z0 = −b . 2a ▪ Si 0 , alors ( E ) admet deux solutions complexes −b − i − −b + i − et z2 = z1 = . 2a 2a I Représentation géométrique A tout nombre complexe z = a + ib , on associe le point M ( a ; b ) . z1 = z =z z. z = a 2 + b2 z + z = 2e ( z ) z − z = 2im ( z ) z + z'= z + z' z − z'= z − z' z.z ' = z . z ' zn = z 1 1 = z z z z = z' z' z = z z n z = − z z i C Le module d’un nombre complexe Le module du nombre complexe z = a + i b est le nombre réel positif z = a + b 2 2 z = z = −z z.z ' = z . z ' 1 1 = z z z z = z' z' zn = z n z + z' z + z' Résumé Les nombres complexes I L’argument d’un nombre complexe Soit z * et M ( z ) son image ponctuelle. ( ) Toute mesure de l’angle orienté e1 ; OM est un argument de z . I La notation exponentielle On note cos + i sin = ei ei . ei ' = ei( + ') (e ) i n = ein ei = ei( − ') i ' e 1 = ei = e−i i e I Utilisation en géométrie La distance : AB = zB − z A lLes angles : ( AB ; AC ) arg zz C ▪ z *+ ▪ z *− arg ( z ) 0 2 . arg ( z ) 2 . ▪ z i *+ ▪ z i *− arg ( z ) 2 arg ( z ) − 2 . 2 2 . I Propriétés Soient z ▪ * et z ' * arg ( z.z ') arg ( z ) + arg ( z ') 2 ▪ 1 arg − arg ( z ) 2 z z arg arg ( z ) − arg ( z ') 2 z' arg ( z ) − arg ( z ) 2 ▪ arg ( − z ) + arg ( z ) 2 ▪ ▪ ▪ n : arg ( z n ) n arg ( z ) 2 I La forme trigonométrique Soit z = a + ib un nombre complexe de module et d’argument , alors z = ( cos + i sin ) = ; . Le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : a b et sin ( ) = , z z D’où z = ( cos + i sin ) = ; . z = a + ib donc cos ( ) = B − zA 2 − zA lColinéarité/alignement : A , B et C sont alignés zC − z A zB − z A lOrthogonalité : AB et AC sont orthogonaux zC − z A i zB − z A