Telechargé par Ibrahim Abdallah Ali

BAC2020-cours[1]

publicité
TleS BAC 2020
1. L’étude d’une fonction numérique.
2. Le logarithme népérien
3. Les fonctions exponentielles.
4. Le calcul intégral.
5. Les suites numériques.
6. Les nombres complexes.
RÉSUMÉ
MATHS
f
Résumé
Etude d’une fonction numérique
f
Domaine de définition
Pour déterminer le domaine de définition d’une
fonction numérique , on cherche à résoudre :
▪
I Opérations sur les fonctions dérivables
f
f'
Les propositions d’inégalité obtenues en écrivant
que les dénominateurs sont non nuls.
Les inéquations obtenues en écrivant que les
expressions qui se trouvent à l’intérieur des
racines carrées sont positives.
Les inéquations obtenues en écrivant que les
expressions qui se trouvent à l’intérieur des
logarithmes sont strictement positives.
▪
▪
u
v
u ' v − uv '
v2
nu ' u n−1
*
u'
u2
u'
2 u
−
u
eu
u ' eu
et soit x0  I .
ln u
u'
u
sin ( ax + b )
a.cos ( ax + b )
cos ( ax + b )
−a.sin ( ax + b )
x → x0
I Dérivabilité et interprétation graphique
une fonction numérique définie sur un
intervalle ouvert
et x0  I
V Extremums
est dérivable en x0 , s’il existe un nombre réel l
tel que : lim
x → x0
▪
u ' v + uv '
1
u
est continue en x0  lim f ( x ) = f ( x0 ) .
▪
uv
une fonction numérique définie sur un
intervalle ouvert
Soit
u '+ v '
un / n 
P Continuité en un point
Soit
u+v
f ( x ) − f ( x0 )
= l = f ' ( x0 ) .
x − x0
Soient
une fonction dérivable sur un intervalle et
x0  I .Si f ' s’annule et change de signe en x0 , alors
( )
admet un extremum en x0 et C f admet une
L’équation de la tangente à
en point
d’abscisse x0 est : y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) .
tangente horizontale au point d’abscisse x0 .
Dérivées usuelles
f'
f
a / a
0
ax
a
1
x
xn / n 
x
sin x
−
*
1
x2
I
*
n x n−1
1
+*
2 x
C Non dérivabilité en un point
cos x
cos x
− sin x
ex
ex
ln x
1
x
Si
lim+
x→ x0
alors
+*
f ( x ) − f ( x0 )
=
x − x0
(C ) admet
f
ou
lim−
x→ x0
f ( x ) − f ( x0 )
=
x − x0
une demi-tangente verticale à
droite ou à gauche du point d’abscisse x0 .
Résumé
Etude d’une fonction numérique
C Point d’inflexion
▪
▪
Si f '' s’annule et change de signe en x0 alors le
point ( x0 ; f ( x0 ) ) est un point d’inflexion de ( C f )
▪
(
)
Si lim f ( x ) − ( ax + b ) = 0 alors y = ax + b est
x→
( )
une asymptote oblique de C f au voisinage de

Si f ' s’annule et ne change pas de signe en x0 alors
le point ( x0 ; f ( x0 ) ) est un point d’inflexion de ( C f )
x=a
C Diagramme
C Asymptotes
▪
( )
Si lim f ( x ) = m ou lim f ( x ) = m alors C f
x→+
x→−
admet une asymptote horizontale d’équation
y = m au voisinage de + ou x = −
▪
lim f ( x ) =  ou lim− f ( x ) =  alors
Si
x →a+
x→a
(C ) admet une asymptote verticale d’équation
C Positon relative d’une courbe et une droite
f
à droite ou à gauche du point d’abscisse a .
( )
Pour étudier la positon relative d’une courbe C f et
une droite ( D ) d’équation y = ax + b , on étudie le
signe de la différence : f ( x ) − y .
+
−
(C ) est
(C ) est
f ( x) − y
(C )
f
et ( D )
f
au-dessus de ( D )
f
au-dessous de ( D )
Résumé
Etude
f d’une fonction numérique
C l’intersection avec les axes du repère
C L’axe de symétrie
▪
La droite d’équation x = a est l’axe de symétrie de
la courbe représentative d’une fonction numérique
f si et seulement si :
Pour
déterminer
les
abscisses
des
résout dans D f l’équation f ( x ) = 0 .
▪
points
f
d’intersection de ( C f ) avec l’axe des abscisses, on
( )
Les coordonnées du point d’intersection de C f
f
(
avec l’axe des ordonnées sont 0; f ( 0 )
)
une fonction continue sur un intervalle
et
a et b deux éléments de . Pour tout nombre k
compris entre f ( a ) et f ( b ) , il existe au moins un réel
c compris entre a et b tel que: f ( c ) = k .
Et si est continue et strictement monotone sur
alors c est unique.
,
C Résultat du TVI
 a ; b . si
f ( a )  f ( b )  0 , alors l’équation
f ( x) = 0
admet au moins une solution dans a ; b .
▪
Soient
▪
Et si
une fonction continue sur un
est continue et strictement monotone sur
 a ; b , alors cette solution est unique.
C Le centre de symétrie
Le point A ( a ; b ) est le centre de symétrie de
C Théorème des valeurs intermédiaires
Soient
x  D f : ( 2a − x )  D f et f ( 2a − x ) = f ( x )
la
courbe représentative d’une fonction numérique f si
et seulement si :
x  D f : ( 2a − x )  D f et f ( 2a − x ) = 2b − f ( x ) .
Résumé
Logarithme népérien
I Logarithme népérien
V Limites de références
La fonction logarithme népérien est une fonction
▪
continue sur
▪
0; + 
primitive de x
définie comme étant la
1
sur 0; +  qui s’annule en 1
x
lim ln x = + et lim+ ln x = −
x →+
x →0
lim x ln x = 0
x →0+
▪
ln ( x + y ) = ln x  ln y
▪
▪
1
ln   = − ln x
 x
▪
ln x
=0
x →+ x
ln x
lim
=1
x →1 x − 1
ln ( x + 1)
lim
=1
x →0
x
( n  * ): lim+ xn ln x = 0
▪
(n  ):
P Propriétés algébriques
▪
lim
▪
Soient x et y deux nombres réels strictement positifs
▪
▪
x
ln   = ln x − ln y
 y
x →0
*
ln x
=0
x →+ x n
lim
I Le signe
ln ( x r ) = r ln x pour tout r 
▪
x  0;1  : ln x  0
I Résolution d’équations et d’inéquations
▪
ln ( x ) = 0  x = 1
Soient x et y deux nombres réels strictement positifs
▪
x   1; +  : ln x  0
▪
ln x = ln y  x = y
▪
ln x  ln y  x  y
▪
ln x = a  x = ea pour tout a 
▪
ln x  a  x  ea pour tout a 
C Tableau de variation
x
ln x
−
I Dérivabilité
▪ La fonction logarithme népérien est une
fonction dérivable sur 0; +  et on a :
x  0; + :
( ln x ) ' =
1
x
▪ Si u est une fonction dérivable et strictement
positive sur un intervalle
, alors la fonction
f ( x ) = ln ( u ( x ) ) est dérivable sur
tout x  I , on a : f ' ( x ) =
u '( x)
u ( x)
+
+
0
et pour
C Sa courbe representative
Résumé
Fonction exponentielle
I Fonction exponentielle
V Limites de références
La fonction exponentielle est la fonction réciproque
de la fonction logarithme népérien
lim e x = 0 et
▪
x →−
lim xe x = 0−
▪
x →−
P Propriétés algébriques
▪
e x+ y = ex  e y
▪
ex  0
▪
e− x =
e x− y =
▪
(e )
x r
lim
▪
1
ex
▪
ex
= +
x →+ x n
ex −1
lim
=1
x →0
x
▪
Soient x et y deux nombres réels
ex
ey
lim e x = +
x →+
▪
( n  ):
x →−
▪
(n  ):
lim
*
*
lim x n e x = 0
x →+
ex
= +
xn
I Le signe
= e rx pour tout r 
x 
▪
C Tableau de variation et courbe
I Lien avec logarithme népérien
( )=x
▪
Pour tout x 
, on a : ln e
▪
Pour tout x 
*+
: ex  0
−
x
x
ln x
, on a : e ( ) = x
ex
+
+
0
I Résolution d’équations et d’inéquations
C La courbe
Soient x et y deux nombres réels
▪
ex = e y  x = y
▪
ex  e y  x  y
▪
e x = a  x = ln a pour tout a 
*+
▪
e x  a  x  ln a pour tout a 
*+
I Dérivabilité
▪ La fonction exponentielle est une fonction
dérivable sur
et on a : x 
: ( ex ) ' = ex
▪ Si u est une fonction dérivable sur un intervalle
u x
, alors la fonction f ( x ) = e ( ) est dérivable
sur
et
pour
f ' ( x ) = u ' ( x ) eu( x)
tout
xI
,
on a :
V Fonction puissance
Soit a 
*+
f ( x) = ax
x 
, on a : a x = e x ln a et la fonction
est dérivable sur
et on a :
: f ' ( x ) = ( a x ) ' = ln a  a x
Résumé
Calcul intégral
P Primitives usuelles
I Intégration et ordre
F = f
Soient
x r +1 f
+C
r +1
xr / r  −1
f
1
x
sin x
− cos x + C
cos x
sin x + C
 f ( x ) dx   g ( x ) dxx = a
▪
e +C
x
u ' u r / r  −1
 f ( x ) dx  0
b
a
I Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur  a ; b
telles que u ' et v ' continues sur  a ; b .
b
b
b
a
a
a
Soit
eu + C
u 'sin u
− cosu + C
u 'cos u
sin u + C
une fonction continue sur un intervalle
et F une fonction Primitive de
sur  a ; b .
entre a et b est le nombre réel :
b
a
= F (b ) − F ( a )
P Propriétés
▪
 f ( x ) dx = − f ( x ) dx
▪

  f ( x ) dx =   f ( x ) dx
 ( f + g )( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx
▪
▪
b
a
a
b
a
b
f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
c
b
a
c
b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
une fonction continue sur un intervalle
avec a  b . La valeur moyenne de
réel :
sur
est le
1 b
f ( x ) dx
b − a a
C Calcul des aires
Soient
une fonction continue sur un intervalle
et
I Intégration d’une fonction continue
a
est positive sur  a ; b , alors
u r +1
+C
r +1
u ' eu
 f ( x ) dx =  F ( x )
a
V Valeur moyenne d’une fonction continue
ln u + C
b
a
F = f
u'
u
L’intégrale de
b
 ( uv ')( x ) dx = ( uv )( x ) −  ( u ' v )( x ) dx
P Primitives composées
Soient
b
De même , si
ln x + C
x
et g des fonctions continues sur  a ; b
Si pour tout x   a ; b on a : f ( x )  g ( x ) donc
x+C
1
e
▪
(
)
sa courbe dans un R.O O ; i ; j . L’aire
du domaine délimité par
, l’axe des abscisses ,et
les droites d’équations
et x = b est égale à

b
a
f ( x ) dx multiplié par l’unité d’aire
Résumé
Calcul intégral
C Calcul d’aire
Soient
et g deux
intervalle
fonctions
et
( )
domaine délimité par

b
a
sur
un
et Cg sont leurs courbes
respectivement dans un R.O
d’équations
continues
,
et
(O ; i ; j ) .
(C )
x=b
g
L’aire du
,et les droites
est
égale
f ( x ) − g ( x ) dx multiplié par l’unité d’aire
à
Résumé
Les suites numériques
I Raisonnement par récurrence
I Suite croissante/décroissante/constante
Le raisonnement par récurrence vise à démontrer une
propriété P ( n ) , à partir d’un certain rang n0 . Les
▪ ( un )nn est une suite croissante si et seulement
étapes sont les suivantes :
▪ ( un )nn est une suite décroissante si et
Initialisation : on montre que P ( n0 ) est vraie.
Hérédité : Soit un entier naturel n  n0 . On suppose
que P ( n ) est vraie (hypothèse de récurrence), et on
s’en sert pour montrer que P ( n + 1) est vraie.
Conclusion : on en déduit que P ( n ) est vraie pour
tout n 
.
0
si : ( n  n0 ) : un  un+1 .
0
seulement si : ( n  n0 ) : un  un+1 .
▪ ( un )nn est une suite constante si et seulement
0
si : ( n  n0 ) : un = un+1 .
I Suite majorée/minorée/bornée
▪ ( un )nn est une suite majorée si et seulement s’il
0
existe un réel M tel que : ( n  n0 ) : un  M .
P Suite arithmétique
( un )nn
est une suite arithmétique si et seulement
0
s’il existe r  IR tel que : ( n  n0 ) : un+1 − un = r
I Terme général d’une suite arithmétique
Si ( un )nn est une suite arithmétique de raison r alors :
0
( n  p  n0 ) : un = u p + ( n − p ) r
u p + u p +1 + ... + un =
(u
p
+ un ) ( n − p + 1)
2
V Suite géométrique
( un )nn
est une suite géométrique si et seulement
0
s’il existe q  IR tel que : ( n  n0 ) : un+1 = q  un
I Terme général d’une suite géométrique
Si ( un )nn est une suite géométrique de raison q
0
alors : ( n  p  n0 ) : un = u p  q n− p .
C Somme de termes successifs
Si ( un )nn est une suite géométrique de raison q  1
0
alors :
( n  p  n0 ) :
▪ ( un )nn est une suite bornée si et seulement si
0
elle est majorée et minorée.
I Suite convergente/divergente
seulement si sa limite est finie.
▪ On dit qu’une suite est divergente si et seulement
si elle n’est pas convergente.
Si ( un )nn est une suite arithmétique alors :
( n  p  n0 ) :
0
existe un réel m tel que : ( n  n0 ) : un  m .
▪ On dit qu’une suite est convergente si et
I Somme de termes successifs
0
▪ ( un )nn est une suite minorée si et seulement s’il
 1 − q n− p +1 
u p + u p +1 + ... + un = u p 

 1− q 
I Convergence et variation
▪ Toute suite croissante et majorée est convergente.
▪ Toute suite décroissante et minorée est
convergente.
I Critères de convergence
Critère 1 :
( un ) et ( vn ) des suites numériques et l 
▪ ( n0 
) ( n  n0 ):
un − l  vn .
▪ lim vn = 0
n→+
Alors ( un ) est convergente et lim un = l .
n→+
Si :
f
Résumé
Les suites numériques
Critère 2 :
( un ) et ( vn ) deux suites numériques
( n0  ) (n  n0 ): un  vn
▪
Si
▪
Si
lim un = +
alors
lim vn = −
alors
n→+
n→+
telles que :
lim vn = + .
n→+
lim un = − .
n→+
Critère 3 :
( un ) , ( vn ) et ( wn ) des suites numériques et
I Suite de la forme un+1 = f ( un )
Soient ( un )nn une suite numérique définie par :
0
un+1 = f ( un ) et
▪
▪
▪
un0  I .
▪
( un )nn
un intervalle tel que I  D f . Si :
continue sur
.
f (I )  I .
est une suite convergente.
0
l  IR telles que :
( n0 f ) ( n  n0 ): vn  un  wn
Alors lim un = l où l est la solution de l’équation :
Si lim vn = lim wn = l alors lim un = l
I Attention
I Limite de la suite géométrique ( q n )
Ne pas croire que la suite définie par un+1 = f ( un ) a le
n→+
n→+
n→+
▪
Si q  1 alors lim q = + .
▪
Si q = 1 alors lim q = 1 .
▪
Si −1  q  1 alors lim q = 0 .
▪
Si q  −1 alors q n n’a pas de limite.
n
n→+
n
n→+
n
n→+
r
I Limite de la suite ( n )
Soit r 
*
▪ Si r  0 alors lim nr = + .
n→+
▪ Si r  0 alors lim nr = 0 .
n→+
I Suite de la forme vn = f ( un ):
Si ( un )
l et
( vn )
nn0
une suite numérique convergente de limite
une fonction continue en l alors la suite
nn0
définie par vn = f ( un ) tel que n  n0 est
convergente et sa limite est f ( l ) .
n→+
f ( x) = x .
même sens de variation de la fonction
.
Résumé
Les nombres complexes
(
On rapporte le plan à un R.O.N.D O, e1 ; e2
)
▪ Le point M ( z ) est appelé l’image ponctuelle du
complexe z ; et le complexe z est appelé l’affixe
du point M ( z ) et on écrit : z = aff ( M ) .
I Définitions
▪ On pose i 2 = −1 .
L’ensemble des nombres complexes, noté
= z = a + ib / ( a; b ) 
l’ensemble :
2
.
, est
▪ Le réel a est appelé La partie réelle du nombre
complexe z et est notée e ( z ) .
▪ Le réel b est appelé la partie imaginaire du
nombre complexe z et est notée m ( z ) .
▪ L’écriture a + ib est appelée la forme algébrique
du nombre complexe z .
▪ Si e ( z ) = 0 le nombre complexe z est appelé
imaginaire pur.
P Egalité de deux nombres complexes
Soit ( z ; z ') 
z = z' 
2
e ( z ) = e ( z ') et m ( z ) = m ( z ')
I Equation du 2ème degré à coefficients réels
On considère l’équation ( E ) : az 2 + bz + c = 0 avec
a  0 et Soit  = b − 4ac son discriminant.
▪ Le point u ( z ) est appelé l’image vectorielle du
complexe z ; et le complexe z est appelé l’affixe
du vecteur u ( z ) .
V Affixe d’un vecteur/milieu/barycentre
On considère les points A ( z A ) et B ( zB ) .
▪ L’affixe du vecteur AB est zB − z A .
z A + zB
.
2
▪ L’affixe de G le barycentre de A ( ) et B (  ) est
 z A +  zB
avec  +   0 .
 +
▪ L’affixe du milieu du segment  AB  est
I Le conjugué d’un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe z = a + i b est le
nombre complexe z = a − i b
2
▪ Si   0 , alors ( E ) admet deux solutions réelles
−b − 
−b + 
et z2 =
.
z1 =
2a
2a
▪ Si  = 0 , ( E ) admet une seule solution z0 =
−b
.
2a
▪ Si   0 , alors ( E ) admet deux solutions complexes
−b − i −
−b + i −
et z2 = z1 =
.
2a
2a
I Représentation géométrique
A tout nombre complexe z = a + ib , on associe le
point M ( a ; b ) .
z1 =
z =z
z. z = a 2 + b2
z + z = 2e ( z )
z − z = 2im ( z )
z + z'= z + z'
z − z'= z − z'
z.z ' = z . z '
zn = z
1 1
  =
z z
z
z
  =
 z' z'
z = z  z
n
z = − z  z i
C Le module d’un nombre complexe
Le module du nombre complexe z = a + i b est le
nombre réel positif z = a + b
2
2
z = z = −z
z.z ' = z . z '
1 1
=
z
z
z
z
=
z' z'
zn = z
n
z + z'  z + z'
Résumé
Les nombres complexes
I L’argument d’un nombre complexe
Soit z 
*
et M ( z ) son image ponctuelle.
(
)
Toute mesure de l’angle orienté e1 ; OM est un
argument de z .
I La notation exponentielle
On note cos  + i sin  = ei
ei . ei ' = ei( + ')
(e )
i
n
= ein
ei
= ei( − ')
i '
e
1
= ei = e−i
i
e
I Utilisation en géométrie
La distance :
AB = zB − z A
lLes angles :
( AB ; AC )  arg  zz
C
▪
z
*+
▪
z
*−
 arg ( z )  0  2  .
 arg ( z )    2  .
▪
z i
*+
▪
z i
*−
 arg ( z ) 

2
 arg ( z )  −
 2  .

2
 2  .
I Propriétés
Soient z 
▪
*
et z ' 
*
arg ( z.z ')  arg ( z ) + arg ( z ')  2 
▪
1
arg    − arg ( z )  2 
z
z
arg    arg ( z ) − arg ( z ')  2 
 z'
arg ( z )  − arg ( z )  2 
▪
arg ( − z )   + arg ( z )  2 
▪
▪
▪
n  : arg ( z n )  n  arg ( z )  2 
I La forme trigonométrique
Soit z = a + ib un nombre complexe de module  et
d’argument  , alors z =  ( cos  + i sin  ) =   ;  .
Le passage de la forme algébrique à la forme
trigonométrique :
a
b
et sin ( ) = ,
z
z
D’où z =  ( cos  + i sin  ) =   ;  .
z = a + ib donc
cos ( ) =
B
− zA 
  2 
− zA 
lColinéarité/alignement :
A , B et C sont alignés 
zC − z A

zB − z A
lOrthogonalité :
AB et AC sont orthogonaux 
zC − z A
i
zB − z A
Téléchargement