Exercices de Maths MPSI 4 - Lycée Louis-Le-Grand

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2019/2020
Exercices de mathématiques
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
8 septembre 2019

Table des matières
1 Logique et raisonnements 3
2 Ensembles 7
3 Applications 10
4 Sommes, binôme 14
5 Relations 18
6 Nombres réels 23
7 Nombres complexes 28
8 Limites, dérivation 35
9 Fonctions usuelles 40
10 Calcul intégral 43
11 Équations différentielles linéaires 47
12 Suites 49
13 Calcul asymptotique 56
14 Approximations polynomiales 61
15 Séries numériques 66
16 Continuité et dérivabilité sur un intervalle 71
17 Intégration 76
18 Pivot de Gauss 80
19 Structures algébriques 82
20 Groupes symétriques 89

Table des matières 2
21 Arithmétique 91
22 Polynômes et fractions rationnelles 96
23 Espaces vectoriels 101
24 Applications linéaires 105
25 Matrices 111
26 Déterminants 119
27 Algèbre bilinéaire 123
28 Combinatoire 130
29 Espaces probabilisés, calculs de probabilité 135
30 Variables aléatoires 140

1
Logique et raisonnements
Manipulation d’expressions logiques formelles
Exercice 1.1 – Soit R,Set Tdes propositions. Montrer à l’aide de tables de vérité, puis par un
☆☆☆☆ raisonnement déductif, que les propositions suivantes sont vraies :
1. RÔ⇒ (SÔ⇒ R).
2. (RÔ⇒ S) Ô⇒ ((SÔ⇒ T) Ô⇒ (RÔ⇒ T)).
3. (R∨S) ⇐⇒ ((RÔ⇒ S) Ô⇒ S).
4. (RÔ⇒ (S∨T)) ⇐⇒ (S∨¬R∨T).
5. (RÔ⇒ S) Ô⇒ ((R∧T) Ô⇒ (S∧T)).
6. (R⇐⇒ S) Ô⇒ ((TÔ⇒ R) ⇐⇒ (TÔ⇒ S)).
Exercice 1.2 –
☆☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes.
1. ∀x∈A, ∃y∈B, (P(y) Ô⇒ Q(x, y));
2. ∀x∈A, ((∃y∈B, P (y)) Ô⇒ Q(x, y));
3. (AÔ⇒ (∀x, B(x))) ⇐⇒ (∀y, C(y));
4. AÔ⇒ ((∀x, B(x)) ⇐⇒ (∀y, C(y)));
5. AÔ⇒ (∀x, (B(x) ⇐⇒ (∀y, C(y)))).
Exercice 1.3 –Négations logiques★☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes :
1. ((A∨B) Ô⇒ C) Ô⇒ (D∧E);
2. (AÔ⇒ B) ⇐⇒ (AÔ⇒ ¬C);
3. ∀x∈E, ∃y∈E, A(x, y)∨B(x);
4. (∃x∈E, A(x)) Ô⇒ (∀x∈E, A(x));
5. ∃x∈E, A ⇐⇒ (∃y∈E, A(x, y) ∧B(y));
6. ∃!x, A(x).
Exercice 1.4 – Nier les propositions suivantes :
☆☆☆☆ 1. ∀x∈A, ∃y∈B, (x∈Cet (x, y) ∈ D)ou x/∈ C.
2. ∀x, ∃y, ((x, y) ∈ AÔ⇒ x∈B).
3. ∀x, ((∃y, (x, y) ∈ A) Ô⇒ x∈B).
4. (Aet (BÔ⇒ C)) ⇐⇒ (BÔ⇒ (A⇐⇒ C)).
Quelle différence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3 ?
Exercice 1.5 – Donner la contraposée des expressions suivantes :
☆☆☆☆