resumé des lois de probabilités

INSA 3TC
Aimé Lachal
LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES
Lois discrètes
distribution
loi de probabilité
P(X = 0) = q, P(X = 1) = p
Bernoulli
E(X) var (X)
fonction génératrice
p
pq
pz + q
np
npq
(pz + q)n
λ
λ
eλ(z−1)
1
p
q
p2
pz
1 − qz
E(z X )
q =1−p
Binomiale
Poisson
B(n, p)
P(λ)
P(X = k) = Cnk pk q n−k
q = 1 − p,
k = 0, 1, . . . , n
P(X = k) = e−λ
λk
k!
k = 0, 1, . . .
Géométrique
G(p)
Hypergéométrique
H(N, n, p)
Binomiale négative
P(X = k) = pq k−1
q = 1 − p,
n−k
k
CN
p CN q
P(X = k) =
Cn
q =1−p N
max(0, n − N q) 6 k 6 min(N p, n)
r−1
P(X = k) = Ck+r−1
pr q k
q = 1 − p,
Pascal
k = 1, 2, . . .
k = 0, 1, . . .
r−1 r k−r
P(X = k) = Ck−1
p q
q = 1 − p,
k = r, r + 1, . . .
Fonction hypergéométrique : F (a, b; c; z) =
np
npq
N −n
N −1
rq
p
rq
p2
r
p
rq
p2
n
CN
q
n F (−n, −N p; N q − n + 1; z)
CN
(
(
p
1 − qz
pz
1 − qz
)r
)r
+∞
∑
a(a + 1) . . . (a + n − 1) b(b + 1) . . . (b + n − 1) z n
c(c + 1) . . . (c + n − 1)
n!
n=0
La somme de n v.a. indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale B(n, p).
La somme de deux v.a. indépendantes suivant les lois binomiales B(m, p) et B(n, p) suit la loi binomiale B(m + n, p).
La somme de deux v.a. indépendantes suivant les lois de Poisson P(λ) et P(µ) suit la loi de Poisson P(λ + µ).
La somme de deux v.a. indépendantes suivant les lois binomiales négatives de paramètres (r, p) et (s, p) suit la loi
binomiale négative de paramètres (r + s, p).
• La somme de r v.a. indépendantes suivant la loi géométrique G(p) suit la loi de Pascal de paramètres (r, p).
•
•
•
•
Lois absolument continues
distribution
Uniforme
Cauchy
Gamma
Bêta
1
1l[a,b] (x)
b−a
a+b
2
(b − a)2
12
eibt − eiat
i(b − a)t
λe−λx 1lR+ (x)
1
λ
1
λ2
λ
λ − it
m
σ2
eimt− 2 σ
√
(
)
(x − m)2
1
exp −
2σ 2
2π σ
(1
fonction caract.
1
λaxa−1 e−λx 1l]0,+∞[ (x)
C(a, b)
a
π(a2 + (x − b)2 )
non dénie
non dénie
Γ(a, λ)
λa
xa−1 e−λx 1l]0,+∞[ (x)
Γ(a)
a
λ
a
λ2
1
xa−1 (1 − x)b−1 1l]0,1[ (x)
B(a, b)
a
a+b
n
x
1
x 2 −1 e− 2 1l]0,+∞[ (x)
n
2 2 Γ( n2 )
n
2n
0 si n > 1
n
si n > 2
n−2
n
n−2
2n2 (m + n − 2)
m(n − 4)(n − 2)2
si n > 2
si n > 4
Khi-Deux
Student
χ2 (n)
T (n)
a
m 2 n2
x 2 −1
1l]0,+∞[ (x)
m n
B( 2 , 2 ) (mx + n) m+n
2
m
F(m, n)
(
)− n+1
2
x2
1+
n
Γ( n+1
2 )
√
πn Γ( n2 )
n
m
Fonction Gamma : Γ(a) =
Fonction Bêta : B(a, b) =
∫
∫
+∞
λ− a Γ
1
a
+1
E(eitX )
2 2
t
(
)
2
λ− a [Γ a2 + 1
(
)2
−Γ a1 + 1 ]
)
W(λ, a)
B(a, b)
Fisher
var (X)
E(λ)
N (m, σ 2 )
Weibull
E(X)
U(a, b)
Exponentielle
Normale
loi de probabilité
eibt−a|t|
(
ab
(a +
b)2 (a
λ
λ − it
)a
M (a, a + b; it)
+ b + 1)
(1 − 2it)−n/2
2
Γ( n2 )
(
M
√ )n
√
|t| n 2
K n2 (|t| n)
2
(m
n
n )
; − ; − it
2
2
m
xa−1 e−x dx
0
1
xa−1 (1 − x)b−1 dx
0
+∞
∑
a(a + 1) . . . (a + n − 1) z n
Fonction de Kummer : M (a; b; z) =
b(b + 1) . . . (b + n − 1) n!
n=0
( z )ν ∑
π I−ν (z) − Iν (z)
1
où Iν (z) =
2
sin πν
2 n=0 n! Γ(n + ν + 1)
+∞
Fonction de Bessel modiée : Kν (z) =
(
z2
4
)n
La somme de n v.a. indépendantes suivant la loi exponentielle E(λ) suit la loi Gamma Γ(n, λ).
La somme de deux v.a. indépendantes suivant les lois Gamma Γ(a, λ) et Γ(b, λ) suit la loi Gamma Γ(a + b, λ).
X
Si les v.a. indépendantes X et Y suivent les lois Gamma Γ(a, λ) et Γ(b, λ), alors X+Y
suit la loi Bêta B(a, b).
2
La somme de deux v.a. indépendantes suivant les lois normales N (m1 , σ1 ) et N (m2 , σ22 ) suit la loi normale
N (m1 + m2 , σ12 + σ22 ).
• Le quotient de deux variables indépendantes suivant la loi normale N (0, 1) suit la loi de Cauchy C(1, 0) = T (1).
• La somme des carrés de n v.a. indépendantes suivant la loi normale N (0, 1) suit la loi du Khi-Deux χ2 (n) = Γ( n2 , 12 ).
• Si les v.a. indépendantes X et Y suivent les lois normale N (0, 1) et du Khi-Deux χ2 (n), alors √X suit la loi de
•
•
•
•
Student T (n).
• Si les v.a. indépendantes X et Y suivent les lois du Khi-Deux χ2 (m) et χ2 (n), alors
Y /n
mX
nY
suit la loi de Fisher F(m, n).