Université USTHB – Bab-Ezzouar Bab-Ezzouar, 03 Mai 2021 Faculté de l’Informatique Année universitaire 2020/2021 1ére Année Master Mathématiques et Applications (M1/MA) Semestre 2 Module : Algorithmique, Complexité et Langage C Chargé de Cours : Mr. AMANI Ferhat ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Série de Travaux Dirigés n° 1 La comparaison asymptotique et les notations de Landau1 Exercice 1 1- Démontrer par récurrence sur l’entier naturel 𝑛 la relation suivante : 𝑛 𝑖= 𝑖=1 𝑛(𝑛 + 1) 2 ∀𝑛 ≥ 1 2- Démontrer par récurrence sur l’entier naturel 𝑛 la relation suivante : 𝑛 𝑖2 = 𝑖=1 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 6 ∀𝑛 ≥ 1 3- Démontrer par récurrence sur l’entier naturel 𝑛 la relation suivante : 𝑛 𝑖3 = 𝑖=1 𝑛2 (𝑛 + 1)2 4 ∀𝑛 ≥ 1 Exercice 2 Etant donné un réel 𝑎, 𝑎 ≥ 0, démontrer par récurrence sur l’entier naturel 𝑛 la relation suivante : (1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎 ∀𝑛 ≥ 1 Exercice 3 Soit une suite 𝑢𝑛 , 𝑛 ≥ 0 définie comme suit : 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − 3 ∀𝑛 ≥ 1 𝑢0 = 2 1- Calculer les expressions suivantes : 1) 𝑢1 − 𝑢0 ; 2) 𝑢2 − 𝑢1 ; 3) 𝑢3 − 𝑢2 ; 4) 𝑢4 − 𝑢3 ; 5) 𝑢5 − 𝑢4 . 2- Conjecturer (çàd, proposer sans le démontrer) une expression algébrique pour le terme général 𝑢𝑛 . 3- Démontrer cette conjecture2. 1 Edmund Landau (1877-1938) est un mathématicien allemand spécialisé en théorie des nombres. Il développa en 1909 les notations asymptotiques connues depuis sous son nom. Page 1 sur 3 Exercice 4 Soient les 2 fonctions : - 𝑓 𝑛 = 2𝑛 + 1 2 ; - 𝑔 𝑛 = 𝑛2 . 1- Montrer : 2𝑛 + 1 2 = 𝑂 𝑛2 . 2- Montrer : 2𝑛 + 1 2 = 𝛺 𝑛2 . 3- Montrer : 2𝑛 + 1 2 = Θ 𝑛2 . Exercice 5 1. Reprendre la définition de la notation asymptotique O (grand O) (voir cours/section 1.2.1). En supposant que la fonction 𝑓 𝑛 représente le temps d’exécution d’un programme, que représente alors la fonction 𝑐𝑔 𝑛 ? 2. Reprendre la définition de la notation asymptotique Ω (grand Ω) (voir cours/section 1.3.1). En supposant que la fonction 𝑓 𝑛 représente le temps d’exécution d’un programme, que représente alors la fonction 𝑐𝑔 𝑛 ? 3. Reprendre la définition de la notation asymptotique Θ (grand Θ) (voir cours/section 1.4.1). En supposant que la fonction 𝑓 𝑛 représente le temps d’exécution d’un programme, que représentent alors les fonctions 𝑐1 𝑔 𝑛 𝑒𝑡 𝑐2 𝑔 𝑛 ? Exercice 6 1- Montrer l’une ou l’autre des relations suivantes : 2𝑛 +1 = 𝑂 2𝑛 𝑜𝑢 2𝑛+1 ≠ 𝑂(2𝑛 ) 2- Montrer l’une ou l’autre des relations suivantes : 22𝑛 = 𝑂 2𝑛 𝑜𝑢 22𝑛 ≠ 𝑂(2𝑛 ) Exercice 7 Démontrer les propriétés des notations asymptotiques suivantes : 1- 𝑂 𝑓 𝑛 + 𝑂 𝑔 𝑛 = 𝑂 𝑓 𝑛 + 𝑔 𝑛 ; 2- 𝑂 𝑓 𝑛 + 𝑂 𝑔 𝑛 = 𝑂 max (𝑓 𝑛 , 𝑔 𝑛 ; 2 En mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on croit fortement être vraie, en l'absence de contre-exemple. Quand une conjecture est démontrée, elle devient un théorème. Formulée vraisemblablement en 1637, publiée en 1670, la plus célèbre de toutes les conjectures était celle dénommée le « dernier théorème de Fermat ». Ce n'est qu'après sa démonstration par le mathématicien Andrew Wiles en 1994 que cette conjecture devint théorème. L'hypothèse de Riemann est une conjecture non démontrée ; donc, elle n’est pas un théorème [source, wikipédia, 2020]. Page 2 sur 3 3- 𝑂 𝑓 𝑛 ∗ 𝑂 𝑔 𝑛 = 𝑂 𝑓 𝑛 ∗ 𝑔 𝑛 4- 𝑂 𝜆𝑓 𝑛 = 𝑂 𝑓 𝑛 . ; Page 3 sur 3
