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Université USTHB – Bab-Ezzouar Bab-Ezzouar, 03 Mai 2021
Faculté de l’Informatique Année universitaire 2020/2021
1ére Année Master Mathématiques et Applications (M1/MA) Semestre 2
Module : Algorithmique, Complexité et Langage C
Chargé de Cours : Mr. AMANI Ferhat
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Série de Travaux Dirigés n° 1
La comparaison asymptotique
et les notations de Landau1
Exercice 1
1- Démontrer par récurrence sur l’entier naturel la relation suivante :
=(+ 1)
2
=1
1
2- Démontrer par récurrence sur l’entier naturel la relation suivante :
2=+ 1(2+ 1)
6
=1
1
3- Démontrer par récurrence sur l’entier naturel la relation suivante :
3=2(+ 1)2
4
=1
1
Exercice 2
Etant donné un réel , 0, démontrer par récurrence sur l’entier naturel la
relation suivante :
(1 + )1 + 1
Exercice 3
Soit une suite , 0 définie comme suit :
+1 = 23 1
0 = 2
1- Calculer les expressions suivantes :
1) 10; 2) 21; 3) 32; 4) 43; 5) 54.
2- Conjecturer (çàd, proposer sans le démontrer) une expression algébrique pour
le terme général .
3- Démontrer cette conjecture2.
1 Edmund Landau (1877-1938) est un mathématicien allemand spécialisé en théorie des
nombres. Il développa en 1909 les notations asymptotiques connues depuis sous son nom.
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Exercice 4
Soient les 2 fonctions :
- =2+ 12 ;
- =2.
1- Montrer : 2+ 12=2.
2- Montrer : 2+ 12=2.
3- Montrer : 2+ 12=2.
Exercice 5
1. Reprendre la définition de la notation asymptotique O (grand O) (voir
cours/section 1.2.1). En supposant que la fonction représente le temps
d’exécution d’un programme, que représente alors la fonction ?
2. Reprendre la définition de la notation asymptotique Ω (grand Ω) (voir
cours/section 1.3.1). En supposant que la fonction représente le temps
d’exécution d’un programme, que représente alors la fonction ?
3. Reprendre la définition de la notation asymptotique Θ (grand Θ) (voir
cours/section 1.4.1). En supposant que la fonction représente le temps
d’exécution d’un programme, que représentent alors les fonctions
1 2 ?
Exercice 6
1- Montrer l’une ou l’autre des relations suivantes :
2+1 =2 2+1 (2)
2- Montrer l’une ou l’autre des relations suivantes :
22=2 22 (2)
Exercice 7
Démontrer les propriétés des notations asymptotiques suivantes :
1- +=+ ;
2- +=max(, ;
2 En mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore
de démonstration, mais que l'on croit fortement être vraie, en l'absence de contre-exemple.
Quand une conjecture est démontrée, elle devient un théorème. Formulée vraisemblablement
en 1637, publiée en 1670, la plus célèbre de toutes les conjectures était celle dénommée le
« dernier théorème de Fermat ». Ce n'est qu'après sa démonstration par le
mathématicien Andrew Wiles en 1994 que cette conjecture devint théorème. L'hypothèse de
Riemann est une conjecture non démontrée ; donc, elle n’est pas un théorème [source,
wikipédia, 2020].
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3- = ;
4- =.
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