Circuit (R.L.C) En Régime Sinusoïdal Forcé Une portion de circuit électrique alimentée par une source de tension sinusoïdale de valeur efficace 𝑈 = 100𝑉, de pulsation ω, comprend en série une bobine de résistance 𝑅 = 10𝛺 et d’inductance 𝐿 = 0,30𝐻, et un condensateur de capacité 𝐶 = 20.10−6 F. L’intensité instantanée du courant qui parcourt le circuit et la tension d’alimentation à ses bornes peuvent s’écrire respectivement : i t = I 2 sin ωt et u t = U 2 sin ωt + φ . 1. Donner sans démontrer les expressions littérales : a)) de l’impédance Z du circuit ; b)) de la valeur efficace I de l’intensité qui parcourt le circuit ; c)) du déphasage de la tension par rapport à l’intensité. 2. A.N. : Calculer Z, I, φ dans le cas où 𝜔 = 314𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 . Construire le diagramme de Fresnel relatif au circuit. 3. Soient u1 et u2 , les valeurs instantanées des tensions qui apparaissent respectivement aux bornes de condensateur et de la bobine. a)) Calculer numériquement, dans les condition précédentes, les valeurs efficaces 𝑈1 , 𝑈2 et 𝑈𝐴𝐵 correspondant respectivement à 𝑢1 , 𝑢2 et 𝑢𝐴𝐵 . b)) Ecrire les expressions de 𝑢1 , 𝑢2 et 𝑢𝐴𝐵 en fonction du temps t. [email protected] Rappels sur les circuits en régime sinusoïdal 1. Intensité et tension efficaces : Intensité efficace : 𝑰𝒆𝒇𝒇 = 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝟐 Tension efficace : 𝑼𝒆𝒇𝒇 = 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝟐 2. Impédance d’un dipôle : on définit l’impédance Z d’un dipôle par le rapport : 𝑼𝒆𝒇𝒇 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝒁= = 𝑰𝒆𝒇𝒇 𝑰𝒎𝒂𝒙 3. Etude de quelques dipôles en courant alternatif : o𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒊 = 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 Résistor (Conducteur ohmique pur R) : 𝒖 = 𝑹𝒊 = 𝑹𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 = 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 ⟹ 𝑼𝒎𝒂𝒙 = 𝑹𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝒁 = 𝑹 𝐞𝐭, 𝐢 𝐞𝐭 𝐮 𝐬𝐨𝐧𝐭 𝐞𝐧 𝐩𝐡𝐚𝐬𝐞 ∶ 𝝋 = 𝟎 𝒅𝒊 𝝅 𝝅 = 𝑳𝝎𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 = 𝑳𝝎𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + = 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + Bobine pure (r=0) : 𝒖𝑳 = 𝑳 𝒅𝒕 𝟐 𝟐 𝝅 ⟹ 𝑼𝒎𝒂𝒙 = 𝑳𝝎𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝒁 = 𝑳𝝎 𝒆𝒕 𝝋 = 𝟐 𝒒 𝟏 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝝅 𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 = 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 − = 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 − Capacité (C ) : 𝒖𝑪 = = න 𝒊𝒅𝒕 = − 𝑪 𝑪 𝑪𝝎 𝑪𝝎 𝟐 𝟐 ⟹ 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝑰𝒎𝒂𝒙 ′ 𝟏 𝝅 = 𝒅 𝒐ù ∶ 𝒁 = 𝒆𝒕 𝝋 = − 𝑪𝝎 𝑪𝝎 𝟐 [email protected] Rappels sur les circuits en régime sinusoïdal Circuit (R,L) : - Impédance : 𝒁 = Circuit ( R.C) : - Impédance : 𝒁 = 𝑹𝑻 𝟐 + 𝑳𝝎 𝑹𝑻 𝟐 + 𝟐 𝟏 𝑪𝝎 𝟐 - Déphasage : 𝒕𝒂𝒏 𝝋 = - Déphasage : 𝒕𝒂𝒏 𝝋 = 𝑳𝝎 𝑹𝑻 𝟏 𝑹𝑻 𝑪𝝎 Circuit ( R,L,C) : - Impédance : 𝒁 = 𝑼𝒎𝒂𝒙 𝑰𝒎𝒂𝒙 = 𝟐 𝑹𝑻 + 𝑳𝝎 − Diagramme de Fresnel relatif au circuit 𝝋 > 𝟎 ⟹ 𝐮 𝐞𝐧 𝐚𝐯𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐬𝐮𝐫 𝐢 𝑼𝑪 𝟏 𝟐 𝑪𝝎 - Déphasage : 𝒕𝒂𝒏 𝝋 = 𝑼 𝑳𝝎 𝑼𝑳 𝑹𝑻 𝑼𝑹 𝟏 𝟐 𝟐 𝑪𝝎 = 𝑳 𝝎 − 𝝎𝟎 𝑹𝑻 𝑹𝑻 𝝎 𝑳𝝎 − 𝑳𝝎 𝑹𝑻 𝝋 - u est en retard de 𝝋 sur i Diagramme de Fresnel relatif au circuit 𝝋 < 𝟎 ⟹ 𝐮 𝐞𝐧 𝐫𝐞𝐭𝐚𝐫𝐝 𝐬𝐮𝐫 𝐢 𝟏 𝑪𝝎 𝒛 - u est en avant de 𝝋 sur i 𝝋 𝑼 𝒛 𝑼𝑳 𝑼𝑹 𝟏 𝑪𝝎 𝑼𝑪 [email protected] Une portion de circuit électrique alimentée par une source de tension sinusoïdale de valeur efficace 𝑈 = 100𝑉, de pulsation ω, comprend en série une bobine de résistance 𝑅 = 10𝛺 et d’inductance 𝐿 = 0,30𝐻, et un condensateur de capacité 𝐶 = 20.10−6 F. L’intensité instantanée du courant qui parcourt le circuit et la tension d’alimentation à ses bornes peuvent s’écrire respectivement : i t = I 2 sin ωt et u t = U 2 sin ωt + φ . 1/ Donner sans démontrer les expressions littérales : a)) de l’impédance Z du circuit ; b)) de la valeur efficace I de l’intensité qui parcourt le circuit ; c)) du déphasage de la tension par rapport à l’intensité. a)) Expression de l’impédance Z du circuit : 𝒁 = 𝑹𝟐 + 𝑳𝝎 − 𝟏 𝟐 𝑪𝝎 𝑼 𝑼 b)) Expression de l’intensité efficace du courant : 𝒁 = ⇒ 𝑰 = 𝑰 𝒁 𝟏 𝑳𝝎 − 𝑪𝝎 c)) Expression du déphasage de u(t) par rapport à i(t) : 𝒕𝒂𝒏 𝝋 = 𝑹 2. A.N. : Calculer Z, I, 𝜑 dans le cas où 𝜔 = 314𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 . Construire le diagramme de Fresnel relatif au circuit. 𝑳𝝎 = 𝟎, 𝟑 × 𝟑𝟏𝟒 = 𝟗𝟒, 𝟐 𝟏 ቐ 𝟏 ⟹𝒁= = = 𝟏𝟓𝟗, 𝟐𝟑 𝑪𝝎 𝟐𝟎 × 𝟏𝟎−𝟔 × 𝟑𝟏𝟒 𝟏𝟎𝟐 + 𝟗𝟒, 𝟐 − 𝟏𝟓𝟗, 𝟐𝟑 𝟐 = 𝟔𝟓, 𝟖𝟎𝛀 𝑼 𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟒, 𝟐 − 𝟏𝟓𝟗, 𝟐𝟑 𝑰= = = 𝟏, 𝟓𝟐𝑨 𝒆𝒕 𝒕𝒂𝒏 𝝋 = = −𝟔, 𝟓𝟎 ⇒ 𝝋 = −𝟏, 𝟒𝟐𝒓𝒂𝒅 𝒁 𝟔𝟓, 𝟖𝟎 𝟏𝟎 [email protected] 2. Construire le diagramme de Fresnel relatif au circuit Comme 𝝋 = −𝟏, 𝟒𝟐𝒓𝒂𝒅 < 𝟎 ⟹ 𝐮 𝐞𝐧 𝐫𝐞𝐭𝐚𝐫𝐝 𝐬𝐮𝐫 𝐢 𝑳𝝎 𝑹𝑻 𝝋 𝑼 𝒛 3. a)) Calcul des tensions 𝐔𝟏 𝐞𝐭 𝐔𝟐 𝑼𝑳 𝑼𝑹 3. Soient 𝒖𝟏 𝐞𝐭 𝒖𝟐 , les valeurs instantanées des tensions qui apparaissent respectivement aux bornes de condensateur et de la bobine. a)) Calculer numériquement, dans les condition précédentes, les valeurs efficaces 𝑼𝟏 , 𝑼𝟐 et 𝑼𝑨𝑩 correspondant respectivement à 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 𝒆𝒕 𝒖𝑨𝑩 . 𝟏 𝑪𝝎 𝑼𝑪 - Aux bornes de la bobine : 𝑼𝟐 = 𝒁𝟐 𝑰 = 𝑳𝝎𝑰 = 𝟗𝟒, 𝟐 × 𝟏, 𝟓𝟐 = 𝟏𝟒𝟑, 𝟐𝑽 - Aux bornes du condensateur : 𝟏 𝑼𝟏 = 𝒁𝟏 𝑰 = × 𝑰 = 𝟏𝟓𝟗, 𝟐𝟑 × 𝟏, 𝟓𝟐 = 𝟐𝟒𝟐𝑽 𝑪𝝎 - Aux bornes de AB : 𝑼𝑨𝑩 = 𝒁𝑨𝑩 𝑰 = 𝐀. 𝐍 ∶ 𝑼𝑨𝑩 = 𝑹𝟐 + 𝑳𝝎 𝟐 𝑰 𝟏𝟎𝟐 + 𝟗𝟒, 𝟐𝟐 × 𝟏, 𝟓𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝑽 [email protected] b)) Ecrire les expressions de 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 et 𝒖𝑨𝑩 en fonction du temps t. 𝒖𝟏 = 𝑼𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + 𝝋𝟏 ; 𝒖𝟐 = 𝑼𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + 𝝋𝟐 𝒆𝒕 𝒖𝑨𝑩 = 𝑼𝑨𝑩 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + 𝝋𝑨𝑩 Détermination de 𝝋𝟏 𝒆𝒕 𝝋𝟐 ∶ 𝝋𝟏 = − 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝐀𝐁 𝝅 𝟐 (capacité pure) et 𝝋𝟐 = 𝝅 𝟐 (bobine pure) 𝑹 𝑹𝑰 𝟏𝟎 × 𝟏, 𝟓𝟐 = = = = 𝟎, 𝟏𝟎𝟓 ⟹ 𝝋𝑨𝑩 = 𝟏, 𝟒𝟔𝒓𝒂𝒅 𝒁𝑨𝑩 𝑼𝑨𝑩 𝟏𝟒𝟒 𝝅 𝒖𝟏 = 𝟐𝟒𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟏𝟒𝒕 − 𝟐 𝝅 ; 𝒖𝟐 = 𝟏𝟒𝟑, 𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟏𝟒𝒕 + 𝟐 𝒖𝑨𝑩 = 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟏𝟒𝒕 + 𝟏, 𝟒𝟔 𝝋 = −𝟏, 𝟒𝟐𝒓𝒂𝒅 𝒖 𝒕 = 𝑼 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 + 𝝋 = 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟏𝟒𝒕 − 𝟏, 𝟒𝟐 𝒖𝑹 = 𝑹𝑰 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕 = 𝟏𝟓, 𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟏𝟒𝒕 [email protected]
