Série Mécanique Quantique -IPEIN-2016-2017

Institut Préparatoire aux Etudes d’ingénieurs de Nabeul
Série : Mécanique Quantique
Classes : SM, ST
AU : 2016-2017
Exercice 1
Partie 1 : L'effet photoélectrique.
1°/ Rappeler et interpréter la relation
d'Einstein donnant le bilan énergétique de
l’absorption du photon par un métal.
2°/ a) Une substance métallique éclairée par
la lumière visible (0,4--0,75 m ) ne produit
aucun courant électrique. Que peut-on dire de
son travail de sortie?.
b) On recouvre la substance par du zinc dont
le travail de sortie est Ws  3, 4 eV puis on
l'éclaire avec une radiation de longueur d'onde
  0, 2 m . Donner la longueur d'onde et la
fréquence du seuil photoélectrique. Quelle est
la vitesse maximale des photoélectrons
arrachés.
c) Mêmes questions pour le césium dont le
travail de sortie est Ws  1,8eV .
d) Comparer les résultats b) et c) et conclure.
On donne : E  eV  .  A   12400  hc et
1°/ Rappeler et commenter cette hypothèse.
2°/ Calculer la longueur d'onde de L. De
Broglie associée à:
a) Une goutte d'eau de diamètre d  0,1mm
se déplaçant à la vitesse v  10 m/s .
b) Un neutron thermique d'énergie cinétique
Ec  0,05 eV , (on donne : mc 2  940 Mev ).
c) Conclure.
Partie 3: Inégalités de Heisenberg.
1°/ Si l'on suppose que le rayon de l'orbite de
Bohr a0  0,529 A est connu à 1% près,
calculer v incertitude sur la vitesse de
l'électron de masse 9,1 10-31Kg. Conclusion ?
2°/ Si l'on suppose que la position d'une bille
de masse 1 g est connue au m près, quelle
est l'incertitude sur sa vitesse ? Conclusion ?
3°/ Un automobiliste féru de mécanique
quantique à été pris par un radar à 120 Km/h
au volant de sa voiture de 1500 Kg. Il invoque
le principe d'incertitude d'Heisenberg pour
contester le P.V. A-t-il raison ?
1eV  1,6 x1019 J
Partie 2 : Hypothèse de Louis De Broglie.
Exercice 2 : Paquet d’ondes.
On considère une particule libre de masse m que l'on décrit par un paquet d’ondes (à une
1 
j  kx   k t 
dimension) défini par :   x, t  
g k  e 
dk

2 
On considère l’instant t  0 et on suppose que g  k  a une forme rectangulaire :
1 pour k1  k  k2
g k   
0 ailleurs
k1  k2
et k  k2  k1 .
2
b) En déduire la densité de probabilité et tracer sa variation.
c) Justifier que l’onde   x, 0  peut être associée à la particule.
1°/ a) Déterminer   x, 0  , on posera k0 
2°/ Quel est le produit xk des extensions des fonctions. Réécrire ce produit en utilisant la relation
de L. De Broglie. Commenter.
3°/ Donner la relation de dispersion   k  . Comparer la vitesse de groupe v g à la vitesse de phase
v et à la vitesse v de la particule. Conclure.
4°/ On plonge maintenant la particule dans un potentiel constant U  x   U 0 , montrer que
l'expression générale   x, t  du paquet d'ondes est solution de l'équation de Schrödinger.
Page 1
Exercice 3 : Puits de potentiel.
Soit une particule de masse m d'énergie E se trouve piégée dans un puits de potentiel carré de la
figure ci-contre tel que 0  E  V0 .
1°/ V0 : fini
a) Résoudre l'équation de Schrödinger
stationnaire dans les trois régions.
b) Donner la signification physique de chaque
terme.
c) Expliciter les conditions de continuités aux
points x  0 et x  a .
d) Déduire la condition à la quelle doivent
satisfaire les quantités : k ,  et a , où k et
 sont définies comme suit:
k2 
2mE
2
et  2 
2m V0  E 
2
.
2) V0 infini
Si V0 tend vers l'infini :
a) Que deviennent les solutions de l'équation
de Schrödinger dans les régions (I) et (III)?
b) En écrivant les conditions de continuité
aux points x  0 et x  a , déduire les valeurs
possibles de l'énergie E de la particule dans
le puits. Conclure.
Exercice 4 : Marche de potentiel.
On considère la marche de potentiel de la figure au-dessous :
1°/ Donner des situations physiques
correspondant à cette situation.
2°/ Une particule de masse m et d’énergie E
est envoyée depuis x   . Que peut-il se
passer d’un point de vue classique ?
On s’intéresse pour la suite à la situation
quantique. On suppose dans la un premier
temps que l’énergie E  V .
3°/ a) Donner l’expression de la fonction
d’onde stationnaire dans les différentes zones
x  0 et x  0 , puis commenter les résultats.
On posera k 
2mE
et k ' 
2m  E  V 
b) Quelles relations de continuité peut-on
utiliser ?
4°/ a) En déduire l’expression du coefficient
de probabilité en réflexion R et en
transmission T .
b) Commenter les résultats précédents.
5°/ Reprendre les questions précédentes pour
E V .
.
Page 2
On
posera
k'
2m V  E 
.