Institut Préparatoire aux Etudes d’ingénieurs de Nabeul Série : Mécanique Quantique Classes : SM, ST AU : 2016-2017 Exercice 1 Partie 1 : L'effet photoélectrique. 1°/ Rappeler et interpréter la relation d'Einstein donnant le bilan énergétique de l’absorption du photon par un métal. 2°/ a) Une substance métallique éclairée par la lumière visible (0,4--0,75 m ) ne produit aucun courant électrique. Que peut-on dire de son travail de sortie?. b) On recouvre la substance par du zinc dont le travail de sortie est Ws 3, 4 eV puis on l'éclaire avec une radiation de longueur d'onde 0, 2 m . Donner la longueur d'onde et la fréquence du seuil photoélectrique. Quelle est la vitesse maximale des photoélectrons arrachés. c) Mêmes questions pour le césium dont le travail de sortie est Ws 1,8eV . d) Comparer les résultats b) et c) et conclure. On donne : E eV . A 12400 hc et 1°/ Rappeler et commenter cette hypothèse. 2°/ Calculer la longueur d'onde de L. De Broglie associée à: a) Une goutte d'eau de diamètre d 0,1mm se déplaçant à la vitesse v 10 m/s . b) Un neutron thermique d'énergie cinétique Ec 0,05 eV , (on donne : mc 2 940 Mev ). c) Conclure. Partie 3: Inégalités de Heisenberg. 1°/ Si l'on suppose que le rayon de l'orbite de Bohr a0 0,529 A est connu à 1% près, calculer v incertitude sur la vitesse de l'électron de masse 9,1 10-31Kg. Conclusion ? 2°/ Si l'on suppose que la position d'une bille de masse 1 g est connue au m près, quelle est l'incertitude sur sa vitesse ? Conclusion ? 3°/ Un automobiliste féru de mécanique quantique à été pris par un radar à 120 Km/h au volant de sa voiture de 1500 Kg. Il invoque le principe d'incertitude d'Heisenberg pour contester le P.V. A-t-il raison ? 1eV 1,6 x1019 J Partie 2 : Hypothèse de Louis De Broglie. Exercice 2 : Paquet d’ondes. On considère une particule libre de masse m que l'on décrit par un paquet d’ondes (à une 1 j kx k t dimension) défini par : x, t g k e dk 2 On considère l’instant t 0 et on suppose que g k a une forme rectangulaire : 1 pour k1 k k2 g k 0 ailleurs k1 k2 et k k2 k1 . 2 b) En déduire la densité de probabilité et tracer sa variation. c) Justifier que l’onde x, 0 peut être associée à la particule. 1°/ a) Déterminer x, 0 , on posera k0 2°/ Quel est le produit xk des extensions des fonctions. Réécrire ce produit en utilisant la relation de L. De Broglie. Commenter. 3°/ Donner la relation de dispersion k . Comparer la vitesse de groupe v g à la vitesse de phase v et à la vitesse v de la particule. Conclure. 4°/ On plonge maintenant la particule dans un potentiel constant U x U 0 , montrer que l'expression générale x, t du paquet d'ondes est solution de l'équation de Schrödinger. Page 1 Exercice 3 : Puits de potentiel. Soit une particule de masse m d'énergie E se trouve piégée dans un puits de potentiel carré de la figure ci-contre tel que 0 E V0 . 1°/ V0 : fini a) Résoudre l'équation de Schrödinger stationnaire dans les trois régions. b) Donner la signification physique de chaque terme. c) Expliciter les conditions de continuités aux points x 0 et x a . d) Déduire la condition à la quelle doivent satisfaire les quantités : k , et a , où k et sont définies comme suit: k2 2mE 2 et 2 2m V0 E 2 . 2) V0 infini Si V0 tend vers l'infini : a) Que deviennent les solutions de l'équation de Schrödinger dans les régions (I) et (III)? b) En écrivant les conditions de continuité aux points x 0 et x a , déduire les valeurs possibles de l'énergie E de la particule dans le puits. Conclure. Exercice 4 : Marche de potentiel. On considère la marche de potentiel de la figure au-dessous : 1°/ Donner des situations physiques correspondant à cette situation. 2°/ Une particule de masse m et d’énergie E est envoyée depuis x . Que peut-il se passer d’un point de vue classique ? On s’intéresse pour la suite à la situation quantique. On suppose dans la un premier temps que l’énergie E V . 3°/ a) Donner l’expression de la fonction d’onde stationnaire dans les différentes zones x 0 et x 0 , puis commenter les résultats. On posera k 2mE et k ' 2m E V b) Quelles relations de continuité peut-on utiliser ? 4°/ a) En déduire l’expression du coefficient de probabilité en réflexion R et en transmission T . b) Commenter les résultats précédents. 5°/ Reprendre les questions précédentes pour E V . . Page 2 On posera k' 2m V E .