Telechargé par Ahmed Selmi

Concour MP physique 2018 enoncé

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REPUBLIQUE TUNISIENNE
Ministère de l'Enselgnement Supérieur et de la
Recherche Scientifique
Concours Nationsuz d'Entrte aux C7° >
de Formation d'ingénieurs
Session 2018
Concours Mathématiques et Physique
Epreuve de Physique
Date : Lundi 04 Juin 2018
Durée : 4 H
Heure : 8 H
Nombre de pages : 8
Barème : Problème 1: 7 pt , Problème 2: 13 pts
L'usage d'ioie calculatrice nonprogrammable #sï autorise.
L'épreuve comporte deux problèmes indépendants, le candidat peut les résoudre dans l'ordre qui lui
convient, en respectant néanmoins la numérotation des questions.
Un candidat peut toujours se servir d'un résultat fourni par l'énoncé pour continuer sa composition.
Données
e’—e"’
2
e = 1, 6 x10*I’C
sin a — sin b = 2 sin (
1
x10“ f'm*'
leV= 1,6 x l0°"uf
•2
a- b)
2
cos
a+b
2
, 1 MeV= 10 eV
=—1
Problème 1 : Optique ondulatoire
Le rôle d'un dispositif interférentiel est de dédoubler une source primaire pour en donner
dans la plupart des cas deux sources secondaires Si et $2 pouvant aboutir à des
interférences constructives ou destructives.
I- Etude des trous d'Young
1- Expliquer la raison pour laquelle il faut partir d'une seule source primaire S et non
de deux sources indépendantes S et S2.
2- On s'intéressera dans ce qui suit au dispositif
d'Young. S'agit-il d'un dispositif a division de
front d'ondes ou à division d'amplitudes ?
Justifier.
3- Comme le montre la figure l qui se trouve
dans le plan zOr, on dispose d'une source
primaire S, supposée monochromatique et
ponctuelle de longueur d'onde X et de deux
trous $i et S2 symétriques par rapport à 0’ tel
que S,S2 = a , l'axe étant perpendiculaire
au plan de la figure 1.
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Session 2018
Figure 1
Epreuve de Physique
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On observe le phénomène d’interférences en un point M repéré par son abscisse x sur
un écran situé dans le plan xOy ù une distance D----OO'. Dans tout le problème, on se
place dans le cas où a<< D et x m D .
Les deux vibrations scolaires issues de S et St s'écrivent en notation complexe :
S,---- Si e’"'° ' et 2 - Si e'("°^'
a-Calculer la vibration résultante S au point M en fonction de S0 , ri›, p 2 et p, où
g= g 2 -p
l
est le déphasage entre les deux ondes.
b-En déduire l'intensité I -- lS .ÿ‘ en fonction de g et / 0 --S o .
c- Exprimer la différence de marche 6 au point M entre les deux ondes en fonction
de a, x et D . En déduire l'expression de g .
d-Quelle est la nature des franges d’interférences observées sur l'écran et indiquer
leur direction ? Justifier votre réponse.
e- Déterminer les positions des franges brillantes et des franges obscures.
f- Exprimer 1’interfrange i. Calculer i pour o =0,5mm, D---lm et 2=0,5 pm .
g-Déterminer la position de la frange centrale et préciser si elle est brillante où
obscure.
4-On déplace la source S parallèlement à @ d'une faible distance par rapport à D. Que
devient la figure d'interférences ? Commenter.
5- On remplace la source S par une fente fine parallèle à
, décrire la nouvelle figure
d'interférences.
6-On déplace maintenant la source S parallèlement à Œ jusqu'au point S’ repéré par
son abscisse x' tel que x' << d avec d -- SO’ (flgure 1).
a-Calculer la nouvelle différence de marche 6’ entre les deux ondes au point M en
fonction de x, x’, a, D et d. Déterminer la nouvelle position z0 de la frange
centrale.
b-Exprimer la nouvelle interfrange i’. Expliquer ce qui se passe au niveau de la
figure d’interférences.
H- Influence de la largeur de la fente source : Cohérence spatiale
On remplace maintenant la source S par une fente source fine F parallèle à de
largeur Z , et on remplace également les trous d'Young S et St par deux fentes fines
F, et Fz parallèles entre elles et parallèles à .
La fente F est située dans le plan médiateur
de Fi et Ft. La largeur Z peut varier
moyennant une vis micrométrique.
7- L'intensité élémentaire df en un point M
de l'écran émise par une fente élémentaire
de largeur dr’ repérée par son abscisse x’
(figure 2) s'écrit :
df' 2 o( + cos g)
a- Justifier l'expression de dl. Exprimer p
en fonction de x et x’.
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Figure 2
Epreuve de Physique
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b- En déduire l’intensité totale au point M. Montrcr qu’elle peut se mettre sous la
forme
I 2J o l IV(t) .cos ‹;pJ
Exprimer V(I). Quel nom donne-t-on à cette fonction ?
c- Quelle est la valeur de V(t) quand t —+0 ? Conclure.
d- Donner les valeurs de t qui annulent V(ï) et tracer son allure.
e- En déduire la longueur de cohérence spatiale £, en fonction de L, d et a. Calculer
sa valeur pour d = 500 nm, d —— 50 cm et a —— 0,5 mm .
f- Décrire qualitativement la figure d’interférences pour t —Z, .
III- Influence de la largeur spectrale de la source : Cohérence temporelle.
On agit de nouveau sur le dispositif de fentes d’Young pour retrouver la fente fine de la
partie (I) ; F étant toujours dans le plan médiateur de 2s et Ft
8- On éclaire F à l'aide d'une source polychromatique de profil spectral rectangulaire
/,(v) et de largeur A v comme l'indique la figure 3, où v est la fréquence de l'onde
dans l’intervalle r, , v2 J. On pose Ar = v2 — r, et v,
. Soit dv une largeur
spectrale élémentaire dans cet intervalle. L’intensité élémentaire au point M créée par
dr
dv s’écrit sous la forme : dI —— 2/ o (l + cos p)
a- En déduire que l’intensité totale au point M peut
s'écrire sous la forme :
I -- 2/, $1+V(Q ) .cos g
dv
Exprimer V(Q) , oñ Q' est à écrire en fonction de
b- Que devient l'expression de I quand A r—+0 ?
Commenter.
c- Déterminer les valeurs de Q' qui annulent
V(Q') et tracer son allure.
d- En déduire la longueur de cohérence temporelle
Figure 3
L, en fonction de r et Av .
e- Calculer +t pour la lumière blanche d’intervalle spectral 0, 4 — 0, 75ym , et pour
un laser de largeur spectrale 100
. Commenter.
r- On dispose maintenant d'une fente de largeur Z et d'une raie de largeur Ar .
Quelles sont les conditions sur ces grandeurs pour observer des franges
d’interférences ?
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Epreuve de Physique
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Problème 2 : Evolution d'une particule quantique dans un potentiel
I- Partie Préliminaire
On s’ intéresse dans ce problème à une partitule quantique de masse m astreinte à se
déplacer suivant l'axe Phr de vecteur unitaire u, . A cette particule on associe une fonction
d'onde 'P(x,/) qui décrit son état à 1’instant t.
Lorsque la particule possède une énergie potentielle K(x), la fonction d'onde
est
solution de l'équation de Schrödinger :
l- On pose p( • ) -l*(•.'
)J2 .
—— ih
2
2m
bt
Que représente cette grandeur ? Pourquoi doit-on avoir
2
'g' 'P px,/ )J dr — 1? En déduire la dimension de 'P(x, f)J .
2- Dans tout le problème on cherchera des fonctions d'ondes relatives à des états
stationnaires d'énergie E définies par :
v(x,/)= p(x) e”’"'
a- Pourquoi un tel état est appelé ”état stationnaire” ? Déterminer l'équation de
Schrödinger indépendante du temps vérifiée par p(x).
b- En considérant le cas où K(x) = P, , avec K0 est une constante réelle , trouver les
solutions possibles p(x) en comparant A à Ko .
II- Particule Libre
Considérons une particule libre de masse m, d’impulsion p évoluant suivant é2r .
p2
3-
Montrer que son énergie s'écrit : ñ —
4-
2m
Montrer que la fonction d'onde '1'(x, r) de la particule libre s'écrit sous la forme :
'P(x,ï) = A e°"“*' +B e”(”^'
A et & sont deux constantes complexes ; c› et k deux constantes positives à exprimer
en fonction de ñ, ù et m .
5- Interpréter la forme générale de 't'(x,t). Ecrire la relation de dispersion exprimant c›
en fonction de k . En déduire la relation entre la longueur d'onde 2 associée à cette
particule et son impulsion p . Commenter.
6- Sachant qu'on peut écrire les constantes complexes A et B sous la forme suivante :
A -,e'* et & = je
avec p, , p 2 , f, et 82 sont des constantes réelles. Montrer
que :
p(x) —— si
Hz 2
,
2
cos(2/tx + B, -8
2
).
7- Tracer l'allure de p(x) et interpréter.
8- Pourquoi la solution '1'(x, r) trouvée dans la question (4) ne décrit pas la réalité ? Que
peut-on proposer ?
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9- En réalité 1’état quantique de la particule libre est décrit par un paquet d'ondes défini
par :
'P(x,t) --
g pk)e”"""°’‘"dk
avec
pour k, < k < k,
g(k) =
0
a- On pose mk-
' 2'
Et
ailleurs
- ' —' . déte rminer 'P(x,0) .
2
b- En déduire la densité de probabilité p px) = 'P(x,0) . Déterminer les valeurs qui
annulent p(x) et tracer ensuite la courbe ' où p, —p( — 0) .
Po
c- Montrer que 'P(x,0) représente bien l'état d'une particule libre à l'instant r — o.
2
sin u du ——
u
2
d- On pose Ax =x, —ep où x, et x_, sont les premières valeurs de x qui annulent
p(x) de part et d'autre de l'origine des abscisses. Calculer le produit Ax Π. En
déduire l'expression de Ar Qp . Quel nom donne-t-on à cette relation ?
Commenter.
10- En utilisant la relation de dispersion, déterminer la vitesse de groupe v, et la vitesse
de phase vq . Quelle est la relation entre v et 1’impulsion p ? Conclure.
On donne : J
HI- Effet tunnel
La particule d’énergie E venant de la région I (x < 0) évolue dans un potentiel V px) défini
par (figure 4) :
U0 si 0 < x < a
0
ailleurs
On suppose que 0 < A < K, et on
cherche les états stationnaires de cette
particule dans les trois régions
(région I : x < 0, région II : 0 < x < a
et région III : x > a).
Figure 4
11- On pose à =
2mñ
et q ——
2m(F0 E)
. Trouver les solutions p(x) dans chaque
région. On introduira les constantes d’intégration
A, , B, , All , Bât et A„
correspondantes respectivement aux régions I, II et III.
12- En appliquant les conditions aux limites aux interfaces x = 0 et x= a, écrire un
système de qiiatre équations dont les inconnus sont Ah , Bd , All , Bât et Allô . Quelle
condition supplémentaire permet d'établir une cinquième équation ?
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Epreuve de Physique
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13- On définit les coefficients fi =
et T ——
où y, , y, et y, sont les vecteurs
densité de courant de probabilité liés respectivement à l'onde incidente, réfléchie
dans la région (1) et transmise dans la région III.
On rappelle que le vecteur densité de courant de probabilité d'une onde plane de
vecteur d'onde k s'écrit :
Exprimer R et T en fonction des constantes d'intégration. Que représentent ces
coefficients? Pourquoi doit-on avoir R+T —— 1 ?
14- La résolution du système d'équations précédent donne :
T ——
2(
qa)
Calculer T dans le cas d'une barrière de potentiel atomique de hauteur Kg — 2,00eK
et de largeur a = 0,1 nm pour les particules suivantes :
-
Un électron d'énergie E —— 1, 00 eV et de masse m, =9,1l 10" l Kg .
-
Un proton d'énergie E —— 1, 00 eV de masse m
p - 2000
,.
Commenter.
15-
Une barrière est dite épaisse si a >> # —
9
a-
Montrer que dans ce cas on a : T = N oe*2’° avec r —
o 16
2
b- Tracer l'allure de f,(ñ) et discuter les cas limites £ = 0 et € = " - Calculer la
valeur moyenne de T$ définie par :
c-
En supposant que pour E Y 0 et ñ z Ko , In Tt = In(rt) , montrer que lu T
—2qa .
IY- Radioactivité ce
L'exemple le plus célèbre de l'effet tunnel est celui de l'émission des particules ce He)
de masse mg = 6, 64x l0*2’kg par des noyaux lourds radioactifs dont 1’interprétation a été
proposée par le physicien russe Georg es Gamow. Ces particules sont émises avec une
énergie 4 ñ € 9MeV .
A l’ intérieur du noyau de rayon ro la particule a est soumise à l’interaction nucléaire forte
de courte portée modélisée par un puits de potentiel de profondeur K, > 0 (figure 5).
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Une fois que la particule a quitté le noyau pr > r0 ) , son énergie potentielle se réduit
uniquement à son énergie potentielle coulombienne : K(r) —
OÎI K -- 2(Z -2) e2 . Z
est le numéro atomique de l'atome radioactif.
Dans la suite on se place dans le cas
unidimensionnel suivant u . La particule a est
représentée par la fonction d'onde 'P(r, ï) qui
potentiel toulomblen
vérifie l'équation de Schrödinger :
E 0
h’ ô"P(r,i)
ö'P(r,t)
2m ôr2
16-1" cas : La particule est piégée dans le puits de
E 0
potentiel et possède une énergie E < 0 . On se
propose de déterminer les niveaux d’énergie et
[email protected]} @y c pe
les états liés de cette particule.
F i g$l pe
On suppose que ce puits est tel que :
-V
SÎ 0 < r < r
V(r) -ailleurs
a- Sachant que la fonction d'onde de la particule hors du puits est nulle, montrer que la
solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour 0 < r < r est :
‹¡p(r) —— Dsin(b-) , où Dest une constante à exprimer. Exprimer k en fonction de
E et No .
b- Montrer que k, =
où ri est un entier positif. En déduire l'expression de
l'énergie ñ, correspondante. Commenter.
17- 2“’ cas : La particule ce possède maintenant une énergie E > 0,
a- Justifier qu'elle a la possibilité de franchir la barrière de potentiel située entre A et B
(Figure 5).
b- Pour l’uranium z29 U de rayon rt = 3,50x10*5' m, l'énergie ñ des particules émises
est de 4, 00MeV. Calculer en MeV la hauteur
c- Déterminer le rayon r, correspondant au point B.
de la barrière.
18- Etant donné que la barrière de potentiel n'a
pas la forme simple que celle étudiée dans la
section III, on peut, pour rt <r <r„
approcher
la
fonction
K(r)
par
une
succession de barrières rectangulaires de
hauteur V pr) et de largeur dr suffisamment
épaisses pour que l'approximation de la
question 15-c soit valable (figure 6).
Figure 6
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Page 78
a- Montrer que : lu pT(r + dr)) —- ln(F(r))—2qdr.
2'
b- En déduire la relation suivante : ln T ——
c- On admet que :
r
r
2m,
— E di’
, en déduire que :
ln F —— a —
b
(Loi de Gamow).
Exprimer ri et b en fonction des données du problème.
19- Typiquement, pour le noyau d'uranium 9 2s , on trouve T —- 2 x 10*”. Par ailleurs, la
particule ce effectue des allers-retours (oscillations) dans le puits de potentiel nucléaire
de largeur rp à une vitesse moyenne v .
a- En négligeant l'énergie potentielle de la particule devant son énergie cinétique,
montrer que : v = — . Calculer sa valeur.
m
b- Montrer que la durée moyenne entre deux rebonds successifs de la particule sur la
2 qm
barrière s'écrit : Iq = rt
c20-
. En déduire le nombre ri de rebonds par unité de
E
temps. Calculer sa valeur numérique.
Montrer que la probabilité par unité de temps d'émission d'une particule ce est :
/Î = o T avec ,f est la constante radioactive de l'élément radioactif.
Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs à 1’instant I, et Nb ce nombre à t —- 0.
—QN(t) .
deb- Calculer la valeur de Q pour l'uranium
a- Justifier que :
U . Comparer cette valeur à celle
mesurée Qp, = 5x 10°"s . Commenter.
c- Le temps de demi-vig fl 2 (Ou période radioactive) de 1’élément radioactif est
défini par : N(t )
. Exprimer f, 2 en fonction de /Î .
2
d- En déduire en utilisant la loi de Gamow
que : In Jq = ln(ln 2) — a+
b
E
Commenter ce résultat.
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