PHYSIQUE Oscillations mécaniques forcées I ) INTRODUCTION 1) Quand les oscillations mécaniques sont-elles dites forcées ? Lorsqu’il y a présence d’un excitateur ( qui peut être un moteur) lié par un système de couplage (un fil, une tige…) au résonateur. Dans notre cas, l’excitateur exerce Directement ou indirectement une force excitatrice sinusoïdale horizontale sur un solide (S) en oscillations horizontales (suivant i) et attaché à l’extrémité libre d’un ressort à spires non jointives dont l’autre extrémité est fixe. 2) Comment faire l’étude expérimentale de ces oscillations ? a. On fait varier la période de l’excitateur et on mesure celle des oscillations de (S). On remarque que (S) oscille toujours avec la période de l’excitateur : l’excitateur impose sa fréquence au résonateur. b. On conserve m ; k ; h faible et Fm constantes et on augmente la fréquence N de l’excitateur à partir d’une valeur faible (proche de 0 Hz). On remarque que Xm varie avec N selon la courbe (1) qui suit. c. On fait augmenter h (important) et on refait l’expérience. On obtient la courbe (2). Au dessus d’une certaine valeur de h, qui dépend de l’oscillateur utilisé, on obtient la courbe (3) : régime linéaire. d. Lorsque Xm est maximale (Xm = Xmr), on est à la résonance d’élongation ou d’amplitude et Nr est la fréquence correspondante de l’excitateur. e. Nr < N0 et Nr diminue lorsque h augmente. f. Au cas (1) on a une résonance aigue d’amplitude. Au cas (2) on a une résonance floue d’amplitude. Au cas (3) on n’a plus la possibilité de la résonance d’amplitude. 3) Etude théorique Equation différentielle On applique la relation fondamentale de la dynamique ( R.F.D ) ou la 2éme loi de Newton (principe d’inertie) : 𝐹𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢 é𝑒𝑠 = m.a 𝒅𝟐 𝒙 On trouve : m 𝒅𝒕𝟐 + h 𝒅𝒙 𝒅𝒕 (S) R T F f P + Kx = F ( 1 ) Remarque : - Cette équation différentielle peut être écrite en V( t ) ( vitesse ) 𝒅𝒗 - m 𝒅𝒕 + hv + K 𝒗𝒅𝒕 = F ( 2 ) Voici les expressions instantanées de l’élongation, de la vitesse et de la force excitatrice x ( t ) = Xm sin ( ω.t + 𝝋𝑿 ) v ( t ) = Vm sin ( ω.t + 𝝋𝒗 ) F ( t ) = Fm sin ( ω.t + 𝝋𝑭 ) C’est un régime sinusoïdal imposé par l’excitateur Construction de Fresnel La construction de Fresnel consiste à associer à chaque terme de l’équation différentielle un vecteur appelé vecteur Fresnel qui possède une amplitude et une phase: Construction de Fresnel correspond à l’équation différentielle en x ( t ) Remarque : quelque soit la fréquence N de l’excitateur on a 𝝋𝑭 > 𝝋𝒙 C'est-à-dire que F( t ) est toujours en avance de phase par rapport à x( t ) Résultats : Construction de Fresnel correspond à l’équation différentielle en v ( t ) Résonance de vitesse ω = ω0 Remarque : - Lorsqu’on est à la résonance de vitesse on a 𝝋𝑭 = 𝝋𝒗 C'est-à-dire que F( t ) et v ( t ) sont en phase - La vitesse maximale Vm = Xm.ω 𝝅 - 𝝋𝒗 = 𝝋𝒙 + 𝟐
