Exercices de Probabilités : Espaces Probabilisés

Probas - Feuille 1
Exos Probas 1 - Espaces probabilisés
Exercice 1
Soient Tune tribu sur un ensemble Ω, et Ω0une partie de Ω.
Montrer que T0={A∩Ω0/A ∈ T } est une tribu sur Ω0.
•Ω0= Ω ∩Ω0donc Ω0∈ T 0.
•Soit B∈ T 0. On écrit B=A∩Ω0avec A∈ T ; alors
Ω0∩B= Ω0∩A∩Ω0= Ω0∩A∪Ω0= Ω0∩A∈ T 0(car Test une tribu donc A∈ T ) .
•Soit (Bn)n∈Nune suite d’éléments de T0; pour tout non note Bn=An∩Ω0où An∈ T . Alors
[
n∈N
Bn=[
n∈NAn∩Ω0=[ n∈N
An∩Ω0∈ T 0(car Test une tribu donc [
n∈N
An∈ T ).
On a montré que T0est une tribu su Ω0.
Exercice 2
Soit Ωun ensemble non dénombrable. On note : T={A⊂Ω/A ou Aest au plus dénombrable}.
1. Montrer que Test une tribu sur Ω.
•Ω = ∅est au plus dénombrable, donc Ω∈ T .
•Soit A∈ T ; alors Aou Aest au plus dénombrable, donc Aou Aest au plus dénombrable d’où
A∈ T .
•Soit (An)n∈Nune suite d’éléments de T;
Si pour tout n, Anest au plus dénombrable, alors [
n∈N
Anest au plus dénombrable et [
n∈N
An∈ T .
S’il existe n0∈Ntel que An0est au plus dénombrable, alors [
n∈N
An=\
n∈N
An⊂An0est au plus
dénombrable donc [
n∈N
An∈ T .
On a montré que Test une tribu su Ω.
2. Pour A∈ T , on pose : P(A) = 0si Aest au plus dénombrable
1si Aest au plus dénombrable .
Montrer que Pest une probabilité sur (Ω,T).
•P(Ω) = 1.
•Soit (An)n∈Nune suite d’éléments de Tdeux à deux incompatibles ;
Si pour tout n, Anest au plus dénombrable, alors [
n∈N
Anest au plus dénombrable donc
P [
n∈N
An!=0=
+∞
X
n=0
P(An).
S’il existe n0tel que An0est au plus dénombrable alors, comme pour tout n6=n0, An∩An0=∅on
aAn⊂An0donc pour tout n6=n0,Anest au plus dénombrable, et on a bien :
P +∞
[
n=0
An!=1=
+∞
X
n=0
P(An).
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Exercice 3
Soient Ωet Edeux ensembles non vides, f:E→Ωune application.
1. On considère une tribu Tsur Ω.
Montrer que : U={f−1(A)/A ∈ T } est une tribu sur E.
•E=f−1(Ω) ∈ U.
•Soit A∈ U ; on note A=f−1(A0), avec A0∈ T . On a A=f−1(A0) = f−1A0∈ U (car Test une
tribu donc A0∈ T ) .
•Soit (An)n∈Nune suite d’éléments de U; on note pour tout n, An=f−1(Bn)avec Bn∈ T .Ona:
[
n∈N
An=[
n∈N
f−1(Bn) = f−1 [
n∈N
Bn!∈ U (car Test une tribu donc [
n∈N
Bn∈ T ).
On a montré que Test une tribu su Ω.
2. Montrer que l’image de la tribu P(E)par fn’est pas toujours une tribu sur Ω.
Si fn’est pas surjective, Ω/∈f(P(E)).
Exercice 4
Soit (an)n∈Nune suite strictement décroissante de réels positifs de limite nulle.
Montrer qu’il existe λ∈R(et le déterminer) qui permette de définir une probabilité Psur Npar :
P({n;n+ 1; ...}) = λan.
Analyse : P(N)=1donc λa0= 1 donc λ=1
a0
.
Pour n∈N, on note An= [|n, +∞[|; alors {n}=An∩An+1. On a donc :
P({n}) = P(An) + PAn+1−P
An∪An+1
| {z }
N
=λan+ (1 −λan+1)−1 = λ(an−an+1)>0.
De plus,
N
X
n=0
P({n}) = 1
a0
N
X
n=0
(an−an+1) = −aN+1
a0
+ 1 −→
N→+∞1(par télescopage).
Synthèse : Pour n∈N, on note pn=an−an+1
a0
. D’après l’analyse, pndéfinit une probabilité sur
(N,P(N)).
Exercice 5
On munit Nde la probabilité : ∀n∈N,P({n})=2−n−1.
Les événements 2Net 3Nsont-ils indépendants ?
∀k∈N∗,P(kN) = X
i∈kN
P({i}) =
+∞
X
n=0
P({k n}) =
+∞
X
n=0
2−k n−1=1
2
1
1−1
2k
=2k−1
2k−1;
Ainsi, P(2N) = 2
3,P(3N) = 4 7et P(2N∩3N) = P(6N) = 32 63 6=2 3×4 7.
Les événements ne sont donc pas indépendants.
Exercice 6
Deux joueurs Aet Blancent à tour de rôle une pièce truquée. Le joueur Acommence et la pièce amène
Face avec la probabilité p∈]0; 1[.
Le premier qui obtient Face gagne le jeu, qui s’arrête alors.
1. Quelle est la probabilité que Agagne lors de son n-ième lancer ?
Pour k∈N∗, on note Fk: " le k-ième lancer donne Face.
Pour n∈N∗, on note An: "le joueur A gagne à son n-ième lancer.
P(An) = PF1∩F2∩ · · · ∩ F2n−2∩F2n−1=P(F1)P(F2)· · · P(F2n−2)P(F2n−1) = (1 −p)2n−2p
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2. Quelle est la probabilité que Agagne le jeu ?
P(A) = P +∞
[
n=1
An!=
+∞
X
n=1
(1 −p)2n−2p=p
+∞
X
n=0 (1 −p)2n=1
2−p.
3. Y a-t-il une valeur de pqui assure que les deux joueurs aient la même probabilité de gagner ?
D’après la question précédente, P(A) = 1
2−p>1 2, donc quel que soit p,Aa plus de chance de gagner.
Exercice 7
Le joueur JF joue contre le joueur JP avec une pièce équilibrée.
Si la fréquence F F est observée avant la fréquence P F , alors le joueur JF gagne. Si c’est la fréquence
P F qui est observée en premier, alors le joueur JP gagne.
1. Justifier que la probabilité que personne ne gagne est nulle.
Pour n∈N∗, on note Fn: "le n-ième lancer donne Face".
L’événement Gn: "Personne n’a gagné au n-ième lancer" est 
F1∩
n
\
k≥2
Fk
∪
n
\
k≥1
Fk
.
On a : P(Gn) = 1
2×1 2n−1
+1
2n
.
La suite Gnest une suite décroissante d’événements dont l’intersection est G: Aucun joueur ne
gagne. Le théorème de la limite monotone donne : P(G) = lim
n→+∞P(Gn) = 0.
2. En considérant les résultats des deux premiers lancers, montrer que JP a la plus grande probabilité de
l’emporter, et la déterminer.
En notant F: "faire Face" et P: "faire Pile", on a :
Pau premier Face, JP gagne
F
FJF gagne
Pau premier Face, JP gagne
P
FJP gagne
D’après la question précédente, la probabilité qu’aucun joueur ne gagne est nulle, on a donc :
P("JP gagne") =3
4.
Exercice 8
On lance (une seule fois) une pièce équilibrée, puis on effectue des tirages successifs dans une urne
contenant initialement une boule blanche et une boule noire selon le protocole suivant :
·On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ;
·Si on avait obtenu Pile on rajoute une boule blanche dans l’urne, sinon on rajoute une boule noire.
1. Calculer la probabilité de tirer une boule blanche au k-ième tirage.
On note P: "on obtient Pile", et pour k∈N∗,Ak: " on tire une boule blanche au k-ième tirage".
La formule des probabilités totales donne :
P(Ak) = PP(Ak)P(P) + PP(Ak)P(P) = k
2(k+ 1) +1 2(k+ 1) =1 2
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2. Sachant que l’on a tiré une boule blanche au k-ième tirage, calculer la probabilité d’avoir obtenu Pile.
PAk(P) = PP(Ak)P(P)
P(Ak)=
k
2(k+1)
1
2
=k
k+ 1.
3. Calculer la probabilité d’obtenir kboules blanches lors des kpremiers tirages.
Les formules des probabilités totales et composées donnent :
P k
\
n=1
An!=P P∩
k
\
n=1
An!+P P∩
k
\
n=1
An!
=P(Ak|P∩A1· · · ∩ Ak−1)×P(Ak−1|P∩A1∩ · · · ∩ Ak−2)× · · · × P(A1|P)×P(P) +
PAk|P∩A1· · · ∩ Ak−1×PAk−1|P∩A1· · · ∩ Ak−2× · · · × PA1|P×P(P)
=k
k+ 1 ×k−1 k× · · · × 1 2×1 2+1 k+ 1 ×1 k× · · · × 1 2×1 2=1 2(k+ 1) +1 2(k+ 1)!.
Exercice 9
Soient N∈N∗, p ∈]0; 1[, p 6=1
2. On joue à un jeu de pile ou face avec une pièce truquée, la probabilité
d’obtenir Pile étant p.
A chaque jet, si l’on obtient Pile on gagne 1 e, sinon on perd 1e. On suppose que l’on ne peut jouer
que si l’on dispose d’au moins 1 e.
Le jeu s’arrête soit lorsque l’on possède Ne, soit lorsque l’on ne possède plus rien.
Au départ, on dispose de ne(0≤n≤N) ; on note pN(n)la probabilité de gagner la partie.
1. Déterminer une relation entre pN(n), pN(n+ 1) et pN(n−1).
On note P1: "faire Pile au premier lancer" et G: "gagner". La formule des probabilités totales donne :
P(G) = PP1(G)P(P1) + PP1(G)P(P1)d’où : pN(n) = pN(n+ 1)p+pN(n−1)(1 −p).
2. Exprimer pN(n)en fonction de n, N et p, puis calculer lim
N→+∞pN(n).
Pour Nfixé, on note un=pN(n).(un)est une suite récurrente linéaire du second ordre telle que pour
n≥1 : un+1 =1
pun−1−p pun−1
Les solutions de l’équation caractéristique, 1et 1−p
p, sont distinctes car p6=1 2.
Comme pN(0) = 0 et pN(N)=1on trouve : pN(n) =
1−1−p
pn
1−1−p
pN.
Si 1−p
p>1c’est-à-dire p < 1 2alors lim
N→+∞pN(n)=0;
Si 1−p
p<1c’est-à-dire p > 1 2alors lim
N→+∞pN(n)=1−1−p
pn
.
Exercice 10
Dans une population, la probabilité qu’une famille ait nenfants est estimée par la valeur :
pn=2n
n!e−2
On suppose qu’au sein d’une même famille les naissances sont indépendantes, et qu’il y a équiprobabilité
sur le sexe de l’enfant.
1. Calculer la probabilité qu’une famille ait au moins une fille.
Pour n∈Non note An: "la famille a nenfants". La famille (An)nest une partition de l’univers.
On note F: "la famille a au moins 1 fille".
P(F) =
+∞
X
n=0
PAn(F)×P(An) =
+∞
X
n=0
1
2n×2n n!e−2=e×e−2=e−1donc P(F) = 1 −e−1.
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2. On suppose qu’une famille a une seule fille. Quelle est la probabilité que la famille comporte deux
enfants ?
On note F1: "la famille a 1 seule fille". D’après la formule de Bayes, on a :
PF1(A2) = PA2(F1)×P(A2)
P(F1)avec
P(F1) =
+∞
X
n=0
PAn(F1)×P(An) =
+∞
X
n=0 n
1×1
2n×2n n!×e−2=
+∞
X
n=1
1
(n−1)!e−2=e−1.
Finalement, PF1(A2) = e−1.
3. Quelle est la probabilité qu’une famille ait exactement kfilles ?
Pour k∈N, on note Fk: "avoir kfilles". En remarquant que pour avoir kfilles il faut avoir au moins
kenfants, on a :
P(Fk) =
+∞
X
n=kn
k1
2n×2n n!e−2=
+∞
X
n=k
1
k!(n−k)!e−2=1 k!e−1.
Exercice 11
Pour s > 1, on définit le réel ζ(s)par : ζ(s) =
+∞
X
k=1
1
ks.
1. Montrer que l’on peut définir une probabilité sur N∗à l’aide de l’application Ptelle que :
∀n∈N∗,P({n}) = 1
ζ(s)ns. (Loi de Zipf de paramètre s)
P(N∗) =
+∞
X
n=1
1
ζ(s)ns=1 ζ(s)
+∞
X
n=1
1
ns= 1.
2. Pour p∈N∗, exprimer simplement la probabilité de l’événement Ap={n∈N∗/p|n}.
Ap={p k, k ∈N∗}=pN∗, donc P(Ap) =
+∞
X
k=1
P({p k}) =
+∞
X
k=1
1
ζ(s)(p k)s=1 ps.
3. On note Pl’ensemble des nombres premiers. Vérifier que la famille (Ap)p∈Pest constituée d’événe-
ments mutuellement indépendants.
Si p1,· · · pnsont des nombres premiers distincts, alors
P n
\
k=1
Apk!=P(Ap1···pn) = 1
(p1· · · pn)s=
n
Y
k=1
P(Apk).
4. En étudiant P({1}), établir :
ζ(s) = Y
p∈P1−1
ps−1
P({1}) = P
\
p∈P
Ap
=Y
p∈P
PAp=Y
p∈P1−1
ps. Comme P({1}) = 1 ζ(s), on a le résultat.
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