LYCÉE DENIS-­‐DE-­‐ROUGEMONT EXAMEN DE MATURITÉ Neuchâtel et Fleurier Session 2014 Mathématiques niveau II Exercice 1 (poids 3) a) Résoudre l’équation différentielle 𝑦′ + 𝑦 = 8𝑥 + 4 𝑒 !! . Soit la fonction 𝑓(𝑥) = 4𝑥 ! + 4𝑥 + 𝑚 𝑒 !! , avec 𝑚 ∈ ℝ . b) Pour quelle(s) valeur(s) de 𝑚 la fonction 𝑓 est-­‐elle partout décroissante ? On pose 𝑚 = 0, ainsi 𝑓(𝑥) = 4𝑥 ! + 4𝑥 𝑒 !! et on donne 𝑓 !! 𝑥 = 4𝑥 ! − 12𝑥 𝑒 !! . c) Étudier la fonction 𝑓 (zéro(s), comportement asymptotique, point(s) à tangente horizontale et point(s) d'inflexion, graphe). d) Déterminer l'équation de 𝑝(𝑥), le polynôme de Taylor de degré 3 autour de 0 de la fonction 𝑓. En tenant compte des zéros et des points à tangente horizontale du polynôme 𝑝, dessiner son graphe dans le même système d'axe que celui de 𝑓. e) Représenter sur le dessin la surface 𝑆 délimitée par le graphe de 𝑓, l’axe des 𝑥 , et les droites d'équation 𝑥 = −1 et 𝑥 = 1. Déterminer par calcul l'aire de 𝑆. !
f) Déterminer, si elle existe, la valeur de la limite lim
𝑓 𝑥
𝑑𝑥
. !→! !!
g) On nomme 𝑡! la droite tangente au graphe de 𝑓 au point d'abscisse 𝑥 = 𝑘. Sans calculs, donner l'ensemble des valeurs 𝑘 telles que 𝑡! et le graphe de 𝑓 aient exactement deux points communs. 1/4 LYCÉE DENIS-­‐DE-­‐ROUGEMONT EXAMEN DE MATURITÉ Neuchâtel et Fleurier Session 2014 Mathématiques niveau II Exercice 2 (poids 3) Dans 𝑉! muni d'une base orthonormée (𝑢! ; 𝑢! ; 𝑢! ), on considère l'application linéaire 𝑓 qui décrit une rotation de 90° autour de 𝑢! , suivie d'une symétrie par rapport au plan formé par 𝑢! et 𝑢! (le sol). a) Donner la matrice 𝐴 de f, son déterminant, sa valeur propre et un vecteur propre correspondant. On considère l'application linéaire 𝑔 décrivant une rotation de 90° autour de l'axe parallèle !
!
au vecteur 𝑐 = ! 𝑢! + ! 𝑢! , suivie d'une symétrie par rapport au plan perpendiculaire à cet axe. b) Donner le vecteur 𝑏 de sorte que (𝑢1 ; 𝑏; 𝑐) soit une base orthonormée par rapport à laquelle la matrice 𝐵′ de 𝑔 est la même que la matrice 𝐴. c) Donner la matrice 𝐵 de 𝑔 dans la base orthonormée (𝑢! ; 𝑢! ; 𝑢! ). On considère la matrice 𝐶 =
−15 16 12
0
−15 20 . 20
12
9
d) Montrer que 𝐶 décrit une homothétie suivie d'une rotation, puis préciser le facteur d'homothétie. 1
e) Vérifier que l'axe de rotation est parallèle au vecteur 𝑣 =
1 , puis donner l'angle de la 2
rotation. Dans l’espace, on considère l’affinité générale 𝑙 de matrice 𝐶 qui laisse fixe l'origine. 𝑥 =1+𝜆
f) Décrire géométriquement l'image par 𝑙 de la droite 𝑑 : 𝑦 = 𝜆
. 𝑧 = 2𝜆
2/4 LYCÉE DENIS-­‐DE-­‐ROUGEMONT EXAMEN DE MATURITÉ Neuchâtel et Fleurier Session 2014 Mathématiques niveau II Exercice 3 (poids 2) !
!
On considère la fonction de ℂ dans ℂ définie par 𝑓 𝑧 = ! 𝑖𝑧 + ! − 𝑖 . a) Calculer 𝑓 2 + 𝑖 . b) Dans le plan de Gauss, on considère les points 𝐴(2; 1) et 𝐵(−1; −2) ainsi que la droite 𝑑 qui passe par ces 2 points. 1) Donner, sous la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + ℎ, l'équation de la droite 𝑑 ainsi que l'équation de la droite 𝑑′, image par 𝑓 de 𝑑 . 2) Que peut-­‐on dire de 𝑑 et 𝑑′ ? c) Déterminer les points fixes de 𝑓 (poser 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖). !
!
d) Montrer que la fonction 𝑓 est la composition 𝑓! ∘ 𝑓! des fonctions 𝑓! 𝑧 = 𝑧 − 𝑖 et !
!
𝑓! 𝑧 = 𝑖𝑧 + 1 − 𝑖. e) La fonction 𝑓 décrit, dans le plan complexe, la composition d'une homothétie et d'une symétrie axiale. Donner l'équation de l'axe de symétrie ainsi que le centre et le facteur de l'homothétie. f) On pose 𝑧! = 1 et 𝑧!!! = 𝑓 𝑧! (pour 𝑛 ∈ ℕ∗ ). 1) Calculer 𝑧! = 𝑓 𝑧! et 𝑧! = 𝑓 𝑧! . !
!
2) Démontrer par récurrence que 𝑧! = !! − 1 − !! 𝑖. 3) Calculer lim
𝑧 ! . !→!
3/4 LYCÉE DENIS-­‐DE-­‐ROUGEMONT EXAMEN DE MATURITÉ Neuchâtel et Fleurier Session 2014 Mathématiques niveau II Exercice 4 (poids 2) James possède une boîte qui contient 10 pièces de 5 francs. Il y a 3 sortes de pièces : 5 pièces normales, 3 pièces truquées qui présentent face des deux côtés et 2 pièces truquées qui présentent pile des deux côtés. a) James prend, au hasard, une pièce de sa boîte et la lance. !!
Montrer que la probabilité que face apparaisse vaut !" . b) James prend, au hasard, une pièce de sa boîte et la lance. La pièce présente le côté pile. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée ? James sépare ses pièces en deux groupes : les pièces normales et les pièces truquées. c) Il prend les 5 pièces normales, les lance, puis les aligne devant lui. Quelle est la probabilité que les 5 pièces présentent pile ? d) Il prend les 5 pièces truquées, les lance, puis les aligne devant lui. Quelle est la probabilité que les côtés pile ne soient pas voisins ? James remet toutes les pièces dans sa boîte et tire au hasard 2 pièces et les lance. e) Quelle est la probabilité que les 2 pièces soient de la même sorte ? James remet encore une fois toutes les pièces dans sa boîte. Il tire au hasard 1 pièce qu’il lance puis il la remet dans la boîte. Il répète l’opération jusqu’à ce qu’il obtienne face. !!
Appelons 𝑋 le nombre de lancers. Nous savons déjà que 𝑃(𝑋 = 1) = !" . !!
f) Montrer que 𝑃(𝑋 = 2) = !"" , calculer 𝑃(𝑋 = 3) puis donner 𝑃(𝑋 = 𝑛). g) Quelle est la probabilité qu’il doive lancer moins de 7 fois ? h) Quelle est la probabilité que 𝑋 soit un multiple de 3 ? 4/4 LDDR SOLUTION DE L'EXAMEN DE MATURITÉ 2014 Maths II Exercice 1 a) 𝑦′ + 𝑦 = 8𝑥 + 4 𝑒 !! . 𝑢! + 𝑢 = 0 ⟹ 𝑣 = 𝑒 !!
On pose = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ ! !!
𝑣 ∙ 𝑒 = 8𝑥 + 4 𝑒 !! ⟹ 𝑣 ! = 8𝑥 + 4 ⟹ 𝑣 = 4𝑥 ! + 4𝑥 + 𝑐
𝑦 = 4𝑥 ! + 4𝑥 + 𝑐 𝑒 !! . b) 𝑦′ = −4𝑥 ! + 4𝑥 + 4 − 𝑚 𝑒 !! −4𝑥 ! + 4𝑥 + 4 − 𝑚 < 0 ⟹ 4! + 16 4 − 𝑚 < 0 ⟹ 𝑚 > 5. c) Zéros : 𝑂(0; 0) et 𝐼 (−1; 0). 𝑂𝑥 est asymptote horizontale à droite. 𝑀𝑖𝑛(−0,62; −1,75), 𝑀𝑎𝑥(1,62; 3,36). Points d'inflexion : 𝑂(0; 0) et 𝐽(3; 2,39). Graphe ci-­‐contre. y
6
5
4
3
d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥 ! + 4𝑥 𝑒 !! , 𝑓′ 𝑥 = −4𝑥 ! + 4𝑥 + 4 𝑒 !! , 𝑓 !! 𝑥 = 4𝑥 ! − 12𝑥 𝑒 !! 𝑓 !!! 𝑥 = −4𝑥 ! + 20𝑥 − 12 𝑒 !! !
!
𝑝 𝑥 = 𝑝 0 + 𝑝! 0 ∙ 𝑥 + ! 𝑝! 0 ∙ 𝑥 ! + ! 𝑝!!! 0 ∙ 𝑥 ! = 4𝑥 − 2𝑥 ! . 2
1
3
2
1
1
1
2
3
4
Zéros : 𝑂(0; 0), 𝐼! (− 2; 0), et 𝐼 ( 2; 0), 𝑝! (𝑥) = 4 − 6𝑥 ! , sommets : 𝑀𝑖𝑛(−0,82; −2,18), 𝑀𝑎𝑥(0,82; 2,18). Graphe ci-­‐contre. !
!
e) 𝑆 = − !! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 !
!! !
= − −4𝑥 ! − 12𝑥 − 12 𝑒 !! !
!! + [ −4𝑥 − 12𝑥 − 12 𝑒 ]! = 12 − 4𝑒 −
!"
!
+ 12 = 24 −
!"!!! !
!
≅ 2,826 !
!
f) lim!→! !! 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − 12 + 4𝑒 + lim!→! ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −12 + 4𝑒 + lim!→! [ −4𝑥 ! − 12𝑥 − 12 𝑒 !! ]!! = −12 + 4𝑒 + 12 = 4𝑒. g) 𝑘 ∈] − 0,62; 0[∪]0; 1,62] ∪ {3}. 1/3 2
3
4
5
6
7
x
LDDR SOLUTION DE L'EXAMEN DE MATURITÉ 2014 Maths II Exercice 2 0 −1 0
0
a) 𝐴 = 1 0
0 , det 𝐴 = −1, vecteur −1 − propre : 𝑝 = 𝛼 0 0 0 −1
1
0
b) 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑢! = 3/5 −4/5
1 0 0
!
!
!!
c) 𝐵 = 𝑃 ∙ 𝐵! ∙ 𝑃!! , 𝑃 = 0 !
= !𝑃 car 𝑃 est orthogonale. ! et 𝑃
!
𝐵 = 𝑃 ∙ 𝐵! ∙ 𝑃!! =
!
=
!
0 −
!
!
1 0 0
1 0 0
0 −1 0
!
!
!
!
0 !
! ∙ 1
0
0 ∙ 0 ! − ! !
!
!
!
0 0 −1
0 −
0
1
0
!
0
0
!
!
0 −
!
!
!
!
!
!
!
!
0 −!
∙ 1 0
!
0 −
!
0
!
!
0
!
−
=
!
!"
!"
!"
− !"
!
!"
!"
!"
!"
!"
− !"
− !"
− !" − !"
− !"
!"
!
!
d) Le rapport d'homothétie vaut 25 et la matrice !" ∙ 𝐶 est orthogonale et son déterminant vaut 1 (et 𝐶 ≠ 𝐼). −15 16 12
e) 0
−15 20 ∙
20
12
9
−15
1
1
−1 ⊥ 1 ; 0
0
2
20
cos 𝛼 =
!
!!"
!! ∙ !"
!
!
!!"
!
!! ∙
!"
!
!
25
1
1 = 25 = 25 ∙
2
50
16 12
1
−15 20 ∙ −1
0
12
9
=
!!"
!∙
1
1 2
=
!"
−31
15 8
= − !" ⟹ 𝛼 = 156,93° (−23,07° admis) . !"#$
𝑥 = −15 + 𝜆
f) 𝑑′: 𝑦 = 𝜆
droite parallèle à 𝑑 . 𝑧 = 20 + 2𝜆
2/3 LDDR SOLUTION DE L'EXAMEN DE MATURITÉ 2014 Maths II Exercice 3 !
!
!
!
a) 𝑓 𝑧 = ! 𝑖𝑧 + ! − 𝑖 , 𝑓 2 + 𝑖 = ! 𝑖 2 − 𝑖 + ! − 𝑖 = 1 b) 𝑑: 𝑦 = 𝑥 − 1 et 𝑑 ! : 𝑦 = 𝑥 − 1. La droite 𝑑 est globalement invariante. !
!
!
𝑥 = !𝑦 +!
!
c) 𝑓 𝑧 = 𝑧 ⟺ 𝑥 + 𝑦𝑖 = ! 𝑖 𝑥 − 𝑦𝑖 + ! − 𝑖 ⟹ ⟹ 𝑥 = 0 , 𝑦 = −1 !
𝑦 = !𝑥 −1
Point fixe : 𝑧 = −𝑖 d) 𝑓! ∘ 𝑓! 𝑧 = 𝑖
!
!
!
𝑧 −!𝚤 +1−𝑖 = 𝑖
!
!
!
!
!
𝑧 + ! 𝑖 + 1 − 𝑖 = ! 𝑖𝑧 − ! + 1 − 𝑖 = 𝑓(𝑧) e) Symétrie d'axe 𝑦 = 𝑥 − 1, suivie par une homothétie de rapport ½ autour (0; −1). ou Symétrie d'axe 𝑥 = 𝑦, suivie par une homothétie de rapport ½ autour (1; −1). !
!
!
f) 𝑧! = 1, 𝑧! = 𝑓 𝑧! = ! − ! 𝑖, 𝑧! = 𝑓 𝑧! = 𝑓
!
!
!
!
−!𝑖 = !𝑖
!
!
!
!
!
!
Ancrage !! − 1 − !! 𝑖 = 1 = 𝑧! , OK Passage Hypothèse : 𝑧! = !! − 1 − !! 𝑖 Thèse : 𝑧!!! = !!!! − 1 − !!!! 𝑖 Démonstration : 𝑧!!! = 𝑓 𝑧! = ! 𝑖𝑧! + ! − 𝑖 = !
!
!
!
!
!
!
!
!
!
= ! 𝑖(!! + 1 − !! 𝑖) + ! − 𝑖 !
!
!
g) lim!→! (!! − (1 − !! )𝑖) = −𝑖 !
!
!
= !!!! 𝑖 − ! + !!!! + ! − 𝑖 = 𝑧!!! OK !
Exercice 4 !
!
!
!"
!!
a) 𝑃 𝐹 = !" + !" = !" b) 𝑃 𝑇/𝑃 =
!
! !∩!
! !
=
!
!
!"
!
!"
!"
!
!
= ! !"
d) 𝑃 =
!
!!
!!∙!!
PF 1 F !
FF PP P F !
!
1 !
c) 𝑃 = !! = !" P !
= ! !
!
!
!
!
!
!"
e) 𝑃 = 𝑃 𝑃𝐹 + 𝑃 𝑃𝑃 + 𝑃 𝐹𝐹 = !" ∙ ! + !" ∙ ! + !" ∙ ! = !" !
!!
!!
!
!
!!
f) 𝑃 𝑥 = 2 = !" ∙ !" = !"" , 𝑃 𝑥 = 3 = !" ∙ !" ∙ !" =
!!∙!!
!"!
,𝑃 𝑋 = 𝑛 =
g) 𝑃 = 1 − 𝑃 lance au moins 7 fois = 1 − 𝑃 6 fois pile = 1 −
!
!"
!
!!∙!!!!
!"!
=
!!∙!!
!"!
+
!!∙!!
!"!
!!∙!!
!
!"!
!"#
!!
!"""
+
!!∙!!
!"!
=
+⋯=
!!∙!!
!"!
!"""
!!∙!!
!"!
!"#
(1 + !""" +
!"
∙ !"!# = !!" ≅ 0,1225 3/3 h) 𝑃 𝑋 multiple de 3 = 𝑃 𝑥 = 3 + 𝑃 𝑥 = 6 + 𝑃 𝑥 = 9 + ⋯ =
!
+ ! 𝑖 + ! − 𝑖 = ! − ! 𝑖 !"#
!"""
!
+ ⋯ = LDDR BARÈME DE L'EXAMEN DE MATURITÉ 2014 Problème 1 30 points a) 4 b) 4 c) d) e) f) 8 5 4 2 g) 3 Problème 2 30 points a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 f) 5 Problème 3 20 points a) 1 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 7 Problème 4 20 points a) 1 b) 2 c) d) e) f) es au t calculé
laire son
u
it
t
u
d
pert et demi. s de l’ex
u
Les note la note finale a
, e
m
è
ti
: cen
a experts
ices et l
ppe aux
lo
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v
n
e
es exerc
d
n
Sous
o
ti
pondéra ar question; ème, la ntième, • le bar on des points p
le, au ce
ote fina
ti
n
ti
r
a
l
a
c
p
e
é
r
lèves av
te des é
• une lis men écrit. de l’exa
1 3 3 3 g) 3 h) 4 Total 100 points Note 𝑛 = 1 +
!" !"#$%&
!"
arrondie au centième. Maths II
