223 Cours Probabilites 1

Les probabilités
Niveau : MP
EL AMDAOUI MUSTAPHA
Lycée Ibn Timiya
Email: [email protected]

Table des matières
I Espaces probabilisés 1
I.1 Tribu........................................................ 1
I.2 Espace probabilisé et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Probabilité sur un univers au plus dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Continuitémonotone .............................................. 4
I.5 Événements négligeable, quasi certain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II Probabilité conditionnelle 7
II.1 Probabilitéconditionnelle............................................ 7
II.2 Formule des probabilité composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II.3 Formule des Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.4 FormuledeBayes ............................................... 10
II.5 Indépendanced’événements ......................................... 10

I. Espaces probabilisés
I.1. Tribu
Définition 1
Soient Ω un ensemble et T une partie de P ( Ω ), c’est-à-dire un ensemble de parties de Ω . On dit que T est
une tribu ou une σ-algèbre de parties de Ωsi :
1. Ω∈T
2. Stabilité par complémentaire : Si A∈Talors A∈T
3. Stabilité par union dénombrable : Pour toute famille (Ai)i∈Nd’éléments de T,[
i∈N
Ai∈T.
Les éléments de T sont appelés des événements et le couple ( Ω,T ) est appelé un espace probabilisable .
Remarque
Si Ωest au plus dénombrable, on prend en général T=P(Ω)
Exemples
1. P(Ω) est une tribu de parties de Ω.
2. {;,Ω}est une tribu de Ω.
3. Soit Aune partie de Ω, alors ©;,A,Ac,Ωªest une tribu
Propriété 1
Soient Ωun ensemble et Tune tribu de partie de Ω.
1. ; ∈ T.
2. Test stable par union et intersection finies et par différence
3. stabilité par intersection dénombrable : Si pour tout i∈N,Ai∈Talors \
i∈N
Ai∈T.
Preuve :
1. ; = Ωet Ω∈T, donc ; ∈ T
2.
Soit A0,· · · ,An∈T . On pose Ap= ; pour tout pÊn+ 1, alors par stabilité de T par union dénombrable, on a
n
[
i=1
Ai=[
i∈N
Ai∈T.
Montrons que n
\
i=1
Ai∈T.
Puisque T est stable par complémentarité Ai∈T et par stabilité par union finie, on a
n
[
i=1
Ai∈T , puis
n
\
i=1
Ai=[
i∈N
Ai∈T
3. Soit I est une partie de N telle que pour tout i∈I , Ai∈T alors pour tout i∈I , Ai∈T . la stabilité de T par union
\
i∈I
Ai∈T. D’après les lois de Morgan \
i∈I
Ai=[
i∈I
Ai
Notation
Soit (An)n∈Nune suite d’événements de l’espace probabilisable (Ω,T).
–L’événement
+∞
\
n=0
Ancorrespond à la réalisation de tous les An.
–L’événement
+∞
[
n=0
Ancorrespond à la réalisation d’au moins un An.
–L’événement
+∞
\
N=0
+∞
[
n=N
Ancorrespond à la réalisation d’une infinité de An.
–L’événement
+∞
[
N=0
+∞
\
n=N
Ancorrespond à la réalisation de Anà partir d’un certain rang.
1

Définition 2: Système complet d’événements
Soit ( Ω,T ) un espace probabilisable. On appelle système complet d’événements de Ω toute famille
(Ai)i∈I(Iest une partie de N) d’éléments de Ttelle que
1. Les événements Aisont deux à deux incompatibles
2. Ω=[
i∈I
Ai
I.2. Espace probabilisé et propriétés
Définition 3: Espace probabilisé
Soit ( Ω,T ) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur ( Ω,T ) toute application P de T dans [0;1]
vérifiant :
1. P(Ω)=1
2. Si (An)n∈Nest une suite d’événements deux à deux incompatibles alors :
Pµ+∞
[
n=0
An¶=
+∞
X
n=0
P(An)σ-additivité
(Ω,T,P) est alors appelé espace probabilisé.
Remarque
Si ( Ω,T,P ) est alors appelé espace probabilisé et ( An )
n∈N
est une suite d’événements deux à deux incom-
patibles alors la série X
nÊ0
P(An) converge
Corollaire 1
Soit (Ai)i∈Iun système complet d’événements. Alors la famille (P(Ai))i∈Iest sommable et X
i∈I
P(Ai)=1
Propriété 2: Règles de calcul
Soit (Ω,T,P) un espace probabilisé et soient Aet Bdeux événements.
1. P(;)=0;
2. si A et B sont disjoints, alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
3. P(A)=1−P(A);
4. P(A\B)=P(A)−P(A∩B);
5. Si A⊂Balors P(A)ÉP(B);
6. Formule d’inclusion-exclusion :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Preuve :
1. De la définition à la famille d’événements disjoints (Ω,;,;,· · · )
1=P(Ω)+
+∞
X
i=1
P(;)=1+
+∞
X
i=1
P(;)
Si P(;)>0, la somme à droite est infinie, ce qui est absurde. Donc P(;)=0.
2. De la définition à la famille d’événements disjoints (A,B,;,· · · )
P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(;)+ · · ·
grâce à la propriété précédente.
3. On applique la propriété à la famille ³A,A´des événements disjoints,
P(A)+P³A´=P³A∪A´=P(Ω)=1
Donc P³A´=1−P(A)
2

4. A=(A\B)∪(A∩B)réunion disjointe, donc P(A)=P(A\B)+P(A∩B), puis P(A\B)=P(A)−P(A∩B)
5. D’après ce qui précède P(B\A)=P ( B ) −P(A∩B)=P ( B ) −P(A) car A∩B=A , et puisque P(B\A)Ê 0, alors
P(A)ÉP(B)
6. On écrit A∪B=(A\(A∩B))∪B. On a (A\(A∩B))∩B= ;, donc
P(A∪B)=P((A\(A∩B))∪B)
=P(A\(A∩B))+P(B)
=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Corollaire 2
Soit A0,· · · ,Ansont des événements. Alors
PÃn
[
k=0
Ak!É
n
X
k=0
P(Ak)
Si de plus A1,A2,...,Ansont deux à deux incompatibles :
PÃn
[
i=1
Ai!=
n
X
i=1
P(Ai)
Preuve :
Par récurrence sur n
I.3. Probabilité sur un univers au plus dénombrable
Soit Ω un ensemble fini ou dénombrable, T=P ( Ω ) et P une probabilité sur ( Ω,T ). Pour tout ω∈Ω , on
introduit les probabilités élémentaires
pω=P({ω})
Propriété 3
La famille de réels positifs (pω)ω∈Ωest sommable et de somme égale à 1.
Preuve :
pω=P({ω})∈[0,1], donc pω∈R+.
–Cas Ωfini : Ω={ω1,· · · ,ωn}avec ω1,· · · ,ωndeux à deux distincts
X
ω∈Ω
pω=
n
X
i=1
P¡{ωi}¢=PÃn
[
i=1
{ωi}!=P(Ω)=1
–Cas Ωdénombrable : Ω={ωn|n∈N}avec les {ωn}deux à deux distincts
X
ω∈Ω
pω=
+∞
X
n=0
P({ωn})=PÃ+∞
[
n=0
{ωn}!=P(Ω)=1
Théorème 1
Si ( pω )
ω∈Ω
est une famille de réels positifs, sommable et de somme égale à 1 alors il existe une unique
probabilité Psur (Ω,T) vérifiant
∀ω∈Ω,P({ω})=pω
De plus, celle-ci est déterminée par
∀A⊂Ω,P(A)=X
ω∈A
pω
Preuve :
– Unicité: Soit Pet Qdeux probabilités solutions.
Pour tout A⊂Ω , on a la réunion disjointe A=[
ω∈A
{ω} . Or A⊂Ω et Ω est au plus dénombrable, donc A est au plus
dénombrable, alors
P(A)=X
ω∈A
pω=Q(A)
La probabilité Pest donc déterminée de façon unique.
3