exercices pour revision alg1

Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
1ière Année Mathématiques et Informatique
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Devoir Maison
(15 Decembre 2015)
Exercice 1 Montrer que la proposition suivante est vraie.
8a2Z;8b2Z; ab pair ou a2b2multiple de 8:
Exercice 2 Considérons la proposition P:
9x2R8y2R(xy2ou y4x3):
Pest-elle vraie ou fausse? Justi…er la réponse. Donner sa négation.
Exercice 3 Considérons la proposition P:
9x2R(x= 0 et x 6= 0)
et la proposition Q:
((9x2Rx= 0) et (9x2Rx6= 0)):
Pet Qsont-elles équivalentes? Pimplique-t-elle Q?Qimplique-t-elle P?
Justi…er les réponses.
Exercice 4 Soient met ndeux entiers naturels. On considère la proposition
P:
mn est divisible par 6)(m divisible par 6ou n divisible par 6):
1. Écrire la contraposée de cette proposition.
2. On considère maintenant la proposition Q:
8m2N;8n2N; mn est divisible par 6)(m divisible par 6ou n divisible par 6):
(a) Écrire la négation de cette proposition Q.
(b) La proposition Qest-elle vraie ou fausse? Justi…er.
1

Exercice 5 Soient Eun ensemble, A; B Edeux parties de E. On rappelle
que ABdésigne l’ensemble (AnB)[(BnA). Montrer que AB=A\Bsi et
seulement si A=;et B=;.
Exercice 6 Soient Eet Fdeux ensembles et f:E!Fune application quel-
conque. On se donne AEet BF.
1. Énoncer les dé…nitions d’image directe et d’image réciproque.
2. Montrer que si fest injective alors 8AE; 8BE:f(A\B) =
f(A)\f(B):
3. Prouver que f(A\f1(B)) = f(A)\B.
Exercice 7 Soient E; F et Gtrois ensembles non vides.Soient f:E!F; g :
F!Gdeux applications et gf:E!Gl’application composée.
1. Montrer que fnon injective implique que gfn’est pas injective.
2. On suppose que E=F=G=Net que les applications f; g sont données,
pour n2N, par f(n) = 2net
g(n) = n=2si n est pair
0sinon:
Étudier l’injectivité et la surjectivité de fet gpuis déterminer gfet
fg.
Exercice 8 Dans Z, on considère la relation Rdé…nie par :
8x; y 2Z:xRy,xy est multiple de 3:
1. Véri…er que Rest une relation d’équivalence sur Z.
2. Déterminer les classes de 0;1et 2.
3. Préciser l’ensemble quotient Z=Rqu’on note par Z=3Z.
4. Véri…er que les éléments de Z=3Zforment une partititon de Z.
Exercice 9 Soit c > 0et I=] c; c[.
1. Montrer que la loi dé…nie par :
8(x; y)2I2; x y=x+y
1 + xy
c2
est une loi interne.
2. Monter que est un groupe commutatif.
Exercice 10 Soit la partie de Rdé…nie par :
 = na+bp2;(a; b)2Q2o:
1. Montrer que est un sous groupe de (R;+) :
2. Montrer que est un sous groupe de (R;):
2