exercices pour revision alg1

Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
1ière Année Mathématiques et Informatique
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Devoir Maison
(15 Decembre 2015)
Exercice 1 Montrer que la proposition suivante est vraie.
8a 2 Z; 8b 2 Z; ab pair ou a2
b2 multiple de 8:
Exercice 2 Considérons la proposition P :
9x 2 R 8y 2 R (x
y 2 ou y 4
x3 ):
P est-elle vraie ou fausse? Justi…er la réponse. Donner sa négation.
Exercice 3 Considérons la proposition P :
9x 2 R (x = 0 et x 6= 0)
et la proposition Q :
((9x 2 R x = 0) et (9x 2 R x 6= 0)):
P et Q sont-elles équivalentes? P implique-t-elle Q? Q implique-t-elle P ?
Justi…er les réponses.
Exercice 4 Soient m et n deux entiers naturels. On considère la proposition
P :
mn est divisible par 6 ) (m divisible par 6 ou n divisible par 6):
1. Écrire la contraposée de cette proposition.
2. On considère maintenant la proposition Q :
8m 2 N; 8n 2 N; mn est divisible par 6 ) (m divisible par 6 ou n divisible par 6):
(a) Écrire la négation de cette proposition Q.
(b) La proposition Q est-elle vraie ou fausse? Justi…er.
1
Exercice 5 Soient E un ensemble, A; B
E deux parties de E. On rappelle
que A B désigne l’ensemble (AnB) [ (BnA). Montrer que A B = A \ B si et
seulement si A = ; et B = ;.
Exercice 6 Soient E et F deux ensembles et f : E ! F une application quelconque. On se donne A E et B F .
1. Énoncer les dé…nitions d’image directe et d’image réciproque.
2. Montrer que si f est injective alors 8A
f (A) \ f (B):
3. Prouver que f (A \ f
1
E; 8B
E
: f (A \ B) =
(B)) = f (A) \ B.
Exercice 7 Soient E; F et G trois ensembles non vides.Soient f : E ! F; g :
F ! G deux applications et g f : E ! G l’application composée.
1. Montrer que f non injective implique que g f n’est pas injective.
2. On suppose que E = F = G = N et que les applications f; g sont données,
pour n 2 N, par f (n) = 2n et
g(n) =
n=2 si n est pair
0
sinon:
Étudier l’injectivité et la surjectivité de f et g puis déterminer g
f g.
Exercice 8 Dans Z, on considère la relation R dé…nie par :
8x; y 2 Z : xRy , xy est multiple de 3:
1. Véri…er que R est une relation d’équivalence sur Z.
2. Déterminer les classes de 0; 1 et 2.
3. Préciser l’ensemble quotient Z=R qu’on note par Z=3Z.
4. Véri…er que les éléments de Z=3Z forment une partititon de Z.
Exercice 9 Soit c > 0 et I =]
1. Montrer que la loi
c; c[.
dé…nie par :
8 (x; y) 2 I 2 ; x y =
x+y
1 + xy
c2
est une loi interne.
2. Monter que
Exercice 10 Soit
est un groupe commutatif.
la partie de R dé…nie par :
n
o
p
= a + b 2; (a; b) 2 Q2 :
1. Montrer que
est un sous groupe de (R; +) :
2. Montrer que
est un sous groupe de (R ; ) :
2
f et