ENSEMBLE ZNZ

Exercices de Mathématiques
Ensembles ZZ/nZZ
Énoncés
Énoncés des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Dans ZZ, on définit la loi T par x T y = αx + βy (α, β ∈ ZZ∗ ).
1. Montrer que l’application ϕ : (x, y) → x T y est un morphisme de (ZZ2 , +) dans (ZZ, +).
2. Quel en est le noyau ?
3. On se donne un entier n strictement positif.
Montrer qu’on définit une loi sur ZZ/nZZ en posant : x ? y = x T y.
4. Montrer ? est associative ⇔ n divise α(α − 1) et β(β − 1).
5. Montrer que ? est commutative ⇔ n divise α − β.
6. Montrer qu’il existe un neutre ⇔ n divise α − 1 et β − 1.
7. En déduire à quelle condition (ZZ/nZZ, ?) est un groupe commutatif.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
On se donne un entier premier p strictement supérieur à 2.
1. Dans l’anneau ZZ/pZZ, quels sont les éléments qui sont leur propre inverse ?
2. En déduire que p divise (p − 1)! + 1.
3. Établir la réciproque.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Résoudre l’équation x2 + 2x = 3 dans ZZ/97ZZ puis dans ZZ/91ZZ.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
(a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 )
2
On munit IK = (ZZ/5ZZ) des lois :
(a, b) ? (a0 , b0 ) = (aa0 + 2bb0 , ab0 + ba0 )
Montrer que IK est un corps.
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Exercices de Mathématiques
Ensembles ZZ/nZZ
Indications, résultats
Indications ou résultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]
1. Vérification facile.
2. Soit d = pgcd (α, β), et α0 , β 0 tels que α = dα0 et β = dβ 0 .
3.
4.
5.
6.
Le noyau de ϕ est formé des couples (x, y) = k(β 0 , −α0 ), avec k ∈ ZZ.
Si x0 = x + an et y 0 = y + bn (a, b ∈ ZZ), vérifier que x0 T y 0 = x T y (mod n).
Vérifier que x ? (y ? z) − (x ? y) ? z = β(β − 1)z − α(α − 1)x.
Vérifier que x ? y − y ? x = (α − β)(x − y).
Vérifier x ? e = x ⇔ n | (α − 1)x + βe et e ? x = x ⇔ n | (β − 1)x + αe.
Utiliser x = 0 puis x = 1. La réciproque est facile. Le neutre est alors 0.
7. On regroupe les conditions précédentes. Il reste α = 1 et β = 1.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour à l’énoncé ]
1. Les deux seuls qui sont leur propre inverse sont 1 et p − 1.
2. Effectuer le produit de tous les éléments non nuls de ZZ/pZZ.
Dans ce produit grouper les éléments par paires d’inverses.
3. Soit n un entier naturel non premier, avec n > 2.
Si k ∈ {2, . . . , n − 1} divise n, il divise (n − 1)! mais pas (n − 1)! + 1.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]
Remarquer que x2 + 2x = 3 ⇔ (x − 1)(x + 3) = 0.
– Dans ZZ/97ZZ, les solutions sont 1 et 94.
– Dans ZZ/91ZZ, x = 1 et x = 88 sont solutions.
Si x est une autre solution, x − 1 et x + 3 sont des diviseurs de zéro dans ZZ/91ZZ.
Or les diviseurs de zéro dans ZZ/91ZZ sont les . . . ?
Les solutions dans ZZ/91ZZ sont finalement 1, 36, 53, 88.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]
– (K, +) est un groupe commutatif. La loi ? est commutative. (1, 0) est neutre pour ?.
– Associativité et distributivité : calculatoire mais facile.
– Soit z = (a, b) non nul dans K.
aa0 + 2bb0 = 1
.
ba0 + ab0 = 0
On vérifie que ∆ = a2 − 2b2 est inversible dans le corps ZZ/nZZ.
0
0
On doit résoudre (a, b) ? (a , b ) = (1, 0) ⇔
Si u est son inverse, poser a0 = ua et b0 = −bu.
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Exercices de Mathématiques
Ensembles ZZ/nZZ
Corrigés
Corrigés des exercices
Corrigé de l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]
1. Soient z = (x, y) et z 0 = (x0 , y 0 ) deux éléments de (ZZ2 , +).
On a effectivement :
ϕ(z + z 0 ) = ϕ(x + x0 , y + y 0 ) = α(x + x0 ) + β(y + y 0 )
= (αx + βy) + (αx0 + βy 0 ) = ϕ(z) + ϕ(z 0 )
L’application ϕ est donc un morphisme de groupes de (ZZ2 , +) dans (ZZ, +).
2. Le noyau de ϕ est formé des couples (x, y) tels que αx + βy = 0.
Soit d = pgcd (α, β).
Il existe deux entiers α0 et β 0 , premiers entre eux tels que α = dα0 et β = dβ 0 .
L’équation αx + βy = 0 équivaut alors à α0 x = −β 0 y.
Puisque α0 et β 0 sont premiers entre eux, cela implique que α0 divise y et β 0 divise x.
Réciproquement, l’égalité exige x = kβ 0 et y = −kα0 , avec k ∈ ZZ.
Finalement le noyau de ϕ est formé des couples (x, y) = k(β 0 , −α0 ), avec k ∈ ZZ.
3. Il s’agit de montrer que x ? y ne dépend que de x
(mod n) et de y
(mod n).
Si on remplace x par x0 = x + an et y par y 0 = y + bn (avec a, b ∈ ZZ), on a :
x0 T y 0 = αx0 + βy 0 = α(x + an) + β(y + bn)
= αx + βy + (aα + bβ)n = x T y + (aα + bβ)n
Il en découle x0 T y 0 = x T y
(mod n).
On a donc x0 T y 0 = x T y puis x0 ? y 0 = x ? y.
4. Soient x, y, z trois éléments quelconques de ZZ.
Ils désignent trois éléments quelconques x, y et z de ZZ/nZZ.On a :
x ? (y ? z) = x ? αy + βz = αx + β(αy + βz)
(x ? y) ? z = αx + βy ? z = α(αx + βy) + βz
On en déduit x ? (y ? z) − (x ? y) ? z = β(β − 1)z − α(α − 1)x.
La loi est associative si et seulement si cette quantité est nulle pour tout x, z, et en
particulier si (x = 1, z = 0) et si (x = 0, z = 1), la réciproque étant évidente.
n | β(β − 1)
β(β − 1) = 0
⇔
Ainsi ? est associative ⇔
n | α(α − 1)
α(α − 1) = 0
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Exercices de Mathématiques
Ensembles ZZ/nZZ
Corrigés
5. Soient x, y deux éléments quelconques de ZZ.
On a x ? y − y ? x = αx + βy − αy + βx = (α − β)(x − y).
La loi ? est commutative si cette quantité est nulle pour tous x, y, ce qui équivaut (prendre
par exemple x = y + 1) à dire que α − β = 0.
Autrement dit : la loi ? est commutative si et seulement si n divise α − β.
6. Soit e un élément neutre éventuel pour la loi ?. Soient x, y quelconques dans ZZ.
On a : x ? e = x ⇔ αx + βe = x ⇔ n | (α − 1)x + βe.
De même : e ? x = x ⇔ αe + βx = x ⇔ n | (β − 1)x + αe.
Si c’est vrai pour tout x, alors n divise α − 1 et β − 1 (utiliser x = 0 puis x = 1.)
n|α − 1
α=1
Inversement supposons
c’est-à-dire
n|β − 1
β=1
x ? e = αx + βe = x + e
Alors
. Dans ces conditions le neutre est e = 0.
e ? x = αe + βx = e + x
7. D’après ce qui précède, pour que (ZZ/nZZ, ?) soit un groupe commutatif il faut que :
• n divise α(α − 1) et β(β − 1) (pour assurer l’associativité)
• n divise α − β (pour assurer la commutativité)
• n divise α − 1 et β − 1 (existence du neutre).
Ces conditions se résument en fait à la troisième, qui implique les deux autres.
Ainsi il est nécessaire et suffisant que α = 1 et β = 1.
On a alors x ? y = αx + βy = x + y.
Effectivement (ZZ/nZZ, ?) est un groupe abélien : c’est le groupe (ZZ/nZZ, +).
Corrigé de l’exercice 2 [ Retour à l’énoncé ]
1. Dire qu’un élément de ZZ/pZZ est son propre inverse c’est dire que x2 = 1.
Mais x2 = 1 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1 (car ZZ/pZZ est un corps.)
Les deux seuls éléments de ZZ/pZZ qui sont leur propre inverse sont donc 1 et −1 = p − 1.
2. Le produit de tous les éléments non nuls de ZZ/pZZ s’écrit 1 · 2 · · · · p − 1 = (p − 1)!.
Mais dans ce produit, on peut grouper deux par deux les éléments 2, · · · , p − 2 en associant
à chaque k son inverse.
Ainsi 2 · 3 · · · · p − 2 = 1. Il en découle (p − 1)! = 1 · p − 1 = p − 1 = −1.
Ce résultat signifie que (p − 1)! + 1 est divisible par p (théorème de Wilson.)
3. Soit n un entier naturel non premier, avec n > 2.
Soit k un diviseur de n compris entre 2 et n − 1.
Alors k divise (n − 1)!. Il ne divise donc pas (n − 1)! + 1.
A fortiori l’entier n ne divise pas (n − 1)! + 1 : la réciproque est établie.
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Ensembles ZZ/nZZ
Corrigés
Corrigé de l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]
On a l’équivalence : x2 + 2x = 3 ⇔ (x − 1)(x + 3) = 0.
– Dans ZZ/97ZZ :
L’entier 97 étant premier, ZZ/97ZZ est un corps (pas de diviseur de zéro).
Dans ZZ/97ZZ, on a donc : (x − 1)(x + 3) = 0 ⇔ x ∈ {1, −3} = {1, 94}.
– Dans ZZ/91ZZ :
L’entier 91 se factorise en 91 = 7 · 13.
x = 1 et x = −3 = 88 sont bien sûr solutions de (x − 1)(x + 3) = 0.
Si x est une autre solution, alors x − 1 et x + 3 sont des diviseurs de zéro dans ZZ/91ZZ.
1 ≤ k ≤ 90
Or les diviseurs de zéro dans ZZ/91ZZ sont les k, avec
k non premier avec 91
Ces conditions signifient que k doit être divisible par 7 ou par 13.
Les diviseurs de zéros dans ZZ/91ZZ s’obtiennent donc en réunissant
{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84} et {13, 26, 39, 52, 65, 78}
On obtient ainsi l’ensemble
X = {7, 13, 14, 21, 26, 28, 35, 39, 42, 49, 52, 56, 63, 65, 70, 77, 78, 84}
Rappelons qu’on cherche x dans ZZ/91ZZ tel que x − 1 ∈ X et x + 3 ∈ X.
Les seules possibilités sont x = 36 et x = 53.
(36 − 1)(36 + 3) = 3539 = 91 · 15 = 0
On a effectivement
(53 − 1)(53 + 3) = 5256 = 91 · 32 = 0
Conclusion : les solutions de x2 + 2x = 3 dans ZZ/91ZZ sont 1, 36, 53, 88.
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Corrigés
Corrigé de l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]
– La loi + est la loi additive habituelle de (ZZ/5ZZ)2 : (K, +) est un groupe commutatif.
– Il est clair que la loi ? est commutative : (a, b) ? (a0 , b0 ) = (a0 , b0 ) ? (a, b).
– Le couple (1, 0) est visiblement neutre pour la loi ? : (a, b) ? (1, 0) = (a, b).
– Montrons que la loi ? est associative.
Soient x = (a, b), x0 = (a0 , b0 ) et x00 = (a00 , b00 ) trois éléments quelconques de K. On a :
z ? (z 0 ? z 00 ) = (a, b) ? (a0 a00 + 2b0 b00 , a0 b00 + b0 a00 )
= (aa0 a00 + 2ab0 b00 + 2ba0 b00 + 2bb0 a00 , aa0 b00 + ab0 a00 + ba0 a00 + 2bb0 b00 )
Ce résultat est invariant si on permute (a, b) et (a00 , b00 ).
Ainsi, avec la commutativité : z ? (z 0 ? z 00 ) = z 00 ? (z 0 ? z) = (z 0 ? z) ? z 00 = (z ? z 0 ) ? z 00
– Montrons que la loi ? est distributive par rapport à la loi +.
Soient x = (a, b), x0 = (a0 , b0 ) et x00 = (a00 , b00 ) trois éléments quelconques de K. On a :
z ? (z 0 + z 00 ) = (a, b) ? (a0 + a00 , b0 + b00 )
= (aa0 + aa00 + 2bb0 + 2bb00 , ab0 + ab00 + ba0 + ba00 )
= (aa0 + 2bb0 , ab0 + ba0 ) + (aa00 + 2bb00 , ab00 + ba00 )
= z ? z 0 + z ? z 00
– Enfin il reste à montrer que tout z = (a, b) non nul de K a un inverse pour la loi ?.
0
aa + 2bb0 = 1
0 0
On doit résoudre le système (a, b) ? (a , b ) = (1, 0) ⇔
.
ba0 + ab0 = 0
a 2b
Le “déterminant” de ce système est ∆ =
= a2 − 2b2 .
b a
x 0 1 2 3 4
Voici les valeurs de x2 et 2x2 quand a décrit IK : x2 0 1 4 4 1
2x2 0 2 3 3 2
On constate que l’égalité x2 = 2y 2 n’est possible dans IK que si x = y = 0.
Ainsi ∆ = a2 − 2b2 est non nul, donc inversible dans le corps ZZ/nZZ.
Soit u l’inverse de ∆. On a donc l’égalité : u(a2 − 2b2 ) = 1.
1 2b
a 1
= ua et b0 = u
= −bu.
0 a
b 0
On constate que :
On pose a0 = u
(a, b) ? (a0 , b0 ) = (aa0 + 2bb0 , ab0 + ba0 ) = (u(a2 − 2b2 ), 0) = (1, 0)
Ainsi (a, b) est inversible et son inverse est (ua, −bu).
Conclusion : (IK, +, ?) est un corps.
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