ENSEMBLE ZNZ

Exercices de Math´ ematiques
Ensembles ZZ/nZZ
´
Enonc´es
´
Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Dans ZZ, on d´efinit la loi T par xTy=αx +βy (α, β ∈ZZ∗).
1. Montrer que l’application ϕ: (x, y)→xTyest un morphisme de (ZZ2,+) dans (ZZ,+).
2. Quel en est le noyau ?
3. On se donne un entier nstrictement positif.
Montrer qu’on d´efinit une loi sur ZZ/nZZ en posant : x ? y =xTy.
4. Montrer ?est associative ⇔ndivise α(α−1) et β(β−1).
5. Montrer que ?est commutative ⇔ndivise α−β.
6. Montrer qu’il existe un neutre ⇔ndivise α−1 et β−1.
7. En d´eduire `a quelle condition (ZZ/nZZ, ?) est un groupe commutatif.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
On se donne un entier premier pstrictement sup´erieur `a 2.
1. Dans l’anneau ZZ/pZZ, quels sont les ´el´ements qui sont leur propre inverse ?
2. En d´eduire que pdivise (p−1)! + 1.
3. ´ Etablir la r´eciproque.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
R´esoudre l’´equation x2+ 2x= 3 dans ZZ/97ZZ puis dans ZZ/91ZZ.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
On munit IK = (ZZ/5ZZ)2des lois : (a, b)+(a0, b0) = (a+a0, b +b0)
(a, b)?(a0, b0) = (aa0+ 2bb0, ab0+ba0)
Montrer que IK est un corps.
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Exercices de Math´ ematiques
Ensembles ZZ/nZZ
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. V´erification facile.
2. Soit d= pgcd (α, β), et α0, β0tels que α=dα0et β=dβ0.
Le noyau de ϕest form´e des couples (x, y) = k(β0,−α0), avec k∈ZZ.
3. Si x0=x+an et y0=y+bn (a, b ∈ZZ), v´erifier que x0Ty0=xTy(mod n).
4. V´erifier que x ? (y ? z)−(x ? y)? z =β(β−1)z−α(α−1)x.
5. V´erifier que x ? y −y ? x = (α−β)(x−y).
6. V´erifier x ? e =x⇔n|(α−1)x+βe et e ? x =x⇔n|(β−1)x+αe.
Utiliser x= 0 puis x= 1. La r´eciproque est facile. Le neutre est alors 0.
7. On regroupe les conditions pr´ec´edentes. Il reste α= 1 et β= 1.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Les deux seuls qui sont leur propre inverse sont 1 et p−1.
2. Effectuer le produit de tous les ´el´ements non nuls de ZZ/pZZ.
Dans ce produit grouper les ´el´ements par paires d’inverses.
3. Soit nun entier naturel non premier, avec n > 2.
Si k∈ {2, . . . , n −1}divise n, il divise (n−1)! mais pas (n−1)! + 1.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Remarquer que x2+ 2x= 3 ⇔(x−1)(x+ 3) = 0.
– Dans ZZ/97ZZ, les solutions sont 1 et 94.
– Dans ZZ/91ZZ, x= 1 et x= 88 sont solutions.
Si xest une autre solution, x−1 et x+ 3 sont des diviseurs de z´ero dans ZZ/91ZZ.
Or les diviseurs de z´ero dans ZZ/91ZZ sont les . . . ?
Les solutions dans ZZ/91ZZ sont finalement 1,36,53,88.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– (K, +) est un groupe commutatif. La loi ?est commutative. (1,0) est neutre pour ?.
– Associativit´e et distributivit´e : calculatoire mais facile.
– Soit z= (a, b) non nul dans K.
On doit r´esoudre (a, b)?(a0, b0) = (1,0) ⇔aa0+ 2bb0= 1
ba0+ab0= 0 .
On v´erifie que ∆ = a2−2b2est inversible dans le corps ZZ/nZZ.
Si uest son inverse, poser a0=ua et b0=−bu.
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Ensembles ZZ/nZZ
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´ e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Soient z= (x, y) et z0= (x0, y0) deux ´el´ements de (ZZ2,+).
On a effectivement :
ϕ(z+z0) = ϕ(x+x0, y +y0) = α(x+x0) + β(y+y0)
= (αx +βy)+(αx0+βy0) = ϕ(z) + ϕ(z0)
L’application ϕest donc un morphisme de groupes de (ZZ2,+) dans (ZZ,+).
2. Le noyau de ϕest form´e des couples (x, y) tels que αx +βy = 0.
Soit d= pgcd (α, β).
Il existe deux entiers α0et β0, premiers entre eux tels que α=dα0et β=dβ0.
L’´equation αx +βy = 0 ´equivaut alors `a α0x=−β0y.
Puisque α0et β0sont premiers entre eux, cela implique que α0divise yet β0divise x.
R´eciproquement, l’´egalit´e exige x=kβ0et y=−kα0, avec k∈ZZ.
Finalement le noyau de ϕest form´e des couples (x, y) = k(β0,−α0), avec k∈ZZ.
3. Il s’agit de montrer que x ? y ne d´epend que de x(mod n) et de y(mod n).
Si on remplace xpar x0=x+an et ypar y0=y+bn (avec a, b ∈ZZ), on a :
x0Ty0=αx0+βy0=α(x+an) + β(y+bn)
=αx +βy + (aα +bβ)n=xTy+ (aα +bβ)n
Il en d´ecoule x0Ty0=xTy(mod n).
On a donc x0Ty0=xTypuis x0? y0=x ? y.
4. Soient x, y, z trois ´el´ements quelconques de ZZ.
Ils d´esignent trois ´el´ements quelconques x,yet zde ZZ/nZZ.On a :
x ? (y ? z) = x ? αy +βz =αx +β(αy +βz)
(x ? y)? z =αx +βy ? z =α(αx +βy) + βz
On en d´eduit x ? (y ? z)−(x ? y)? z =β(β−1)z−α(α−1)x.
La loi est associative si et seulement si cette quantit´e est nulle pour tout x, z, et en
particulier si (x= 1, z = 0) et si (x= 0, z = 1), la r´eciproque ´etant ´evidente.
Ainsi ?est associative ⇔β(β−1) = 0
α(α−1) = 0 ⇔n|β(β−1)
n|α(α−1)
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Ensembles ZZ/nZZ
Corrig´es
5. Soient x, y deux ´el´ements quelconques de ZZ.
On a x ? y −y ? x =αx +βy −αy +βx = (α−β)(x−y).
La loi ?est commutative si cette quantit´e est nulle pour tous x, y, ce qui ´equivaut (prendre
par exemple x=y+ 1) `a dire que α−β= 0.
Autrement dit : la loi ?est commutative si et seulement si ndivise α−β.
6. Soit eun ´el´ement neutre ´eventuel pour la loi ?. Soient x, y quelconques dans ZZ.
On a : x ? e =x⇔αx +βe =x⇔n|(α−1)x+βe.
De mˆeme : e ? x =x⇔αe +βx =x⇔n|(β−1)x+αe.
Si c’est vrai pour tout x, alors ndivise α−1 et β−1 (utiliser x= 0 puis x= 1.)
Inversement supposons n|α−1
n|β−1c’est-`a-dire α= 1
β= 1
Alors x ? e =αx +βe =x+e
e ? x =αe +βx =e+x. Dans ces conditions le neutre est e= 0.
7. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, pour que (ZZ/nZZ, ?) soit un groupe commutatif il faut que :
•ndivise α(α−1) et β(β−1) (pour assurer l’associativit´e)
•ndivise α−β(pour assurer la commutativit´e)
•ndivise α−1 et β−1 (existence du neutre).
Ces conditions se r´esument en fait `a la troisi`eme, qui implique les deux autres.
Ainsi il est n´ecessaire et suffisant que α= 1 et β= 1.
On a alors x ? y =αx +βy =x+y.
Effectivement (ZZ/nZZ, ?) est un groupe ab´elien : c’est le groupe (ZZ/nZZ,+).
Corrig´ e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Dire qu’un ´el´ement de ZZ/pZZ est son propre inverse c’est dire que x2= 1.
Mais x2= 1 ⇔(x−1)(x+ 1) = 0 ⇔x= 1 ou x=−1 (car ZZ/pZZ est un corps.)
Les deux seuls ´el´ements de ZZ/pZZ qui sont leur propre inverse sont donc 1 et −1 = p−1.
2. Le produit de tous les ´el´ements non nuls de ZZ/pZZ s’´ecrit 1 ·2· · · · p−1 = (p−1)!.
Mais dans ce produit, on peut grouper deux par deux les ´el´ements 2,· · · , p −2 en associant
`a chaque kson inverse.
Ainsi 2 ·3· · · · p−2 = 1. Il en d´ecoule (p−1)! = 1 ·p−1 = p−1 = −1.
Ce r´esultat signifie que (p−1)! + 1 est divisible par p(th´eor`eme de Wilson.)
3. Soit nun entier naturel non premier, avec n > 2.
Soit kun diviseur de ncompris entre 2 et n−1.
Alors kdivise (n−1)!. Il ne divise donc pas (n−1)! + 1.
A fortiori l’entier nne divise pas (n−1)! + 1 : la r´eciproque est ´etablie.
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Corrig´es
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On a l’´equivalence : x2+ 2x= 3 ⇔(x−1)(x+ 3) = 0.
– Dans ZZ/97ZZ :
L’entier 97 ´etant premier, ZZ/97ZZ est un corps (pas de diviseur de z´ero).
Dans ZZ/97ZZ, on a donc : (x−1)(x+ 3) = 0 ⇔x∈ {1,−3}={1,94}.
– Dans ZZ/91ZZ :
L’entier 91 se factorise en 91 = 7 ·13.
x= 1 et x=−3 = 88 sont bien sˆur solutions de (x−1)(x+ 3) = 0.
Si xest une autre solution, alors x−1 et x+ 3 sont des diviseurs de z´ero dans ZZ/91ZZ.
Or les diviseurs de z´ero dans ZZ/91ZZ sont les k, avec 1≤k≤90
knon premier avec 91
Ces conditions signifient que kdoit ˆetre divisible par 7 ou par 13.
Les diviseurs de z´eros dans ZZ/91ZZ s’obtiennent donc en r´eunissant
{7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84}et {13,26,39,52,65,78}
On obtient ainsi l’ensemble
X={7,13,14,21,26,28,35,39,42,49,52,56,63,65,70,77,78,84}
Rappelons qu’on cherche xdans ZZ/91ZZ tel que x−1∈Xet x+ 3 ∈X.
Les seules possibilit´es sont x= 36 et x= 53.
On a effectivement (36 −1)(36 + 3) = 3539 = 91 ·15 = 0
(53 −1)(53 + 3) = 5256 = 91 ·32 = 0
Conclusion : les solutions de x2+ 2x= 3 dans ZZ/91ZZ sont 1,36,53,88.
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