I)𝑓(𝑥) = √𝟐𝒙 + 𝟏 (limite en x = -0,5)
1) domaine
Pour déterminer le domaine de définition d’une fonction dans les réels il
suffit de retrouver les conditions d’existence de cette fonction. Or, on sait
que dans les réels les 2 opérations suivantes sont impossibles :
-diviser par 0 ;
-calculer la racine carrée d’un nombre négatif.
Il suffira donc de vérifier que les 2 opérations soient impossibles pour la
fonction étudiée dans les réels.
Ici 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1
Il faudra juste montrer que 2𝑥 + 1 ne soit pas négatif que l’on peut réécrire
2𝑥 + 1 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −
1
2
Le domaine ne pourra donc pas être compris en dessous de −
1
2
𝟏
Dom(f)=[− ; +∞[
𝟐
2) détermination des zéros (racines) :
Pour déterminer les racines d’une fonction il suffit de retrouver le(s) x
annulant(s) la fonction que l’on peut réécrire 𝑓(𝑥) = 0
Ici 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1
Ainsi √2𝑥 + 1 = 0 → 2𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −
1
2
La fonction ne possède donc qu’une seule racine en 𝒙 = −
𝟏
𝟐
3) Tableau de signe
Pour établir le tableau de signe de la fonction il nous faut juste ses racines
et les bornes de son domaine.
1
𝑥
−
2
𝑓(𝑥)
4) Graphique
/
0
+
Pour le graphique à main levé nous possédons déjà comme information la
racine de la fonction, son domaine et son tableau de signe.
La fonction évoluera donc de la sorte :
5) limites
Pour calculer une limite il suffit juste de remplacer le x par ce qu’il doit
tendre avec 2 opérations à retenir toutefois :
𝟏
-
∞
𝟏
𝟎
=0;
=∞.
1
lim √2𝑥 + 1 = √2(− ) + 1 = √−1 + 1 = 0
2
1
𝑥→−
2
6) Je peux maintenant vérifier le graphique.
On voit qu’avec les informations fournies par la limite de cette fonction que
le graphique est correct.
1
Ici plus on tend vers − plus la fonction a tendance à s’annuler.
2
7) Asymptote
Il existe trois types d’asymptotes (verticale, horizontale, oblique) et
chacune possède une façon de la déterminer :
- L’asymptote verticale peut être déterminé en calculant la limite de la
fonction aux bornes non infinies du domaine. Si la valeur de cette
limite est infinie alors la fonction possède une asymptote en x =
borne du domaine. On pourra réécrire tout cela comme ceci :
Soit f(x) possédant Dom(f)=] ou [ a ;b ] ou [ avec a et b = borne du
domaine.
Si a ou b ≠ ∞ et si
lim
𝑥→𝑎 𝑜𝑢 𝑏
𝑓(𝑥) = ±∞ alors 𝑥 = a ou b est une
asymptote verticale ;
- L’asymptote horizontale peut être déterminé en calculant la limite
infinie de la fonction. Si la valeur de cette limite est une constante
alors la fonction possède une asymptote en y = constante. On pourra
réécrire tout cela comme ceci :
Si lim 𝑓(𝑥) = c alors 𝑦 = c est une asymptote horizontale ;
𝑥→±∞
- L’asymptote oblique d’équation 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 peut être déterminé par
les formules de Cauchy qui sont :
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑚 et lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 = 𝑝
Ici il n’y aura aucune asymptote puisque :
- L’asymptote verticale n’existe pas → lim √2𝑥 + 1 = 0
1
𝑥→−
2
- L’asymptote horizontale n’existe pas → lim √2𝑥 + 1 = ∞
- L’asymptote oblique n’existe pas
II)𝑓(𝑥) =
𝒙
𝟐𝒙+𝟏
𝑥→+∞
√2𝑥+1
→ lim
𝑥
𝑥→+∞
=0
(limite en x = -0,5)
1) domaine
Ici 𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥+1
Il faudra juste montrer que 2𝑥 + 1 ne soit pas nulle que l’on peut réécrire
2𝑥 + 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −
1
2
Le domaine appartiendra donc à tous les réels sauf −
1
2
1
Dom(f)=ℝ / {− }
2
2) détermination des zéros (racines) :
𝑥
Ici 𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
Ainsi il nous suffira juste de regarder quand le numérateur est nul donc x =
0
La fonction ne possède donc qu’une seule racine en 𝒙 = 𝟎
3) Tableau de signe
(avec N(x) et D(x) respectivement le numérateur et dénominateur de la
fonction)
1
x
0
−
2
N(x)=x
D(x)=2x+1
f(x)
+
0
/
+
-
0
+
0
+
+
+
4) Graphique
5) limites
En factorisant
lim
1
𝑥→−
2
𝑥
2𝑥+1
on obtient
1
1 ainsi,
𝑥
2+
1
1
𝑥
1
= lim
=
=
2𝑥+1 𝑥→−1 2+1 2−2
0
𝑥
2
A gauche
lim −
𝑥→−
1
2
A droite lim +
1
𝑥→−
2
1
1
=
2+1𝑥 2−2−
1
1
=
2+1𝑥 2−2+
=
=
=∞
1
0+
1
0−
= +∞
= -∞
6) Je peux maintenant vérifier le graphique.
Le graphe correspond aux attentes de la limite précédente mais elle ne
correspondra pas avec les informations données par l’asymptote
horizontale au point 7. Il faudrait donc la rajouter au graphe.
7) Asymptote
1
𝑥
- L’asymptote verticale (x =− ) existe → lim
= ±∞
1 2𝑥+1
2
𝑥→−
2
1
- L’asymptote horizontale (y = ) existe → lim
2
𝑥→±∞
𝑥
1
= lim
2𝑥+1 𝑥→±∞ 2+1 =
𝑥
1
1
=
1
2
2+
∞
- L’asymptote oblique n’existe pas → lim
𝑥→±∞
𝑥
=
(2𝑥+1)𝑥
1
1
= =0
𝑥→±∞ (2𝑥+1) ∞
𝒙
III)𝑓(t) =
(limite en t = ∞) ici x sera compris comme une constante et
𝟐𝒕²
non une variable
lim
1) domaine
𝑥
Ici 𝑓(t) =
2𝑡²
Il faudra juste montrer que 2𝑡² ne soit pas nulle que l’on peut réécrire
2𝑡² ≠ 0 → 𝑡 ≠ 0
Le domaine appartiendra donc à tous les réels sauf 0
Dom(f)=ℝ / {𝟎}
2) détermination des zéros (racines) :
𝑥
Ici 𝑓(t) = 2
2𝑡
Le numérateur ne pourra jamais être nul donc il n’y a pas de racine
3) Tableau de signe
2 cas sont à considérer si x est positif ou s’il est négatif.
t
0
N(t)=x avec x>0
N(t)=x avec x<0
D(t)=2t²
+
+
+
0
+
+
f(t) avec x>0
f(t) avec x<0
+
-
/
/
+
-
4) Graphique
5) limites
𝑥 𝑥
lim
= =0
𝑡→∞ 2𝑡² ∞
6) Je peux maintenant vérifier le graphique.
Le graphique correspond aux attentes de la limite précédente puisqu’elle
démontre la présence d’une asymptote horizontale en (y = 0)
7) Asymptote
𝑥 𝑥
- L’asymptote verticale (t = 0 ) existe → lim
= =∞
𝑡→0 2𝑡²
𝟎
𝑥
𝑥
A gauche lim−
= = +∞
𝑡→0 2𝑡² 𝟎+
𝑥 𝑥
A droite lim+
= = +∞
𝑡→0 2𝑡² 𝟎+
𝑥 𝑥
- L’asymptote horizontale (y = 0 ) existe → lim
= =0
𝑡→∞ 2𝑡² ∞
-
L’asymptote oblique n’existe pas → lim
IV)𝑔(𝑥)=
𝑡→∞
𝒙𝟐 −𝟗
𝒙+𝟑
𝑥 𝑥
= =0
2𝑡³ ∞
(limite en x = −𝟑)
1) domaine
Ici 𝑔 (x) =
𝑥 2 −9
=
(𝑥−3).(𝑥+3)
=𝑥−3
𝑥+3
𝑥+3
Il faudra juste montrer que 𝑥 + 3 ne soit pas nulle que l’on peut réécrire
𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3
Le domaine appartiendra donc à tous les réels sauf −3
Dom(f)=ℝ / {−𝟑}
2) détermination des zéros (racines) :
𝑥 2 −9
Ici 𝑔 (𝑥) =
𝑥+3
Ainsi il nous suffira juste de regarder quand le numérateur est nul donc
𝑥 2 − 9 = 0 → 𝑥 2 = 9 → 𝑥 = ±3
La fonction possède donc 2 racines en 𝒙 = −𝟑 et 𝒙 = 𝟑
3) Tableau de signe
x
N(x)=x²-9
+
D(x)=x+3
f(x)=x-3
-
−3
0
0
/
3
0
+
0
+
-
+
+
+
4) Graphique
5) limites
𝑥2−9
lim
= lim 𝑥 − 3 = - 6
𝑥→−3 𝑥+3
𝑥→−3
6) Je peux maintenant vérifier le graphique.
Le graphique correspond aux attentes de la limite précédente puisqu’elle
démontre la présence d’un point non définie dans le domaine qui se situe en
(-3 ; -6)
7) Asymptote
𝑥2−9
- L’asymptote verticale n’existe pas → lim
= lim 𝑥 − 3 = - 6
𝑥→−3 𝑥+3
𝑥→−3
2
𝑥 −9
- L’asymptote horizontale n’existe pas → lim
= lim 𝑥 − 3= ∞
𝑥→∞ 𝑥+3
𝑥→∞
-
L’asymptote oblique n’existe pas puisqu’elle est égale à la fonction
𝑥−3
3
𝑥2−9
elle même → lim
= lim
= lim 1 − = 1 → m=1
𝑥
𝑥→∞ (𝑥+3)𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞
→ lim
𝑥 2 −9
𝑥→∞ 𝑥+3
V)𝑓(t) =
𝟏
√𝟐𝒕+𝟒
1) domaine
− 𝑥 = lim 𝑥 − 3 − 𝑥 = lim −3 = −3 → p=-3
𝑥→∞
(limite en t = −𝟐)
𝑥→∞
Ici 𝑓(t) =
1
√2𝑡+4
Il faudra juste montrer que 2𝑡 + 4 soit strictement positif que l’on peut
réécrire 2𝑡 + 4 > 0 → 𝑡 > −2
Le domaine ne pourra donc ni être compris en dessous de −2 ni être égale
à −2
Dom(f)=] − 𝟐; +∞[
2) détermination des zéros (racines) :
Ici 𝑓(t) =
1
√2𝑡+4
Le numérateur ne pourra jamais être nul donc il n’y a pas de racine
3) Tableau de signe
t
-2
N(t)=1
+
+
+
D(t)= √2𝑡 + 4
f(t)
/
0
+
/
/
+
4) Graphique
5) limites
lim
1
𝑡→−2 √2𝑡+4
=
1
=
√−4+4
1
0
=∞
A gauche n’existe pas à cause du domaine
𝑥
1
A droite lim+
= + = +∞
𝑡→−2
√2𝑡+4
𝟎
6) Je peux maintenant vérifier le graphique.
Le graphe correspond aux attentes de la limite précédente mais elle ne
correspondra pas avec les informations données par l’asymptote
horizontale au point 7. Il faudrait donc la rajouter au graphe.
7) Asymptote
- L’asymptote verticale (t = -2 ) existe → lim
1
𝑡→−2 √2𝑡+4
1
0
=
1
=
√−4+4
=∞
A gauche n’existe pas à cause du domaine
𝑥
1
A droite lim+
= + = +∞
𝑡→−2
√2𝑡+4
𝟎
1
1
=
=0
+∞
𝑡→+∞ √2𝑡+4
- L’asymptote horizontale (y = 0 ) existe → lim
-
1
1
=
𝑡→∞ 𝑡√2𝑡+4
∞.∞
L’asymptote oblique n’existe pas → lim
=
1
∞
=0
