rendement des moteurs

Calcul des Rendements des Moteurs Usuels
Moteur – Cas Général :
Rendement :
_
__
CC
énergie utile WW
eénergie fournie machine Q Q η
−
== = =
MISSIONS : Æ Calculer
cycle
W
W =, (attention aux 2 méthodes).
Æ Identifier correctement QC, dépend du moteur étudié.
ATTENTION : Il y a toujours 2 méthodes possibles pour le calcul du travail reçu sur le cycle
cycle
W
Æ Calcul direct :
cycle AB BC CD DA
WWWWW ⇒=+++, souvent plus compliqué
Æ Calcul avec le 2er Principe : 0
CF
WQ Q ⇒+ + =, en général plus simple
Cycle de Carnot :
Représentation du cycle :
Cycle Diesel : - 1ère méthode
Représentation du cycle :
Le cycle de Carnot est par définition réversible:
0
0
CF
CF
CF
WQ Q
QQ
TT
+
+=
⎧
⎪
⇒⎨+=
⎪
⎩
1
CF F
moteur
CC C
CFFF
CF CC
QQ
Q
W
e
Q
QQ
QQQT
TT QT
+
⎧−
== =+
⎪
⎪
⇒⎨
⎪=− ⇔ =−
⎪
⎩
Et 11
FF
Carnot
CC
Q
T
e
Q
T
=+ =−
P
V
IsoS
IsoS
IsoT
B
D
A
C
IsoT
TC
TF
W<0
Σ
Q
C>0
Q
F<0
Calculs :
Remarque : Pour le cycle de Carnot, la chaleur QC est fournie pendant l’évolution CD :
CCD
Q
Q =
P
V
IsoS
IsoS
IsoV
IsoP
B
D
A
C
Calculs :
La chaleur est fournie lors de la combustion
CBC
Q
Q = :
On définit les taux de compression
A
B
V
V
α
= et
AD
CC
VV
VV
β
==
1ère méthode : Avec le 1er Principe : 0
CF
WQ Q ⇒+ + =
Et ainsi :
()
()
transfo isobare
transfo isochore
CF
CBCPCB
FDAVAD
WQQ
QQ CTT
QQ CTT
⎧=− −
⎪== − →
⎨
⎪== − →
⎩
Donne :
(
)
()
(
)
()
11 1
VA D A D
F
Diesel
CCPCB CB
CT T T T
Q
W
Q
QCTT TT
ηγ
−−
−
==+=+ =+
−−

Cycle Diesel : - 2nde méthode
Remarque : Cycle Diesel mixte, dit de Seiliger
Les moteurs Diesel sont plus efficaces que les moteurs à
essence classiques (cycle Beau de Rochas), mais ont nécessité des
améliorations pour augmenter leurs performances, notamment les
pompes à injection haute pression du carburant (HDi = High
Pressure Direct Injection), pression qui peut monter jusqu’à 100
bars pour une meilleure pulvérisation et plus grande vitesse
d’injection. Le cycle peut alors être un peu différent, avec une
combustion partielle à P = Cstte et à V = Cstte.
P
V
IsoS
IsoS IsoV
IsoV
IsoP
B D
A
C
Exemple de Moteur Diesel :
Taux réalistes :
20
1, 4
10
A
B
A
C
V
V
V
V
α
γ
β
⎧==
⎪
⎪
⎪=
⎨
⎪
⎪==
⎪
⎩
(
)
()
11
1 65%
Diesel
γγ
αβ
ηγα β
−−
−−
−
=− =
−
2nde méthode : Calcul complet de toutes les étapes : Î Beaucoup plus complexe pour le moteur Diesel
Travaux :
()
11
11
11
1
11
1
0
1
1
BB
AA
AB A A
AABA
C
BC B C B
Bcycle AB BC CD DA
DD
CC
CD C C
CCDC
DA
AA
cycle
B
PV
dV
WPdVPV
VVV
WPdVPVV WWWWW
PV
dV
WPdVPV
VVV
W
PV
WV
γ
γ
γγγ
γ
γ
γγγ
γ
γ
γ
γ
−−
−−
⎧⎫
⎡⎤
=− =− ⋅ = ⋅ −
⎪⎪
⎢⎥
−⎣⎦
⎪⎪
⎪⎪
=− =− −
⎪⎪
⇒=+++
⎨⎬
⎪⎪
⎡⎤
=− =− ⋅ = ⋅ −
⎪⎪
⎢⎥
−⎣⎦
⎪⎪
⎪⎪
=
⎩⎭
⇒= ⋅
−
∫∫
∫
∫∫
()
() ()
11 11
11
11
111
1
11 1
11
11 1
CC
BC B
ADC
CC
AA
cycle B B
cycle V A B B V C
PV
PV V
VVV
PV
PV
WPV
WCT PV CT
γ
γγ γγ
γγ
γγ
γ
α
αβ
γβγ
α
αβ
β
−− −−
−−
−−
⎡⎤
⎡⎤
−−−+⋅−
⎢⎥
⎢⎥ −
⎣⎦ ⎣⎦
⎛⎞
⎡⎤ ⎡⎤
⇒= ⋅−− −+ ⋅−
⎜⎟
⎣⎦ ⎣⎦
−−
⎝⎠
⎛⎞
⎡⎤ ⎡⎤
⇒=⋅−− −+⋅−
⎜⎟
⎣⎦ ⎣⎦
⎝⎠
Chaleurs :
()
()
0
0
AB
BC P C B
CD
DA V A D
Q
Q
CT T
Q
Q
CT T
=
⎧
⎪=−
⎪
⎨=
⎪
⎪=−
⎩
()
11
11 1
VA BB VC
Diesel
CPCB
CT PV CT
W
QCTT
γγ
α
αβ
β
η
−−
⎛⎞
⎡
⎤⎡⎤
−
⋅−+ −−⋅−
⎜⎟
⎣
⎦⎣⎦
−⎝⎠
== −
Après de nombreux calculs, on arrive enfin à :
() ()
() () ()
11 11
11
1
1
VB VB BB
V
Diesel Diesel
P
PB
CT CT PV CnR
C
CT
γγ γγ γγ
αα
αβα βα αβ
ββ
ηη
αγβ α γα β
β
−− −− −−
−− −−
⎛⎞ ⎛⎞
+−− −+−
⎜⎟ ⎜⎟ −−
++
⎝⎠ ⎝⎠
==−==−
⎛⎞ −−
−
⎜⎟
⎝⎠
Suite - 1ère méthode :
Mais on a :
11 1
AA BB B A
C
C
BC
B
ABTV TV TT
P
T
BC PP T
γγ γ
α
−− −
→=⇒=
⎡⎤
⎣⎦
→= ⇒=
⎡⎤
⎣⎦
C
B
V
P
11 1
C
B
B
CC DD C D
AD
V
V
V
CDTV TV TT
DAVV
γγ γ
α
β
β
−− −
⎧
⎪
⎪
=
=
⎪
⎨
⎪→=⇒=
⎡⎤
⎪⎣⎦
⎪→=
⎡⎤
⎣⎦
⎩
()
()
()
()
11
11
11
11 1
1
C
BC B
Diesel Diesel
CB C
T
TT T
TT T
T
γγ
γγ γγ
αβ
αβ αβ
ηη
γγα β
γ
−−
−− −−
−−
⎛⎞
−
⎜⎟
−−
⎝⎠
=+ =+ = =−
−⎛⎞ −
−
⎜⎟
⎝⎠

Cycle de Stirling :
Représentation du cycle :
P
V
IsoT
IsoT
IsoV
IsoV
B D
A
C
Calculs :
Attention, le moteur de Stirling est un moteur à combustion
externe, ce qui fait une grosse différence avec les autres moteurs
(Diesel ou Essence).
La chaleur est donc fournie par la source chaude sur 2 évolutions :
[BÆC] et [CÆD]. Ainsi :
CBCCD
Q
QQ
=
+
On définit les taux de compression
A
D
BC
VV
VV
α
==
Faisons une Comparaison des 2 méthodes :
1ère méthode : Avec le 1er Principe :
0
CF
WQ Q ⇒+ + =
()
()
IsoV + IsoT
IsoV + IsoT
CF
CBCCDVCB CD
FDAABVAD AB
WQQ
QQ Q CTT W
QQ Q CTT W
⎧=− −
⎪=+= −− →
⎨
⎪=+= −− →
⎩
Î Cette méthode ici ne sera pas plus rapide, car il
est aussi nécessaire de calculer les travaux…
Travaux :
()
()
ln
0
ln
AB A
BC DA
CD C
WnRT
WW
WnRT
α
α
⎧=
⎪==
⎨
⎪=−
⎩
(voir les détails colonne de droite)
Ainsi :
() ()
() ()
() ()
ln
ln
VC A CD VA C AB
Stirling
CVCAC
CD AB
Stirling
VC A C
CT T W CT T W
W
QCTTnRT
WW
CT T nRT
ηα
ηα
−−+−−+
−
== −+
+
=−+
Î On retrouve exactement le même calcul
2nde méthode : Calculs directs
cycle AB BC CD DA
WWWWW ⇒=+++
Travaux :
()
()
ln
0
ln
BB
A
AB A
AA
BC DA
DD
C
CD C
CC
nRT dV
WPdV nRT
V
WW
nRT dV
WPdV nRT
V
α
α
⎧=− =− =
⎪
⎪==
⎨
⎪
⎪=− =− =−
⎩
∫∫
∫∫
Chaleurs :
(
)
()
Isochore
ln Isotherme
BC V C B
CD CD C
QCTT
QWnRTα
⎧=− →
⎪
⎨=− = →
⎪
⎩
Et :
(
)
(
)
() ()
ln
ln
CA
Stirling
CVCA C
nR T T
W
QCTTnRT
α
η
α
−
−
== −+
()
1
1
1ln
Stirling
C
T
T
η
γα
=
+
−Δ
Î 2nde méthode plus efficace dans ce cas
Attention, à bien réfléchir à la meilleure méthode
Exemple de Moteur Stirling :
Taux réalistes :
10
1, 4
1000
700
A
B
C
V
V
TK
TK
α
γ
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪=
⎨
⎪=
⎪Δ=
⎪
⎩
()
140%
1
1ln
Stirling
C
T
T
η
γα
⇒= =
+
−Δ
encore à améliorer…
Æ Il est difficile d’obtenir des valeurs optimisées, puisqu ce moteur n’a pas fait l’objet d’applications
industrielles, mais il peut atteindre des rendements plus élevés que ses frères Diesel et Beau de Rochas (à
combustion interne), et surtout il est possible d’optimiser plus facilement la combustion qui est externe

Cycle Beau de Rochas : (Moteurs Essence – 2 temps et 4 temps)
Représentation du cycle :
Cycle de Brayton-Joule : (Moteurs à réaction)
Représentation du cycle :
P
V
B
IsoS
D
IsoS IsoV
IsoV
A
C
P
V
A
IsoS
IsoS
IsoP
IsoP D
B C
Calculs :
La chaleur est fournie lors de la combustion
CBC
Q
Q = :
On définit le taux de compression
A
B
V
V
α
=
1ère méthode : Avec le 1er Principe : 0
CF
WQ Q ⇒++ =
Æ Va mieux fonctionner grâce aux transfos adiabatiques Î Q = 0…
Et ainsi :
()
()
transfo isochore
transfo isochore
CF
CBCVCB
FDAVAD
WQQ
QQ CTT
QQ CTT
⎧=− −
⎪== − →
⎨
⎪== − →
⎩
Donne :
(
)
()
(
)
()
11 1
VA D A D
F
BdeRochas
CCVCB CB
CT T T T
Q
W
Q
Q CTT TT
η
−−
−
==+=+ =+
−−
Mais on a :
11 1
11 1
AA BB B A
CC DD C D
ABTV TV TT
CDTV TV TT
γγ γ
γγ γ
α
α
−
−−
−
−−
⎧→=⇒=
⎡⎤
⎪⎣⎦
⎨→=⇒=
⎡⎤
⎪⎣⎦
⎩
Donc :
(
)
()
(
)
()
11
111
1
11 1
AC A C
BdeRochas
CA CA
TT T T
TT TT
γγ
γγγ
γ
ααα
η
α
αα
−−
−−−
−
−−
=+ =+ =−
−−
On obtient : 1
1
BeaudeRochas
γ
η
α
−
=−
Exemple de Moteur Essence :
Taux réalistes : 10
1, 4
A
B
V
V
α
γ
⎧
=
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
1
1 60%
BeaudeRochas
γ
ηα
−
⇒=−=
(Les rendements réels sont moins
importants dus aux rendements
mécaniques… plutôt 30 ou 40%…
2ème méthode : Calculs directs :
cycle AB BC CD DA
WWWWW ⇒=+++
Æ Ne va rien apporter, avec des calcules plus complexes, similaire au cas du Diesel…
Calculs :
La chaleur est fournie lors de la combustion
CBC
Q
Q = :
On définit le taux de compression
B
A
P
aP
=
1ère méthode : Avec le 1er Principe : 0
CF
WQ Q ⇒++ =
On a :
()
()
transfo isobare
transfo isobare
CF
CBCPCB
FDAPAD
WQQ
QQ CTT
QQ CTT
⎧=− −
⎪== − →
⎨
⎪== − →
⎩
Donne :
(
)
()
(
)
()
11 1
PA D A D
F
BJoule
CCPCB CB
CT T T T
Q
W
Q
QCTT TT
η
−−
−
==+=+ =+
−−
Mais on a :
1
11
1
11
AA BB A B
CC DD D C
ABTP TP TTa
CDTP TP TTa
γ
γγ γγ
γ
γ
γγ γγ
γ
−
−−
−
−−
⎧→=⇒=⋅
⎡⎤
⎪⎣⎦
⎨
⎪→=⇒=⋅
⎡⎤
⎣⎦
⎩
Donc :
1
11
1
11
AC
BraytonJoule BraytonJoule
CA
TTa
aa
Ta T
γγ
γ
γ
γ
γ
γγ
ηη
−
−−
−
⎛⎞
−⋅
⎜⎟
⎝⎠
=+ = =−
⎛⎞
⋅−
⎜⎟
⎝⎠
Exemple concret :
Taux réalistes : 5
1, 4
A
B
P
aP
γ
⎧==
⎪
⎨
⎪=
⎩
1
137%
BraytonJoule
a
γγ
η
−
⇒=−=