Calcul des Rendements des Moteurs Usuels Moteur – Cas Général : TC Rendement : QC>0 énergie _ utile W −W = = η =e = énergie _ fournie _ machine QC QC W<0 Σ QF<0 Æ Calculer W = Wcycle , (attention aux 2 méthodes). MISSIONS : TF Æ Identifier correctement QC, dépend du moteur étudié. ATTENTION : Il y a toujours 2 méthodes possibles pour le calcul du travail reçu sur le cycle Wcycle Æ Calcul direct : ⇒ Wcycle = W AB +W BC +WCD +W DA , souvent plus compliqué Æ Calcul avec le 2er Principe : ⇒ W + QC + Q F = 0 , en général plus simple Cycle de Carnot : Représentation du cycle : P Calculs : Le cycle de Carnot est par définition réversible: C IsoT ⎧W + Q C + Q F = 0 ⎪ ⇒ ⎨Q C Q F ⎪T + T = 0 F ⎩ C D IsoS IsoS B A IsoT Et V Q ⎧ −W QC + Q F = 1+ F ⎪e moteur = Q = Q QC ⎪ C C ⇒⎨ Q Q Q T ⎪ C =− F ⇔ F =− F ⎪⎩ TC TF QC TC eCarnot = 1 + QF T =1− F QC TC Remarque : Pour le cycle de Carnot, la chaleur QC est fournie pendant l’évolution CD : Cycle Diesel : Q C = Q CD - 1ère méthode Représentation du cycle : Calculs : La chaleur est fournie lors de la combustion Q C P On définit les taux de compression α = B IsoP C = Q BC : V A et V V β= A= D VB VC VC 1ère méthode : Avec le 1er Principe : ⇒W + QC + Q F = 0 IsoS D IsoS Et ainsi : ⎧W = −QC − Q F ⎪ ⎨QC = Q BC = C P (TC −T B ) → transfo isobare ⎪ ⎩Q F = Q DA = CV (T A −T D ) → transfo isochore Donne : ηDiesel = IsoV A V −W QC = 1+ C (T −T ) (T −T ) QF = 1+ V A D = 1+ A D QC CP (TC −TB ) γ (TC −TB ) Exemple de Moteur Diesel : Suite - 1ère méthode : ⎧⎡ A → B ⎤ ⎦ ⎪⎣ ⎪ Mais on a : ⎪ ⎡B → C ⎤ ⎣ ⎦ ⎨ ⎪ ⎪ ⎣⎡C → D ⎦⎤ ⎪ ⎩ ⎣⎡D → A ⎦⎤ VA ⎧ ⎪α = V = 20 B ⎪ Taux réalistes : ⎪γ = 1, 4 ⎨ ⎪ V ⎪ β = A = 10 V ⎪⎩ C −γ −γ (α − β ) = 65% η Diesel = 1 − γ (α − 1 − β − 1 ) Cycle Diesel : ηDiesel = 1 + (TBα1−γ −TC β 1−γ ) γ (TC −TB ) γ −1 = T BV B γ −1 ⇒ T B = T Aα PB = PC TCVC γ −1 ⇒ = T DV D γ −1 γ −1 TC PC VC VC α = = = T B PB V B V B β ⇒ TC = T D β γ −1 V A =V D ⎛ 1−γ TC 1−γ ⎞ ⎜α − β ⎟ α −γ − β −γ TB ⎠ =η = 1+ ⎝ = − 1 Diesel ⎛T ⎞ γ α −1 − β −1 γ ⎜ C − 1⎟ ⎝T ⎠ ( ) ) ( - 2nde méthode 2nde méthode : Calcul complet de toutes les étapes : ⎧ ⎪W AB ⎪ ⎪ ⎪W BC ⎨ ⎪ Travaux : ⎪WCD ⎪ ⎪W ⎩ DA T AV A Î Beaucoup plus complexe pour le moteur Diesel dV PAV A γ ⎡ 1 1 ⎤⎫ = ⋅⎢ − ⎥⎪ A V γ γ − 1 ⎣V B γ −1 V A γ −1 ⎦ ⎪ B = − ∫ PdV = −PAV A γ ⋅ ∫ A B ⎪ ⎪ ⎬ ⇒Wcycle = W AB +W BC +WCD +W DA D D dV PCVC γ ⎡ 1 1 ⎤⎪ γ = − ∫ PdV = −PCVC ⋅ ∫ = ⋅⎢ − ⎥⎪ C C V γ γ − 1 ⎣V D γ −1 VC γ −1 ⎦ ⎪ ⎪ =0 ⎭ γ PV γ ⎡ 1 PV ⎡ 1 1 ⎤ 1 ⎤ ⇒Wcycle = A A ⋅ ⎢ γ −1 − γ −1 ⎥ − PB (VC −V B ) + C C ⋅ ⎢ γ −1 − γ −1 ⎥ γ − 1 ⎣V D γ − 1 ⎣V B VA ⎦ VC ⎦ PV ⎛α ⎞ PV ⇒Wcycle = A A ⋅ ⎡⎣α γ −1 − 1⎤⎦ − PBV B ⎜ − 1 ⎟ + C C ⋅ ⎡⎣ β 1−γ − 1⎤⎦ 1 γ β − ( ) ⎝ ⎠ ( γ − 1) ⎛α ⎞ ⇒Wcycle = CV T A ⋅ ⎡⎣α γ −1 − 1⎤⎦ − PBV B ⎜ − 1 ⎟ + CV TC ⋅ ⎡⎣ β 1−γ − 1⎤⎦ ⎝β ⎠ ⎛α ⎞ ⎧Q AB = 0 −C V T A ⋅ ⎡⎣α γ −1 − 1⎤⎦ + PBV B ⎜ − 1 ⎟ − C V TC ⋅ ⎡⎣ β 1− γ − 1⎤⎦ ⎪ β W − ⎝ ⎠ Chaleurs : ⎪Q BC = C P (TC −T B ) η Diesel = = ⎨ Q C T T − C P ( C B ) ⎪QCD = 0 ⎪Q = C (T −T ) V A D ⎩ DA = − ∫ PdV = −PB (VC −V B ) C B Après de nombreux calculs, on arrive enfin à : ηDiesel ⎛α ⎞ ⎛α ⎞ +CVTB ⎜ −1⎟ −αCVTB β −γ −α −γ + PBVB ⎜ −1⎟ −γ −γ α −γ − β −γ ⎝β ⎠ ⎝ β ⎠ = +CV + nR − β −α =η 1 = = − Diesel CP ⎛α ⎞ γ β −1 −α −1 γ α −1 − β −1 CPTB ⎜ −1⎟ ⎝β ⎠ ( ) Remarque : Cycle Diesel mixte, dit de Seiliger Les moteurs Diesel sont plus efficaces que les moteurs à essence classiques (cycle Beau de Rochas), mais ont nécessité des améliorations pour augmenter leurs performances, notamment les pompes à injection haute pression du carburant (HDi = High Pressure Direct Injection), pression qui peut monter jusqu’à 100 bars pour une meilleure pulvérisation et plus grande vitesse d’injection. Le cycle peut alors être un peu différent, avec une combustion partielle à P = Cstte et à V = Cstte. ( ) ) ( ( ) ) ( P C IsoP IsoV IsoS B IsoS D IsoV A V Cycle de Stirling : Représentation du cycle : Calculs : P Attention, le moteur de Stirling est un moteur à combustion externe, ce qui fait une grosse différence avec les autres moteurs (Diesel ou Essence). C IsoV La chaleur est donc fournie par la source chaude sur 2 évolutions : IsoT B [BÆC] et [CÆD]. Ainsi : Q C D IsoT On définit les taux de compression α = IsoV A V 2nde méthode : Calculs directs ⇒ Wcycle =W AB +W BC +WCD +W DA ⎧W =−QC −QF ⎪ ⎨QC =QBC +QCD =CV (TC −TB ) −WCD →IsoV + IsoT ⎪ ⎩QF =QDA +QAB =CV (TA −TD ) −WAB →IsoV + IsoT Î Cette méthode ici ne sera pas plus rapide, car il est aussi nécessaire de calculer les travaux… ⎧W AB = nRT A ln (α ) Travaux : ⎪ ⎨W BC = 0 = W DA ⎪W = −nRT ln α ( ) C ⎩ CD B B nRT dV ⎧ A = nRTA ln (α ) ⎪WAB = −∫A PdV = −∫A V Travaux : ⎪W = 0 =W ⎨ BC DA ⎪ D D nRT dV C ⎪WCD = −∫ PdV = −∫ = −nRTC ln (α ) C C V ⎩ Chaleurs : ⎧⎪Q BC = CV (TC −T B ) ⎨ ⎪⎩QCD = −WCD = nRTC ln (α ) Et : ηStirling = −W QC = ηStirling = −W QC = → Isochore → Isotherme nR (TC −TA ) ln(α ) CV (TC −TA ) + nRTC ln(α ) ηStirling = (voir les détails colonne de droite) ηStirling = V A VD = VB VC Faisons une Comparaison des 2 méthodes : 1ère méthode : Avec le 1er Principe : ⇒ W + QC + Q F = 0 Ainsi : = Q BC + Q CD 1 T 1 + C (γ −1) lnα ΔT −CV (TC −TA ) +WCD −CV (TA −TC ) +WAB CV (TC −TA ) + nRTC ln(α ) Î 2nde méthode plus efficace dans ce cas WCD +WAB CV (TC −TA ) + nRTC ln (α ) Attention, à bien réfléchir à la meilleure méthode Î On retrouve exactement le même calcul Exemple de Moteur Stirling : VA ⎧ ⎪α = V = 1 0 B Taux réalistes : ⎪⎪ γ = 1, 4 ⎨ ⎪T = 1 0 0 0 K ⎪ C ⎪⎩ Δ T = 7 0 0 K ⇒ ηStirling = 1 = 40% T 1 + C (γ − 1) ln α ΔT encore à améliorer… Æ Il est difficile d’obtenir des valeurs optimisées, puisqu ce moteur n’a pas fait l’objet d’applications industrielles, mais il peut atteindre des rendements plus élevés que ses frères Diesel et Beau de Rochas (à combustion interne), et surtout il est possible d’optimiser plus facilement la combustion qui est externe Cycle Beau de Rochas : (Moteurs Essence – 2 temps et 4 temps) Représentation du cycle : Calculs : = Q BC La chaleur est fournie lors de la combustion Q C P C On définit le taux de compression α = IsoV : VA VB 1ère méthode : Avec le 1er Principe : ⇒W + QC + Q F = 0 IsoS Æ Va mieux fonctionner grâce aux transfos adiabatiques Î Q = 0… B D Et ainsi : ⎧W = −QC − Q F ⎪ ⎨QC = Q BC = CV (TC −T B ) → transfo isochore ⎪ ⎩Q F = Q DA = CV (T A −T D ) → transfo isochore Donne : ηBdeRochas = IsoV IsoS A V Exemple de Moteur Essence : V ⎧ α = A = 10 Taux réalistes : ⎪ VB ⎨ ⎪γ = 1, 4 ⎩ ⇒ η BeaudeRochas = 1 − α 1−γ = 60% −W QC = 1+ C (T −T ) (T −T ) QF = 1 + V A D = 1+ A D QC CV (TC −TB ) (TC −TB ) ⎧ Mais on a : ⎪⎣⎡ A → B ⎤⎦ T AV A = T BV B ⎨ γ γ ⎩⎪ ⎡⎣C → D ⎤⎦ TCVC = T DV D γ −1 γ −1 −1 Donc : ηBdeRochas (T = 1+ A −TCα1−γ γ −1 ⇒ TC = T D α γ −1 ) =1+ α (T α (T −T α ) γ −1 C (Les rendements réels sont moins importants dus aux rendements mécaniques… plutôt 30 ou 40%… −1 ⇒ T B = T Aα A 1−γ γ −1 A −TC (T −T α ) C γ −1 ) =1−α 1−γ A ηBeaudeRochas = 1 − α 1−γ On obtient : 2ème méthode : Calculs directs : ⇒Wcycle =WAB +WBC +WCD +WDA Æ Ne va rien apporter, avec des calcules plus complexes, similaire au cas du Diesel… Cycle de Brayton-Joule : (Moteurs à réaction) Représentation du cycle : Calculs : La chaleur est fournie lors de la combustion Q C P On définit le taux de compression a = B IsoP C = Q BC : PB PA 1ère méthode : Avec le 1er Principe : ⇒W + QC + Q F = 0 IsoS IsoS On a : A IsoP D V Donne : ⎧ Exemple concret : P ⎧ a= A =5 ⎪ Taux réalistes : ⎨ PB ⎪γ = 1, 4 ⎩ ⇒ η BraytonJoule = 1 − a ⎧W = −QC − Q F ⎪ ⎨QC = Q BC = C P (TC −T B ) → transfo isobare ⎪ ⎩Q F = Q DA = C P (T A −T D ) → transfo isobare C (T −T ) (T −T ) Q −W ηBJoule = = 1+ F = 1+ P A D = 1+ A D QC QC C P (TC −TB ) (TC −TB ) 1−γ γ = 37% γ γ 1− γ 1−γ Mais on a : ⎪⎣⎡ A → B ⎤⎦ T A PA = T B PB ⇒ T A = T B ⋅ a 1− γ γ ⎨ 1− γ ⎪ ⎡C → D ⎤ T γ P 1−γ = T γ P 1−γ ⇒ T = T ⋅ a γ C C D D D C ⎦ ⎩⎣ 1−γ Donc : ηBraytonJoule = 1+ a γ 1−γ ⎛ γ ⎞ − ⋅ T T a ⎜ A C ⎟ 1−γ ⎝ ⎠ =η γ a 1 = − BraytonJoule 1−γ ⎛ ⎞ γ ⎜TC ⋅ a −TA ⎟ ⎝ ⎠
