453. Exercices illustrant l'utilisation de la loi binomiale en probabilité et en statistiques

453. Exercices illustrant l'utilisation de la loi binomiale en probabilité et en
statistiques
Définition​ : loi binomiale
Propriétés : espérance - variance
Théorème Moivre-Laplace
Utilisations ​:
- compter le nombre de succès : application directe planche de Galton Dupont p.
- promenade aléatoire : carnet de voyage en Analystan
- intervalle de fluctuation, approximation par loi normale
- surréservation Dupont p.237
- Sondage et représentativité Dupont p.237
Définition
X une var à valeurs dans ℕ. Une expérience est répétée n fois de manière identique et indépendante, deux
issues avec p(succès)= p . X compte le nombre de succès. X suit une loi binomiale et
k
P (X = k ) = (nk )p (1 − p)
n−k
Exercice 1 :​ ​Planche de Galton
n(n+1)
On considère une planche verticale sur laquelle sont disposés 2 clous de manière
triangulaire. On lâche une boule au-dessus du clou le plus haut, elle a alors une
probabilité de ½ de rebondir à droite ou à gauche. Elle tombe sur le clou de l'étage
en-dessous où la situation est la même et ainsi de suite. Après n rebonds, elle tombe
dans une boîte.
On note X le numéro de la boîte dans laquelle tombe la boule.
Montrer que X suit une loi B (n ; 1/2)
Algorithme qui simule les résultats d'une expérience :
Dupont p.179
Applic directe
programmation
Exercice 2 ​: Promenade aléatoire
On considère une particule p qui se déplace le long de ℤ de la façon
suivante. A l'instant t = 0 , elle se situe en 0. On suppose que si à
l'instant quelconque t = k ∈ ℕ , la particule se trouve en l ∈ ℤ alors à
l'instant t = k + 1 la probabilité que la particule se trouve en l + 1 est ½
et la probabilité qu'elle se trouve en l − 1 est ½ .
*
Dans la suite, pour (k, n) ∈ (ℕ )² , on note :
● X k la va décrivant la position de p à l'instant k
● Y k = X k − X k−1
● Z k la va qui vaut 1 si la particule se trouve en zéro et 0 sinon
● U n la va représentant le nombre de fois où la particule passe par
carnet de voyage en Analystan​ p.187
Caldero
Espérance
Marche aléatoire
2n
zéro entre les temps t = 0 et t = 2n , U n = ∑ Z k
k=0
Le but de cet exercice est de déterminer un équivalent en l'infini du
nombre moyen de passages de la particule en zéro après 2n
déplacements.
Y +1
1. Quelle est la loi suivie par k2 ? et X n2+n ?
2. Montrer que P (Z 2k = 1) = 1k (2kk ) et P (Z 2k+1 = 1) = 0
4
3. On va trouver une formule donnant l'espérance de la variable U n
, dans la suite on pose
pk = P (Z 2k = 1) = 1k (2kk )
4
a. établir une relation entre pk et pk+1
b. en déduire une formule pour E (U n )
2
4. En déduire que E (U n ) ~ √π
√n
Théorème de Moivre-Laplace
Soit X n une var suivant une loi de Bernoulli.
n
∑ X n −np
P (a ≤
k=1
√np(1−p)
≤ b) → P (a ≤ N ≤ b) où N suit une loi normale centrée réduite
Exercice 3 ​: Surréservation
Une compagnie aérienne assure un vol régulier avec un appareil
comportant 500 places. Une étude statistique a montré qu'un client ayant
acheté un billet d'avion avait 98% de chances de se présenter à
l'embarquement.
Quel est le nombre maximal de billets d'avion que la compagnie aérienne
peut vendre tout en s'assurant que tous les passagers présents à
l'embarquement auront une place à bord avec une probabilité au moins
égale à 99% ?
Dupont​ p.237
Applic Th Moivre-Laplace
Intervalle de fluctuation
On considère une X va suivant une loi B(p) avec p∈]0 ; 1[ connu. Un estimateur sans biais de p au rang n
est X n =
1
n
n
X n −p
∑ X i alors P (a ≤ √n p(1−p)
≤ b) → P (a ≤ N ≤ b) ; n ≥ 30 ; np ≥ 5 ; n(1 − p) ≥ 5
k=1
X −p
n
on a P (− uα ≤ √n p(1−p)
≤ uα ) → P (− uα ≤ N ≤ uα ) , si α = 0, 05 , uα≈1,96
Exercice 4 ​: Sondages
Une élection va bientôt avoir lieu dans une localité. Deux candidats notés C 1 et C 2 se
présentent et on souhaite estimer la proportion de population qui votera pour C 1 lors de
cette élection. Une étude sur les votes précédents a montré que les deux variables
influant le plus sur le résultat du vote étaient le sexe et le fait d'être ou non en activité.
La population en âge de voter est constituée à 56% de femmes. On sait par ailleurs que
78% des individus en âge de voter sont actifs. POur estimer la proportion de votants en
faveur de C 1 on sélectionne un échantillon de 100 personnes en âge de voter. Dans cet
échantillon, 51 individus sont des femmes, 69 individus sont actifs et 39 individus
déclarent voter pour C 1 .
1. Cet échantillon est-il représentatif de la population pour les deux caractères que
sont le sexe et l'activité ? On travaille avec un niveau de confiance de 95%
2. On suppose maintenant que l'on a observé 72 actifs et non 69 sur l'échantillon.
Que peut-on affirmer quant au résultat de l'élection au niveau de confiance 95% ?
Dupont​ p.237
Intervalle de
fluctuation