tenseur

Calcul Tensoriel
Universit´e de Bretagne Sud
Herv´e LAURENT/G´erard RIO
version 2001/2002

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Table des mati`eres
1 Rappels sur les espaces vectoriels en g´eom´etrie diff´erentielle 7
1.1 Espace vectoriel sur IR [5].......................... 7
1.2 Sous Espace Vectoriel ............................ 8
1.3 Base d’un espace vectoriel .......................... 8
1.3.1 Combinaison lin´eaire de vecteurs .................. 8
1.3.2 Espace vectoriel engendr´e et famille g´en´eratrice .......... 8
1.3.3 Partie libre, partie li´ee d’un espace vectoriel ............ 8
1.3.4 Base d’un espace vectoriel ...................... 9
1.4 Dimension d’un espace vectoriel fini .................... 9
1.5 Espace vectoriel euclidien .......................... 9
1.6 Espace affine euclidien ............................ 9
2 Introduction `a la notion de tenseurs 11
2.1 Extension de la notion de vecteurs et scalaires ............... 11
2.2 Somme de deux sous espace vectoriels ................... 12
2.3 Produit tensoriel ............................... 12
3 Base duale 15
3.1 Produit scalaire dans une base ~ei...................... 15
3.2 Utilisation du symbole de Kronecker .................... 15
3.3 Base duale ................................... 16
3.4 D´efinition g´en´erale du produit scalaire ................... 17
3.5 Composantes contravariantes et covariantes ................ 17
4 Changement de base 19
4.1 Changement de base pour les composantes d’un vecteur ......... 19
4.1.1 Etude du comportement des composantes contravariantes dans
un changement de base ....................... 20
4.1.2 Etude du comportement des composantes covariantes dans un
changement de base ......................... 20
4.2 Changement de base pour les composantes d’un tenseur ......... 21
5 Op´erations sur les tenseurs 23
5.1 Introduction .................................. 23
5.2 Addition et multiplication par un scalaire ................. 23
5.3 Produit tensoriel ............................... 23
5.4 Contraction .................................. 23
5.5 Produit Contract´e .............................. 24
5.6 Tenseur sym´etrique et anti-sym´etrique ................... 25
3

4
6 Tenseur m´etrique ou tenseur fondamental 27
6.1 D´efinitions ................................... 27
6.2 Propri´et´es ................................... 28
7 Coordonn´ees curvilignes 29
7.1 Rep`eres rectilignes et curvilignes ...................... 29
7.2 Changement de base ............................. 30
7.3 Notion de tenseur absolu et relatif ..................... 32
8 D´eterminant et produit vectoriel 33
8.1 Tenseur permutation ............................. 33
8.1.1 Expression g´en´erale du d´eterminant ................ 34
8.1.2 Passage entre 2 bases naturelles ................... 34
8.1.3 Passage entre le rep`ere absolu et le param´etrage θi........ 35
8.2 Tenseur permutation absolu ........................ 35
8.3 Produit vectoriel (cross product en anglais)................ 36
8.4 Produit mixte ................................. 37
8.5 El´ement de surface et de volume ...................... 37
9 D´eriv´ees et int´egrales 39
9.1 Symboles de Christoffel ........................... 39
9.1.1 Propri´et´es ............................... 40
9.2 D´eriv´ee covariante d’un vecteur ....................... 40
9.3 Gradient-D´eriv´ee covariante d’un scalaire ................. 42
9.4 D´eriv´ee covariante d’un tenseur ....................... 43
9.5 Cas du tenseur m´etrique ........................... 44
9.6 D´eriv´ees seconde ............................... 44
9.7 Op´erateur de d´erivation ........................... 45
9.7.1 Gradient ................................ 45
9.7.2 Divergence .............................. 45
9.7.3 Rotationnel .............................. 46
9.7.4 Laplacien ............................... 46
9.8 Th´eor`eme de la divergence et du rotationnel ................ 46
9.8.1 Th´eor`eme de la divergence : cas d’une surface ........... 46
9.8.2 Th´eor`eme de Gauss : cas d’une volume ............... 47
9.8.3 Th´eor`eme du rotationnel ou th´eor`eme de Stockes ......... 47

Notations
Notation matricielle :
[ ] matrice
( ) vecteur colonne
< > vecteur ligne
Notation indicielle :
a...h concerne les coordonn´ees dans le rep`ere cart´esien (variant de 1 `a 3)
i...q concerne les coordonn´ees curvilignes (variant de 1 `a 3)
α . . . ω concerne les coordonn´ees curvilignes (variant de 1 `a 2)
Alg`ebre
a, . . . , z;A, . . . , Z scalaire (∈IR)
−→
a , . . . , −→ zvecteurs (∈IRn)
A
∼, . . . , Z ∼tenseurs (∈IRn)
δi
j=δij =δij symbole de Kronecker
Id
∼tenseur identit´e
eijk composantes du tenseur permutation
ijk composantes du tenseur permutation absolu
k−→ aknorme euclidienne du vecteur −→ a
|a
∼|=det ha ∼id´eterminant du tenseur a ∼
−→
a . −→ bproduit scalaire des vecteurs −→ aet −→ b
−→
a∧−→ bproduit vectoriel des vecteurs −→ aet −→ b
a
∼:b ∼produit contract´e des tenseurs a ∼et b ∼
a
∼⊗b ∼produit tensoriel des tenseurs a ∼et b ∼
θiparam´etrage curviligne
Γijk symbole de Christoffel de premi`ere esp`ece
Γijksymbole de Christoffel de seconde esp`ece
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