Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Introduction
Les systèmes industriels ceux sont des systèmes complexes, il est plus facile de le
décomposer en sous-systèmes, afin de le modélisé, par un modèle de comportement ou un
modèle de connaissance.
Ce modèle permet de :
•
Comprendre et analyser le dispositif.
•
Pouvoir prédire son comportement.
•
Utiliser des outils de simulation
Dans ce chapitre, on s’intéresse à la d´détermination de modèles mathématique pour des
systèmes linéaires stationnaires (on parle aussi de systèmes linéaire à temps invariant,
notes LTI en anglais). Les modèles peuvent être abordés sous trois formes à peu près
équivalentes :
l’équation différentielle
la fonction de transfert
le modèle d’état.
Modélisation (Représentation) des systèmes
Pour réaliser une commande automatique d’un système, il est nécessaire d'établir des
schémas représentant ce système et les relations existant entre les entrées (variables de
commande) et les sorties (variables de sortie). L'ensemble de ces relations s'appelle
"modèle mathématique" du système. On distingue différents schémas et différents
modèles.
I. Représentation par schéma physique
Ce type de schéma utilise la normalisation de la technologie du système à étudier (schéma
électrique, mécanique, électronique,...).
Exemple 1 : Schéma électrique - circuit RC Le circuit (Fig.1) se compose d’une résistance
R et d’un condensateur C en série.
Fig.1
Exemple 2 : Schéma mécanique - masse ressort amortisseur Fig.2. Le système se compose
d'un ressort, d'une masse M et d'un amortisseur en série.
x(t)
F
Fig.2
K
M
α
~1~
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Ce type de représentation ne convient pas toujours pour représenter les systèmes étudiés
qui sont de nature différente (thermique, hydraulique…) pour lesquels, il n’existe pas
forcément une représentation physique normalisée.
II. Représentations temporelles
1. Représentation par une équation différentielle
Un système dynamique linéaire peut être représenté par une équation différentielle à
coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie. Soit un système linéaire et
scalaire. Le comportement d'un tel système est régi par une équation différentielle, ayant
pour forme:
𝑑𝑛 𝑦(𝑡)
𝑑𝑛−1 𝑦(𝑡)
𝑑𝑐 𝑦(𝑡)
𝑑𝑚 𝑢(𝑡)
𝑑𝑚−1 𝑢(𝑡)
𝑎𝑛
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑡𝑛−1
+ 𝑎𝑐
𝑑𝑡𝑐
= 𝑏𝑚
𝑑𝑡𝑚
+𝑏𝑚−1
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ … + 𝑏0 𝑢(𝑡)
Ou ;
Les coefficients 𝑎𝑖 et 𝑏𝑖 sont des constantes réelles, telles que 𝑎𝑐,𝑎𝑛 ,𝑏0 et 𝑏𝑚 soient non
nuls.
n et m sont des entiers positifs tels que m≤ n pour que le système soit causal; n est
l’ordre du système.
c est un entier positif ou nul appelé classe du système.
Cette équation différentielle est une représentation entrée/sortie du système. La
solution de cette équation représente l’évolution de la sortie du système y(t) au cours
du temps en fonction de l’entrée u(t) et de conditions initiales.
Exemple 1 :
Considérons le système décrit par la figure 2 dont on veut définir la relation liant le
déplacement linéaire x(t) (sortie) et la force F(t) (entrée).
On se basant sur la méthode de Lagrange on trouve :
1
𝑑𝑥
Energie cinétique du système : 𝑇 = 2 𝑀𝑣 2
Energie potentielle du système : 𝑈 = 𝑈𝑘 + 𝑈𝑀 avec 𝑈𝑀 = 0
Energie de dissipation du système : 𝐷𝑐 = 𝛼𝑥̇ 2
Lagrange du système : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 2 𝑀𝑥̇ 2 − 2 𝑘𝑥 2
1
1
2
1
avec 𝑣 = 𝑑𝑡 = 𝑥̇ donc 𝑇 = 2 𝑀𝑥̇ 2
1
donc 𝑈 = 2 𝑘𝑥 2
1
L’équation différentielle du mouvement :
Comme le système c’est un système vibratoire amorti forcé, l’équation de Lagrange
s’écrite comme suite :
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝜕𝐷
( ) − + 𝑐 = 𝐹 ⟹ 𝑀𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹 ∶ Équation différentielle du mouvement
𝑑𝑡
𝜕𝑞̇
𝜕𝑞
𝜕𝑞̇
Exemple 2 :
On étudie le circuit RLC (Fig 1) soumis à une tension u(t), on s’intéresse à la tension aux
bornes du condensateur et à l’intensité qui parcourt le circuit. La bobine est idéale.
On veut déterminer la relation liant u(t) (tension d’alimentation) et y(t) (le courant i(t)).
L’équation de maille donne :
La tension à la borne de la résistance :𝑈𝑅 = 𝑅 × 𝑖(𝑡)
𝑑𝑖 (𝑡)
La tension à la borne de l’inductance : 𝑈𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡
~2~
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
La tension à la borne du condensateur : 𝑈𝐶 =
On applique la loi des mailles :
𝑈𝑅 +𝑈𝐿 +𝑈𝐶 = 𝑢 → 𝑅 × 𝑖(𝑡) + 𝐿
On se pose que : 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑖 (𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐶
1
𝐶
∫ 𝑖 (𝑡)𝑑𝑡
∫ 𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑢(𝑡)
1
L’équation devient: 𝐿 𝑞̈ + 𝑅𝑞̇ + 𝐶 𝑞 = 𝑢(𝑡)
2. Représentation par le modèle d’état
De manière alternative, le comportement d’un système linéaire invariant d’entrée u(t) et
de sortie y(t) peut être décrit par un nombre fini de grandeurs appelées variables d’états.
Ces variables permettent de déterminer les évolutions futures du système à partir des états
initiaux et de l’entrée.
Un modèle d’état est un ensemble fini d’équations différentielles du premier ordre reliant
des grandeurs scalaires, divisées en variables internes (variables d’états) et en variables
externes comprenant les signaux d’entrée et de sortie. La forme générale d’un tel modèle
est la suivante :
𝑑𝑥(𝑡)
Équation d’état
= 𝐴 𝑥 (𝑡) + 𝐵𝑢 (𝑡)
{ 𝑑𝑡
𝑦 (𝑡) = 𝐶𝑥 (𝑡) + 𝐷𝑢 (𝑡)
Équation de sortie
Où :
𝐴 ∈ 𝑅 𝑛×𝑛 : représente la matrice d’état ou d’évolution
𝐵 ∈ 𝑅 𝑛×1 : représente la matrice d’entrée
𝐶 ∈ 𝑅 1×𝑛 : représente la matrice de sortie ou d’observation
𝐷 : représente la transmission directe de l’entrée sur la sortie
L’état et la sortie peuvent ainsi être calculés, à tout instant, pour des conditions initial
x(0) quelconques.
Il est important de noter que, contrairement à la représentation par équation
différentielle, la représentation d’état d’un système n’est pas unique et dépend du choix
des variables d’état que nous opérons. On adopte fréquemment le schéma-bloc donné par
la Figure 3 pour illustrer cette représentation.
A
𝑢
B
+
+ 𝑥̇
∫
𝑥
C
𝑦
+
+
D
Figure 1.3 : Schéma-bloc d’une représentation d’état
Exemple 1 :
Dans le cas du système mécanique de l'exemple 2, l’entrée du système est sa force F(t)
alors que sa sortie est représentée par le déplacement linéaire y(t). On peut toujours
choisir comme variables d’état, dans ce cas (aucune dérivée en n’intervient):
~3~
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
L’équation différentielle de ce système c’est une équation différentielle linéaire du 2ème
ordre (deuxième dérivée).
Pour représenter ce système ce forme d’une représentation d’état 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴 𝑥 (𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)
(Équation différentielle linéaire 1er ordre) il faut diminuer l’ordre de l’équation
différentielle du 2ème ordre au 1er ordre. Pour cela, on utilise le changement de variable
suivant :
𝑥 = 𝑥 1 ⟹ 𝑥̇ = 𝑥̇ 1
{
D’où 𝑥̇ 1 = 𝑥̇ = 𝑥 2
(1)
𝑥̇ = 𝑥 2 ⟹ 𝑥̈ = 𝑥̇ 2
Selon ce changement de variable l’équation différentielle devient :
𝑘
𝛼
𝐹
𝑀 𝑥̇ 2 + 𝛼 𝑥 2 + 𝑘 𝑥1 = 𝐹 ⟹ 𝑥̇ 2 = − 𝑀 𝑥 1 − 𝑀 𝑥 2 + 𝑀
(2)
𝑥̇ 1 = 𝑥 2
0 1
{
𝑘
𝛼
𝐹
⟹ [𝑥̇𝑥̇1] = [−𝑘 −𝛼 ] [𝑥𝑥 1] + [ 01 ] 𝐹 : Equation d’état
𝑥̇ 2 = − 𝑥 1 − 𝑥 2 +
2
2
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
𝑀
La sortie de ce système (𝒚(𝒕)) est clairement le déplacement 𝑥 de la masse M c'està-dire 𝒚(𝒕) = 𝒙(𝒕)
D’après le changement de variable, le déplacement 𝑥 est égale à 𝑥 1 ( 𝑥 = 𝑥 1 ).
Considérons 𝐷 = 0 et 𝑥 (𝑡) = [𝑥𝑥 1 ] , L'équation de sortie s'écrit alors :
2
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥 (𝑡) = 𝐶
[𝑥𝑥 1 ]
2
⟹ 𝑦(𝑡) = [1
0] [𝑥𝑥 12 ]
La représentation par le modèle d’état du système s'écrit donc :
0 1
0
[𝑥̇𝑥̇1] = [−𝑘 −𝛼 ] [𝑥𝑥 1] + [ 1 ] 𝐹
Équation d’état
2
2
𝑀
{
𝑀
𝑀
𝑦 (𝑡) = [1 0] [𝑥𝑥 1 ]
Équation de sortie
2
3. Représentation par fonction de transfert
Soit un système linéaire invariant d’entrée u(t) et de sortie y(t). On appelle fonction de
transfert du système le rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée, à
𝑌 (𝑝)
𝑁(𝑝)
conditions initiales nulles : 𝑇 (𝑝) = 𝑈(𝑝) = 𝐷 (𝑝)
Avec :
𝑇(𝑝) : Représente la fonction de transfert du système
𝑌(𝑝) : Représente la sortie du système
𝑈(𝑝) : Représente l’entrée du système
Le dénominateur de la fonction de transfert 𝐷(𝑝) est dit le polynôme du système
L’ordre du système est le degré de ce polynôme.
Y(P)
U(P)
T(P)
Diagramme fonctionnel
~4~
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Transformée de Laplace directe:
Elle consiste à étudier le comportement des systèmes (caractérisé dans notre monde réel
par des fonctions du temps 𝒕) dans un monde symbolique où la variable n'est plus le
temps 𝒕 mais une variable symbolique 𝒑.
Les intérêts de cette transformation sont:
Une simplification très importante des solutions mathématiques recherchées
Une généralisation facile de certains résultats
A toute fonction 𝒇(𝒕) dans notre monde réel correspondra une fonction 𝑭(𝒑) dans le
monde symbolique. Cette fonction sera appelée: image de 𝒇(𝒕). Inversement 𝒇(𝒕) sera
appelée: originale de 𝑭(𝒑). Ce passage du monde réel au monde symbolique est défini par
la transformée de Laplace suivante:
∞
𝐿(𝑓(𝑡) = 𝐹 (𝑝) = ∫ 𝑥 (𝑡) 𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 = 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑓(𝑡)
0
Quelques propriétés des transformées de Laplace
1. Somme de deux fonctions 𝑓1 (𝑡) 𝑓2 (𝑡) 𝐿(𝑓1 (𝑡)) = 𝐹1 (𝑝) et 𝐿(𝑓2 (𝑡)) = 𝐹2 (𝑝) alors : 𝐿 (𝑓1 (𝑡) + 𝑓2 (𝑡)) = 𝐹1 (𝑝) +
transformables
𝐹2 (𝑝)
2. Linéarité :
Si 𝑓(𝑡) = 𝑎 𝑓1 (𝑡) + 𝑏 𝑓2 (𝑡) alors 𝐹(𝑝) = 𝐹1 (𝑝) + 𝐹2 (𝑝)
3. Dérivée
Si 𝐿(𝑓(𝑡)) = 𝐹 (𝑝) et 𝐿 (
𝑑𝑓 ( 𝑡)
𝑑𝑡
) = 𝐹̀ (𝑝) alors 𝐹̀ (𝑝) = 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0)
4. Dérivée multiple
5. Théorème des valeurs initiales et finales Théorème des valeurs initiales : lim+ 𝑓(𝑡) = lim 𝑃 𝐹(𝑝)
𝑡→0
𝑃→∞
Théorème des valeurs finales : lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑃 𝐹(𝑝)
𝑡→∞
o Exemple 1
𝑓(𝑡) = 𝑢 (𝑡) Échelon unité de Heaviside: 𝑢 (𝑡) = {
0
1
𝑡<0
𝑡>0
Figure 4 : échelon
~5~
𝑃→0
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
∞
1 −𝑝𝑡 +∞
1
1
−𝑝𝑡
(
)
(
)
𝐿(𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑝 = ∫ 𝑒
𝑑𝑡 = [− 𝑒 ] = 0 − (− ) =
𝑝
𝑝
𝑝
0
0
o Exemple 2
∞
𝑓(𝑡) = sin 𝜔0 𝑡 → 𝐹(𝑝) = ∫0 sin(𝜔0 𝑡) 𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑡 =
+∞
𝑒 ( 𝑗𝜔 0−𝑝 )𝑡
𝑒 −( 𝑗𝜔0−𝑝 ) 𝑡
[
− (
]
2𝑗 (−𝑝+𝑗𝜔 0 )
𝑝+𝑗𝜔 0 ) 0
1
=
1
2𝑗
[(
1
𝑝−𝑗𝜔 0
−(
)
1
𝑝+𝑗𝜔 0
𝑒 ( 𝑗𝜔 0−𝑝 )𝑡 −𝑒−( 𝑗𝜔0 −𝑝) 𝑡
]=
)
2𝑗
𝑑𝑡 =
𝜔0
𝑝2 +𝜔 0 2
2. Transformée de Laplace inverse
Pour retrouver l’originale d’une fonction F(p) donnée, on décompose cette fonction (en
général, une fraction rationnelle en p) en éléments simples dont en prendra l’original dans
la table de transformation.
Exemple
𝐹 (𝑝 ) =
1
(𝑝+2 ) (𝑝+3 )
1
1
1
1
} = 𝐿−1 {
} − 𝐿−1 {
}
−
𝑝+2 𝑝+3
𝑝+2
𝑝+3
𝑓(𝑡) = exp(−2𝑡) − exp(−3𝑡) 𝑡 > 0
𝑓(𝑡) = 𝐿−1 {𝑓(𝑝)} = 𝐿−1 {
Comment décomposer en général une fonction 𝑭(𝒑) ?
3. Méthode de décomposition
Soit une fonction 𝐹 (𝑝) de la forme: 𝐹(𝑝) =
𝑁(𝑝)
𝐷(𝑝)
La décomposition en éléments simples partielles de la fonction 𝐹(𝑝) permet de représenter
la transformée de Laplace sous la forme suivante :
∏𝑚
𝑏 𝑝 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑝 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0
𝑖=1( 𝑝 − 𝑧𝑖 )
𝐹 ( 𝑝) = 𝑚 𝑛
=
𝑔
∏𝑛𝑖=1 (𝑝 − 𝑝𝑖 )
𝑎𝑛 𝑝 + 𝑎𝑛−1 𝑝 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0
Chacune des valeurs de p qui annule soit le numérateur, soit le dénominateur,
s’appelle une racine.
On appelle un zéro noté 𝒛𝒊 , les valeurs de 𝒑 qui annule le numérateur.
On appelle pôle noté 𝒑𝒊, les valeurs de 𝒑 qui annule le dénominateur.
L’idée consiste alors à mettre l’expression du dénominateur sous forme d’un produit de
facteurs où apparaît chacune des racines :
𝐷 (𝑝) = (𝑝 − 𝑝1 ) (𝑝 − 𝑝2 ) … (𝑝 − 𝑝𝑘 ) … (𝑝 − 𝑝𝑛 )
𝑝 5 + 2𝑝 5 + 𝑝 2
𝐹 ( 𝑝) = 3
𝑝 − 3𝑝 2 + 3𝑝 − 1
23𝑝 2 − 31𝑝 + 12
2
(
)
𝐹 𝑝 = 𝑝 + 5𝑝 + 12 + 3
𝑝 − 3𝑝 2 + 3𝑝 − 1
Partie entière
Partie fractionnaire
~6~
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Selon le dénominateur de la fonction F(p), on distingue deux cas :
Cas 1: tous les pôles pk sont des racines simples (distinctes):
Dans ce cas la forme décomposée de F(p) sera:
𝑁(𝑝)
𝐴1
𝐴𝑘
𝐴𝑛
𝐹 ( 𝑝) =
=
+⋯
+⋯
(𝑝 − 𝑝1 ) … (𝑝 − 𝑝𝑘 ) … (𝑝 − 𝑝𝑛 ) (𝑝 − 𝑝1 )
( 𝑝 − 𝑝𝑘 )
(𝑝 − 𝑝𝑛 )
Chaque coefficient 𝐴𝑘 est obtenu par:
𝐴𝑘 = lim (𝑝 − 𝑝𝑘 ) 𝐹(𝑝)
𝑝→𝑝𝑘
Et la solution dans le domaine temporel est:
𝑓(𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑝1𝑡 + 𝐴2 𝑒 𝑝2𝑡 + ⋯ + 𝐴𝑘 𝑒 𝑝𝑘𝑡 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑒 𝑝𝑛 𝑡
t>0
o Exemple:
Soit à trouver la solution dans le domaine temporel de:
𝑝 +1
𝑌 ( 𝑝) = 3
𝑝 + 𝑝 2 − 6𝑝
1) Mettre le dénominateur sous forme de produit:
𝑝+ 1
𝑝 +1
𝑌 ( 𝑝) = 3
=
2
𝑝 + 𝑝 − 6𝑝 𝑝(𝑝 − 2)(𝑝 + 3)
2) Mettre F(p) sous la forme d’une somme de fractions partielles:
𝑝 +1
𝐴
𝐴2
𝐴
𝑌 ( 𝑝) = 3
= 1+
+ 3
2
𝑝 + 𝑝 − 6𝑝
𝑝 𝑝 −2 𝑝 +3
3) Calcule de la valeur de chaque coefficient:
𝑝 +1
1
𝐴1 = lim 𝑝 𝑌(𝑝) = lim
=−
𝑝→0
𝑝 →0 ( 𝑝 − 2)( 𝑝 + 3)
6
𝑝 +1
3
𝐴2 = lim (𝑝 − 2) 𝑌(𝑝) = lim
=+
𝑝→2
𝑝→2 𝑝 ( 𝑝 + 3)
10
𝑝 +1
2
𝐴3 = lim (𝑝 + 3) 𝑌(𝑝) = lim
=−
𝑝 →−3
𝑝→−3 𝑝 ( 𝑝 − 2)
15
4) Exprimer la solution en p:
𝑝+1
1
1
1
11
3 1
2 1
𝑌 ( 𝑝) = 3
= 𝐴1 + 𝐴2
+ 𝐴3
=−
+
−
2
𝑝 + 𝑝 − 6𝑝
𝑝
𝑝 −2
𝑝+3
6 𝑝 10 𝑝 − 2 15 𝑝 + 3
5) Exprimer la solution dans le domaine temporel:
On se basant sur le tableau de Laplace on trouve :
1
3 2𝑡
2 −3𝑡
𝑦(𝑡) = − 𝑢 (𝑡) +
𝑒 𝑢(𝑡) −
𝑒 𝑢(𝑡)
6
10
15
~7~
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Cas2: si la fonction de transfert de la forme suivante :
𝐹 ( 𝑝) =
𝑁(𝑝)
𝐴1
𝐴2
𝐴𝑖
𝐴𝑛
=
+
+⋯+
+ ⋯+
𝑚
2
𝑖
( 𝑝 − 𝑝𝑘 )
( 𝑝 − 𝑝𝑘 ) ( 𝑝 − 𝑝𝑘 )
( 𝑝 − 𝑝𝑘 )
( 𝑝 − 𝑝𝑘 ) 𝑛
Chaque coefficient 𝐴𝑖 est obtenu par:
1
𝑑 𝑚−𝑖
(𝑝 − 𝑝𝑘 )𝑚 𝐹(𝑝)
𝐴𝑖 =
lim
(𝑚 − 𝑖 )‼ 𝑝→𝑝𝑘 𝑑𝑝 𝑚−𝑖
o Exemple:
Soit à trouver la solution dans le domaine temporel de:
𝑝 3 − 4𝑝 2 + 4
𝐴1 𝐴2
𝐵
𝐶
= 2+
+
+
2
𝑝 (𝑝 − 2)(𝑝 − 1) 𝑝
𝑝 𝑝 −2 𝑝 −1
La détermination des coefficients va donner le résultat suivant :
1
𝑝 3 − 4𝑝 2 + 4
𝐴1 = lim 𝑝 2 𝑌(𝑝) = lim
=2
𝑝→0 ( 𝑝 − 2)( 𝑝 − 1)
1! 𝑝→0
𝑌 ( 𝑝) =
𝑑 2
𝑑 𝑝 3 − 4𝑝 2 + 4
(𝑝 𝑌(𝑝)) = lim
(
)= 3
𝑝→0 𝑑𝑝
𝑝→0 𝑑𝑝 ( 𝑝 − 2)( 𝑝 − 1)
𝐴2 = lim
𝑝 3 − 4𝑝 2 + 4
= −1
𝑝→2 𝑝 2 ( 𝑝 − 1)
𝐵 = lim (𝑝 − 2)𝑌(𝑝) = lim
𝑝→2
𝑝 3 − 4𝑝 2 + 4
= −1
𝑝→2 𝑝 2 ( 𝑝 − 2)
𝐶 = lim (𝑝 − 1)𝑌(𝑝) = lim
𝑝→1
𝑌 ( 𝑝) =
𝑝 3 − 4𝑝 2 + 4
2
3
−1
−1
= 2+ +
+
2
𝑝 (𝑝 − 2)(𝑝 − 1) 𝑝
𝑝 𝑝 −2 𝑝 −1
La solution dans le domaine temporel est alors (selon le tableu de Laplace):
𝑓(𝑡) = 3 + 2𝑡 − exp(2𝑡) − exp(𝑡)
𝑡> 0
La transformée de Laplace permet donc de transformer le problème du domaine du temps
au domaine de la fréquence. Lorsqu’on obtient la réponse voulue dans le domaine de la
fréquence, on transforme le problème à nouveau dans le domaine du temps, à l’aide de la
transformée inverse de Laplace. Le diagramme de la figure 5 illustre ce concept.
~8~
Chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Domaine du temps
Transformée de Laplace
Domaine de fréquence
Transformée inverse de Laplace
Domaine du temps
Analyse du circuit
Figure 5 – Etapes d’analyse d’un circuit avec la transformée de Laplace
Le tableau suivant présente la liste des transformées de Laplace les plus courantes.
Table des transformées :
Fonction 𝒇(𝒕)
Transformée de Laplace
𝐹(𝑝 = 𝐿(𝑓(𝑡)
Dirac : 𝑏 𝛿(𝑡)
Rampe : 𝑏 × 𝑡 ×
𝑢(𝑡)
√𝑡
𝑏× 1
𝑏 ⁄𝑝 2
(𝒂, 𝒃) ∈ ℝ2 , 𝑛 ∈ ℕ
𝑒 −𝑎𝑡
𝑡 2 × 𝑒 −𝑎𝑡
𝑎𝑡
t × sin (𝜔 × 𝑡)
cos(𝜔 × 𝑡)
2
t × cos(𝜔 × 𝑡)
𝑒 −𝑎𝑡 × cos(𝜔 × 𝑡)
1
√𝜋 ⁄𝑝 3
2
1⁄𝑝 + 𝑎
2⁄( 𝑝 + 𝑎) 3
1⁄𝑝 − Ln 𝑎
𝜔 × 𝑝 ⁄ ( 𝑝2 + 𝜔 2 ) 2
𝑝⁄ 𝑝 2 + 𝜔 2
2𝑝(𝑝 2 − 3𝜔2 )⁄(𝑝 2 + 𝜔2 )3
𝑝 + 𝑎⁄ ( 𝑝 + 𝑎) 2 + 𝜔 2
Fonction 𝒇(𝒕)
(𝒂, 𝒃) ∈ ℝ2 , 𝑛 ∈ ℕ
Echelon : 𝑏 𝑢(𝑡)
Puissance : 𝑏 × 𝑡 𝑛 ×
𝑢(𝑡)
1/√ 𝑡
𝑡 × 𝑒 −𝑎𝑡
𝑡 𝑛 × 𝑒 −𝑎𝑡
sin (𝑎 × 𝑡)
t 2 × sin(𝜔 × 𝑡)
t × cos(𝜔 × 𝑡)
−𝑎𝑡
𝑒
× sin (𝜔 × 𝑡)
−𝑎𝑡
𝑒
× sinh(𝜔 × 𝑡)
~9~
Transformée de Laplace
𝐹(𝑝 = 𝐿(𝑓(𝑡)
𝑏 ⁄𝑝
𝑏 × 𝑛!⁄𝑝 𝑛+1
√𝜋 ⁄ 𝑝
1 ⁄ ( 𝑝 + 𝑎) 2
𝑛!⁄(𝑝 + 𝑎)𝑛+1
𝑎⁄ 𝑝 2 + 𝑎2
2 × 𝜔(3𝑝 2 − 𝜔2 )⁄(𝑝 2 + 𝜔2 )3
𝑝 2 − 𝜔 2 ⁄ ( 𝑝2 + 𝜔 2 ) 2
𝜔 ⁄( 𝑝 + 𝑎) 2 + 𝜔 2
𝜔 ⁄( 𝑝 + 𝑎) 2 − 𝜔 2
Exercices chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Représentations temporelles
Exercice N 1
Soit le circuit électrique ci-contre (Fig. 1).
a) Trouver à l’aide de la loi des mailles l’équation différentielle que
satisfait la charge q qui circule dans le circuit.
b) Trouver l’équation différentielle de la tension Uc du condensateur.
c) Trouver l’équation différentielle de la tension UL de la bobine.
d) Trouver l’équation différentielle du courant i(t).
Fig.1
Exercice N 2
Considérons le système décrit par la figure ci-contre (Fig.2):
a) Ecrire l’équation différentielle régissant le mouvement de la
masse M.
b) Par la méthode de Lagrange.
c) Par la méthode newton.
x(t)
F
K
M
α
Fig.2
Exercice N 3
Soit le circuit électrique ci-contre (Fig. 3):
Posons 𝒙(𝒕) = 𝑽𝒄 (𝒕)
a) Donner l’équation différentielle du circuit.
b) Donner la représentation d'état du système sous la forme :
𝒙̇(𝒕) = 𝑨 𝒙(𝒕) + 𝑩 𝒖
{
𝒀 (𝒕) = 𝑪 𝒙(𝒕) + 𝑫𝒖
c) En déduire les matrices A, B, C et D.
Avec : Entrée : 𝒖(𝒕) et Sortie : 𝒚(𝒕) = 𝒊(𝒕)
Fig.3
Exercice N 4
Soit le système mécanique (masse en translation) représenté sur la Fig 4 :
a) Ecrire l’équation différentielle régissant le mouvement de la masse
m suivant z par la méthode de newton.
b) Donner la représentation d'état du système.
Fig.4
1
Exercices chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Représentations par fonction de transfert
Exercice N 1
Calculez-les transformées de Laplace des fonctions temporelles suivantes :
a)
𝑓(𝑡) = 𝑒 −𝑎𝑡
d)
𝜋
𝑓(𝑡) = sin (2𝑡 + 4 )
b)
e)
𝑓(𝑡) = cos 𝑤𝑡
𝑓(𝑡) =
c)
𝑡2
f)
2
𝑓(𝑡) = 𝑡 5 𝑒 2𝑡
𝑓(𝑡) = 3(1 −
𝑒 −4𝑡 ) Exercice N 2
Calculez les transformées inverses de Laplace des fonctions suivantes :
a)
𝐹(𝑝) = 𝑝 (𝑝+12)(𝑝−2)
b)
𝐹(𝑝) = 𝑝𝑝(𝑝+2)
2+2𝑝+2
c)
5𝑝+16
𝐹(𝑝) = (𝑝+2
) 2 (𝑝+5)
e)
𝐹(𝑝) = 𝑝2(𝑝+2)
2 −2𝑝+2
Exercice N 3
Partie I : Systèmes électriques
En supposant les conditions initiales nulles (condensateurs déchargés initialement).
Trouver l’équation différentielle puis donner la fonction de transfert des circuits
électriques suivants :
R
i
Fig.1
Fig.2
u
C
Partie
II : Systèmes mécaniques
Les schémas ci- dessous représentent des systèmes en états de mouvement.
a) Déterminer l’équation différentielle pour chacun de ces systèmes.
b) Déduire la fonction de transfert du système 1 pour : 𝐹(𝑡) = 𝑓𝑢̇ avec 𝑢 (0) = 0
c) Donner la représentation d’état de chaque système.
1)
2)
2
Exercices chapitre I : Modélisation des systèmes linéaires
Exercice N 4
Soit deux systèmes d’entrée u(t) et de sortie y(t) représentés par les équations
différentielles suivantes :
a) 𝑥̈ (𝑡) + 3𝑥 (𝑡) = sin 𝑡
avec 𝑥 (0) = 0 , 𝑥̇ (0) = 2
b) 𝑥̈ (𝑡) + 4𝑥 (𝑡) + 20𝑥(𝑡) = 4
avec 𝑥 (0) = −2 , 𝑥̇ (0) = 0
Déterminer la transformée de Laplace de chaque systèmes puis donner sa fonction de
transfert
Exercice N 5
On considère les systèmes représentés par les équations :
0
1 ()
0
𝑥̇ (𝑡) = [
] 𝑥 𝑡 + [ ] 𝑢(𝑡)
Système 1:
{
−10 −7
1
𝑦(𝑡) = [1 0] 𝑥 (𝑡)
0
1
0.5 0 ( )
𝑥̇ (𝑡) = [
] 𝑥 (𝑡) + [
]𝑢 𝑡
−10 −7
0 1
Système 2: {
1 0
𝑦 (𝑡) = [
] 𝑥 (𝑡)
0 1
Donner la fonction de transfert de chaque système.
3
