chap1 et 2 de l'electromagnetisme

CHAPITRE 1
ÉQUATIONS DE MAXWELL - PROPAGATION DES
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
Les quatre équations de Maxwell permettent d’expliquer tout phénomène électrique
et magnétique. Cette théorie permet de prévoir la propagation des ondes électroma-
gnétiques dans le vide à la vitesse de la lumière c. Les expériences de Michelson et
Morley (1881 - 1887 ) confirment le caractère universel de cette vitesse.
1.1 Champ électromagnétique
1.1.1 Sources du champ électromagnétique
Les sources du champ électromagnétique sont les charges de densité volumiques
totale ρ(M, t)et les courants de vecteur densités volumiques −→ j(M, t), avec −→ j(M, t) =
P
i
ρi−→ viou −→ viest la densité de charges mobiles à la vitesse −→ vi.
1.1.2 Équation de conservation de la charge
Soit Q(t)la charge contenue, à l’instant t, dans un volume Vfixe dans un référentiel
d’étude. Le bilan de charge entre, les instants tet t+dt, s’écrit de la façon suivante :
Q(t) = Q(t+dt) + dQech (1.1)
avec dQech la charge échangée à travers la surface fermée Sdélimitant le volume V,
entre les deux instants tet t+dt. D’où l’intensité du courant ià travers la surface S.
i=dQech
dt =ZZS(V)
−→
j·d−→ S(1.2)
Les équations (1.1) et (1.2) donnent :
1

Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
−dQ
dt =ZZS(V)
−→
j·d−→ S(1.3)
En remplaçant dans l’équation (1.3), Qpar RRRρdV on obtient la forme intégrale de
l’équation de conservation de la charge donnée par l’équation (1.4).
ZZS(V)
−→
j·d−→ S+d
dt ZZZV
ρdV = 0 (1.4)
Puis, en utilisant la formule de Green-Oestrogradsky : RRS(V)
−→
j·d−→ S=RRRVdiv−→ j·
dV ,permettant de transformer une intégrale double sur une surface fermée en une
intégrale triple sur le volume délimité par la surface fermée, on obtient la forme locale
de l’équation de conservation de la charge donnée par l’équation (1.4) (1.5).
div−→ j+dρ
dt = 0 (1.5)
1.1.3 Force de Lorentz
Une charge qen mouvement dans un champ électromagnétique −→ E , −→ B, avec une vi-
tesse −→ vau point Mà l’instant t, subit la force de Lorentz −→ F:
−→
F=q[−→ E(M, t) + −→ v∧−→ B(M, t)] (1.6)
Remarque : Si −→ Best nul, la force de Lorentz se réduit à −→ F=q−→ E, dite force électrique.
1.1.4 Équations de Maxwell
Dans un référentiel galiléen, les équations de maxwell dans le vide, en présence de
charges et de courants, s’écrivent, en un point Mà l’instant t:
div−→ E=ρ
ε0
(1) équation de Maxwell-Gauss (M-G)
−→
rot−→ E=−∂−→
B
∂t (2) équation de Maxwell-Faraday (M-F)
div−→ B= 0 (3) équation de Maxwell-Flux (M-Φ)
−→
rot−→ B=µ0
−→
j+µ00
∂−→ E
∂t (4) équation de Maxwell-Ampère (M-A)
Les équations (1) et (2) expriment les propriétés intrinsèques de −→ E(enV.m−1)et −→ B(enT),
alors que les équation (3) et (4) relient les champs avec les sources qui les créent.
Valeurs numériques :
c= 3.108ms−1,1
4π0
= 9.109F−1,µ0
4π= 10−7H.m−1et µ00c2= 1
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Champ électromagnétique
Remarque : On peur établir l’équation de conservation de la charge à partir des
équations de Maxwell.
1.1.5 Contenu physique des équations de Maxwell
— L’équation (1) de M-G donne :
ZZS(V)
−→
E·d−→ S=Qint
0
(1.7)
→C’est le théorème de Gauss, valable aussi en régime variable.
— L’équation (2) de M-F donne :
IC
−→
E·d−→ `=−dΦ
dt (1.8)
→C’est le théorème de Faraday, avec Φ = RRS
−→
B·d−→ Sà travers la surface s’ap-
puyant sur le contour fixe dans le référentiel galiléen d’étude.
— L’équation (3) de M-Φdonne :
ZZS(V)
−→
B·d−→ S= 0 (1.9)
→Le champ −→ Best à flux conservatif.
— L’équation (4) de M-A donne :
IC
−→
B·d−→ `=µ0ZZS
−→
j d−→ S+1
c2ZZS
∂−→ E
∂t ·d−→
S(1.10)
→C’est le théorème d’Ampère généralisé.
1.1.6 Équations de propagation des champs électrique et magnétique
dans le vide
Dans le vide, en absence de charges et de courants, les équations de Maxwell de-
viennent :
div−→ E= 0 (1) équation de Maxwell-Gauss (M-G)
−→
rot−→ E=−∂−→
B
∂t (2) équation de Maxwell-Faraday (M-F)
div−→ B= 0 (3) équation de Maxwell-Flux (M-Φ)
−→
rot−→ B=µ00
∂−→ E
∂t (4) équation de Maxwell-Ampère (M-A)
Soit −→ X(−→ E,−→ B...), le vecteur −→ Xvérifié l’équation suivante :
−→
rot −→ rot(−→ X) = −−→ grad div−→ X−∆−→ X(1.11)
3

Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
1.1.6.1 Équations de propagation du champ électrique
L’équation 1.11 permet d’écrire pour le champ électrique :
−→
rot −→ rot(−→ E) = −−→ grad div−→ E−∆−→ E
En utilisant les équations (1) et (2), on obtient :
−→
rot (−∂−→
B
∂t ) = −∆−→
E
⇒ − ∂
∂t(−→
rot(−→ B)) = −∆−→ E
En remplaçant : −→ rot−→ Bpar µ00
∂−→ E
∂t =1 c2
∂−→ E
∂t (MA) , on obtient l’équation de propa-
gation du champ −→ E, donnée par :
∆−→ E−1
c2
∂2−→ E
∂t2=−→
0(1.12)
De même on démontre l’équation de propagation du champ −→ B, donnée par :
∆−→ B−1
c2
∂2−→ B
∂t2=−→
0(1.13)
Les équations 1.12 et 1.13 sont dites : Équations de D’ALEMBERT.
1.1.7 Potentiels électromagnétique
1.1.7.1 Passage des champs aux potentiels
L’équation (3) de Maxwell-flux conduit à définir le potentiel vecteur −→ A(M, t)par :
−→
B=−→ rot−→ A(1.14)
En remplaçant −→ Bpar −→ rot−→ Adans l’équation (2) de Maxwell-Faraday, on obtient :
−→
rot(−→ E+∂−→
A
∂t )=0
Ceci permet de définir le potentiel scalaire V(M, t)par :
−→
E=−−−→ gradV −∂−→
A
∂t (1.15)
Remarque : Les potentiels −→ Aet Vne sont pas définis de manière unique.
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Champ électromagnétique
1.1.7.2 Les équations de poisson des potentiels
Puisque les potentiels ne sont pas définis de manière unique, on impose entre les
potentiels −→ Aet Vla relation scalaire dite condition de Jauge de Lorentz :
div−→ A+1
c2
∂V
∂t = 0 (1.16)
A partir des équations de M.F, M.A, équations reliant les champs avec les potentiels et
la condition de Jauge de Lorentz, on établit les équations de poisson des potentiels :
∆V−1
c2
∂2V
∂t2+ρ ε0
= 0 (a)
∆−→ A−1
c2
∂2−→ A
∂t2+µ0
−→
j=−→ 0 (b)
(1.17)
Remarque : En dehors des charges et des courants, les équations de poisson (a) et
(b) se réduisent à des équations de d’Alembert.
1.1.7.3 Solution des potentiels retardés
Les solutions des équations de Poisson, en présence des sources d’extension finie,
sont données par :
V(M, t) = 1
4πε0ZZZτ
ρ(P, t −P M/c)
P M dτ (a0)
−→
A(M, t) = µ0
4πZZZτ
−→
j(P, t −P M/c)
P M dτ (b0)
(1.18)
A cause de phénomène de propagation à vitesse finie c, les potentiels au point Mà
l’instant tsont liés aux densités au point P, mais existant à l’instant antérieur t−P M/c,
P M/c représente le temps de retard dû à la propagation de l’onde pour aller du point
Pau point M.
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