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chap1 et 2 de l'electromagnetisme

CHAPITRE 1
ÉQUATIONS DE MAXWELL - PROPAGATION DES
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
Les quatre équations de Maxwell permettent d’expliquer tout phénomène électrique
et magnétique. Cette théorie permet de prévoir la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide à la vitesse de la lumière c. Les expériences de Michelson et
Morley (1881 - 1887 ) confirment le caractère universel de cette vitesse.
1.1
1.1.1
Champ électromagnétique
Sources du champ électromagnétique
Les sources du champ électromagnétique sont les charges de densité volumiques
→
−
→
−
totale ρ(M, t) et les courants de vecteur densités volumiques j (M, t), avec j (M, t) =
P →
−
−
ρi −
vi ou →
vi est la densité de charges mobiles à la vitesse →
vi .
i
1.1.2
Équation de conservation de la charge
Soit Q(t) la charge contenue, à l’instant t, dans un volume V fixe dans un référentiel
d’étude. Le bilan de charge entre, les instants t et t + dt, s’écrit de la façon suivante :
Q(t) = Q(t + dt) + dQech
(1.1)
avec dQech la charge échangée à travers la surface fermée S délimitant le volume V ,
entre les deux instants t et t + dt. D’où l’intensité du courant i à travers la surface S.
dQech
i=
=
dt
−
→
− →
j · dS
ZZ
S(V )
Les équations (1.1) et (1.2) donnent :
1
(1.2)
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
dQ
=
−
dt
−
→
− →
j · dS
ZZ
(1.3)
S(V )
RRR
En remplaçant dans l’équation (1.3), Q par
ρdV on obtient la forme intégrale de
l’équation de conservation de la charge donnée par l’équation (1.4).
ZZ
−
d
→
− →
j · dS +
dt
S(V )
ZZZ
(1.4)
ρdV = 0
V
RRR
RR
→
−
→
−
→
−
div j ·
Puis, en utilisant la formule de Green-Oestrogradsky : S(V ) j · d S =
V
dV ,permettant de transformer une intégrale double sur une surface fermée en une
intégrale triple sur le volume délimité par la surface fermée, on obtient la forme locale
de l’équation de conservation de la charge donnée par l’équation (1.4) (1.5).
dρ
→
−
div j +
=0
dt
1.1.3
(1.5)
Force de Lorentz
→
− →
−
Une charge q en mouvement dans un champ électromagnétique E , B , avec une vi→
−
−
tesse →
v au point M à l’instant t, subit la force de Lorentz F :
→
−
→
−
→
−
−
F = q[ E (M, t) + →
v ∧ B (M, t)]
(1.6)
→
−
→
−
→
−
Remarque : Si B est nul, la force de Lorentz se réduit à F = q E , dite force électrique.
1.1.4
Équations de Maxwell
Dans un référentiel galiléen, les équations de maxwell dans le vide, en présence de
charges et de courants, s’écrivent, en un point M à l’instant t :
→
−
ρ
div E =
ε0
→
−
−
∂B
−→→
rot E = −
∂t
→
−
div B = 0
→
−
−
∂E
→
−
−→→
rot B = µ0 j + µ0 0
∂t
(1) équation de Maxwell-Gauss (M-G)
(2) équation de Maxwell-Faraday (M-F)
(3) équation de Maxwell-Flux (M-Φ)
(4) équation de Maxwell-Ampère (M-A)
→
−
→
−
Les équations (1) et (2) expriment les propriétés intrinsèques de E (enV.m−1 ) et B (enT ),
alors que les équation (3) et (4) relient les champs avec les sources qui les créent.
Valeurs numériques :
c = 3.108 ms−1 ,
2
1
= 9.109 F −1 ,
4π0
µ0
= 10−7 H.m−1
4π
et
µ0 0 c2 = 1
Champ électromagnétique
Remarque : On peur établir l’équation de conservation de la charge à partir des
équations de Maxwell.
1.1.5
Contenu physique des équations de Maxwell
— L’équation (1) de M-G donne :
ZZ
→
− →
−
Qint
E · dS =
0
S(V )
(1.7)
→ C’est le théorème de Gauss, valable aussi en régime variable.
— L’équation (2) de M-F donne :
−
→
− →
dΦ
(1.8)
E ·d ` =−
dt
C
RR →
−
→
−
→ C’est le théorème de Faraday, avec Φ = S B · d S à travers la surface s’appuyant sur le contour fixe dans le référentiel galiléen d’étude.
— L’équation (3) de M-Φ donne :
I
→
− →
−
B · dS = 0
ZZ
(1.9)
S(V )
→
−
→ Le champ B est à flux conservatif.
— L’équation (4) de M-A donne :
I
C
−
→
− →
B · d ` = µ0
ZZ
−
1
→
− →
j dS + 2
c
S
ZZ
S
→
−
−
∂E →
· dS
∂t
(1.10)
→ C’est le théorème d’Ampère généralisé.
1.1.6
Équations de propagation des champs électrique et magnétique
dans le vide
Dans le vide, en absence de charges et de courants, les équations de Maxwell deviennent :
→
−
div E = 0
(1) équation de Maxwell-Gauss (M-G)
→
−
−
∂B
−→→
rot E = −
(2) équation de Maxwell-Faraday (M-F)
∂t
→
−
div B = 0
(3) équation de Maxwell-Flux (M-Φ)
→
−
−
∂E
−→→
rot B = µ0 0
(4) équation de Maxwell-Ampère (M-A)
∂t
→
− →
− →
−
→
−
Soit X ( E , B ...), le vecteur X vérifié l’équation suivante :
−−→
−
−→ −→ →
rot rot( X ) = grad
→
−
→
−
div X − ∆ X
(1.11)
3
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
1.1.6.1
Équations de propagation du champ électrique
L’équation 1.11 permet d’écrire pour le champ électrique :
−−→
−
−→ −→ →
rot rot( E ) = grad
→
−
→
−
div E − ∆ E
En utilisant les équations (1) et (2), on obtient :
→
−
→
−
∂B
−→
rot (−
) = −∆ E
∂t
−
→
−
∂ −→ →
(rot( B )) = −∆ E
∂t
→
−
→
−
−
1 ∂E
∂E
−→→
= 2
(MA) , on obtient l’équation de propaEn remplaçant : rot B par µ0 0
∂t
c
∂t
→
−
gation du champ E , donnée par :
⇒−
→
−
→
−
1 ∂2 E
→
−
∆E − 2 2 = 0
c ∂t
(1.12)
→
−
De même on démontre l’équation de propagation du champ B , donnée par :
→
−
→
−
1 ∂2 B
→
−
∆B − 2 2 = 0
c ∂t
(1.13)
Les équations 1.12 et 1.13 sont dites : Équations de D’ALEMBERT.
1.1.7
Potentiels électromagnétique
1.1.7.1
Passage des champs aux potentiels
→
−
L’équation (3) de Maxwell-flux conduit à définir le potentiel vecteur A (M, t) par :
→
−
−
−→→
B = rot A
(1.14)
→
−
−
−→→
En remplaçant B par rot A dans l’équation (2) de Maxwell-Faraday, on obtient :
→
−
−
∂A
−→ →
)=0
rot( E +
∂t
Ceci permet de définir le potentiel scalaire V (M, t) par :
→
−
−−→
→
−
∂A
E = −gradV −
∂t
→
−
Remarque : Les potentiels A et V ne sont pas définis de manière unique.
4
(1.15)
Champ électromagnétique
1.1.7.2
Les équations de poisson des potentiels
Puisque les potentiels ne sont pas définis de manière unique, on impose entre les
→
−
potentiels A et V la relation scalaire dite condition de Jauge de Lorentz :
→
−
1 ∂V
div A + 2
=0
(1.16)
c ∂t
A partir des équations de M.F, M.A, équations reliant les champs avec les potentiels et
la condition de Jauge de Lorentz, on établit les équations de poisson des potentiels :

1 ∂ 2V
ρ


 ∆V − 2 2 +
=0
(a)
c ∂t
ε0
→
−

→
−
1 ∂2 A
→
−
→
−

 ∆A −
+ µ0 j = 0 (b)
2
2
c ∂t
(1.17)
Remarque : En dehors des charges et des courants, les équations de poisson (a) et
(b) se réduisent à des équations de d’Alembert.
1.1.7.3
Solution des potentiels retardés
Les solutions des équations de Poisson, en présence des sources d’extension finie,
sont données par :
ZZZ
ρ(P, t − P M/c)
1
dτ (a0 )
4πε0
P
M
Z Z Z τ→
−
→
−
µ
j (P, t − P M/c)

0

 A (M, t) =
dτ (b0 )
4π
P
M
τ



 V (M, t) =
(1.18)
A cause de phénomène de propagation à vitesse finie c, les potentiels au point M à
l’instant t sont liés aux densités au point P , mais existant à l’instant antérieur t−P M/c,
P M/c représente le temps de retard dû à la propagation de l’onde pour aller du point
P au point M .
5
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
1.1.7.4
Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) ou quasi-permanents
(ARQP)
Une telle approximation consiste à négliger le temps de retard P M/c devant le temps
→
−
caractéristique de l’évolution des densités ρ(P, t) et j (P, t). Ceci permet d’écrire :
1
V (M, t) =
4πε0
ZZZ
V
ρ(P, t)
dτ
PM
µ0
et V (M, t) =
4π
ZZZ →
−
j (P, t)
dτ
PM
V
Conséquence : Calcul du champ magnétique dans l’ARQS.
→
−
−
→
−
µ0
−→→
L’équation B = rot A donne B (M, t) =
4π
V −−→
ZZZ →
−
j (P, t) P M
dτ
P M3
τ
→ La loi de Biot et Savart reste donc valable dans l’ARQS.
1.2
1.2.1
Bilan d’énergie
Énergie électromagnétique cédée à une distribution de charge
−
Soit dq une charge élémentaire de volume dτ et de vitesse →
v , dans champ électroma→
− →
−
gnétique ( E , B ).
→
−
→
− −
→
−
La charge est soumise à la force de Lorentz F = dq( E + →
v × B ), sa puissance est
donnée par :
→
− −
→
− − →
− −
→
− −
dP = F .→
v = dq( E + →
v × B ).→
v = dq E .→
v
La puissance volumique PV =
dP
s’exprime par :
dτ
→
−
−
dP
→
− →
−
= ρ→
v .E = j .E
(1.19)
dτ
Par conséquence, l’énergie électromagnétique cédée à une distribution de charge de
volume τ entre les instants t et t + dt
PV =
−
→
− →
j . E dτ dt
ZZZ
Wcédée =
(1.20)
τ
1.2.2
Vecteur Poynting et énergie rayonnée
1.2.2.1
Vecteur Poynting
Définition : On définit le vecteur poynting instantané en un point M à l’instant par :
→
−
→
−
E (M, t) ∧ B (M, t)
→
−
π (M, t) =
µ0
6
(1.21)
Bilan d’énergie
1.2.2.2
Énergie rayonnée
L’énergie électromagnétique rayonnée à travers une surface S entre les instants t et
t + dt est donnée par :
→
−
→
−
π d S dt
ZZ
Wray =
(1.22)
S
→
−
−
−
avec d S = dS →
n vecteur élément de surface en un point de la surface S et →
n vecteur
unitaire normale à dS
1.2.3
Densité volumique d’énergie électromagnétique et énergie
La densité volumique d’énergie électromagnétique, notée ωem , est donnée par :
−
−2
1 →
1 →
ωem = 0 E 2 +
B
2
2µ0
(1.23)
Par conséquence, l’énergie électromagnétique se trouvant de le volume τ , à l’instant
t est :
ZZZ
ωem dτ
(1.24)
Wem (t) =
τ
1.2.4
Équation locale de conservation d’énergie
En faisant un bilan d’énergie à une distribution de charge de volume τ , délimité par
la surface fermée S, entre les instants t et t + dt.
Wem (t) = Wem (t + dt) + Wray + Wcédée ⇒ −(W (t + dt) − W (t)) = Wray + Wcédée
⇒
−
⇒
d
−
dt
⇒
ZZZ
→
−
→
−
π d S dt +
ZZ
ωem dτ dt =
τ
ZZZ
−
τ
⇒
dWem
dt = Wray + Wcédée
dt
S
∂ωem
dτ dt =
∂t
→
−
→
−
π d S dt +
ZZ
S
τ
→
−
→
−
π d S dt +
ZZ
(
τ
−
→
− →
j . E dτ dt
ZZZ
S
ZZZ
−
→
− →
j . E dτ dt
ZZZ
τ
−
∂ωem →
− →
+ j . E )dτ dt = 0
∂t
le théorème d’OSTROGRADSKY :
ZZ
ZZZ
→
−
→
−
−
π dS =
div →
π dτ
S
τ
7
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
permet d’écrire :
ZZZ
−
(div →
π +
τ
−
∂ωem →
− →
+ j . E )dτ dt = 0
∂t
cela Conduit à l’équation locale de conservation de l’énergie :
−
div →
π +
−
∂ωem →
− →
+ j .E = 0
∂t
(1.25)
Exercice : Retrouver l’équation 1.25, de conservation de l’énergie électromagnétique, à partir des équations de maxwell.
→
−
→
−
→
−
−
−
−
on donne : div.(→
a ∧ b ) = b .rot→
a −→
a .rot b
1.3
Relation de passage
Dans cette paragraphe, on cherche à établir les relations de passage des champs électrique et magnétique entre deux milieux différents (1) et (2).
Considérons une surface S, caractérisée par une densité surfacique σ et une densité
→
−
de courant js , Elle sépare deux milieux (1) et (2).
1.3.1
Relations de passage relatives au champ électrique
Soit M un point de la surface, M1 et M2 deux points de part et d’autre de S et sont
voisins de M ( Voir figure ci-dessus ).
→
−
ρ
L’équation de Maxwell-Gauss div E =
permet d’écrire :
0
∂Ex ∂Ey ∂Ez
ρ
+
+
=
∂t
∂t
∂t
0
On intègre cette équation entre les points M1 et M2 :
Z
M2
M1
8
∂Ex ∂Ey ∂Ez
+
+
∂x
∂y
∂z
Z
M2
dz =
M1
ρ
dz
0
Propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide
⇒
Z
M2
M1
∂Ex ∂Ey
+
∂x
∂y
dz + Ez (M2 ) − Ez (M1 ) =
σ
0
∂Ex
Étant donnée que, la discontinuité du milieu se fait suivant z, alors les quantités
∂t
∂Ey
ont des valeurs finies. Il en résulte :
et
∂t
Z M2
Z M2
∂Ex
∂Ey
dz =
dz = 0
pour M1 et M2 tendent vers M
∂x
∂y
M1
M1
Il reste :
Ez (M2 ) − Ez (M1 ) =
σ
0
(1.26)
De même, on montre que la projection de l’équation Maxwell-Faraday sur les axes
Ox et Oy permet d’obtenir :
Ex (M2 ) − Ex (M1 ) = 0
(1.27)
Ey (M2 ) − Ey (M1 ) = 0
(1.28)
On peut regrouper les trois relations scalaires précédentes 1.26, 1.27 et 1.28 en une
seule relation vectorielle, donnée par :
→
−
→
−
σ−
n 1→2
E (M2 ) − E (M1 ) = →
0
(1.29)
−
avec →
n 1→2 vecteur unitaire normal à la surface S en M et dirigé du milieu (1) vers le
milieu (2).
1.3.2
Relations de passage relatives au champ magnétique
De la même façon, si on utilise les équations de Maxwell-Flux et Maxwell-Ampère,
on montre :
→
−
→
−
→
− −
B (M2 ) − B (M2 ) = µ0 js ∧ →
n 1→2
1.4
(1.30)
Propagation des ondes électromagnétiques planes dans
le vide
1.4.1
Onde plane - définitions et propriété
— Une onde est un phénomène décrit par une fonction s qui dépend, à la fois, des
coordonnées d’espace et du temps : s(M, t).
9
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
— Une onde plane : Une onde décrite par la fonction s(M, t) est dite plane, s’il est
possible de trouver un système de coordonnées cartésiennes, tel que la fonction
d’onde s(M, t) ne dépend que d’une seule coordonnée d’espace, par exemple z
et du temps : s(z, t) ( ou bien s(x, t), ou bien s(y, t) ).
— Propriété : Pour l’onde plane s(z, t), à l’instant t, l’onde a la même valeur en tout
point M de plan π perpendiculaire l’axe Oz. Le plan π est appelé Plan d’onde et
l’axe (oz) la direction de propagation.
1.4.2
Ondes électromagnétiques planes
1.4.2.1
Équation de d’ALEMBERT d’ordre 1
On considère une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide en ab→
−
sence de charges (ρ = 0) et de courant ( j = 0). On rappelle que les équations de
propagation des champs électrique et magnétique sont :
→
−
→
−
→
−
→
−
1 ∂2 E
∂2 B
1 ∂2 B
∂2 E
→
−
→
−
− 2 2 = 0 et
− 2 2 = 0
2
2
∂z
c ∂t
∂z
c ∂t
La projection de chaque équation sur les axes Ox, Oy et Oz d’un repère orthonormé
donne :
1 ∂ 2s
∂ 2s
−
=0
(1.31)
∂z 2 c2 ∂t2
C’est l’équation de d’ALEMBERT à une dimension ( s = Ex , Ey , Ez , Bx , By ou Bz ).
une telle équation peut se mettre sous la forme :
∂s 1 ∂s
+
∂z c ∂t2
∂s 1 ∂s
−
∂z
c ∂t2
z
On introduit les variables suivantes : p = t −
et
c
q =t+
Ce qui donne :
∂
∂p ∂
∂q ∂
1 ∂
1 ∂
=
+
=−
+
∂z
∂z ∂p ∂z ∂q
c ∂p c ∂q
et
∂
∂p ∂
∂q ∂
∂
∂
=
+
=
+
∂t
∂t ∂p ∂t ∂q
∂p ∂q
En remplaçant
∂
∂
et
dans l’équation 1.32, elle devient :
∂z
∂t
∂ ∂s
=0
∂p ∂q
Donc, la solution de l’équation de D’ALEMBERT est :
10
(1.32)
=0
z
c
Propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide
z
z
+ f− t +
s(z, t) = f+ t −
c
c
z
• Signification physique de : f+ t −
c
(1.33)
Pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide, en absence de charges
et du courant, et sans atténuation, on écrit :
f+
z
z + ∆z
t−
= f+ t + ∆t −
c
c
⇒
∆z = c∆t 0
Finalement, f+ t − zc représente une onde électromagnétique plane progressive (OEMPP),
qui se propage à la célérité c dans le sens des z croissants.
z
• Signification physique de f− t +
c
De même, l’onde se propage dans le vide, sans atténuation, donc :
z
z + ∆z
f− t +
= f− t + ∆t +
c
c
⇒
∆z = −c∆t ≺ 0
D’où : f− t + zc représente une onde électromagnétique plane progressive (OEMPP),
qui se propage à la célérité c dans le sens des z décroissants.
1.4.2.2
Structure d’une onde électromagnétique plane progressive
On considère une onde électromagnétique plane progressive se propageant dans le
sens des z croissants : f+ t − zc = f+ (p)
Soit (O, x, y, z) un trièdre direct, cherchons l’expression de l’opérateur divergent div,
→
−
∂
noté ∇ (opérateur Nabla) et celui de l’opérateur dérivé
:
∂t
→
−
∂ →
∂ →
∂ −
∂ −
∂ →
∂p ∂ →
1 d→
−
−
−
−
−
∇=
ux+
uy + →
uz =0+0+ →
uz =
uz =
uz =−
uz
∂x
∂y
∂z
∂z
∂z
∂z ∂p
c dp
et
∂
∂p d
d
=
=
∂t
∂t dp
dp
11
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
→
−
1 d→
−
Remarque : La dernière expression : ∇ = −
u z n’est valable que si l’onde est une
c dp
OPP.
Soient les équations de MAxwell - Gauss et MAxwell-Flux :
(
→
−
→
− →
−
div E = ∇. E = 0
→
−
→
− →
−
div B = ∇. B = 0
: M-G(absence de charge ρ = 0)
: M-Flux
⇒

1 dEz →
−

 −
uz =0
c dp
1 dBz →

−
 −
uz =0
c dp
⇒ Ez = Cte
⇒ Bz = Cte
Soient Ez = 0 et Bz = 0 , car on est en dehors de tout champ stationnaire constant.
→
−
→
−
Un champ constant ne se propage pas. Il en résulte que les champs E et B sont per−
pendiculaires à →
u z.
On dit que l’onde plan progressive est transversale, c’est une TEM ( transverse électrique et magnétique).
→
−
→
−
→
−
−
∂B
∂E
−→→
⇒∇∧ E =−
l’équation de MAxwell - Faraday : rot E = −
∂t
∂t
→
−
→
−
−
→
−
−
1 d→
dB
d →
uz →
dB
−
−
uz ∧ E =−
⇒ (
∧ E) =
c dp
dt
dp c
dp
Par identification :
12
→
−
→
−
−
uz →
B =
∧E
c
pour une OPP
Propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide
→
−
→
−
−
— les vecteurs →
u z , E et B forment un trièdre direct
−
— Dans le cas général, pour une propagation suivant un vecteur unitaire →
u cette
→
−
→
−
−
u →
relation devient B =
∧E
c
→
−
→
−
|E |
— Le calcul précédent nous montre que : | B | =
c
→
−
−
Remarque 1 : E n’est pas forcement suivant →
u x , il peut avoir deux composantes
→
−
Ex et Ey . De même pour B , il peut avoir deux composantes Bx et By . Mais, pour une
propagation qui se fait suivant Oz, on toujours Ez = 0 et Bz = 0.
Remarque 2 : L’onde sphérique : Onde électromagnétique émise par une source
ponctuelle, Il s’agit d’un modèle plus réaliste que l’onde plane. Une onde est dite sphérique si les composantes du champ en tout point de l’espace ne dépendent que de la
distance r de ce point à la source.
→
−
|E |
Remarque 3 : L’impédance caractéristique de l’onde est la quantité : ZC = µ0 →
−
|B |
1.4.3
Onde électromagnétique plane progressive et monochromatique
1.4.3.1
Définitions
Considérons uniquement la solution d’onde se propageant vers les r croissants. Une
onde plane progressive monochromatique est telle que son champ électrique ( de même
pour le champ magnétique) a la forme :
→
− −
→
−
→
−
E = E m cos(ωt − k .→
r)
→
−
−
→
−
→
−
u .→
r
ou E = E m cos(ω(t −
))
c
où :
→
−
— E m est l’amplitude du champ électrique
— ω est la pulsation (rad.s−1 )
→
−
−
— k = ωc →
u est le vecteur d’onde, de coordonnées kx , ky et kz (en m−1 )
−
— →
u : direction de propagation
1.4.3.2
Notation complexe
En notation complexe, le champ électrique s’écrit :
→
− −
→
−
→
−
r)
E = E m exp i(ωt − k .→
la notation complexe est un moyen mathématique permettant de simplifier les calculs. On ne peut l’utiliser qu’en régime sinusoïdal établi et pour les équations différentielles et les grandeurs instantanées linéaires.
13
Équations de Maxwell - propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
→
−
→
−
Soient : ∇ = −i k
1.4.3.3
⇒
→
−
∆ = ∇ 2 = −k 2
et
∂
∂2
= iω ⇒ 2 = −ω 2
∂t
∂t
Cas particulier
→
−
Si la propagation se fait suivant Oz le champ E s’exprime de la façon suivante :
→
−
→
−
E (z, t) = E m exp i(ωt − kz)
→
−
→
−
→
−
— E m = E mx + E my est indépendant de x, y, z et t
→
−
−
u z vecteur d’onde en notation complexe et ω la pulsation de l’onde (tou— k = k→
jours réelle)
→
− −
−
−
−
−
— k .→
r = k→
u z .(x→
u x + y→
u y + z→
u z ) = kz
→
−
→
−2
∂
∂2
→
−
2
Soient : ∇ = −ik u z ⇒ ∆ = ∇ = −k
et
= iω ⇒ 2 = −ω 2
∂t
∂t
1.4.3.4
Intérêt des ondes planes monochromatiques
L’ onde plane progressive monochromatique (OPPM) n’a pas de sens physique. Son
intérêt vient du fait que la superposition de telles ondes correspond à des solutions
réalistes.
1.4.3.5
Relation de dispersion
C’est la relation entre le vecteur d’onde k et la pulsation ω, elle déduite à partir de
→
−
l’équation de propagation de champ E , qui s’écrit dans le vide en absence de charges
et de courants.
→
−
→
−
1 ∂2 E
→
−
∆E − 2 2 = 0
c ∂t
∂2
= −ω 2
∂t2
ω
d’où la relation de dispersion pour une propagation à z croissant : k =
c
→
−
Or ∆ = ∇ 2 = −k 2
1.4.3.6
et
Vitesse de phase
C’est la vitesse des plans équiphases : ωt − kz = Cte
vϕ =
dz
ω
=
dt
k
dans le vide, la vitesse de phase est :
vϕ =
14
ω
=c
k
Applications
Commentaire : Puisque vϕ est indépendante de ω, on dit que le vide est un milieu
non dispersif.
Remarque : les fréquences et les longueurs d’ondes électromagnétiques dans le vide.
1.4.3.7
Aspect énergétique
— Vecteur poynting instantané :
→
−
→
−
Re( E (M, t)) ∧ Re( B (M, t))
→
−
π =
µ0
— Re : partie réelle.
— Attention :
→
−
→
−
Re( E (M, t) ∧ B (M, t))
→
−
π 6=
µ0
→
−
→
−
E (M, t) ∧ B ∗ (M, t)
→
−
— Vecteur poynting complexe π (M, t) =
µ0
— Valeur moyenne du vecteur poynting :
−
→
→
−
1
1
−
−
Re( E (M, t) ∧ B ∗ )
π)=
<→
π (M ) >= Re(→
2
2µ0
— densité volumique de l’énergie électromagnétique :
→
−
→
−
1
1
ωem = 0 Re( E )2 +
Re( B )2
2
2µ0
1.5
Applications
: Travaux dirigés ( TD N 1 )
15
CHAPITRE 2
POLARISATION DES ONDES PLANES PROGRESSIVES
MONOCHROMATIQUES
Dans ce chapitre, on se propose d’étudier les différentes états de polarisation d’une
onde onde plane progressive monochromatique. Puis, comment produire et analyser
une lumière polarisée rectilignement, circulairement droite et gauche, puis elliptiquement droite et gauche.
2.1
Définition
Une onde plane progressive monochromatique (OPPM) est dite polarisée, si l’extré−−→ →
−
mité A du vecteur M A = E (M, t) décrit une courbe invariante au cours du temps.
2.2
2.2.1
Polarisation d’une OPPM
Cas général : polarisation elliptique
Considérons une onde plane monochromatique se propageant suivant z croissant.
→
−
Les composantes de champ E sont :


 Ex = E0x cos(ωt − kz + ϕx ), Emx > 0
→
−
E (z, t) =
Ey = E0y cos(ωt − kz + ϕy ), Emy > 0


Ez = 0
→
−
Dans le plan xOy, l’extrémité A du champ E décrit une courbe inscrite dans un
rectangle de côtés 2E0x et 2E0y
16
Polarisation d’une OPPM
Si on pose p = ωt − kz + ϕx , alors :
→
−
E (z, t) =
(
Ex = E0x cos(p)
Ey = E0y cos(p + ϕ),
avec ϕ = ϕy − ϕx
Cherchons la relation entre Ex et Ey par élimination de p c-à-d du temps.
Remarque : Tous se passe comme si on cherche autrement l’équation de la trajectoire
du point A, avec :
−→
OA =
(
xA = E0x cos(p)
yA = E0y cos(p + ϕ),
avec ϕ = ϕy − ϕx
Tout calcul fait, on trouve :
Ey2
2Ex Ey
Ex2
+
−
cos ϕ = sin2 ϕ
2
2
E0x E0y E0x E0y
(2.1)
Il s’agit de l’équation d’une ellipse. Par conséquent, une onde PPM est généralement
polarisée elliptiquement, avec deux possibilité de parcours : droite ou gauche.
Pour déterminer le sens de parcours de l’ellipse (ou de rotation), on calcule la quantité :
17
Polarisation des ondes planes progressives monochromatiques
−−→
−−→ dM A
MA ∧
à z fixe
(2.2)
dt
−−→
−−→ dM A
−
Tout calcul fait, on trouve :
MA ∧
= −ωE0x E0y sin ϕ→
uz
dt
−
Puisque E0x et E0y sont positives, alors la quantité vectorielle a le même sens que →
uz
si sin ϕ est négative, dons si :
−π < ϕ < 0
Dans cette condition, le sens de parcours de l’ellipse est le sens trigonométrique. on
dit que l’OEMPPM est polarisée elliptiquement gauche.
Il sera donc polarisée elliptiquement droite si :
0<ϕ<π
2.2.2
Cas particuliers
2.2.2.1
Polarisation circulaire
∗ Si E0x = E0y = E0 et ϕ =
π
, alors l’équation ?? devient :
2
Ex2 + Ey2 = E02
⇒ L’OEMPPM est polarisée circulairement droite.
π
∗ Si E0x = E0y = E0 et ϕ = − , alors l’équation ?? devient :
2
Ex2 + Ey2 = E02
⇒ L’OEMPPM est polarisée circulairement gauche.
2.2.2.2
Polarisation rectiligne
La polarisation rectiligne correspond au cas où le champ électrique garde une direction constante au cours du temps.
∗ Si ϕ = 0, alors l’équation ?? devient :
Ey =
E0y
Ex
E0x
⇒ L’OEMPPM est polarisée rectilignement I.
∗ Si ϕ = π, alors l’équation ?? devient :
Ey = −
18
E0y
Ex
E0x
lumière non polarisée ou lumière naturelle
⇒ L’OEMPPM est polarisée rectilignement II.
De plus :
— si E0x 6= 0 et E0y = 0, alors Ex 6= 0 et Ey = 0 ⇒ L’OEMPPM est polarisée
rectilignement suivant Ox. Pour un observateur placé dans le plan de cote fixée,
le champ oscille en fonction du temps le long de l’axe Ox.
— si E0x = 0 et E0y 6= 0, alors Ex = 0 et Ey 6= 0 ⇒ L’OEMPPM est polarisée
rectilignement suivant Oy. Pour un observateur placé dans le plan de cote fixée,
le champ oscille en fonction du temps le long de l’axe Oy.
2.2.2.3
Polarisation elliptique
Il s’agit d’une situation où les axes de l’ellipse coïncident avec les axes Ox et Oy. Ceci
est réalisée,dans les condition suivantes :
1. si E0x 6= E0y et ϕ =
2. si E0x 6= E0y
2.3
Ey2
E2
π
, l’équation ?? s’écrit : 2x + 2 = 1
2
E0x E0y
Ey2
Ex2
π
et ϕ = − , l’équation ?? s’écrit : 2 + 2 = 1
2
E0x E0y
lumière non polarisée ou lumière naturelle
— dans le domaine des fréquences du visible, on donne le nom de vibration ou onde
lumineuse aux ondes électromagnétiques.
19
Polarisation des ondes planes progressives monochromatiques
— la source classique (sources spectrales : Na, Cd, Hg...) émet des signaux sinusoïdaux de courtes durées (τc w 10−9 s), appelés trains d’ondes.
Considérons un train d’onde train se propageant dans le vide et dans le sens des z
croissants :


 Ex = E0x cos(ωt − kz + ϕx )
→
−
E (z, t) =
Ey = E0y cos(ωt − kz + ϕy )


Ez = 0
ϕx et ϕy varient aléatoirement d’un train d’onde à l’autre. par conséquence l’état de
polarisation varie aussi d’un train d’onde à l’autre, on dit que la lumière émise est non
polarisée.
2.4
2.4.1
Dispositifs d’étude de la polarisation
Polariseur
Il s’agit d’une feuille en plastique fortement étirée dans une direction, cette direction
est rendue conductrice par l’addition des ions iodures I − par exemple.
20
Dispositifs d’étude de la polarisation
La composante Ey du champ met en mouvement les électrons de la chaine moléculaire, donc cette composante est absorbée. Alors que la composante Ex passe à travers
le polariseur, et écrit :
→
−
→
−
E av (avant le polariseur) = E
et
→
−
→
−
E ap (après le polariseur) = E x
⇒ on constate qu’après le polariseur, la lumière est polarisée suivant Ox
Conclusion : Un polariseur permet d’obtenir une lumière polarisée rectilignement.
2.4.2
Analyseur
C’est un polariseur permettant d’identifier une lumière polarisée rectilignement.
2.4.3
Lois de MALUS
2.4.3.1
Intensité lumineuse
On définit l’intensité lumineuse I, comme étant la valeur moyenne du module de
vecteur Poynting
I =<| π(M, t) |>
2.4.3.2
(2.3)
Lois de MALUS
— Avant le polariseur, la lumière est non polarisée. En notation complexe, l’expression du champ électrique se propageant dans le vide et dans le sens des z
croissants est :
→
−
→
−
E (z, t) = E 0 exp i(ωt − kz)
→
−
→
−
→
−
→
−
−
avec E 0 = E 0x + E 0y et k = k →
uz
21
Polarisation des ondes planes progressives monochromatiques
D’où l’expression de l’intensité lumineuse Iavant avant le polariseur est :
Iavant
→
−
| E |2
=
2µ0 c
— Entre le polariseur et l’analyseur, l’expression de l’intensité lumineuse I0 est :
→
−
| E 0x |2
I0 =
2µ0 c
— Après l’analyseur, l’intensité lumineuse I est :
→
−
| E 0x |2
cos2 α
I=
2µ0 c
α étant l’angle entre l’index du polariseur et de l’analyseur.
D’où la loi de MALUS :
I = I0 cos2 α
Remarque : On peut également étudier l’état de polarisation d’une OPPM à l’aide
des lame à retard ou lame cristalline : lame quart d’onde ( λ4 ) et lame demi d’onde ( λ2 ).
2.4.4
22
Lame à retard ou lame cristalline