Rombaldi -2018- cours d algèbre de la licence et le CAPES

Cours d’algèbre pour la licence et le Capes
Jean-Étienne ROMBALDI
26 avril 2018

ii

Table des matières
Avant-propos ix
Notation xi
I Notions de base 1
1 Éléments de logique et de théorie des ensembles 3
1.1 Quelques notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Les connecteurs logiques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Quelques méthodes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Notions de base sur les ensembles. Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Les symboles et ................................ 12
1.6 Les théorèmes de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 L’algèbre des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Applications. Notions d’injectivité, surjectivité et bijectivité . . . . . . . . . . . 29
2 Analyse combinatoire 39
2.1 Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Ensembles infinis dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Arrangements et permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Combinaisons ..................................... 44
2.5 Problèmesdetirage.................................. 44
2.6 Nombres de surjections entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Le problème des rencontres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Relations d’ordre et d’équivalence 45
4 L’ensemble Ndes entiers naturels 47
5 L’ensemble Zdes entiers relatifs 49
6 L’ensemble Qdes nombres rationnels 51
7 Le corps Cdes nombres complexes 53
7.1 Conditions nécessaires à la construction de C.................... 53
7.2 Construction de C.................................. 54
7.3 Conjugué et module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 Les équations de degré 2............................... 65
7.5 Les équations de degré 3et 4............................ 69
iii

iv
7.6 Arguments d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.7 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
II Algèbre linéaire et bilinéaire sur Rou C89
8 Espaces vectoriels réels ou complexes 91
8.1 L’espace vectoriel Kn................................. 91
8.2 Définition d’un espace vectoriel réel ou complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Sous-espacesvectoriels ................................ 94
8.4 Applicationslinéaires................................. 99
8.5 La base canonique de Knet expression matricielle des applications linéaires de
Kndans Km......................................103
8.6 Matrices réelles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.6.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.6.2 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.6.3 Déterminant d’une matrice d’ordre 2....................115
8.6.4 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6.5 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.7 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.8 Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 119
9 Espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie 123
9.1 Systèmes libres, systèmes générateurs et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 Rang d’un système de vecteurs ou d’une application linéaire . . . . . . . . . . . 134
9.4 Expression matricielle des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.5 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10 Opérations élémentaires et déterminants 145
10.1 Opérations élémentaires. Matrices de dilatation et de transvection . . . . . . . . 146
10.2 Déterminants des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.4 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11 Formes bilinéaires et quadratiques réelles ou complexes 165
11.1Formeslinéaires....................................165
11.2Formesbilinéaires...................................169
11.3 Expression matricielle des formes bilinéaires (en dimension finie) . . . . . . . . . 170
11.4Formesquadratiques .................................177
11.5 Théorème de réduction de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.5.1 Cas des espaces de dimension 2.......................182
11.5.2 Cas des espaces de dimension n≥1.....................184
11.6 Orthogonalité, noyau et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.7 Signature d’une forme quadratique réelle en dimension finie . . . . . . . . . . . . 207
11.8 Quadriques dans Rnou Cn..............................211
11.9 Quadriques dans Rn.................................214

v
12 Espaces préhilbertiens 217
12.1Produitscalaire....................................217
12.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.3Orthogonalité.....................................229
12.4 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.5 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie . . . . . . . . . . . 238
12.6 Caractérisation des projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien . . . . . . 247
12.7 Réduction des matrices symétriques réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13 Géométrie dans les espaces préhilbertiens 249
13.1 Mesures de l’angle non orienté de deux vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . 249
13.2 Sphères dans un espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.3 Sphères dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.4 Hyperplans dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.5 Hyperplan médiateur dans un espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
13.6 Intersection d’un hyperplan et d’une sphère dans un espace euclidien . . . . . . 260
13.7 Intersection de deux sphères dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . 261
13.8Inversion........................................264
13.9 Symétries orthogonales dans les espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
13.10Isométries .......................................267
13.11Orientation d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
13.12Produit vectoriel dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.13Isométries en dimension 2..............................279
13.13.1Isométries directes ou rotations. Angles orientés de vecteurs . . . . . . . 279
13.13.2Isométries indirectes ou réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13.14Isométries en dimension 3..............................283
13.14.1Isométries directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
14 Espaces préhilbertiens complexes 289
14.1Produitsscalaires...................................289
14.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
III Géométrie affine 297
15 Espaces affines 299
15.1 Définition d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.2Sous-espacesaffines..................................299
15.3Barycentres ......................................299
15.4 Équations cartésiennes d’une droite du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
15.5 Le triangle dans le plan affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.5.1 Médianes d’un triangle, centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.5.2 Médiatrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
15.5.3 Hauteurs d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
16 Espaces affines euclidiens 307
17 Applications affines 309