Electromagnétisme

Electromagnétisme
2019-2020
ECAM 3 étudiant

Auteur : Olivier BECHU
Département : Informatique et Télécommunications
Electromagnétisme
SOMMAIRE
Introduction : Rappels sur les champs électriques et magnétiques ________________ 4
1.
1.1.
1.2.
2.
2.1.
2.2.
Rappels d’électrostatique (champ électrique) __________________________________ 4
Champ électrique créé par une charge ponctuelle ______________________________ 4
Champ électrique créé par une distribution de charge ___________________________ 5
Rappels de magnétostatique (champ magnétique) ______________________________ 6
Source de champ magnétique ______________________________________________ 7
Les forces électromagnétiques _____________________________________________ 9
Chapitre 1 : Les ondes électromagnétiques et acoustiques ______________________ 14
1.1
1.2.
Qu'est-ce qu'une onde électromagnétique ? __________________________________ 14
Analogies et différences avec les ondes acoustiques ___________________________ 17
Chapitre 2 : Caractéristiques des milieux de propagation ______________________ 18
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Linéarité _____________________________________________________________ 18
Perméabilité et permittivité_______________________________________________ 18
Isotropie _____________________________________________________________ 18
Homogénéité __________________________________________________________ 18
Milieu LHI ___________________________________________________________ 19
Plan du cours__________________________________________________________ 19
Chapitre 3 : Equations de Maxwell dans le vide ______________________________ 20
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
Passage de la forme locale à la forme intégrale _______________________________ 21
Contenu physique des équations de Maxwell _________________________________ 23
Origine de la densité de courant de déplacement ______________________________ 24
Conservation de la charge ________________________________________________ 24
Conditions aux limites __________________________________________________ 25
Les potentiels _________________________________________________________ 25
Choix d'une jauge ______________________________________________________ 27
Les potentiels retardés __________________________________________________ 29
Chapitre 4 : Propagation du champ électromagnétique dans le vide _____________ 30
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
Equation de propagation dans le vide _______________________________________ 30
Solutions de l'équation d'onde ____________________________________________ 31
Onde progressive et onde stationnaire ______________________________________ 33
Structure de l'onde plane progressive _______________________________________ 34
Représentations des ondes planes progressives monochromatiques _______________ 36
Polarisation des ondes planes sinusoïdales ___________________________________ 38
Vitesse de phase _______________________________________________________ 41
Vitesse de groupe ______________________________________________________ 41
Chapitre 5 : Energie électromagnétique Vecteur de Poynting ___________________ 42
5.1.
5.2.
Energie du champ électromagnétique _______________________________________ 42
Cas de l'onde plane progressive ___________________________________________ 45
Chapitre 6 : Indications sur l'électromagnétisme des milieux matériels ___________ 47
6.1.
6.2.
Distinction entre charges libres et charges liées _______________________________ 47
Conducteurs et diélectriques ______________________________________________ 47
Chapitre 7 : Milieux diélectriques - Polarisation ______________________________ 48
7.1.
7.2.
Moment dipolaire et polarisation __________________________________________ 48
Polarisation et distribution de charges équivalente ____________________________ 48
2
Electromagnétisme
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
r
r
Exemple de calcul de E p créé par P connue ________________________________ 49
Champ dépolarisant ____________________________________________________ 50
r
Equations de Maxwell - Vecteur D ________________________________________ 51
Susceptibilité__________________________________________________________ 51
Autre écriture des équations de Maxwell ____________________________________ 52
Aspect dynamique _____________________________________________________ 53
Chapitre 8 : Milieux magnétiques - Aimantation _____________________________ 54
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
Moment magnétique et aimantation ________________________________________ 54
Aimantation et distribution de courants équivalente ___________________________ 55
r
r
Exemple de calcul de Bm créé par M connue ________________________________ 55
r
Equations de Maxwell - Vecteur H ________________________________________ 57
Susceptibilité__________________________________________________________ 58
Autre écriture des équations de Maxwell ____________________________________ 59
Aspect dynamique _____________________________________________________ 59
Chapitre 9 : Equations de Maxwell dans les milieux matériels __________________ 60
9.1.
9.2.
9.3.
Equations de Maxwell dans un milieu matériel _______________________________ 60
Cas des milieux LHI ____________________________________________________ 61
Conditions aux limites __________________________________________________ 61
Chapitre 10 : Ondes planes dans un diélectrique non magnétique _______________ 62
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
Equations de Maxwell __________________________________________________ 62
Equation de propagation _________________________________________________ 62
Relation de dispersion dans le cas de l'onde plane _____________________________ 63
Cas d'une onde plane dans un milieu diélectrique non absorbant _________________ 63
Cas d'une onde plane dans un milieu diélectrique absorbant _____________________ 65
Impédance du milieu____________________________________________________ 68
Chapitre 11 : Propagation dans un milieu bon conducteur _____________________ 69
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
Equations de Maxwell - densité de courants de déplacement ____________________ 69
Equation de propagation _________________________________________________ 70
Relation de dispersion dans le cas de l'onde plane - Expression des champs_________ 70
Energie ______________________________________________________________ 72
Applications des effets de propagation dans les conducteurs _____________________ 73
Chapitre 12 : Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques ______________ 75
13.1.
13.2.
13.3.
Cas de deux diélectriques LHI non magnétiques et non absorbants _______________ 75
Réflexion et réfraction à la surface d'un bon conducteur ________________________ 86
Réflexion à la surface d'un conducteur parfait – les guides d'ondes _______________ 88
Chapitre 13 : Rayonnement des antennes ___________________________________ 99
14.1.
14.2.
14.3.
Rappels sur les potentiels retardés _________________________________________ 99
Rayonnement lointain du dipôle oscillant __________________________________ 100
Rayonnement d'une antenne demi-onde ____________________________________ 106
Systèmes de coordonnées ________________________________________________ 107
Formulaire d'analyse vectorielle __________________________________________ 109
Définition de l’angle solide _______________________________________________ 115
3
Electromagnétisme
Introduction :
Rappels sur les champs électriques et magnétiques
Celui qui ne sait rien en sait toujours autant que celui qui n’en sait pas plus que lui. Et réciproquement.
Pierre Dac
1. Rappels d’électrostatique (champ électrique)
1.1. Champ électrique créé par une charge ponctuelle
Une particule au point O et de charge électrique q (en Coulomb) créé un champ électrique radial au
point M :
r
r
r
E Ur
Ur
M
M
r
E
q>0
q<0
r
1 q r
E=
Ur
4πε 0 r ²
Le champ électrique créé par q est :
 Radial (direction),
 Dirigé vers l’extérieur si q > 0 et vers l’intérieur si q<0 (sens)
 D’amplitude E (r ) =
q
(unité : V / m) (norme)
4πε 0 r ²
1
Constante diélectrique ε 0 =
1
10 −9 (unité : F / m)
36π
La force électrostatique créée sur une particule test q0 s’écrit :
r
r
F = q0 E
Et permet de définir que :
• 2 charges de même signe se repoussent,
• 2 charges de signe opposé s’attirent
Champ électrique entre 2 charges de signe opposé
4
Electromagnétisme
1.2. Champ électrique créé par une distribution de charge
1.2.1. Théorème de superposition
Le champ électrostatique créé en un point par un ensemble de charges est la somme vectorielle des
champs électrostatiques créés en ce point par les différentes charges.
1.2.2. Cas d'un ensemble de charges ponctuelles qi
r
Les charges qi sont respectivement localisées aux points Pi et génèrent un champ électrique Ei .
Le champ électrique total peut être déterminé par la sommation vectorielle des champs
élémentaires :
→
r
→
r
r
qi ui
1
r
Pi M
E ( M ) =  Ei =
où
et
u
=
r
=
P

i
iM
i
→
4πε 0 i ri 2
i
PM
i
r
E2
P1
M
P2
1
r
E
r P
E1
1.2.3. Cas d'une répartition continue de charge
Répartition volumique de charge
ρ : densité volumique de charge (en C/m3)
La charge portée par un élément de volume dτ s’écrit : dq =ρ.dτ
M
P
dτ
Le champ électrique total peut être déterminé par :
→
r
→
r
1 ρ .u ( P )
r
PM
E ( M ) = 
d
τ
où
et
u
(
P
)
=
r
(
P
)
=
PM
→
4πε 0 r 2 ( P )
V
PM
Répartition surfacique de charge
σ : densité surfacique de charge (en C/m2)
La charge portée par un élément de surface dS s’écrit : dq =σ.dS
Le champ électrique total peut être déterminé par :
5
Electromagnétisme
r
r
1 σ .u ( P)
E ( M ) = 
dS
4πε 0 r 2 ( P )
S
Répartition linéique de charge
λ : densité linéique de charge (en C/m)
La charge portée par un élément de longueur dl s’écrit : dq =λ.dl
Le champ électrique total peut être déterminé par :
r
r
1 λ .u ( P)
E(M ) = 
dl
2
4
r
(
P
)
πε
0
C
Les relations données ci-dessus sont valables quelque soit la forme de la courbe C, de la surface S
(plane ou non) ou du volume V.
Ces relations peuvent être déterminées pour des formes canoniques comme une surface plane
infinie. Pour ce faire, on utilisera les plans de symétrie ou d’antisymétrie, les invariances par
translation ou rotation et le théorème de Gauss :
Le flux sortant du champ électrostatique au travers d’une surface fermée Σ est égal à la charge
électrique totale contenue à l’intérieur de cette surface, divisée par la constante ε0 :
r
r Q int
E
 ( M ).dS.n =
Σ
ε0
r
M n
r
E
M
P
O
Σ
La surface de Gauss choisie peut, par exemple, être une sphère de centre O passant par le point M.
De tels exercices ont été réalisés dans vos années antérieures pour par exemple déterminer le
champ créé par un fil rectiligne infini, une surface plane infinie ou une sphère uniformément
chargée.
2. Rappels de magnétostatique (champ magnétique)
Les 3 principes fondamentaux sont :
 Tout courant électrique génère un champ magnétique autour de lui-même
 Toute variation de flux magnétique dans un circuit électrique y induit une tension (et donc
un courant si le circuit est fermé)
 Tout courant électrique (et donc le conducteur qu'il traverse) dans un champ magnétique
subit une force transversale (dite force de Laplace)
6
Electromagnétisme
2.1. Source de champ magnétique
2.1.1. Aimants et bobines
Nous savons que deux aimants agissent l'un sur l'autre par des forces d'attraction ou de répulsion
appelées "forces magnétiques" et qu'un aimant possède un pôle nord et un pôle sud. Il en est de
même pour les bobines parcourues par un courant. Celles-ci se comportent comme des aimants et
possèdent, elles aussi, un pôle nord et un pôle sud.
Définition : L'électromagnétisme est l'étude des phénomènes résultant de l'interaction des courants
électriques et des champs magnétiques.
2.1.1.1. Champ magnétique crée par un courant
•
•
Un conducteur parcouru par un courant s'entoure d'un champ magnétique analogue à celui
produit par un aimant.
Ce champ circulaire entoure le conducteur sur toute sa longueur. Les lignes de force le
constituant forment des cercles concentriques autour de ce dernier et le plan sur lequel elles
s'appuient est perpendiculaire à la direction du conducteur.
•
Le sens des lignes de forces peut-être défini par :"la règle de la main droite".
Si l'on tient le conducteur dans la main droite, le pouce orienté dans le sens du courant, les doigts
pointent dans le sens du flux.
2.1.1.2. Solénoïde
On appelle solénoïde un fil enroulé régulièrement en hélice de façon à former une bobine longue.
Une telle bobine parcourue par un courant produit le même champ magnétique qu'une série de
spires indépendantes parcourues par le même courant. A l'intérieur de la bobine, les lignes de force
sont parallèles à l'axe du solénoïde. A l'extérieur elles sont distribuées exactement comme celles
7
Electromagnétisme
d'un barreau aimanté. Comme pour le barreau aimanté, on appelle pôle nord l'extrémité de la
bobine par laquelle sortent les lignes de forces et le pôle sud l'extrémité par laquelle elle rentre.
Nous retrouvons ce solénoïde dans la constitution des contacteurs, relais, électro-aimants,
transformateurs, moteurs, Etc.
Pôle d'une bobine (Solénoïde)
Si l'on empoigne le solénoïde, avec la main droite, de façon à ce que le courant entre par le poignet
est sorte par les doigts, la face NORD sera indiquée par le pouce :
Un barreau aimanté, une bobine ou un fil parcouru par un courant, provoque tout autour de lui une
induction magnétique notée B. Cette induction est mise en évidence par un spectre obtenu en
saupoudrant de la limaille de fer sur un carton placé juste au dessus de l'aimant. L'exemple suivant
illustre la répartition de ce spectre. On aperçoit un ensemble de lignes appelées "lignes de champ"
allant du nord au sud de l'aimant. Il en serait de même avec une bobine.
Le champ magnétique en un point de l'espace a une direction tangente à la ligne du spectre qui
passe en ce point. Elle est dirigée du nord vers le sud, elle est d'autant plus grande que les lignes
sont plus serrées. Une ligne de champ représente l'ensemble des points de l'espace où l'induction a
la même valeur. Cette induction s'exprime en Tesla (unité S.I.), et elle est notée T.
A titre indicatif, la valeur moyenne de l'induction du champ magnétique terrestre en France
(composante horizontale) vaut B0 = 2.10 −5 T
2.1.2. Champ magnétique crée par différents constituants
2.1.2.1. Cas d'une bobine longue (solénoïde) :
Nota : Pour une bobine, il est difficile de connaître la texture exacte de l'induction du champ
magnétique en tout point de l'espace. Par contre, on peut calculer précisément la valeur de
l'induction en son centre.
C'est une bobine beaucoup plus longue que large et dont l'induction au centre du solénoïde vaut :
B=
µ 0 . N .I
avec
L
µ0 : constante appelée perméabilité de l’air qui vaut 4π10-7 H.m-1
N : nombre de spires de la bobine
I : intensité du courant (en A)
L : longueur du solénoïde (en m)
8
Electromagnétisme
1.2.2. Cas d'une bobine plate
C'est une bobine beaucoup plus large que longue qui comporte généralement plus d'une spire et
dont l'induction en son centre vaut :
µ . N .I
B= 0
avec
2 .R
N : nombre de spires de la bobine
I : intensité du courant (en A)
R : rayon de la bobine (en m)
2.1.2.3. Cas d'un fil rectiligne
Un fil rectiligne peut-être considéré comme une bobine de rayon infini. Il crée en un point de
l'espace distant de r du fil, un champ magnétique d'induction dont l’intensité vaut :
µI
B= 0
2π .r
Remarque: Le champ magnétique en un point se représente par un vecteur ayant une direction et un
sens. Ceci est important pour appliquer la loi de Laplace.
2.2. Les forces électromagnétiques
2.2.1. Lois de Laplace
La particule chargée qi en mouvement dans un champ magnétique est soumise à la force de
Lorentz :
r
r r
Fi = qi .V ∧ B
Les électrons traversant une section S de conducteur sont contenus dans un cylindre de volume
S.V. S’il y en a n par unité de volume et si chacun porte la charge q, la quantité d’électricité qui
traverse le section S par unité de temps, c’est-à-dire l’intensité du courant, est égale à :
I = n.S .V . q (1)
r
Dans un conducteur, la force F est la force qui s’exerce qui chacune des charges :
r
r r
r r
r r
r r
F =  (q.V ∧ B ) =  q.V ∧ B = n.S .l.q.V ∧ B = I .l.u ∧ B
[
]
Toutesles
ch arg es
r
avec u , vecteur unitaire orienté dans le sens du courant.
On obtient alors l’expression de la force de Laplace :
r r
r
r
r
F = I .l ∧ B avec l = l.u
Les caractéristiques de la force de Laplace sont les suivantes :
 Direction : la force est toujours orthogonale au plan formé par le conducteur et le champ
r
r r r
 Sens : la force est telle que le trièdre (l , B, F ) est direct et l a le sens du courant
 Norme : si est l’angle formé par les directions du conducteurs et du champ magnétique, la
r
norme de F est égale à F = I .l.B. sin α
9
Electromagnétisme
Règle des trois doigts de la main droite
Le pouce, l'index et le majeur de la main droite
forment un trièdre direct
Règle du tire-bouchon
r r
On tourne dans le sens allant de qV à B . L'axe du tirebouchon, placé dans la direction de, le sens de sa progression
donne le sens de la force
r
F.
2.2.1.1. Application 1 : Moteur électrique à courant continu
Un moteur comporte un cylindre formé de tôles empilées appelées rotor pouvant tourner autour
d’un axe en deux pôles d’un électro-aimant appelé stator. Le champ magnétique créé est
orthogonal à la surface du rotor.
Des conducteurs sont logés dans des encoches du cylindre. Lorsqu’ils sont parcourus par un
courant électrique, ils sont soumis à une force électromagnétique (force de Laplace) qui a
tendance à faire tourner le rotor. Si nous considérons 2 brins opposés et si nous voulons que les
forces n’annulent pas leurs effets, ces deux brins doivent être parcourus par des courants de sens
opposés. C’est pourquoi, on peut les associer pour former une spire.
Mais, lorsque le conducteur CD ou C’D’ passe la ligne neutre où la force électromagnétique
s’annule, il faut changer le sens du courant dans le brin si on veut que le mouvement se poursuive
toujours dans le même sens ; C’est le rôle du collecteur. Le collecteur est formé par 2 anneaux de
cuivre, isolés l’un de l’autre et tournant avec la spire. Des balais appuient contre ceux-ci et sont
connectés au circuit extérieur. Le collecteur est placé de telle sorte qu’il permute les connexions de
la spire au circuit, et ce, au moment où les forces électromagnétiques s’inversent.
Ainsi, dans la position 1, la lame II (en rouge) est placée sous le balai + (en rouge) et le courant
parcourt la spire dans le sens CDD’C’.
10
Electromagnétisme
D
r
F
r
I .l
D’
r
B
C
C’
Dans la position 2, la lame II (en rouge) est placée sous le balai – (en bleu) : le courant est inversé
dans la spire. Les forces s’inversent donc en même temps que le courant. La spire tourne toujours
dans le même sens.
2.2.1.2. Application 2 : Haut parleur électrodynamique
Un Haut parleur électrodynamique est constitué par une bobine pouvant coulisser entre les pôles
d’un aimant de forme particulière. L’aimant créé un champ radial. Le champ magnétique, en
chaque point d’une spire, est dirigé vers le centre de celle-ci. La bobine est solidaire d’une
membrane M.
Si un courant circule dans la bobine, chaque spire va être soumise à de forces de Laplace qui font
la déplacer. Chaque portion élémentaire est soumise à une force élémentaire :
r r
r
dF = l.dl ∧ B
11
Electromagnétisme
Toutes ces forces sont proportionnelles à l et ont même direction et même sens. Leurs sommes,
proportionnelle à l, est perpendiculaire au plan d’une spire et provoque un coulissement de la
bobine entre les pôles de l’aimant, donc un déplacement de la membrane.
Si, maintenant, le courant est variable, la force résultante va suivre fidèlement, en intensité et en
sens, la mesure de l’intensité et le sens du courant. La membrane va donc vibrer et émettre un son
de même fréquence que le courant circulant dans la bobine.
2.2.2. Induction électromagnétique
2.2.2.1. Notion de flux magnétique
Envisageons le cas simple d’un circuit plan situé dans un champ magnétique uniforme. Sur le
circuit, définissons arbitrairement un sens de parcours. Ce sens nous permet de définir, à l’aide la
r
règle du tire-bouchon, un vecteur unitaire n normal au plan du circuit.
rr
On appelle flux du champ magnétique à travers la surface S, la grandeur : φ = B.n.S
2.2.2.2. Applications : instruments de mesure en courant continu
Les ampèremètres et les voltmètres magnéto-électriques utilisent la technique d’un cadre mobile
placé dans un champ magnétique.
Dans un galvanomètre à cadre mobile, un cadre rectangulaire sur lequel sont enroulés N spires de
fil conducteur, est suspendu par un fil de torsion vertical qui constitue l’axe de rotation ∆ du cadre
et sert pour alimenter en courant les spires. Ce cadre se meut dans l’entrefer cylindrique d’un
aimant permanent. Dans cette cavité, on dispose d’un cylindre de fer doux qui canalise les lignes
de champ. Entre les pôles de l’aimant et le fer doux, les lignes de champ sont dirigées suivant les
rayons des deux cylindres coaxiaux : le champ magnétique est dit radial. Ainsi, le champ
magnétique qui agit sur le cadre est parallèle à son plan, et ce, quelle que soit sa position.
En l’absence de courant, le cadre est parallèle à l’axe xx’, par exemple. Lorsqu’un courant i circule
dans les fils, le cadre est soumis à des forces électromagnétiques qui le font tourner autour de ∆. Le
moment de ces forces est compensé par le moment du couple de torsion. Le cadre a alors tourné
d’un angle θ.
i
x’
N
S
∆
x
2.2.2.3. Les différentes lois
Loi de Faraday : Toute variation de flux à travers un circuit électrique donne naissance à une
f.e.m. induite. Si le circuit est fermé, un courant induit est créé conjointement. L'existence du
courant coïncide avec celle de la variation de flux.
Loi de Faraday : Le sens du courant induit est tel que par ses effets, il s'oppose à la cause qui lui a
donné naissance.
12
Electromagnétisme
La f.e.m. induite s’exprime par la relation : e = −
dφ
dt
2.2.2.4. Application 1 : Courants de Foucault
Un disque de cuivre suspendu à une tige peut osciller entre les pièces polaires d’un électro-aimant.
Il coupe normalement les lignes de champ.
N
S
Lorsque l’électro-aimant n’est pas excité, le pendule oscille librement. En établissant le champ
magnétique, le pendule est freiné. Le disque en mouvement est à l’origine de courants induits dans
le cuivre. Ces courants induits sont soumis à des actions mécaniques d’origine électromagnétique.
D’après la loi de Lenz, le sens de ces actions est tel que celles-ci s’opposent à la cause qui leur a
donné naissance, c’est-à-dire au mouvement du disque. D’autre part, on constate que ce disque
s’est échauffé après plusieurs mouvements de va-et-vient dans le champ magnétique. L’énergie
mécanique est finalement convertie en chaleur par effet Joule.
Les courants induits qui prennent naissance dans toute masse conductrice, en mouvement dans un
champ magnétique ou soumise à un champ magnétique variant dans le temps sont appelés
courants de Foucault.
2.2.2.5. Application 2 : Transformateur
Les transformateurs utilisent les phénomènes d’induction électromagnétique.
3. Electromagnétisme
Lorsque les éléments de charge ou de courant varient avec le temps, les deux domaines
s’interpénètrent et il y a nécessairement coexistence du champ électrique et du champ magnétique.
r r
On parle d’onde électromagnétique E , B .
{ }
Source
Champ
Force
Electrostatique
Charge q(t)
r
Electrique : E
r
r
F = q0 E
Magnétostatique
Courant I(t)
r
Magnétique : B
r
r r
F = q0 .V ∧ B
13
Electromagnétisme
Chapitre 1 :
Les ondes électromagnétiques et acoustiques
L’esprit libre et curieux de l’homme est ce qui a le plus de prix au monde.
J. Steinbeck
1.1
Qu'est-ce qu'une onde électromagnétique ?
Une réponse quelque peu abrupte à cette question est : "un ensemble de deux champs
r
r
notés E et B , qui se propagent en vérifiant un ensemble de relations appelées équations de
Maxwell". Cette définition ne nous renseigne pourtant que dans la mesure où nous savons ce qu'est
un champ et la propagation.
1.1.1. Les champs
On parle de champ lorsqu'on peut attacher à chaque point de l'espace une quantité qui
varie continûment d'un point à un autre voisin.
Un champ n'est pas mesurable en tant que tel. L'expérience ne permet de quantifier que les
effets d'un champ, c'est-à-dire la force qui en découle et non le champ lui-même.
Prenons par exemple la force de gravitation. Cette force, toujours attractive, décrit
l'influence d'une masse M sur une autre masse m située à une distance r. Elle s'écrit :
r
r
r
F = − mMG 3
r
La constante G = 6,67.10 −11 S .I . est la constante de gravitation universelle.
Les effets de cette force d'attraction sont visibles et mesurables par l'expérience : il suffit
de constater qu'un objet lâché sans vitesse initiale se dirige vers le centre de la Terre. Le champ
r
associé à cette force est appelé champ de gravitation A . Il s'exprime par :
r
r
r
A = − MG 3
r
Ce champr ne peut pas être mis directement en évidence : il est nécessaire de faire
intervenir la force F dans l'expérience.
r
r
En ce qui concerne les champs électrique E et magnétique B , la situation est la même :
ils ne sont pas observables par eux-mêmes. La force associée à ces champs dans le cas d'une
r
particule de charge q et de vitesse v est :
(
)
r
r r r
F = q E + v ∧ B (Force de Lorentz)
14
Electromagnétisme
En plaçant une charge dans l'espace et en étudiant son mouvement, l'expérience permet de
déduire l'existence de ces champs.
{ }
r r
L'ensemble E , B est appelé champ électromagnétique. Il vérifie certaines relations qui
sont détaillées dans ce cours.
1.1.2. La propagation du champ électromagnétique
r
r
E et B se propagent, c'est-à-dire que leur valeur en un point à un instant donné (en
direction, sens et norme) dépend de leur valeur dans l'espace à des instants précédents.
r
r
Si en un point M, on a E ( x, y, z , t ) , alors il y a création de B ( x, y, z , t ) dans un voisinage
r
r
de M, par exemple en un point P. Le champ B (P, t ) implique la création de E dans un voisinage
r
r
de P et ainsi de suite. Les relations mathématiques liant E et B dans l'espace et le temps sont les
équations de Maxwell.
1.1.4. Applications principales des ondes électromagnétiques
Les utilisations des ondes électromagnétiques sont très nombreuses et diverses. Elles
dépendent de la fréquence utilisée. On peut citer en vrac les émissions de radio, de télévision, les
radars et lidars, les brouilleurs, les caméras infrarouge, les fours à micro-ondes, les lasers
(applications militaires, médicales, industrielles...), les faisceaux hertziens de transmission de
données (terrestres ou via des satellites), les systèmes de guidage de missiles, les fibres optiques...
1.1.4.1.
La détection
On peut classer les systèmes de détection en quatre catégories.
La détection passive :
On détecte l'émission électromagnétique naturelle ou
artificielle des objets. C'est le cas des caméras
infrarouge par exemple. Si l'émission est naturelle, elle
est incohérente.
La détection semi-passive :
On reçoit les ondes électromagnétiques non cohérentes
réfléchies par une cible illuminée par une source
(généralement naturelle) telle que le soleil par exemple.
La détection semi-active :
On reçoit le signal cohérent réfléchi par une cible
illuminée par une source artificielle installée en un
endroit différent du détecteur. C'est par exemple le cas
de la détection par une tête de missile air-sol d'une cible
illuminée par un laser.
15
Electromagnétisme
La détection active :
On reçoit le signal cohérent réfléchi par une cible
illuminée par une source artificielle placée au même
endroit que le détecteur. C'est le cas de la majorité des
radars (ou lidars). Le système émet presque toujours un
signal cohérent. La plupart du temps cette cohérence
n'est pas détruite en réception.
1.1.4.2.
Les télécommunications
Parmi les systèmes de télécommunications, les plus importants sont les systèmes hertziens
et les systèmes utilisant les fibres optiques.
• Le faisceau hertzien (radio relay) :
o En ligne de vue (line of sight) :
Bonds faibles (typiquement 50 km), en fonction de la géométrie du terrain et des
conditions météorologiques. Fréquence autour de 10 GHz.
o A diffusion troposphérique (troposcatter link) :
Bonds plus grands que pour le faisceau hertzien en ligne de vue (entre 100 et 500
km), antennes plus grandes et puissances à l'émission environ 1000 fois plus
élevées pour un même rapport signal sur bruit en réception. Fréquence entre 1 et
5 GHz.
o En liaison avec un satellite :
16
Electromagnétisme
• La fibre optique :
La fibre optique est une technique très utilisée pour ses performances (longues distances
sans répéteurs, capacité élevée, immunité aux perturbations...), car ses inconvénients sont résolus
petit à petit : coût en baisse, amélioration de la connectique, fiabilisation des lasers...
1.2.
Analogies et différences avec les ondes acoustiques
Une onde acoustique est une vibration élastique d'un milieu matériel, ce qui la distingue
de l'onde électromagnétique qui n'a pas besoin de support matériel pour se propager. La lumière
par exemple peut se propager dans le vide absolu ou dans la matière. Par contre le son, phénomène
acoustique, ne se propage pas dans le vide.
{ }
r r
L'onde électromagnétique est E , B ; en acoustique il s'agit d'une onde de pression et de
vitesse des particules matérielles du milieu permettant la propagation.
Les équations décrivant la propagation de ces deux types d'ondes sont cependant de même
forme. Les deux phénomènes sont donc analogues et il est possible d'appliquer les mêmes
principes en acoustique et en électromagnétisme. Les applications de détection en acoustique en
particulier sont du même type qu'en électromagnétisme : les sonars sont passifs (écoute simple) ou
actifs (écoute de l'écho renvoyé par la cible).
17
Electromagnétisme
Chapitre 2 :
Caractéristiques des milieux de propagation
Les ondes électromagnétiques, au contraire des ondes acoustiques, n'ont pas besoin de
milieu matériel pour se propager. On constate une propagation aussi bien dans le vide que dans la
matière. On parlera ainsi du vide comme d'un milieu particulier non matériel.
2.1.
Linéarité
Les milieux de propagation sont séparés en deux grandes catégories : ceux qui sont
linéaires et ceux qui ne le sont pas. Un milieu non linéaire fait par exemple intervenir des termes
r rr rr
non linéaires dans l'expression de la polarisation. On peut avoir P = χEE ( EE n'est pas un produit
scalaire mais un tenseur). Nous ne considérerons dans ce cours que les milieux linéaires.
2.2.
Perméabilité et permittivité
Un milieu est ensuite caractérisé par deux grandeurs :
Sa perméabilité, notée µ : elle reflète les propriétés magnétiques du milieu
Sa permittivité, notée : elle indique le caractère diélectrique du milieu
Dans le cas général d'un milieu linéaire, ces grandeurs sont des tenseurs du type :
 ε11
t 
ε = ε 21

ε 31
2.3.
ε 12
ε 22
ε 32
ε13 
ε 23 

ε 33 
Isotropie
t
t
Dans le cas d'un milieu isotrope, ε (resp. µ ) se réduit au produit d'un scalaire (resp. µ)
par le tenseur identité 3x3. Par exemple :
 ε 0 0
1 0 0
t 

ε = 0 ε 0 = ε 0 1 0




0 0 ε 
0 0 1
t
Dans le cas d'un milieu anisotrope, le tenseur ε peut être mis sous forme diagonale si on
choisit un système d'axes particulier appelés axes diélectriques principaux. On a alors :
ε xx
t 
ε= 0

 0
2.4.
0
ε yy
0
0
0

ε zz 
Homogénéité
Que le milieu soit isotrope ou non, ε et µ dépendent en général des coordonnées d'espace
(x, y et z par exemple) et de la pulsation de l'onde qui se propage dans le milieu. Pour un milieu
18
Electromagnétisme
homogène, ε et µ sont indépendants des variables d'espace (ils peuvent rester fonction de la
fréquence ou de la pulsation de l'onde qui s'y propage).
2.5.
Milieu LHI
Un milieu qui est à la fois linéaire, homogène, et isotrope est appelé milieu LHI (des
initiales de ces trois termes). Mis à part les chapitres 8 et 9, nous ne considérerons que des milieux
LHI ne présentant pas de propriétés magnétiques ( µ = µ o , perméabilité du vide).
2.6.
Plan du cours
Nous nous intéresserons tout d'abord à la propagation des ondes électromagnétiques dans
le vide, aux différentes solutions de l'équation de propagation et à l'énergie transportée par une
onde. Un aperçu en statique des phénomènes de polarisation et d'aimantation s'en suivra.
Puis nous traiterons la propagation des ondes électromagnétiques dans différents milieux
(diélectriques, conducteurs, plasmas...) et étudierons le problème de la réflexion d'une onde plane
sur un milieu conducteur ainsi que les ondes stationnaires qui en résultent. Le principe de
fonctionnement de certaines antennes sera également abordé.
19
Electromagnétisme
Chapitre 3 :
Equations de Maxwell dans le vide
3.
Veni, vidi, vici.
J. César
L'électromagnétisme classique est fondée sur quatre équations découvertes par Maxwell
r
r
vers 1870. Ces relations décrivent la variation des champs E et B dans l'espace et dans le temps.
Les équations de Maxwell peuvent se présenter sous deux formes équivalentes : une forme
locale et une forme intégrée.
Ces équations sont les suivantes :
Dénomination
Conservation du flux
Equation locale
r
div B = 0
Maxwell-Faraday

→
Maxwell-Gauss
Maxwell-Ampère
Forme intégrée
r r
B
 . dS = 0
S
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r ρ
div E =
εo
r
r
r
∂E
rot B = µ o j + µ o ε o
∂t

→
r r
r r
d
E
.
dl
=
−
B
. dS
C
dt 
S
r r
ρ
E
dτ
S . dS = 
εo
V
r
r r
r
∂ E r
C B. dl = µ o S  j + ε o ∂ t  . dS
r
r
Dans ces équations figurent les champs E et B et quatre autres grandeurs :
•
•
ρ est la densité volumique de charges totale, c'est-à-dire le nombre total de charges positives et
négatives contenues dans le milieu indépendamment de leur caractère mobile ou fixe. Elle
s’exprime en C.m-3. Le vide est un milieu ne contenant aucune charge donc ρ vide = 0 .
r
j est la densité volumique de courants de conduction, c'est-à-dire la densité volumique de
courant due aux particules chargées libres. Elle s’exprime en A.m-2. Le vide ne contient pas de
r
r
courants donc j vide = 0 .
•
µ o est la perméabilité magnétique du vide. Elle vaut exactement µ o = 4π .10 −7 H .m −1 .
•
ε o est la permittivité diélectrique du vide. Elle vaut environ ε o =
1
F .m −1
36π .10 9
Toutes ces relations sont valables dans le vide, et également dans un milieu de constantes
r
ε o et µ o . Pour un tel milieu, il se peut que les densités ρ et j soient non nulles. C'est pourquoi
ces grandeurs seront conservées dans l'écriture des équations de ce chapitre.
r
r
Les champs E et B sont couplés. Le découplage n’apparaît que dans le cas statique. Les
deux équations faisant intervenir la divergence des champs sont dites constitutives. Celles qui font
r
r
intervenir le rotationnel des champs sont des relations de couplage entre E et B .
20
Electromagnétisme
r
-1
E s’exprime en V.m . Pour avoir une idée de son ordre de grandeur, un champ électrique
6
-1
11
-1
de 3.10 V.m parvient à ioniser l’air. Un champ de 10 V.m détruit la structure atomique du
dihydrogène.
r
-2
B s’exprime en Teslas (T). Un aimant produit un champ magnétique de l’ordre de 10 T,
un électro-aimant produit environ 1 T, et un supraconducteur quelques Teslas.
Aux quatre relations de Maxwell s'ajoute encore l'expression de la force (en N) subie par
une particule de charge (algébrique) q placée dans un champ électromagnétique :
(
)
r
r r r
F = q E + v ∧ B (Force de Lorentz)
L'ensemble de ces équations permet de déterminer d'autres équations décrivant la
propagation des ondes électromagnétiques.
Un point important à noter est que les équations de Maxwell sont linéaires par rapport aux
r
termes de source ρ et j . Il existe donc un principe de superposition.
3.1.
Passage de la forme locale à la forme intégrale
Le passage d'une équation locale à la forme intégrée correspondante fait appel à l'un des
deux théorèmes suivants :
Formule de Stockes :
r r r
 → r  r
∀ A, A.dl =   rot A .dS
C
S 

Formule de Green :
r r r
r
∀ A, A.dS =  div Adτ
S
V
Dans la formule de Stockes, la courbe orientée C est fermée et la surface S s'appuie sur
elle. S est orientée en accord avec le sens de parcours de C (règle du tire-bouchon par exemple).
Dans la formule de Green,
la surface S est fermée et définit le volume V qui lui est
r
intérieur. L'élément de surface dS est orienté vers l'extérieur du volume V.
Premier exemple :
Si on prend la formule de Green et qu'on l'applique à l'équation locale de Maxwell-Gauss,
on aboutit à la forme intégrée de cette relation. L'intégrale se calcule sur un volume V choisi
entouré par la surface S. On a alors :
r
ρ
div
E
 dτ =  dτ
V
V
εo
Le membre de gauche donne d'après le théorème de Green :
r
r r
div
E
d
τ
=
E

 .dS
V
S
21
Electromagnétisme
r r
ρ
E
 .dS =  dτ
d'où :
S
V
εo
C'est bien la forme intégrée de l'équation de Maxwell-Gauss. Pour un milieu LHI, on écrit
r r Qint
souvent :
E
 .dS =
εo
S
Dans cette expression, Qint est la charge totale contenue à l'intérieur de la surface S. On
reconnaît ici le théorème de Gauss.
La surface fermée S est déterminée très exactement : c'est la surface fermée qui entoure
exactement le volume V.
Deuxième exemple :
Si on prend la formule de Stockes et qu'on l'applique à l'équation locale de MaxwellFaraday, on aboutit à la forme intégrée de cette relation. L'intégrale se calcule sur une surface
choisie S s'appuyant sur un contour fermé C.
r
r r
∂B r
S rot E.dS = −S ∂ t .dS

→
On a alors :
Le membre de gauche donne d'après le théorème de Stockes :


→
r r
r r
rot E . dS =  E. dl
S
C
r r
r r
d
 E.dl = − dt  B.dS = −
d'où :
C
S
dΦ B
dt
r
On reconnaît ici la loi de Faraday. Φ B est le flux de B à travers S.
La courbe fermée C est déterminée très exactement : c'est la courbe fermée sur laquelle
s'appuie la surface S qu’on a choisie. Cette courbe est en effet unique dès qu'on a défini la surface
S.
Notons que la réciproque n'est pas vraie : si on choisit la courbe C, la surface S n'est pas
unique. Ceci n'est pas gênant dans la mesure où les intégrales sont égales :

S

→

→
r r
r r
r r
rot E . dS =  E. dl =  rot E . dS′
S′
C
S et S' sont deux surfaces orientées en accord avec le sens de parcours de la courbe C. Mis
à part ce point commun indispensable, S et S' sont quelconques.
22
Electromagnétisme
3.2.
Contenu physique des équations de Maxwell
3.2.1. Conservation du flux :
r r
B
 .dS = 0
S
Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul.
r
Cela signifie que les lignes de champ de B ne peuvent partir toutes d'un même point. Il
n'y a donc pas de charges magnétiques isolées (monopôles magnétiques). Et en effet, aucune
expérience n'a jamais permis d'en mettre en évidence.
r r
3.2.2. Equation de Maxwell-Faraday :  E.dl = −
C
r r
d
B
.dS
dt 
S
La circulation du champ électrique le long d'une courbe fermée est égale à l'opposé de la
dérivée du flux du champ magnétique à travers une surface s'appuyant sur cette courbe.
Cette équation permet d'expliquer les phénomènes d'induction.
La surface S n'est pas fermée dans ce cas.
r r
B
 .dS ≠ 0 dans le cas général.
S
3.2.3. Equation de Maxwell-Gauss :
r r
ρ
E
 .dS =  dτ
S
V
εo
Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal à la charge totale située
à l'intérieur du volume défini par la surface, divisée par la constante diélectrique ε o .
r r Qint
E
 .dS =
Il s'agit donc du théorème de Gauss :
S
εo
r
r r
r
∂E r
.dS
3.2.4. Equation de Maxwell-Ampère :  B.dl = µ o   j + ε o
∂ t 
C
S 
La circulation du champ magnétique le long d'une courbe fermée est égale au flux de la
densité de courant totale à travers une surface s'appuyant sur cette courbe, multiplié par la
perméabilité µ o .
r
En effet, le vecteur j est la densité volumique de courants de conduction, c'est-à-dire
celle qui est due aux charges libres.
r
∂E
La quantité ε o
est homogène à une densité volumique de courants. On l'appelle la
∂t
densité volumique de courants de déplacement.
L'équation de Maxwell-Ampère aboutit au théorème d'Ampère généralisé :
r r
r r
d
B
.
d
l
=
µ
I
+
µ
ε
E
.dS
o enlacée
o o

dt 
C
S
23
Electromagnétisme
I enlacée est l'intensité "enlacée" par la courbe C, c'est-à-dire l'intensité qui passe "à
l'intérieur" de C.
r
On rappelle que l'intensité est définie comme étant le flux de j à travers une section d'un
r r
tube de courant : I =  j .dS
S
3.3.
Origine de la densité de courant de déplacement
On appelle densité volumique de courant de déplacement la quantité :
r
r
∂E
jD = εo
∂t
Ce terme intervenant dans l'équation de Maxwell-Ampère rend compte des phénomènes
r
de propagation entre le point source des champs et le point d'observation. Le sens physique de j D
est qu’un champ électrique dépendant du temps est une source de champ magnétique au même titre
qu’un courant.
Dans certains milieux et sous certaines conditions (bon conducteur à fréquence faible par
r
r
exemple), il est possible de négliger j D devant j . Ceci revient à négliger les phénomènes de
r
→
r
∂E
propagation (liaison entre rot B et µ o ε o
) devant les phénomènes d'induction (liaison entre
∂t
→
r
r
rot B et µ o j ).
Cette hypothèse s'appelle l'Approximation des Régimes Quasi-Permanents (ARQP) ou
Quasi-Stationnaires (ARQS).
3.4.
Conservation de la charge
Soit un volume V quelconque de l'espace limité par une surface fermée S. Ce volume
contient des charges en densité volumique variable en fonction du temps et de la position.
On effectue un bilan des charges dans ce volume.
La variation de la charge totale dans V est :
dQ d
=
dt
dt
∂ρ
 ρ dτ =  ∂ t
V
dτ
V
r
Or le vecteur j (densité volumique de courants de conduction) rend compte du
r
mouvement des charges dans le volume V. Le flux de j à travers la surface fermée définissant V
représente donc l'opposé de la variation de la charge totale intérieure à V :
−
r r
dQ
=  j .dS
dt
S
24
Electromagnétisme
∂ρ
 ∂ t
On a donc :
r r
r r
dτ = −  j .dS = −  div j dS
V
S
V
Cette relation étant vraie pour tout volume V, on obtient l'équation de conservation de la
charge :
r ∂ρ
div j +
=0
∂t
3.5.
Conditions aux limites
On s'intéresse dans ce paragraphe aux phénomènes survenant à l'interface entre deux
milieux qu'on note  et . Les équations de Maxwell permettent de déterminer quatre relations
entre les composantes des champs dans les deux milieux. La position de l'interface dans l'espace
associée au repère (direct) choisi permet de séparer les composantes des champs en partie
tangentielle et en partie normale à l'interface. Les composantes tangentielles sont repérées avec
l'indice T et les composantes normales avec l'indice N.
r
r
BN 1 = BN 2
r r
r
r
BT2 − BT1 = µ o jS ∧ n12
r
r
E T1 = E T2
r
r
σr
E N 2 − E N1 = n12
εo
Ces conditions aux limites (appelées aussi conditions de passage ou de continuité) sont
les suivantes :
r
j S est la densité surfacique de courants circulant sur l'interface.
σ est la densité surfacique de charges présente sur l'interface.
r
n12 est le vecteur unitaire normal à l'interface en chacun de ses points. Il est orienté du
milieu  vers le milieu .
3.6.
Les potentiels
Un théorème d'analyse vectorielle dit que :
r
r
r → r
div B = 0 ⇔ ∃ A tel que B = rot A
r
r
r
Si B est le champ magnétique, on a bien div B = 0. Le vecteur A existe donc et on a :
r → r
B = rot A
r
A s'appelle le potentiel vecteur.
r
→
→
r
r
r
∂B
∂ 
, donc rot E = −
On sait par ailleurs que rot E = −
rot A  .

∂t
∂ t 

→
25
Electromagnétisme
r
 r ∂ A r
 = 0.
On a ainsi rot  E +
∂ t 

→
Or un deuxième théorème d'analyse vectorielle dit que :

→
r r
r →
rot F = 0 ⇔ ∃ f telle que F = grad f
On en conclut qu'il existe une fonction scalaire V appelée potentiel scalaire telle que :
r
→
r ∂A
E+
= − gradV
∂t
r
En conclusion, il existe un potentiel vecteur A et un potentiel scalaire V tels que :
r
→
r
∂A
E = − gradV −
∂t
r → r
B = rot A
Le signe moins devant le gradient est mis là par pure convention afin que l’expression se
ramène à celle de l’électrostatique dans le cas où les phénomènes sont constants dans le temps.
{ }
r
Ces potentiels ne sont pas uniques. En effet, si A, V sont des potentiels possibles, alors
les potentiels suivants conviennent également :
r →
r
=
+ grad Ψ
A
A
′


∂Ψ
V′ = V −
∂t

ψ est une fonction scalaire arbitraire qui dépend des coordonnées d'espace et du temps, à dérivées
secondes bornées.
{ }
r
On appelle jauge tout couple A, V qui répond au problème.
Afin de limiter les possibilités de choix, on impose la plupart du temps une condition sur
les potentiels : la condition de jauge.
26
Electromagnétisme
3.7.
Choix d'une jauge
3.7.1. Equations aux potentiels
 r → r
B = rot A
r
 → r
r
∂E
 rot B = µ o j + µ o ε o

∂t
donc :
r

→
r
r  →
r
r

∂ 
∂A

rot  rot A = grad div A − ∆ A = µ o j + µ o ε o  − grad V −
∂t 
∂t 



→ 
→
(
)
Cette relation donne :
r

→
r
r
r
∂V
∂2 A
grad div A + µ o ε o grad
= ∆ A + µ o j − µ oε o
∂t
∂ t2

→
(
)
d'où :
r
r
r
r → 
∂V 
∂2A


∆ A − µ oε o
+
µ
j
=
grad
div
A
+ µ oε o
o
2

∂ t 
∂t

Par ailleurs
r
→
r
∂A
 E = − gradV −
∂t

 r
div E = ρ

εo
d'où :
r
 →
 ρ
A
∂
=
div − gradV −

 ε
∂
t
o


et ainsi :
(
r
ρ
∂ div A
∆V + = −
εo
∂t
)
Dans le vide, on obtient :
r

→
r
 r

∂2 A
∂ V
∆
A
−
µ
ε
=
grad
 div A + µ o ε o


o o
2
∂t
∂t 


r

∂ div A

∆V = − ∂ t

(
)
27
Electromagnétisme
On a donc deux équations couplées. Ce système (dont les solutions doivent vérifier la
condition de jauge choisie) auquel on ajoute les relations permettant de passer des potentiels aux
champs est équivalent aux équations de Maxwell.
Les solutions ne sont pas uniques et on impose donc une condition de jauge aux potentiels
afin de les déterminer plus précisément. Deux conditions de jauge sont communément utilisées : la
jauge de Lorentz et la jauge de Coulomb.
3.7.2. Jauge de Lorentz
r
∂V
=0
La jauge de Lorentz est : div A + µ oε o
∂t
Les équations aux potentiels deviennent découplées :
r
r r
r
∂2 A
∆ A − µoεo
+
µ
j=0
o
∂ t2
∆V − µ o ε o
∂2 V ρ
+ =0
∂ t 2 εo
r
Ces relations sont les équations de Poisson et leurs solutions A et V sont appelées
potentiels retardés.
Dans le vide on obtient :
r
r
∂2A r
∆ A − µ oε o
=0
∂ t2
∆V − µ oε o
∂ 2V
=0
∂ t2
r
Les potentiels A et V vérifient donc l'équation de propagation des champs dans le vide,
qui est de la même forme comme on le verra par la suite.
3.7.3. Jauge de Coulomb
r
div A = 0
La jauge de Coulomb est :
On détermine d'abord V en résolvant l'équation
∆V +
ρ
=0
εo
r
Puis on détermine A grâce à :
r
→
r
r
 ∂V 
∂2A


∆ A − µ oε o
+
µ
j
=
µ
grad
ε
o
o
o
∂
t
∂ t2


28
Electromagnétisme
Dans le vide, la densité volumique de charges est nulle en tout point et à tout instant. V est donc
solution de l’équation ∆V = 0 . De plus, V peut être choisi indépendant du temps, ce qui fait que la
dérivée partielle de V par rapport à t figurant dans le membre de droite de l'équation ci-dessus est
nulle.
De même, la densité volumique de courants de conduction est nulle dans le vide ; il ne reste donc
plus que :
r
r
∂2A r
∆V = 0
∆ A − µ oε o
=0
∂t2
r
r
En jauge de Coulomb, le potentiel vecteur A vérifie donc l'équation de propagation des champs E
r
et B dans le vide. Cette équation sera vue au chapitre suivant.
3.8.
Les potentiels retardés
Les potentiels retardés sont les solutions des équations de Poisson, obtenues en jauge de Lorentz :
r
r r
r
∂2 A
∆ A − µoεo
+
µ
j=0
o
∂ t2
∆V − µ o ε o
∂2 V ρ
+ =0
∂ t 2 εo
r
Les densités ρ et j dépendent des coordonnées d'espace et du temps. Elles sont nulles en dehors
d'un volume limité (V). En un point M situé à une distance r de ce volume, on observe à l'instant t
r
des potentiels A et V solutions des équations ci-dessus. Par changement de variable dans ces
r
équations, on montre que ces potentiels en M à l'instant t dépendent en fait des valeurs de ρ et j
r
r
prises au niveau du volume (V) à l'instant t ′ = t − (on pose t ′ = t − ).
c
c
r
µ
A(M , t ) = o
4π
La solution de ces équations est ainsi :
V (M , t ) =

(V )
1
4πε o
r
r
j  P,t - 
c

dτ
r

(V )


r
c
ρ  P,t - 
r
dτ
P est un point courant du volume (V).
La quantité r/c représente le temps de propagation de l'information entre le point source P et le
point M où on calcule les potentiels. C’est ainsi que nous voyons la lumière des étoiles émise à des
instants d’autant plus antérieurs qu’elles sont plus éloignées. Si par exemple le Soleil s’éteignait,
nous mettrions environ 8 minutes à nous en apercevoir depuis la Terre.
29
Electromagnétisme
Chapitre 4 :
Propagation du champ électromagnétique
dans le vide
4.
Tout le monde se plaint de sa mémoire et personne ne se plaint de son jugement.
La Rochefoucault
r r
Dans le vide, on a ρ = 0 et j = 0 . Les équations de Maxwell sont donc simplifiées :
→
r
div E = 0
→
µ o = 4π .10 −7 H .m −1
4.1.
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
div B = 0
r
r
∂E
rot B = µ o ε o
∂t
εo =
1
F .m −1
36π .10 9
Equation de propagation dans le vide
r
r
La propagation des champs E et B peut être décrite par une équation faisant intervenir
r
r
seulement E ou seulement B .
r → → r  →
r
r
On sait que ∀ A, rot  rot A  = grad div A − ∆ A




(
)
r
On a donc, du fait que div E = 0 :
→ →

r  →
r
r
r

rot rot E  = grad div E − ∆ E = −∆ E




(
)
Or on a aussi :
r
r

 → r 
r  → ∂ B 


∂
E
∂
∂
 = −  rot B  = −  µ o ε o

rot  rot E  = rot  −







∂
∂
∂
t
t
t
∂
t









→ 
→
On pose alors :
et on obtient :
c2 =
1
µ oε o
r
r 1 ∂ 2E r
∆E − 2
=0
c ∂t 2
Cette relation est l'équation de propagation du champ électrique, appelée aussi équation d'onde.
30
Electromagnétisme
On peut montrer de la même manière que ci-dessus que le champ magnétique satisfait à la
même équation :
r
r 1 ∂2 B r
∆ B− 2 2 = 0
c ∂t
En jauge de Lorentz, on a vu que les potentiels vérifient :
r
r
∂2 A r
∆ A − µoεo
=0
∂ t2
∂2 V
∆V − µ o ε o
=0
∂ t2
Il s'agit donc encore de l'équation d'onde (ou équation de D'Alembert).
Remarque : On note parfois
4.2.
1 ∂2
l’opérateur ∆ − 2 2 . On le nomme dalembertien.
c ∂t
Solutions de l'équation d'onde
Une onde électromagnétique dans le vide est décrite par l'équation donnée ci-dessus. Il
s'agit d'équations vectorielles, c'est-à-dire qu'elles s'appliquent à chacune des composantes des
champs.
L'équation d'onde a plusieurs types de solutions. Nous allons en examiner les principales.
4.2.1. L'onde plane
Une onde plane est une onde telle que les champs qui la constituent gardent une même
valeur à chaque instant dans un plan orthogonal à une direction fixe appelée direction de
propagation.
Si la direction de propagation est par exemple l'axe z (coordonnées cartésiennes), les champs ne
dépendent ni de x ni de y mais seulement de z et du temps t. On a donc :
r r
r r
E = E ( z, t )
B = B( z, t )
L'équation de propagation devient :
(
) − 1 ∂ ( E ou B) = 0r
r
r
∂ 2 E ou B
∂z 2
2
r
∂t 2
c2
31
r
Electromagnétisme
On projette cette équation sur chacun des axes de coordonnées, puis par changement de
variables on montre qu'une composante quelconque des champs F(z,t) s'écrit en utilisant des
fonctions arbitraires f et g :
F( z, t ) = f ( z − ct ) + g( z + ct )
La solution de l'équation de propagation est donc la somme de deux ondes planes :
•
f ( z − ct ) correspond à une onde qui se propage suivant l'axe (Oz) dans le sens des
z croissants à la vitesse c. On l'appelle onde plane progressive retardée.
•
f ( z + ct ) correspond à une onde qui se propage suivant l'axe (Oz) dans le sens des
z décroissants à la vitesse c. On l'appelle onde plane progressive avancée.
r
Pour une direction de propagation quelconque de vecteur directeur unitaire n , une
composante quelconque des champs s'écrit :
r
rr
rr
F( r , t ) = f ( n. r − ct ) + g( n. r + ct )
r
→
Le vecteur r = OM correspond au point M où on calcule les champs.
Les surfaces d’onde sont des plans orthogonaux à la direction de propagation.
4.2.2. L'onde sphérique
L'équation d'onde possède un autre type de solutions qui sont les ondes sphériques. Les
champs de ces ondes sont les mêmes en tout point d'une sphère de rayon r et de centre un point O.
r
F (r , t ) = F (r , t )
On a donc :
L'équation d'onde est à résoudre en coordonnées sphériques, sachant que F est
indépendant de θ et φ. On obtient :
1 ∂ 2 (r F (r , t )) 1 ∂ 2 F (r , t )
− 2
=0
r
∂r 2
c
∂t 2
En faisant le changement de variable u = r F , on aboutit à l'équation d'onde pour une onde
plane u :
∂ 2u 1 ∂ 2u
−
=0
∂r 2 c 2 ∂t 2
On a donc :
u (r , t ) = r F (r , t ) = f (r − ct ) + g (r + ct )
D'où :
F (r , t ) =
1
1
f (r − ct ) + g (r + ct )
r
r
32
Electromagnétisme
La solution générale dans ce cas est donc la somme de deux ondes sphériques :
•
1
f (r − ct ) correspond à une onde divergente, c'est-à-dire qu'elle se propage en
r
s'éloignant du centre de la sphère (sens des r croissants) à la vitesse c.
•
1
f (r + ct ) correspond à une onde convergente, c'est-à-dire qu'elle se propage en se
r
rapprochant du centre de la sphère (sens des r décroissants) à la vitesse c.
Le point O, centre du repère et de la sphère est appelé foyer de l'onde.
Les surfaces d’onde sont des sphères centrées en O. La direction de propagation en un point
donné est la droite qui porte le rayon de la sphère en ce point.
On peut remarquer que les potentiels retardés sont des superpositions d'ondes sphériques
issues de volumes élémentaires d. L'expression de ces potentiels est en effet une somme de
potentiels élémentaires en 1/r :
r
r
j
P,t





r


µo
c

A( M , t ) =
dτ
4 π 
r

(V )
r

ρ P,t - 




1
c

V( M , t ) =
dτ
4 πε o 
r

(V )
4.3.
Onde progressive et onde stationnaire
Une onde progressive est décrite par une fonction du type :
F( M , t ) = A( M ) . f ( t − g( M ) )
A(M ) et g (M ) sont deux fonctions qui dépendent du point M où on calcule l'expression
des champs. Le terme t − g (M ) contient la notion de propagation, c'est-à-dire le lien entre le temps
et l'espace.
Une onde stationnaire est décrite par une fonction du type :
F( M , t ) = f ( M ) . g( t )
Il s'agit d'un produit de deux fonctions dont l'une dépend du temps seul et l'autre de l'espace
seul. Le temps et l'espace sont découplés.
33
Electromagnétisme
4.4.
Structure de l'onde plane progressive
On se place en coordonnées cartésiennes. L'onde considérée est plane, ses champs sont
donc par définition les mêmes à chaque instant dans un plan orthogonal à la direction de
propagation de l'onde. On peut toujours choisir un repère cartésien (Oxyz) de manière à ce que
(Oz) coïncide avec la direction de propagation.
Si on prend une onde plane progressive se propageant selon z croissant, les composantes
r
des champs sont donc des fonctions de z-ct. Toutes les dérivées partielles des composantes de E et
r
B par rapport à x et y sont donc nulles.
4.4.1. Les champs sont transverses
r
∂ Bx ∂ B y ∂ Bz
On sait que div B = 0 . On a donc
+
+
=0.
∂x
∂y
∂z
Comme les dérivées partielles par rapport à x et y sont nulles on a donc :
∂ Bz
=0
∂z
r
∂ Ez
De même, dans le vide on a div E = 0 , ce qui nous donne :
=0
∂z
Ez et Bz ne dépendent donc ni de x, ni de y, ni de z. Ils peuvent dépendre du temps seul. Ces
composantes ne contiennent donc pas de terme de propagation (fonction à la fois de l'espace et du
temps). Comme nous nous intéressons aux ondes progressives, nous pouvons prendre ces
composantes nulles :
Bz = 0 et Ez = 0
r
r
Les champs E et B sont donc contenus dans le plan perpendiculaire à la direction de
propagation. Ce plan est appelé plan d'onde.
4.4.2. Les champs sont perpendiculaires
r
r
∂B
On sait que rot E = −
.
∂t
→
En explicitant ce rotationnel en coordonnées cartésiennes et en utilisant le fait que les
dérivées partielles par rapport à x et y sont nulles de même que Ez et Bz, on obtient :
 ∂ E y ∂ Bx
 ∂z = ∂t

 ∂ E x = − ∂ By
 ∂z
∂t
34
Electromagnétisme
r
r
1 ∂E
De même, rot B = − 2
aboutit à :
c ∂t

→
 ∂ By
1 ∂ Ex
=− 2

∂z
c ∂t

 ∂ Bx 1 ∂ E y
= 2
 ∂z
c ∂t
r
r
∂E
∂E
Pour intégrer ces relations il faut relier
à
. Pour cela, puisqu’on considère une
∂z
∂t
onde plane se propageant vers les z croissants, on pose le changement de variables u = z − c t :
On a :
donc :
r
r
r ∂E
∂E
dE =
dz +
dt
∂z
∂t
r
r
∂E
∂E
dz =
dz
∂u
∂z
ce qui donne :
r
r
r ∂E
∂E
et
dE =
du =
(dz − cdt )
∂u
∂u
r
r
∂E
∂E
et
−c
dt =
dt
∂u
∂t
r
r
∂E
1∂E
=−
∂z
c ∂t
r
Les relations déduites du rotationnel de E deviennent :
 1 ∂ E y ∂ Bx
− c ∂t = ∂t

 1 ∂ E x = ∂ By
 c ∂t
∂t
Ceci est intégrable et on obtient :
 E y = −cB x + f ( z )

 E x = cB y + g ( z )
r
En utilisant alors les relations déduites du rotationnel de B , on obtient :
f ( z) = g( z) = cste = 0
D'où :
E y = − cBx
E x = cBy
Si on calcule maintenant le produit scalaire des champs on a :
r r
E. B = E x Bx + E y By = cBy Bx − cBx By = 0
r
r
E et B sont donc perpendiculaires entre eux.
35
Electromagnétisme
4.4.3. "Relation de l'onde plane"
L'ensemble des résultats obtenus ci-dessus à propos des ondes planes progressives dans le
vide peut être résumé par l'expression :
r r r
E = B∧ c
r
c est le vecteur de norme c (la vitesse de propagation), orienté selon la direction de
propagation.
r r
r
Les trois vecteurs E , B et c forment un trièdre direct.
r
r cr ∧ E
On a de manière équivalente : B =
c2
4.5.
Représentations des ondes planes progressives monochromatiques
L'expression d'une onde physique est décomposable en éléments de Fourier, c'est-à-dire
en somme de termes en sinus et cosinus. Les équations de Maxwell étant linéaires, chacune de ces
ondes élémentaires les vérifie. Il est donc possible d'étudier une onde réelle à partir de ses
composantes de Fourier, c'est-à-dire à partir d'ondes monochromatiques. On ne considérera dans la
suite que ce type d'ondes appelées sinusoïdales, à la pulsation unique.
4.5.1. Représentation réelle
En représentation réelle, une onde plane progressive sinusoïdale s'écrit :
r r
rr
E = E o cos[ k( n. r − ct )]
(
r r
r r
E = E o cos k. r − ωt
)
r
Eo est ici un vecteur constant de composantes réelles.
r
k est appelé vecteur d'onde. Il fixe la direction de propagation de cette onde plane
progressive monochromatique. Il vaut :
r ωr
k= n
c
(en m-1)
r
r
ω2 r
ω est la pulsation de l'onde (en rad.s-1). On a k 2 = 2 n 2 d'où, en tenant compte du fait que n est
c
unitaire :
ω2
k 2x + k 2y + k 2z = 2
c
C'est la relation de dispersion. D'une manière générale, toute équation liant le vecteur
r
d'onde k à la pulsation s'appelle relation de dispersion.
36
Electromagnétisme
La solution k (ω ) de la relation de dispersion peut être complexe, ce qui traduit en général
des phénomènes d'absorption de l'onde par le milieu.
Si l'équation k (ω ) = 0 (i.e. la relation de dispersion) n'a pas de solution, la propagation est
r
impossible. En effet, cela signifie qu'il n'existe pas de vecteur d'onde k adapté à la pulsation.
On définit :
T=
2π
ω
Période temporelle ou période (en s).
λ = cT
1
ν=
T
1
σ=
Période spatiale ou longueur d'onde (en m).
Fréquence temporelle ou fréquence (en Hz).
Fréquence spatiale ou nombre d'onde (en m-1).
λ
L’onde présente donc une double périodicité : spatiale et temporelle.
La représentation réelle donne l'expression vraie du champ électromagnétique.
4.5.2. Représentation complexe
La représentation complexe est un outil permettant de faciliter les calculs. Elle ne
représente pas la vraie onde, c'est-à-dire l'onde physique qui se propage, mais une image de cette
onde.
On écrit par exemple :
r r rr
E = Eo e j (k .r −ωt )
r
L'onde physique, réelle, en est la partie réelle ( Eo est toujours un vecteur constant de
composantes réelles) :
rr
r
r rr
r
ℜ E = ℜ Eo e j (k .r −ωt ) = Eo cos k .r − ωt
[] [
]
(
)
Les grandeurs caractéristiques de l'onde sont les mêmes qu'en représentation réelle. Elles
sont en effet intrinsèques à l'onde et non à la représentation adoptée.
Cette représentation est très utile car elle simplifie beaucoup les calculs. Pour l'onde
donnée ci-dessus (attention aux signes !) et en représentation cartésienne, on a :

→
r r
r
rot E = jk ∧ E
r
r
∆ E = −k 2 E
r r
r
div E = jk .E
r
r
∂E
= jω E
∂t
37
Electromagnétisme
Tous les calculs de dérivées partielles sont ainsi remplacés par des multiplications, des
produits scalaires ou des produits vectoriels. Par exemple, si on part de l'équation de propagation
trouvée précédemment :
r
r 1 ∂ 2E r
∆E − 2
=0
c ∂t 2
On calcule :
avec
r
r
∆ E = −k 2 E
r r rr
E = E o e j (k .r −ωt )
r
r
∂ 2E
et
= −ω 2 E
2
∂t
Comme l'équation de propagation est vraie à tout instant et en tout point de l'espace, il
vient :
k2 =
ω2
c2
(Relation de dispersion)
On a donc bien les deux sens de propagation : un dans le sens de la variable croissante, et
un dans le sens contraire :
k=±
ω
c
Il est donc indispensable de revenir à la
représentation réelle avant d'effectuer une
multiplication ou un produit vectoriel.
La représentation complexe présente cependant un danger. En effet, cette représentation
n'est utile et juste que tant que la partie réelle de l'expression complexe correspond au champ
physique qu'on étudie. Cette équivalence est conservée tout au long des calculs lorsque les
opérations effectuées sont linéaires, donc pour les additions et les dérivations. Dès lors que l'on fait
une multiplication (un produit scalaire) ou un produit vectoriel par exemple, l'équivalence des
représentations n'est plus conservée.
Cette remarque prendra toute son importance au moment où nous étudierons les propriétés
énergétiques des ondes électromagnétiques.
4.6.
Polarisation des ondes planes sinusoïdales
4.6.1. Les différentes polarisations possibles
Etudier la polarisation d'une onde électromagnétique, c'est étudier le mouvement de
r
l'extrémité du vecteur E .
r
Pour une onde plane progressive se propageant selon un axe (Oz), E est orthogonal à
(Oz). Il est contenu dans le plan d'onde, et c'est dans ce plan qu'on effectue l'étude. On prend par
exemple le plan d'onde d'équation z = 0.
38
Electromagnétisme
La
r polarisation est rectiligne si l'extrémité de
E décrit un segment.
La polarisation est elliptique si l'extrémité de
r
E décrit une ellipse.
La polarisation est circulaire si l'extrémité de
r
E décrit un cercle. Le centre de ce cercle est
l'intersection de l'axe de propagation et du
plan d'onde. C'est un cas particulier de
polarisation elliptique.
Une polarisation elliptique peut être droite ou gauche, selon le sens de rotation de l'extrémité de
r
E . Pour définir ce sens, il est indispensable de prendre une convention pour regarder l'onde. Nous
choisirons par exemple la convention de regarder venir l'onde.
r
Avec cette convention, si l'extrémité de E tourne dans le sens trigonométrique (sens anti-horaire),
la polarisation sera dite gauche. Dans le cas contraire, elle sera dite droite.
Toutes les ondes ne sont bien sûr pas forcément polarisées. On parle alors de polarisation aléatoire
ou tout simplement de non polarisation.
Remarque :
Certains auteurs donnent la définition inverse du sens de rotation. Ces auteurs expriment la phase
en ωt-kz et non, comme nous allons le faire, en kz- ωt. Ce point de vue est plus proche de la réalité
physique que celui qui est énoncé dans le texte. En effet, le terme –kz correspond à un retard de
phase dû à la propagation de l’onde.
4.6.2. Expression des ondes polarisées
Nous considérons dans ce paragraphe des ondes dont la phase est exprimée en kz-ωt, afin
de rester cohérent avec la définition de sens donnée précédemment (cf. note 9).
Au niveau des expressions des ondes, on peut démontrer de manière générale que la
polarisation d'une onde plane progressive sinusoïdale est toujours elliptique (les polarisations
rectiligne et circulaire n'en sont que des cas dégénérés).
39
Electromagnétisme
•
Pour une polarisation rectiligne d'une onde se propageant selon (Oz), on aura une
expression du type :
E ox cos(ωt )
r
E = E oy cos(ωt )
0
r
E garde une direction constante au cours du temps.
•
Pour une polarisation elliptique d'une onde se propageant selon (Oz), on aura une
expression du type :
E ox cos(ωt )
r
E = E oy cos(ωt + Φ)
0
r
La polarisation est droite ou gauche selon la valeur de φ . Si dans l'expression de E cidessus on a E ox = E oy = Eo , la polarisation est circulaire (les amplitudes des deux composantes du
champ sont égales). On a alors :
• Polarisation circulaire droite :
E o cos(ωt )
E o cos(ωt )
r
π


E = E o cos ωt +  = − E o sin(ωt )

2
0
0
• Polarisation circulaire gauche :
E o cos(ωt )
E o cos(ωt )
r
3
π


E = E o cos ωt +  = E o sin(ωt )

2
0
0
40
Electromagnétisme
4.7.
Vitesse de phase
On considère une onde plane progressive sinusoïdale se propageant le long de l'axe z
selon les z croissants. Sa phase est donc kz − ωt .
On prend deux plans d'onde, l'un en z et l'autre en z + dz. La phase sera la même pour le
plan d'onde (z,t) et le plan d'onde (z + dz,t + dt) si :
kz − ωt = k( z + dz) − ω( t + dt )
Ceci donne donc :
dz ω
= = vϕ
dt k
On admet que pour une onde plus générale, la vitesse de phase est :
 dz 
vϕ =  
 dt  phase = cste
La vitesse de phase est la vitesse de déplacement du front d'onde. Ce n'est pas une vitesse
physique, par conséquent il est possible qu'elle soit supérieure à la vitesse de la lumière dans le
vide. Ce cas est même fréquent.
Si vϕ ≥ c , on dit qu'on a une onde rapide.
Si vϕ < c , on dit qu'on a une onde lente.
Dans la pratique, la vitesse de phase est déterminée est écrivant le fait que la phase de
l'onde (quelconque) en question est égale à une constante. On différencie ensuite cette relation pour
extraire vϕ :
 d( variable d' espace donnant la propagation) 
vϕ = 

dt

 phase = cste
4.8.
Vitesse de groupe
La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l'énergie transportée par une onde
électromagnétique. Elle est donc toujours inférieure ou égale à la vitesse de la lumière dans le
vide. C'est aussi la vitesse de déplacement de l'enveloppe de l'onde.
On admet que dans le cas général :
vg =
dω
dk
Dans la pratique, on détermine la vitesse de groupe en différenciant la relation de
dispersion.
Si dans le milieu considéré la vitesse de groupe est fonction de la fréquence (ou de la
pulsation) de l’onde qui s’y propage, on parle de milieu dispersif.
Remarque : Très souvent, mais pas toujours, on a :
41
vϕ v g = c 2
Electromagnétisme
Chapitre 5 :
Energie électromagnétique
Vecteur de Poynting
Béni soit celui qui inventa le sommeil.
5.
Cervantès
L'onde électromagnétique transporte de l'énergie. L'expérience quotidienne suffit pour s'en
apercevoir : la neige fond au soleil par exemple. C'est donc que la lumière du soleil, qui est une
onde électromagnétique, transporte de l'énergie au cours de la propagation dans le vide comme
dans la matière. Dans ce chapitre on relie les champs représentatifs d'une onde à l'énergie
transportée par cette onde. On se place comme auparavant dans le vide ou dans un milieu LHI de
permittivité ε o et de perméabilité µ o .
5.1.
Energie du champ électromagnétique
5.1.1. Bilan d'énergie
r
r
Soit un volume V dans lequel les champs E et B ne sont pas identiquement nuls. On note
u la densité volumique d'énergie électromagnétique (en J.m-3) et W l'énergie électromagnétique
contenue dans le volume V. On a :
W =  u dτ
V
Une diminution de cette énergie électromagnétique W correspond à une énergie cédée. Ce
processus de perte d'énergie peut s'effectuer de deux manières :
•
sous forme d'effet Joule, c'est-à-dire que l'énergie est cédée aux porteurs de charges dans le
volume V ;
•
sous forme de rayonnement à travers la surface définissant le volume V.
Le bilan d'énergie dans V s'écrit donc :
−
dW
= PJoule + PRay.
dt
Il faut mettre un signe moins car pour une perte d'énergie, la variation de W par rapport au
temps est négative, alors que les puissances d'effet Joule ou de rayonnement sont positives.
42
Electromagnétisme
5.1.2. Equation de conservation
5.1.2.1.
Calcul de PJoule
PJoule est la puissance de la force exercée sur les porteurs de charges.
Dans un élément de volume dτ , on a une densité volumique de porteurs de charges libres
r
. La charge de cet élément de volume est donc ρ dτ . En notant v la vitesse des porteurs, la force
r
df exercée sur dτ est la force de Lorentz :
(
)
r
r r r
df = ρ dτ E + v ∧ B
La puissance élémentaire d'effet Joule est donc :
rr
r r r r
dPJoule = df . v = ρ dτ v. E = j. E dτ
Par conséquent, la puissance cédée aux porteurs de charges mobiles dans tout le volume V
est :
PJoule =
r r
 j .E dτ
V
5.1.2.2.
Calcul de PRay .
La puissance rayonnée à travers la surface S définissant le volume V est égale au flux d'un
vecteur représentant ce transport d'énergie, à travers la surface S (qui est fermée).
On a donc par définition :
r r
PRay . =  π .dS
S
r
Le vecteur π est la densité de courant d'énergie.
Le théorème de Green permet alors de dire que :
PRay . =
r
 divπ dτ
V
5.1.2.3.
Equation locale de conservation de l'énergie
En mettant ces résultats en commun avec le bilan d'énergie effectué précédemment, on
obtient :
 −
V
r r
r
∂u
dτ =  j. E dτ +  div π dτ
∂t
V
V
43
Electromagnétisme
Comme le volume V est quelconque, on obtient ainsi l'équation locale de conservation de
l'énergie :
∂u r r
r
+ j .E + divπ = 0
∂t
5.1.3. Détermination du couple (u , π )
r
r
Pour déterminer le couple (u , π ) en fonction des champs, on utilise uniquement les
équations de Maxwell.
r
r
∂B
rot E = −
∂t
et
r
r
r
∂E
rot B = µ o j + µ o ε o
∂t
et
r
r → r
r ∂B
B. rot E = − B.
∂t
→
On sait que
Donc :
→
r
r → r
r ∂E
r r
E. rot B = µ o j .E + µ o ε o E.
∂t
On a ainsi :
r
r
r → r r → r
r ∂B
r ∂E
r r
B. rot E − E. rot B = − B.
− µ o j .E − µ o ε o E .
∂t
∂t
(
)
(
r r
r
r r 1 ∂ r2
div E ∧ B = −µ o j .E −
B + µ oε o E 2
2 ∂t
)
r
r
r
r r ∂  B2 ε o E 2 
r B
div E ∧  = − j. E − 
+

µo 
∂t  2µ o
2 

Par identification terme à terme avec l'équation locale de conservation de l'énergie, on
détermine donc :
r
r B
π =E∧
µo
r
r
B2 ε oE 2
u=
+
2µ o
2
r
L’énergie est donc bien localisée dans les régions où règne le champ électromagnétique.
r
π est déterminé à un rotationnel près, et u à une constante du temps (i.e. une fonction des
coordonnées d’espace) près. Ceci n'est pas gênant, dans la mesure où il suffit d'avoir un couple
(u , πr ) compatible avec le bilan d'énergie et avec les équations de Maxwell.
r
r
π est appelé vecteur de Poynting. Le flux de π à travers une surface représente le débit
r
d'énergie du champ électromagnétique à travers cette surface. La norme de π s'exprime en W.m-2.
u est la densité volumique d'énergie électromagnétique. Elle s'exprime habituellement en
J.m-3.
44
Electromagnétisme
5.2.
Cas de l'onde plane progressive
5.2.1. Densité volumique d'énergie
(
)
r r r
r r r
Pour une onde plane on a E = B ∧ c , donc en module E = Bc car E , B, c forment un
trièdre direct.
r
r
r
B2 εoE 2
B2 εo r2 2
La densité volumique d'énergie devient donc : u =
+
=
+ B c
2µ o
2
2µ o 2
On obtient donc :
r
r
B2
u=
= εoE2
µo
r
L'énergie transportée par l'onde sous forme magnétique (champ B ) est donc égale à
r
l'énergie transportée sous forme électrique (champ E ). Il y a équipartition de l'énergie dans le cas
de l'onde plane.
5.2.2. Vecteur de Poynting
En utilisant à nouveau la relation de l'onde plane, on a :
r
r
r B
r r
r r
B
1 r
1 rr r r rr
π =E∧
= B∧c ∧
= − B∧ B∧c = −
B.c B − B.B c
µo
µo
µo
µo
r
(
)
(
)
[( ) ( ) ]
On a donc finalement :
r
r r
r
B2 r
π=
c = ε o E 2 c = uc
µo
r
Dans le cas de l'onde plane, le vecteur de Poynting, qui représente la propagation de
l'énergie transportée par l'onde, est donc dirigé dans le sens de la propagation. Ici (milieu ( ε o , µ o )),
la vitesse de propagation est c.
5.2.3. Relation entre le vecteur de Poynting et la vitesse de groupe
r r
On se place ici dans le vide : j = 0
Considérons un cylindre de section circulaire S
quelconque, de hauteur vgdt (vg est la vitesse de groupe de l'onde)
et d'axe la direction de propagation de l'onde plane.
45
Electromagnétisme
L'énergie traversant la section S pendant dt est l'énergie contenue dans ce cylindre (car
r r
j = 0 : il n'y a pas d'énergie cédée aux porteurs de charges). Cette énergie est donc égale au
produit de la densité volumique d'énergie u par le volume du cylindre.
Or cette énergie est aussi le flux du vecteur de Poynting à travers la section de surface S
du cylindre, pendant dt. On a donc :
r r
u S vg dt =π.dS dt =π S dt
S
Ceci donne ainsi :
π = uv g
Ce résultat est valable pour une onde plane progressive seulement. En effet dans le calcul
du flux du vecteur de Poynting, nous avons utilisé le fait que pour ce type d'onde il est orienté
selon la direction de propagation et qu'il est le même dans un plan d'onde. La méthode reste
cependant la même dans le cas d'une onde non plane.
5.2.4. Cas de l'onde plane progressive sinusoïdale
5.2.4.1.
Précautions à prendre pour les calculs d'énergie
Dans le cas d'une onde plane sinusoïdale en représentation complexe, il faut prendre garde
au fait que la partie réelle d’un produit scalaire n’est pas égale, en général, au produit scalaire des
parties réelles (et il en est de même pour les composantes d’un produit vectoriel). Il est faux de
rester en représentation complexe lorsqu'on calcule une densité volumique d'énergie ou un vecteur
de Poynting. Il faut impérativement revenir à la représentation réelle des ondes, c'est-à-dire prendre
la partie réelle des représentations complexes avant de faire tout calcul d'énergie.
Cependant si seule la valeur moyenne du vecteur de Poynting est demandée, il est possible
d'avoir cette valeur moyenne en utilisant la représentation complexe :
r
1  r B* 
π = ℜ E ∧ 
2 
µo 
r
r
r
B * signifie qu'il faut prendre le complexe conjugué de B avant d'effectuer le produit
vectoriel, et ℜ[ ] représente la partie réelle.
r
On obtient la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, notée π .
46
Electromagnétisme
Chapitre 6 :
Indications sur l'électromagnétisme
des milieux matériels
Jusque là nous avons considéré la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
Dans un milieu matériel, c'est-à-dire un milieu contenant de la matière, la situation n'est plus tout à
fait la même.
6.1.
Distinction entre charges libres et charges liées
Dans un milieu matériel, on distingue deux types de charges :
• les charges liées : protons des noyaux, électrons autour d'un atome... Le mouvement de
ces charges est imposé par la structure de la matière.
• les charges libres : électrons de conduction dans un métal, particules chargées d'un
faisceau... Le mouvement de ces charges peut être modifié par une intervention
extérieure comme par exemple un champ électrique.
6.2.
Conducteurs et diélectriques
Un diélectrique (parfait) est un milieu ne contenant que des charges liées.
Un conducteur est un milieu contenant des charges libres (et éventuellement des charges
liées).
On peut également définir un conducteur de la manière suivante : c'est un milieu capable
d'atteindre un état d'équilibre tel que le champ électrique à l'intérieur soit nul. Le temps nécessaire
à l'établissement de cet équilibre (durée de l'état transitoire) permet de classer les conducteurs.
• Un conducteur parfait a une durée d'état transitoire nulle.
• Un isolant (ou diélectrique parfait) a une durée d'état transitoire infinie.
Ces deux définitions sont en fait identiques. La durée de l'état transitoire dans la seconde
définition est à relier à la conductivité pour aboutir à la première définition. On a en effet (loi
d'Ohm locale dans un milieu LHI) :
r
r
j =γE
r r
Un conducteur parfait a une conductivité infinie. Comme E = 0 à l'intérieur, la densité
r
volumique de courants de conduction j reste finie. Un "bon" conducteur tel que le cuivre a une
conductivité d'environ 6.107 S.m-1. Il contient des charges libres.
Un diélectrique parfait a une conductivité nulle. Il ne contient pas de charges libres mais
uniquement des charges liées.
47
Electromagnétisme
Chapitre 7 :
Milieux diélectriques - Polarisation
7.
Et souvent les choses qui m'ont semblées vraies lorsque j'ai commencé à les concevoir, m'ont paru fausses
lorsque je les ai voulu mettre sur le papier.
Descartes
On s'intéresse dans ce chapitre aux propriétés des isolants ou diélectriques tels qu'ils ont
été définis précédemment. Il est nécessaire pour cela d'introduire la polarisation du milieu, mais on
ne développera pas son aspect microscopique, qui sort du cadre de ce cours.
Mis à part le dernier paragraphe, il n'est traité ici que du cas statique.
7.1.
Moment dipolaire et polarisation
On considère un dipôle électrique, c'est-à-dire un ensemble de deux charges opposées et
de même valeur absolue, séparées par une distance d.
Le moment dipolaire de ce dipôle est par
définition :

→
r
r
p = q d = q NP
Il s'exprime en C.m. Dans le cas général de plusieurs charges, le moment dipolaire
représente une mesure de l'écart entre les barycentres des charges positives et des charges
négatives.
L'intérêt de cette grandeur est qu'on sait calculer le potentiel et le champ électrique loin du
r
dipôle en fonction du moment dipolaire p .
r
Pour un diélectrique de volume V qui comporte des moments dipolaires individuels p i , la
polarisation est :
r
P=
r
p
i
V
C'est donc la densité volumique de moments dipolaires. C'est une grandeur
r
macroscopique qui s'exprime en C.m-2. Il faut prendre garde à ne pas confondre la polarisation P
r
(majuscule) et le moment dipolaire p (minuscule).
7.2.
Polarisation et distribution de charges équivalente
Un diélectrique ne comporte pas de charges libres. Il se laisse pénétrer par le champ
électrique et se polarise donc. Cette polarisation crée à son tour un champ électrique. On suppose
r
ici que la polarisation P est connue, et on recherche l'expression du potentiel en M créé par la
polarisation.
48
Electromagnétisme
r
On peut montrer que le potentiel électrostatique créé par la polarisation P est identique
r
à celui d'une distribution macroscopique de charges de densité volumique ρ p = −div P ajoutée à
rr
celui d'une distribution macroscopique de charges de densité surfacique σ p = P.n .
On a :
r r
1  PA .r
1
V p (M ) =
 3 dτ =
4πε o  r
4πε o
τ
r
rr 

 − div P
 P.n 
dτ + 
dS 

 r
 r


τ
S
Le champ électrique créé par la polarisation est alors (rappelons qu'on est dans le cas
statique) :

→
r
E p = − grad V p
Ce résultat permet d'écrire les lois de l'électrostatique dans les diélectriques sous forme
locale, uniquement à l'aide de densités de charges. La polarisation n'intervient plus alors dans les
équations.
σ p et ρ p sont des densités de charges liées. Elles apparaissent par le calcul, mais ne sont
pas pour autant fictives. Elles correspondent à de réels excédents locaux de charges liées dus à la
polarisation. D'un point de vue macroscopique, les descriptions de l'état électrique d'un diélectrique
par une distribution de polarisation ou par une distribution de charges liées sont équivalentes, que
ce soit pour le potentiel ou pour le champ électrique créé. Il faut cependant choisir l'une ou l'autre
de ces descriptions, et ne pas les mélanger.
7.3.
r
r
Exemple de calcul de E p créé par P connue
Il s'agit ici de calculer le champ électrique créé par
une plaque de diélectrique homogène de dimensions très
grandes devant son épaisseur (pour pouvoir négliger les
effets
de
bord),
polarisée
uniformément
perpendiculairement à ses grandes faces.
La polarisation est uniforme, donc :
r r
div P = 0
ρp =0

49
Electromagnétisme
r
La densité surfacique de charges liées équivalente à la polarisation est ( n est dirigé vers
l'extérieur du diélectrique) :
rr
face supe′ rieure
face infe′ rieure
+ P
− P
σ p = P.n = 
On a donc tout simplement un condensateur plan
auquel on peut appliquer la résolution classique. Les
considérations de symétrie habituelles permettent d'affirmer
r
que E p est dirigé suivant l'axe y.
Le théorème de Gauss sur un petit cylindre de hauteur dy et de section dS situé
entièrement entre les plaques donne :
r r r
E
 p .dS = 0
S


E p ( y )(
. − dS ) + E p ( y + dy )(
. dS ) = 0
E p ( y + dy ) = E p ( y )
Le champ électrique est donc uniforme entre les plaques.
Le théorème de Coulomb qui donne le champ électrique au voisinage de la surface
chargée permet alors de conclure que :
r
r
σp r
P
Ep =
n′ = −
εo
εo
partout à l'intérieur du diélectrique.
Le même genre de calcul montre que le champ électrique à l'extérieur du diélectrique est
nul :
r
r
Ep = 0
partout à l'extérieur du diélectrique.
Remarquons que nous avons calculé ici le champ électrique créé par la polarisation. On ne
s'est pas intéressé à la manière dont cette polarisation a été créée.
7.4.
Champ dépolarisant
Dans ce paragraphe, on se place dans le cas d'une polarisation uniforme, créée par un
r
r
r r
champ électrique Eo . La polarisation P est indépendante des variables d'espace, d'où div P = 0 .
Le diélectrique n'est donc chargé qu'en surface avec une densité σ p . Celui-ci est neutre à
l'origine, il existe donc des endroits de la surface chargés négativement, et d'autres chargés
50
Electromagnétisme
r
positivement. Ceci implique qu'à l'intérieur du diélectrique règne, en plus du champ Eo , un champ
r
E p dû à la polarisation (ou, ce qui revient au même, aux charges liées en densité σ p ). Le champ
total mesuré dans le diélectrique est donc :
r r
r
E = Eo + E p
r
Le champ E p porte le nom de champ dépolarisant, car il est toujours dans le sens opposé
à la polarisation qui le crée. On peut écrire :
r
r
E p = −N P
N est appelé coefficient de dépolarisation.
7.5.
r
Equations de Maxwell - Vecteur D
Les équations de Maxwell dans un diélectrique doivent prendre en compte la polarisation
ou les charges liées qui lui sont dues. On se place toujours dans le cas statique, aucune grandeur ne
dépend du temps.
→
r r
rot E = 0
L'équation de Maxwell-Faraday est donc :
En ce qui concerne l'équation de Maxwell-Gauss, deux écritures sont possibles :
r ρ ρ libres + ρ lie′es
ρ libres + ρ p
div E =
=
=
εo
εo
εo
ou
r
Le champ E est le champ total dans le diélectrique :
r
r
ε o div E + div P = ρ libres
r r
r
E = Eo + E p
r
Il est aussi possible de définir un vecteur excitation électrique D (ou induction
électrique). On a alors :
r
div D = ρ libres
et
r
r r
D = εoE + P
L'avantage de ce vecteur est que les charges de polarisation n'apparaissent plus
explicitement.
7.6.
Susceptibilité
r
r
Dans le domaine macroscopique, les champs E et P sont liés par une relation locale,
r r
r r
c'est-à-dire que P(r ) ne dépend que des valeurs de E (r ) au même point. On se limite ici encore
aux phénomènes statiques, et on introduit l'hypothèse supplémentaire d'un corps sans hystérésis
diélectrique, ce qui signifie que la polarisation ne dépend que du champ électrique au même
instant.
51
Electromagnétisme
Lorsque les champs électriques sont peu intenses (cas courant), les propriétés de la plupart
r
r
des matériaux diélectriques sont bien décrites par une relation linéaire entre E et P . On pose :
r
t r
P = εo χe E
t
χ e est le tenseur de susceptibilité électrique du milieu (matrice 3x3). Pour un milieu
t
isotrope, χ e est proportionnel à la matrice unité et la polarisation est parallèle localement au
champ électrique :
r
r
P = εo χe E
χ e est appelé susceptibilité électrique du milieu. Il est sans dimension et toujours positif.
Pour un matériau homogène, χ e ne dépend plus des coordonnées d'espace. Sa valeur est
la même en tout point du matériau.
r
Pour un matériau linéaire et isotrope (mais qui peut être inhomogène), le vecteur D peut
être écrit :
r
r r
r
D = ε o E + P = ε o (1 + χ e )E
où :
r
r
D = εE
ε = ε o (1 + χ e )
avec
ε est la permittivité du matériau. Dans le vide, elle vaut ε o . On appelle permittivité
relative ou constante diélectrique la quantité :
ε r = 1+ χe =
ε
εo
ε r est bien sûr sans dimension et toujours supérieur à 1. Sa valeur pour les matériaux
usuels est de quelques unités ou de quelques dizaines.
Les relations que nous venons d'écrire permettent de tenir compte de manière simple de la
réponse de la matière au champ électrique qu'elle subit. Le calcul de la susceptibilité ou de la
constante diélectrique exige une connaissance très fine de la structure microscopique de la matière.
La plupart du temps, ce n'est donc pas une petite affaire.
7.7.
Autre écriture des équations de Maxwell
Pour un milieu linéaire isotrope, on peut écrire les équations de Maxwell dans le cas
statique de deux manières différentes :
r
r
ε o div E = ρ libres − div P
avec
→
r r
rot E = 0
52
r
r r
P = ε o χ e (r )E
Electromagnétisme
ou :
r
div D = ρ libres
avec
→
r r
rot E = 0
r
r r
D = ε (r )E
Trouver la solution d'un de ces deux systèmes est très ardu. En effet, la difficulté provient
r
du fait que la polarisation est déterminée localement par le champ électrique E . Or ce champ est la
r
r
somme du champ Eo créé par les charges libres et du champ E p créé par la polarisation ellemême. Il s'agit donc d'un problème bouclé, c'est-à-dire d'un système d'équations couplées.
En général, on essaie par des arguments de symétrie de déterminer l'allure de la solution et
de se ramener à la détermination de quelques paramètres. Ceux-ci sont alors obtenus en demandant
r
r
r
à la solution supposée de satisfaire à la cohérence du calcul : P → E → P .
7.8.
Aspect dynamique
L'équivalence entre la polarisation et les densités de charges équivalentes n'est pas limitée
au régime statique. Cependant, pour des raisons qui sortent du cadre de cette étude, la description
en termes de polarisation macroscopique ne peut être utilisée que pour des phénomènes dont le
temps caractéristique de variation est supérieur à environ 10-15 s, c'est-à-dire jusqu'aux fréquences
optiques, UV inclus.
En gardant à l'esprit cette restriction, en régime dynamique la polarisation varie dans le
temps. Les densités de charges équivalentes sont donc également fonction du temps, ce qui donne
naissance à un courant puisque les porteurs de charge sont animés d'une certaine vitesse. Les
densités de charges liées sont toujours :
r
r
σ p (t ) = P(t ).n
ρ p (t ) = − div P(t )
r
r
La densité de courant de polarisation j p , due au mouvement des charges liées, est
macroscopique. Elle s'exprime par :
r
r
∂P
jp =
∂t
Ce courant n'est pas du tout fictif : il produit les mêmes effets qu'un courant de
conduction. La grande différence est que ce courant ne peut être conduit et utilisé à l'extérieur du
diélectrique puisqu'il est dû à des charges liées.
Les équations de Maxwell en régime variable doivent donc être complétées pour tenir
compte de ces courants et densités de charge. Ceci sera développé dans le chapitre traitant de la
propagation des ondes dans les milieux matériels.
53
Electromagnétisme
Chapitre 8 :
Milieux magnétiques - Aimantation
8.
On se persuade mieux, pour l'ordinaire, par les raisons qu'on a soi-même trouvées, que par celles qui sont
venues à l'esprit des autres.
Pascal
Dans ce chapitre, on s'intéresse aux propriétés des corps magnétiques, ou milieux
aimantés. Cependant l'aspect microscopique du magnétisme sera délibérément laissé de côté, bien
qu'il soit en fait indispensable à une compréhension en profondeur de ce phénomène.
L'expérience commune permet tout d'abord de dire que certains corps possèdent une
aimantation permanente (la magnétite Fe3O4 par exemple), c'est-à-dire que le champ magnétique
créé par ces milieux a un caractère de durabilité particulier. Ces corps sont rares à l'état naturel, les
autres sont les plus fréquents. Pour ces derniers, leurs propriétés magnétiques se manifestent
lorsqu'ils sont placés dans une région de l'espace où règne un champ magnétique produit par une
autre source, un courant par exemple. Ces corps se comportent alors de la même manière qu'un
aimant. Ce phénomène s'appelle l'aimantation induite.
On peut séparer les matériaux en deux grandes classes :
• Ceux pour lesquels les effets magnétiques sont faibles (10-5 à 10-3 fois le champ extérieur) : ce
sont les paramagnétiques et les diamagnétiques ;
• Ceux pour lesquels les effets magnétiques sont importants (103 fois le champ extérieur par
exemple) : ce sont les ferromagnétiques.
Tout comme pour les diélectriques, et sauf mention contraire, il n'est question ici que du cas
statique.
8.1.
Moment magnétique et aimantation
Si on considère une boucle de courant d'intensité i et de
surface S, on sait que son moment magnétique (en A.m2) est défini
r
r
par: µ = i.S
Pour décrire les effets magnétiques, on admet que les phénomènes expérimentaux sont
très bien interprétés à l'échelle macroscopique par l'hypothèse que tout élément de volume d'un
r
milieu magnétique possède un moment dipolaire magnétique µ i . Le phénomène physique
r
d'aimantation est alors caractérisé par le vecteur aimantation M , qui est la densité volumique de
moments dipolaires magnétiques. On a pour un corps de volume V :
r
M =
r
µ
i
V
C'est une grandeur macroscopique qui s'exprime en A.m-1.
54
Electromagnétisme
8.2.
Aimantation et distribution de courants équivalente
r
On suppose ici que l'aimantation M est connue, et on recherche l'expression du potentiel
vecteur en un point Q créé par l'aimantation.
On peut montrer que le potentiel vecteur créé par
r
l'aimantation M est identique à celui d'une distribution
macroscopique de courants de densité volumique

→
r
r
j m = rot M ajouté à celui d'une distribution macroscopique
r r
r
de courants de densité surfacique j ms = M ∧ n .
On a :

→

r
r
r r 
r
r



µo 
µ o  M P ∧ r
rot P M
 M ∧ n 
Am (Q ) =
dτ =
dτ +  
dS 




r
4π  r 3
4π 
 r




S
τ
 τ

Le champ magnétique est alors donné par :
r
rs r 
r

→
r
r
µ o  j m ∧ r
 j m ∧ r 
Bm = rot Am =
dτ + 
dS 

3
4π  r 3
 r

S
 τ

Ce résultat permet d'écrire les lois de la magnétostatique dans les milieux aimantés sous
forme locale, uniquement à l'aide de densités de courants. L'aimantation n'intervient plus alors dans
les équations.
r
r
Les courants de densité j m et j ms apparaissent par le calcul, mais ne sont pas pour autant
fictives. D'un point de vue macroscopique, les descriptions de l'état magnétique d'un milieu
aimantable par une distribution d'aimantation ou par une distribution de courant sont équivalentes,
que ce soit pour le potentiel vecteur ou pour le champ magnétique créé. Il faut cependant choisir
l'une ou l'autre de ces descriptions, et ne pas les mélanger.
8.3.
r
r
Exemple de calcul de Bm créé par M connue
Il s'agit ici de calculer le champ magnétique créé par un cylindre homogène de rayon R et
de hauteur h, aimanté uniformément selon son axe de révolution (Oz). On calcule uniquement le
champ au centre O du cylindre.
55
Electromagnétisme
L'aimantation est uniforme, donc :

→
r r
rot M = 0
r
r
jm = 0

La densité surfacique de courants équivalente à
r
l'aimantation est ( n est dirigé vers l'extérieur du milieu
aimanté) :
r r
rs
jm = M ∧ n
Cette densité surfacique est nulle sur les bases du cylindre, et ortho radiale sur la surface
latérale. On a donc :
(
)
(
)
r r r
r r r
r
r
r
µ o  j ms ∧ r
µ o  M ∧ n ∧ r
µ o  M ∧ n ∧ r
Bm =
dS =
dS =
dS



4π  r 3
4π 
4π 
r3
r3
S
S
SL
La formule du double produit vectoriel donne alors :
(M ∧ nr )∧ rr = (rr.M )nr − (rr.nr )M
r
r
r
Les composantes du champ perpendiculaires à (Oz) se
compensent si on associe les éléments deux à deux. Il ne
r
reste donc plus que la composante de Bm selon (Oz) :
( )( )
( )
r r rr
rr r r
r r
µ o  r .M k .n − (r .n ) k .M
B m = k .B m =
dS

4π 
r3
SL
rr

µ 
r .n
Bm = o 
 − M 3 dS
4π 
r
SL
→
r
r
r
Le vecteur r n'est pas celui des coordonnées cylindriques. On a r = PO = − r u .
D'où :
rr
µ o M  n.u
 2 dS
Bm =
4π  1
r 23

SL
=dΩ
dΩ est l'angle solide sous lequel de O on voit dS autour du point P ; l'intégration est alors
immédiate. En notant Ω L l'angle solide sous lequel de O on voit la surface latérale, on a :
Bm =
µo M
ΩL
4π
56
Electromagnétisme
L'angle solide sous lequel de O on voit le disque supérieur (ou inférieur) est
2π (1 − cos θ o ) . L'angle solide Ω L est donc :
Ω L = 4π − 2 × 2π (1 − cos θ o ) = 4π cos θ o
Le champ magnétique cherché en O est donc :
r
r
Bm = µ o cos θ o M
r
r
Le champ Bm est de même sens que l'aimantation M , contrairement au cas des
r
r
diélectriques où E p et P sont antiparallèles.
Pour un disque plat :
cos θ o ≈
h
2R
r
h r
Bm = µ o
M
2R

C'est le champ au centre d'une spire parcourue par le courant hM .
Pour un cylindre allongé :
cos θ o ≈ 1
r
r
Bm = µ o M

C'est le champ d'un solénoïde de très grande longueur.
8.4.
r
Equations de Maxwell - Vecteur H
Les équations de Maxwell dans un milieu magnétique doivent prendre en compte
l'aimantation ou les densités de courant équivalentes. On se place toujours dans le cas statique,
aucune grandeur ne dépend du temps.
r
div B = 0
L'équation de conservation du flux reste :
En ce qui concerne l'équation de Maxwell-Ampère, deux écritures sont possibles :

→
r
r
r
rot B = µ o ( j libres + j m )
→
→
r
r
r

rot B = µ o j libres + rot M 




ou
r
Le champ B est le champ total dans le milieu :
r r
r
B = Bo + Bm
r
r
Dans cette expression, Bo est le champ appliqué et Bm le champ dû à l'aimantation.
r
Il est aussi possible de définir un vecteur excitation magnétique H . On a alors :

→
r r
rot H = j libres
et
r
r
r
B
H =
−M
µo
L'avantage de ce vecteur est que les courants équivalents à l'aimantation n'apparaissent
plus explicitement.
57
Electromagnétisme
8.5.
Susceptibilité
r
L'aimantation M acquise par la matière en un point est fonction du champ magnétique
r
r
total en ce point. On se limite ici aux matériaux isotropes, pour lesquels M et B sont localement
parallèles.
Pour ce qui est du phénomène d'aimantation induite, les matériaux se séparent en deux
grandes classes :
r
• ceux pour lesquels l'aimantation induite est faible : le champ Bm créé par cette aimantation est
r
r
partout négligeable devant le champ appliqué Bo . Pour certains de ces corps, M est dans le
r
r
même sens que B , ce sont les paramagnétiques ; pour les autres, M est dans le sens opposé à
r
B , ce sont les diamagnétiques.
• ceux qui perturbent profondément le champ magnétique dans lequel ils sont plongés, ce sont les
r
r
ferromagnétiques (le fer métallique pur par exemple). Le lien entre M et B est alors souvent
complexe et non linéaire. De plus, ils présentent fréquemment de l'hystérésis.
Lorsque les champs magnétiques sont peu intenses et la température pas trop basse (cas
courant), les propriétés des matériaux diamagnétiques et paramagnétiques sont bien décrites par
r
r
une relation linéaire entre M et H . On pose :
r
r
M = χmH
χ m est appelé susceptibilité magnétique du milieu. Il est sans dimension et positif pour
les paramagnétiques ou négatif pour les diamagnétiques.
Pour un matériau homogène, χ m ne dépend plus des coordonnées d'espace. Sa valeur est
la même en tout point du matériau.
r
Pour un matériau linéaire et isotrope (mais qui peut être inhomogène), le vecteur B peut être écrit :
(
)
r
r r
r
B = µ o H + M = µ o (1 + χ m )H
où :
r
r
B = µH
avec
µ = µ o (1 + χ m )
µ est la perméabilité du matériau. Dans le vide, elle vaut µ o . On appelle perméabilité
relative la quantité sans dimension :
µr = 1 + χ m =
µ
µo
Pour les corps ferromagnétiques à faible hystérésis, les définitions de la susceptibilité et
de la perméabilité sont les mêmes que ci-dessus. Cependant, la susceptibilité de ces corps étant très
élevée (de +102 à +106, χ m > 0 pour les ferromagnétiques), la différence entre χ m et µ r devient
r
r
r
mineure et on utilise souvent la perméabilité seule. De plus, la relation entre M et H (ou entre B
r
r
et H ) n'est plus linéaire, ce qui signifie que χ m et µ r sont des fonctions du module de H . Les
choses se compliquent donc passablement.
58
Electromagnétisme
Les relations que nous venons d'écrire permettent de tenir compte de manière simple de la
réponse de la matière au champ magnétique qu'elle subit. Les valeurs de la susceptibilité ou de la
perméabilité sont la plupart du temps expérimentales.
8.6.
Autre écriture des équations de Maxwell
Pour un milieu linéaire isotrope, on peut écrire les équations de Maxwell dans le cas
statique de deux manières différentes :

→

→
r
r
r
rot B = µ o j libres + µ o rot M avec
r
div B = 0
()
r
r r
M =M B
ou :

→
r r
rot H = j libres
r
div B = 0
avec
r
r
B = µ (H )H
Trouver la solution d'un de ces deux systèmes est très ardu. En effet, la difficulté provient
r
du fait que l'aimantation est déterminée localement par le champ magnétique B . Or ce champ est la
r
r
somme du champ Bo créé par les charges libres et du champ Bm créé par l'aimantation elle-même.
Il s'agit donc d'un problème bouclé, c'est-à-dire d'un système d'équations couplées.
En général, on essaie par des arguments de symétrie de déterminer l'allure de la solution et
de se ramener à la détermination de quelques paramètres. Ceux-ci sont alors obtenus en demandant
r
r
r
à la solution supposée de satisfaire à la cohérence du calcul: M → B → M .
8.7.
Aspect dynamique
L'équivalence entre l'aimantation et les densités de courants équivalentes n'est pas limitée
au régime statique. Cependant, tout comme pour les diélectriques, cette description ne peut être
utilisée que pour des phénomènes dont le temps caractéristique de variation est supérieur à environ
10-15 s, c'est-à-dire jusqu'aux fréquences optiques, UV inclus.
Les équations de Maxwell en régime variable doivent donc à nouveau être complétées
pour tenir compte de la réponse de la matière au champ magnétique. Ceci sera développé dans le
chapitre traitant de la propagation des ondes dans les milieux matériels.
59
Electromagnétisme
Chapitre 9 :
Equations de Maxwell dans les milieux matériels
Après avoir développé l'étude statique des milieux matériels, on s'intéresse ici à la
propagation des ondes électromagnétiques dans ces milieux.
9.1.
Equations de Maxwell dans un milieu matériel
Dans un milieu matériel quelconque, les équations de Maxwell sont :
(
)
r 1
r
div E =
ρlibres − div P
εo
r →
r

→
r
r
r
∂P
∂E
rot B = µ o  jlibre +
+ rot M + µ o ε o
∂t
∂t


r
div B = 0
r
r
∂B
rot E = −
∂t

→
Ces équations ne suffisent pas pour déterminer le champ électromagnétique, car la
polarisation et l'aimantation ne sont pas en général des fonctions données, mais dépendent ellesr
r
mêmes de E et B .
On peut également utiliser le jeu d'équations suivant :
r
div D = ρ libres
r
div B = 0
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
r r
∂D
rot H = jlibre +
∂t
→
→
La différence entre ces jeux d'équations réside dans la manière dont la réponse de la
r r
r r
matière est décrite : par le couple P, M dans le premier cas, ou par le couple D, H dans le
second.
{
}
{
}
Ces équations sont valables pour décrire des phénomènes variant plus lentement que les
fréquences optiques et UV. Au delà, il est nécessaire de tenir compte de la discontinuité de la
matière.
Dans ces expressions :
r
r
B et E sont les champs magnétique et électrique.
r
P est la polarisation du milieu.
r
M est l'aimantation du milieu.
r
r
H et D sont les excitations magnétique et électrique.
r
j libre est la densité volumique de courants due aux charges libres.
ρ libres est la densité volumique de charges libres.
Pour un milieu linéaire, on a :
r tr
D=εE
r t r
B = µH
60
Electromagnétisme
t
t
ε et µ sont des tenseurs 3x3, dont les composantes dépendent des coordonnées d'espace
et de la pulsation de l'onde qui se propage dans le milieu.
t
t
Pour un milieu homogène, les composantes de ε et µ ne dépendent plus des coordonnées
d'espace, mais ils peuvent rester fonction de la pulsation de l'onde.
t
t
Pour un milieu isotrope, ε et µ sont des fonctions scalaires de l'espace et de la pulsation.
9.2.
Cas des milieux LHI
t
t
Pour un milieu LHI (i.e. linéaire, homogène et isotrope), ε et µ deviennent des scalaires
ε et µ. On a donc :
r
r B
H=
µ
r
r
D =εE
Les constantes et µ s'écrivent, par référence à celles du vide :
ε = ε oε r
µ = µ oµ r
Elles sont donc le produit des constantes dans le vide par des constantes relatives :
• ε r : permittivité relative du milieu
• µ r : perméabilité relative du milieu
r
r
Le plus souvent, sauf dans le cas des métaux ferromagnétiques, on a µ r ≅ 1 et donc B = µ o H .
9.3.
Conditions aux limites
On s'intéresse dans ce paragraphe aux phénomènes survenant à l'interface entre deux
milieux qu'on note  et .
Les équations de Maxwell permettent de déterminer quatre relations entre les composantes
des champs dans les deux milieux. La position de l'interface dans l'espace associée au repère
(direct) choisi permet de séparer les composantes des champs en partie tangentielle et en partie
normale à l'interface. Les composantes tangentielles sont repérées avec l'indice T et les
composantes normales avec l'indice N.
Ces conditions aux limites (appelées aussi conditions de passage ou de continuité) sont les
suivantes :
r
r
r
r
r
r
B N1 = B N 2
BT2 − BT1 = µ o j S ∧ n12
r
r
r
r
σ r
ET1 = ET2
E N 2 − E N1 = n12
εo
r
j S est la densité surfacique de courants libres circulants sur l'interface.
σ libres est la densité surfacique de charges libres présente sur l'interface.
r
n12 est le vecteur unitaire normal à l'interface. Il est orienté du milieu  vers le milieu.
61
Electromagnétisme
Chapitre 10 :
Ondes planes dans un diélectrique non magnétique
Un diélectrique est un milieu matériel neutre isolant. Il est dans ce chapitre linéaire,
homogène et isotrope (LHI). Il est également dénué d'effets magnétiques, c'est-à-dire que µ = µ o .
10.1.
Equations de Maxwell
Un diélectrique ne contient que des charges liées (diélectrique parfait), donc sa densité
volumique de charges libres est nulle de même que la densité volumique de courants due aux
charges libres.
Dans ce milieu les équations de Maxwell s'écrivent donc :
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r

→
r ∂D
rot H =
∂t
→
r
div B = 0
r
div D = 0
On a d'autre part :
r
r
D =εE
r
r
B
H =
µo
et
r
r
En remplaçant D et H dans les équations ci-dessus, on obtient :
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
div B = 0
→
r
div E = 0
→
r
r
∂E
rot B = µ o ε
∂t
Ce sont donc les équations de Maxwell dans le vide avec en plus le changement de ε o en
ε. Cependant, il convient de noter que si dans le vide ε o était une vraie constante, ici ε va être
fonction de la fréquence de l'onde qui se propage dans le diélectrique.
10.2.
Equation de propagation
A partir des équations de Maxwell, en exprimant le rotationnel du rotationnel de chacun
des champs on obtient :
r
r
∂ 2E r
∆E − ε rε o µo 2 = 0
∂t
r
r
∂ 2B r
∆B − ε rε o µo 2 = 0
∂t
62
Electromagnétisme
10.3.
Relation de dispersion dans le cas de l'onde plane
r
r
On considère une onde plane d’expression E = Eo cos(ωt − k x )u y .
En reportant cette expression dans l'équation de propagation, on obtient :
r
r r
− k 2 E − ε r ε o µ o (− ω 2 )E = 0
Ceci donne la relation de dispersion :
k 2 = ε r (ω )
ω2
c2
On retrouve bien celle du vide si ε r (ω ) ≡ 1 .
ε r (ω ) est souvent complexe. Sa partie imaginaire correspond à des phénomènes
d'absorption de l'onde par le milieu.
10.4.
Cas d'une onde plane dans un milieu diélectrique non absorbant
Pour un milieu non absorbant, ε r (ω ) est réel. Par conséquent, k est aussi réel.
10.4.1.Vitesse de phase
La vitesse de phase est vϕ =
ω
k
, ce qui aboutit à :
vϕ =
c
ε r (ω )
L'indice de réfraction du milieu est par définition : n = ε r (ω )
Cet indice est supérieur ou égal à 1. La vitesse de phase de l'onde plane peut ainsi s'écrire :
vϕ =
c
n
La vitesse de phase dans ce type de diélectrique est donc inférieure à celle obtenue dans le
vide. On voit qu'elle dépend de la pulsation de l'onde qui se propage dans le milieu. Deux ondes de
pulsations différentes ne se propageront donc pas à la même vitesse. On appelle ce phénomène la
dispersion.
10.4.2.Relation de l'onde plane
On peut démontrer la relation de l'onde plane de la même manière que dans le vide :
r r r
E = B ∧ vϕ
La structure de l'onde plane est donc la même dans un diélectrique LHI non absorbant que
dans le vide : les champs sont transverses et orthogonaux entre eux, et leurs normes sont dans le
rapport de la vitesse de phase de l'onde.
63
Electromagnétisme
10.4.3.Energie
Tout comme dans le vide, une onde électromagnétique transporte de l'énergie. Ce
transport d'énergie n'est cependant pas aussi simple à traiter que dans le vide. En effet, dans un
r
milieu matériel, le champ électromagnétique et la matière sont couplés : au champ E qui se
r
propage est associé une polarisation P qui se propage elle aussi et qui contribue à la création de ce
r
champ E . On ne peut donc pas dissocier les rôles de la matière et du champ électromagnétique
dans le transport d'énergie. Le vecteur de Poynting qui décrit le transport d'énergie a donc une
expression différente de celle du vide.
De plus, le champ électromagnétique peut être la cause d'autres formes macroscopiques de
flux d'énergie, dont il convient de tenir compte dans un bilan global : flux de chaleur par exemple
dans un milieu absorbant.
10.4.3.1.
Densité volumique d'énergie électromagnétique
La densité volumique d'énergie électromagnétique est :
r
r
B2 ε E 2
u=
+
2µ o
2
Il y a à nouveau équipartition de l'énergie, car on a :
r
r 2 B2
r
u =εE =
= µo H 2
µo
10.4.3.2.
Vecteur de Poynting
r r r
En notations réelles, le vecteur de Poynting est : π = E ∧ H
r
r
r  vϕ ∧ E 

π = E ∧
 µ o vϕ2 


r
On a donc :
D'où :
r2 r
r
n2 r 2 r
2
π =
E
v
=
n
ε
E
vϕ = n 2 u vϕ
ϕ
o
2
µoc
r
r
r
Pour une onde plane telle que E = Eo cos(ωt − k x )u y , on obtient :
r
r
π = n 2 ε o E 2o cos2 (ω t − k x) v ϕ
64
Electromagnétisme
10.5.
Cas d'une onde plane dans un milieu diélectrique absorbant
Pour un milieu absorbant, ε r (ω ) est complexe. Par conséquent, k est également complexe.
On pose :
ε r (ω ) = ε ′(ω ) + jε ′′(ω )
et
k (ω ) = k ′(ω ) + j k ′′(ω ) .
En considérant les divers processus de polarisation dans la matière, on peut démontrer que
ε ′′(ω ) > 0 .
10.5.1.Expression de l'onde plane
On considère la propagation d'une onde plane en représentation complexe :
r
r
E = E o e j (kx −ωt )u y
La relation de dispersion donne :
(k ′ +
j k ′′) = (ε r′ + jε r′′ )
2
(ε r′ + jε r′′ ) ω2
2
c
ω2
c2
= k ′ 2 − k ′′ 2 + 2 j k ′k ′′
On obtient donc par identification :
k ′ 2 − k ′′ 2 = ε r′
ω2
c2
2k ′k ′′ = ε r′′
et
ω2
c2
On prend la solution k ′ positive afin d'avoir une onde se propageant selon les x
croissants. On a alors l'expression de l'onde plane :
r
r
E = E o e j ((k ′+ j k ′′ )x −ωt )u y
r
r
E = E o e − k ′′x e j (k ′x −ωt )u y
Le terme e − k ′′x est un terme d'atténuation exponentielle. En effet ε ′′(ω ) est positif ainsi
que k ′ , ce qui fait que k ′′ est également positif.
Le terme e j (k ′x −ωt ) est un terme de propagation suivant l'axe (Ox) dans le sens des x
croissants. Il contient à la fois le temps et une variable d'espace.
r
Pour un champ E de cette forme, on parle d'onde évanescente (elle "s'évanouit" en se
propageant). C'est une onde plane.
65
Electromagnétisme
10.5.2.Vitesse de phase
Pour un milieu absorbant, on définit un indice complexe (qui se ramène à l'indice habituel
réel pour un milieu non absorbant). Cet indice n est tel que :
n 2 = (n ′ + j n ′′) =
2
ε
= εr
εo
avec n ′ > 0
En écrivant le fait que la phase de l'onde est constante et en dérivant l'égalité obtenue, on
démontre que la vitesse de phase est vϕ =
ω
k′
, ce qui aboutit à :
vϕ =
c
n′
n′ est l'indice de réfraction du milieu. Il apparaît dans le terme de propagation.
n′′ est l'indice d'extinction du milieu. Il apparaît dans le terme d'atténuation.
La vitesse de phase dans ce type de diélectrique est à nouveau inférieure à celle obtenue
dans le vide. On voit qu'elle dépend encore de la pulsation de l'onde qui se propage dans le milieu
(phénomène de dispersion).
10.5.3.Relation de l'onde plane
On peut montrer de la même manière que dans le vide que la relation de l'onde plane est :
r r
r B∧C
E=
n
ou
r r
r
C∧E
B=n
C²
ou
r r
r k ∧E
B=
ω
r
r
r
Le vecteur u est le vecteur unitaire dirigé dans le sens de la propagation, c = cu , n est
2
r
r
ω2
2
2 ω
complexe (n = n' + j n''), k = k u où k est complexe et vérifie k = ε r (ω ) 2 = n 2 .
c
c
La structure de l'onde plane est donc la même dans un diélectrique LHI absorbant (ou non
absorbant) que dans le vide : les champs sont transverses et orthogonaux entre eux. Une différence
r
r
avec le cas du vide apparaît lorsque le milieu est absorbant : les champs E et B ne sont plus en
phase et leurs normes ne sont plus dans le rapport de la vitesse de phase de l'onde mais dans le
c
c
rapport
=
.
2
n
n′ + n′′ 2
Les produits vectoriels figurant dans ces dernières expressions sont à effectuer en
représentation complexe obligatoirement. Ceci n'est pas faux, car on ne fait à aucun moment de
produits de champs électriques et/ou magnétiques.
66
Electromagnétisme
10.5.4.Vecteur de Poynting
r r r
Le vecteur de Poynting dans le cas d'un milieu matériel est : π = E ∧ H (hypothèse : les
champs sont écrits en notations réelles)
Pour une onde plane se propageant selon (Ox) dans le sens des x croissants, c'est-à-dire
pour :
r
j ( k ′+ jk ′′ ) x − ω t ) r
j kx − ω t ) r
j k x−ω t r
E = E oe (
uy = Eoe (
u y = E o e − k ′′x e ( ′ ) u y
On obtient le champ magnétique :
r r
r k ∧ E E o ( n ′ + j n ′′ ) − k ′′x j( k ′ x − ω t ) r
B=
=
e e
uz
ω
c
En représentation réelle :
r
r
E = E o e − k ′′x cos( k ′ x − ω t ) u y
r E n ′ 2 + n′′ 2 − k ′′x
r
B= o
e
cos( k ′ x − ω t + ϕ) u z
c
tan ϕ =
avec
n ′′
n′
d'où le vecteur de Poynting :
r E o2 n ′ 2 + n ′′ 2 −2 k ′′x
r
π=
e
cos( k ′ x − ω t ) cos( k ′ x − ω t + ϕ ) u x
µ oc
ou encore :
r E o2 n ′ 2 + n ′′ 2 −2 k ′′x
r
π=
e
cos( 2 k ′ x − 2ω t + ϕ ) + cos ϕ u x
2µ o c
[
]
En valeur moyenne, on obtient finalement :
r E o2 n ′ 2 + n ′′ 2 −2 k ′′x
r
π=
e
cos ϕ u x
2µ o c
−2 k ′′x
Le vecteur de Poynting est donc en e
, ce qui signifie que le flux énergétique de
l'onde décroît exponentiellement au cours de la propagation.
Nous ne parlerons pas ici de densité volumique d'énergie, du fait de la difficulté de
définition de cette grandeur pour un milieu absorbant.
67
Electromagnétisme
10.6.
Impédance du milieu
r
E
Z= r
H
L'impédance d'un milieu est par définition :
Cette grandeur caractérise un milieu pour la "facilité de propagation" des ondes. Elle
dépend des caractéristiques intrinsèques du milieu (permittivité, perméabilité...) et aussi de
l'expression de l'onde qui s'y propage.
Dans un diélectrique LHI non magnétique, on peut écrire :
r
E
Z = r =µo
H
r
E
r
B
Z = µo
Dans le vide, on a : Z o = µ o c
c
n
Zo =
µo
εo
= 120π = 377Ω
L'impédance du milieu est donc divisée par n (éventuellement complexe) par rapport à
celle du vide.
L'impédance d'un milieu permet par exemple de traiter certains problèmes de réflexion
d'ondes (élimination de l'onde réfléchie pour éviter des échos radar par exemple). C'est une notion
très générale qu'on retrouve en électronique, en acoustique...
68
Electromagnétisme
Chapitre 11 :
Propagation dans un milieu bon conducteur
Un milieu conducteur contient des charges libres. Les équations de Maxwell dans un tel
milieu doivent donc être écrites en conservant la densité volumique de courants de conduction dans
les équations. Dans ce chapitre, on étudie les ondes planes sinusoïdales se propageant dans un
milieu bon conducteur de permittivité ε o et de perméabilité µ o . Le milieu ne se polarise ni ne
s'aimante donc.
11.1.
Equations de Maxwell - densité de courants de déplacement
Un conducteur est localement neutre, donc sa densité volumique de charges totale est
nulle : ρ = 0 . Il contient des charges libres seulement (ρliée est très faible), donc ρlibres = 0. La
r
densité volumique de courants due à ces charges libres n'est pas nulle : j ≠ 0 .
Dans ce milieu les équations de Maxwell s'écrivent donc :
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
div B = 0
→
r
div E = 0
→
r
r
r
∂E
rot B = µ o j + µ o ε o
∂t
Pour un conducteur de conductivité γ, on a de plus la loi d'Ohm locale qui dit que :
r
r
j =γE
La densité de courants de déplacement est :
r
r
∂E
jD = ε o
∂t
On considère une onde plane sinusoïdale d'expression :
r
r
E = E o e j (ωt − kx )u y
Si on note f la fréquence de l'onde qui se propage dans le conducteur, on a :
r
r
ε oω E
jD
2π f ε o
r =
r =
γ
j
γ E
Pour un bon conducteur tel que le cuivre, on a γ = 6.10 7 Ω −1 .m −1 . On sait par ailleurs que
ε o ≅ 8,85.10 −12 F .m −1 . On en déduit donc que :
r
jD
r ≅ 10 −18 f
j
69
Electromagnétisme
Donc même pour une fréquence très élevée (100 GHz par exemple), la densité volumique
de courants de déplacement est négligeable devant la densité volumique de courants de conduction
:
r
r
j D << j
Ceci est vrai pour un "bon" conducteur seulement (γ élevé), et pour une fréquence
"faible".
Dans ce cas, l'équation de Maxwell-Ampère devient :
→
r
r
r
rot B = µ o j = µ o γ E
r
r
Si j D est de l'ordre de grandeur de j , il faut garder l'équation de Maxwell-Ampère en
entier.
11.2.
Equation de propagation
Sous l'hypothèse de bon conducteur à fréquence faible effectuée ci-dessus, on calcule le
rotationnel du rotationnel de chacun des champs afin de déterminer l'équation de propagation.
On obtient :
r
r
∂E r
∆E − µ oγ
=0
∂t
r
r
∂B r
∆ B − µ oγ
=0
∂t
r
r
On a la même équation de propagation pour E et B . Il faut remarquer que contrairement
à l'équation de propagation dans le vide ou dans un diélectrique, on a ici une dérivée temporelle
première et non seconde.
Si on avait gardé l'équation de Maxwell-Ampère en entier, on aurait obtenu une dérivée
seconde en plus :
r
r
r
∂E 1 ∂ 2 E r
∆ E − µ oγ
−
=0
∂t c 2 ∂t 2
C'est l'équation de propagation dans le vide à laquelle se rajoute un terme en dérivée
première, ce qui revient à un amortissement d’autant plus grand que γ est grand, comme on va le
voir plus loin.
11.3.
Relation de dispersion dans le cas de l'onde plane - Expression des champs
On considère une onde plane sinusoïdale d'expression :
r
r
E = E o e j (ωt − kx )u y
En reportant cette expression dans l'équation de propagation (simplifiée), on obtient :
r
r r
− k 2 E − µ o jγ ω E = 0
70
Electromagnétisme
Ceci donne la relation de dispersion :
k 2 = −µ o jγ ω
k=±
On a alors :
(− 1 + j )
δ=
On pose alors :
2
µoγ ω
2
µo γ ω
Puis on exprime k en fonction de δ :
k=±
(− 1 + j )
δ
k est donc complexe. L'onde a alors pour expression :
x j  ωt m x 
r

r
m
δ
E = Eo e e  δ  u y
Au départ nous avons considéré une onde se propageant le long de l'axe (Ox) dans le sens
des x croissants. La solution ci-dessus n'est donc physiquement correcte qu'avec le signe - dans
l'expression de k. En effet, si on choisit le signe + l'amplitude de l'onde tend vers l'infini au cours
de la propagation, ce qui n'a pas de réalité physique.
r
Cette observation permet de déterminer complètement l'expression de k et du champ E :
(1 − j )
k=
x j  ωt − x 
r

r
−
δ
E = Eo e e  δ  u y
δ
δ s’appelle l'épaisseur de peau (ou la profondeur de pénétration de l'onde). C'est la
distance de propagation pour laquelle l'amplitude du champ a été divisée par e. δ s'exprime en m.
On considère souvent que l'amplitude du champ est quasiment nulle au-delà de la distance δ.
e
−
x
δ
est un terme d'atténuation exponentielle.
x

j  ωt − 
Le terme e  δ  est un terme de propagation suivant l'axe (Ox) dans le sens des x
croissants. Il contient à la fois le temps et une variable d'espace.
r
Pour un champ E de cette forme, on parle d'onde évanescente (elle "s'évanouit" en se
propageant). C'est une onde plane.
Exemples de valeurs numériques pour le cuivre ( γ = 6.10 7 Ω −1 .m −1 ) :
- f = 50 Hz
δ = 9,2mm
- f = 108 Hz (λ = 3m )
δ = 6,5µm
71
Electromagnétisme
r
Avec cette expression de E , on peut avoir la densité volumique de courants de conduction
:
x j  ωt − x 
r

r
r
−
δ
j = γ E = Eo γ e e  δ  u y
L'équation de Maxwell-Faraday permet de donner l'expression du champ magnétique
r
associé à E :
∂
∂x 0 0
r →
r
r
r
∂
∂B
−
= rot E = ∇ ∧ E =
∧E=0
∂y
∂t
0 ∂E
∂
∂x
∂z
r
− j (1 − j ) − δ j  ωt − δ  r
∂B ∂E r
−
=
u z = Eo
e e
uz
∂t ∂x
δ
x

x
r
(1 + j ) e − δx e j ωt − δx  ur
B = Eo
z
jωδ
r
B = Eo
11.4.
2
ωδ
−
x
δ
e e
x π

j  ωt − − 
δ 4

r
uz
Energie
11.4.1.Vecteur de Poynting
r
r B
Le vecteur de Poynting est : π = E ∧
µo
x
r
−
x r

E = E o e δ cos ωt − u y
On a les champs :
δ

x
r
2 −δ
x π r

et :
B = Eo
e cos ωt − − u z
ωδ
δ 4

On trouve en valeur moyenne :
r
2x
−
E o2
r
π =
e δ ux
2ωδµ o
r
−
2x
Le vecteur de Poynting est bien dirigé dans le sens de la propagation. Il varie en e δ , ce
qui signifie que le flux énergétique de l'onde décroît exponentiellement au cours de la propagation.
72
Electromagnétisme
11.4.2.Puissance perdue par l'onde sur une longueur dx
On va montrer ici que la puissance perdue par l'onde sur un trajet de longueur dx est égale
à la puissance cédée aux charges libres sous forme d'effet Joule.
Si on note jo =
Eo
γ
, on peut écrire le vecteur de Poynting différemment :
j o2
r
π =
2ωδ γ µ o
2
e
−
2x
δ
r
ux
La puissance moyenne perdue par l'onde sur une distance dx par unité de surface d'onde
r
est la variation de π sur dx (en W.m-3) :
r
d π
dx
=
− jo2
ωδ 2γ 2µ o
e
−
2x
δ
r − jo2 − δ r
ux =
e ux
2γ
2x
Or la puissance moyenne d'effet Joule dans le conducteur par unité de volume est (en
W.m-3) :
rr
r r
j. j
E ²γ ² − 2δx
x
E ²γ − 2 x j ² − 2 x

= j .E =
= 0
.e . cos ² ωt −  = 0 e δ = 0 e δ
dx
γ
γ
δ
2
2γ

d P
r
d π r
dP
On a donc :
=−
.u x
dx
dx
La puissance perdue par l'onde est cédée aux porteurs de charge ; il s'agit d'une puissance
d'effet Joule.
11.5.
Applications des effets de propagation dans les conducteurs
11.5.1.Guide d'ondes
L'effet de peau, c'est-à-dire le fait que le champ électromagnétique ne se propage que sur
une distance de l'ordre de δ, est utilisé pour réaliser des guides d'ondes. Il s'agit de structures
métalliques de formes variées (mais judicieuses !) permettant de diriger les ondes
électromagnétiques de haute fréquence d'un point à un autre. Les guides d’ondes sont passe-haut
contrairement aux câbles coaxiaux qui sont passe-bas. On se sert de la faible épaisseur de peau
pour avoir une réflexion presque parfaite de l'onde sur la paroi, afin de la maintenir confinée dans
le guide. On parle de plomberie des guides d'ondes.
Il existe des guides de section rectangulaire (ce sont les plus faciles à calculer), ou
également de section circulaire ou elliptique. On trouve aussi d'autres formes plus exotiques,
destinées à des cas particuliers d'ondes à acheminer.
Les parois des guides sont des conducteurs choisis pour leurs qualités mécaniques et/ou de
prix... On peut améliorer les performances des guides, c'est-à-dire la conductivité des parois, en y
déposant quelques microns de bon conducteur (du cuivre par exemple). L'épaisseur de peau sur la
73
Electromagnétisme
paroi sera diminuée par rapport à ce qu'elle était avant le dépôt. La réflexion de l'onde sur les
parois et donc le confinement dans le guide en seront améliorés.
11.5.2.Transmissions sous-marines
L'eau de mer est un assez bon conducteur : sa conductivité est γ = 5 Ω −1.m −1 .
Si on exprime l'épaisseur de peau en fonction de la longueur d'onde (dans le vide) :
δ=
2
λo =
µ oγ ω
δ=
c 2π c
=
f
ω
λo
µ oγ π c
Pour λo = 1km par exemple ( f ≅ 3.10 5 Hz ), on a donc δ = 0,41m .
ae
−2
L'énergie transportée par l'onde varie en e
= 13% du total.
−
2x
δ
, donc à une distance x = δ de la source, on
Pour avoir un rapport signal sur bruit suffisant lors de la réception d'un signal par un sousmarin en plongée, il faut donc que l'émetteur envoie une puissance énorme, ou (et c'est mieux) qu'il
émette sur une longueur d'onde élevée.
74
Electromagnétisme
Chapitre 12 :
Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
Les miroirs devraient réfléchir avant de renvoyer l’image.
13.
J. Cocteau
Dans ce chapitre, on étudie les phénomènes qui apparaissent lors de la réflexion d'une
onde électromagnétique plane sur un diélectrique LHI non magnétique et non absorbant, ou sur un
conducteur parfait ou imparfait. On traite le cas de l'incidence normale et de l'incidence oblique.
L'interface séparant les deux milieux est plane.
13.1.
Cas de deux diélectriques LHI non magnétiques et non absorbants
On considère deux diélectriques et non magnétiques
( µ = µ o pour chacun d'eux). Ces diélectriques ont un indice
n1 et n2 et sont séparés par une interface plane. Le vecteur
unitaire normal à ce plan orienté du milieu vers le milieu
r
est n12 .
L'indice du milieu i est ni = ε ri .Si le milieu était aussi
magnétique, on devrait écrit ni = ε ri .µ ri
Les deux milieux sont des diélectriques parfaits, c'est-à-dire qu'ils ne contiennent que des
r r
charges liées. On a donc σ = 0 et js = 0 . Les conditions de passage sont ainsi simplement :
r
r
B N 2 = B N1
r
r
D N 2 = D N1
r
r
ET2 = ET1
r
r
H T2 = H T1
L'onde incidente est plane et polarisée rectilignement.
13.1.1. Cas de l'incidence normale
13.1.1.1.
Amplitude de l'onde réfléchie et de l'onde transmise
On traite ici le cas où l'onde incidente plane arrive perpendiculairement à l'interface entre
r
les diélectriques. Le vecteur d'onde incident k i est dirigé selon la normale à l'interface. L'onde
arrive dans le milieu  et se réfléchit sur le milieu . Il est possible qu'il y ait une onde transmise
(i.e. réfractée) dans ce deuxième milieu. On étudie la propagation selon l'axe z.
75
Electromagnétisme
L'onde incidente est :
L'onde réfléchie est :
L'onde transmise est :
r
r
Ei = Eoi e j (ωit − ki z )u x
r
r
E r = − Eor e j (ω r t + k r z )u x (le signe – est pris par convention)
r
r
Et = Eot e j (ωt t − kt z )u x
L'onde incidente et l'onde transmise se propagent dans le sens des z croissants. C'est
pourquoi leur terme de phase comporte un signe moins. Par contre l'onde réfléchie se propage dans
le sens des z décroissants et comporte donc un signe plus dans son terme de phase. Les ondes sont
planes.
Eoi , Eor et Eot sont des amplitudes qui peuvent être complexes (si c'est effectivement le
cas, cela signifie qu'il existe un déphasage entre ces ondes).
r
r
Le fait qu'à un instant quelconque en z = 0 on ait ET1 = ET2 entraîne que :
∀t , Eoi e jωit − Eor e jωr t = Eot e jωt t
Ceci donne :
ω i = ω r = ω t

 E o i − E o r = E ot
L'onde réfléchie ainsi que l'onde réfractée ont donc la même pulsation que l'onde
incidente.
La formule de l'onde plane donne l'expression des champs magnétiques :
r
n
r
Bi = 1 E oi e j (ωi t − ki z )u y
c
r
n
r
Br = 1 E or e j (ωr t + k r z )u y
c
r
n
r
Bt = 2 E ot e j (ωt t − kt z )u y
c
r
r
Ces expressions permettent d'utiliser la condition de passage H T1 = H T2 , c'est-à-dire
r r
r
Bi + Br = Bt , pour donner :
n1 E oi + n1 E or = n 2 E ot
76
Electromagnétisme
En incidence normale, on peut alors exprimer les amplitudes en fonction de celle de l'onde
incidente :
E ot =
2n1
E oi
n1 + n 2
Eor =
n 2 − n1
E oi
n 2 + n1
Ces expressions sont valables si les diélectriques sont absorbants. Les indices n1 et n2 sont
alors complexes ce qui se traduit par un déphasage entre les trois champs.
Premier cas : n2 > n1 : Dans ce cas, on a
r
r
Eo r
> 0 . E r est donc en sens opposé à Ei sur
Eoi
r
r
l'interface. E r et Ei sont en opposition de phase (sur l'interface).
Deuxième cas : n2 < n1 : Dans ce cas, on a
r
r
Eo r
< 0 . E r et Ei sont donc en phase sur
Eoi
l'interface.
13.1.1.2.
Coefficients de réflexion et de transmission pour l'énergie
Le vecteur de Poynting moyen incident est :
n
r
r
D'où : π i = 1 Eo2i u z
2µ o c
r
πr = −
r
πi =
[
r
r
1
ℜ Ei ∧ Bi*
2µ o
]
n1
n
r
r
r
Eo2r u z et π t = 2 Eo2t u z
2µ o c
2µ o c
Le coefficient de réflexion en énergie est :
π r .(− u z ) Eo2r
R=
r r = 2
π i .u z
E oi
Le coefficient de transmission en énergie est :
π t .u z n2 Eo2t
T= r r =
π i .u z n1 Eo2i
r
r
r r
T s'appelle aussi coefficient de réfraction en énergie.
On obtient donc :
 n − n1 

R =  2
 n 2 + n1 
2
T=
4n1n 2
(n1 + n2 )2
On note qu'on a R + T = 1. Il n'y a pas de perte d'énergie à l'interface, c'est-à-dire pas
d'absorption de l'onde.
77
Electromagnétisme
13.1.1.3.
Exemple d'application : Traitement de surface de lentilles
Une lentille de verre comporte deux interfaces entre l'air, d'indice 1, et le verre, d'indice
1,5 environ. Pour une interface, on obtient R = 0,04 et T = 0,96. Pour la lentille complète, on a
2
globalement entre sa face gauche et sa face droite : T ≅ (0,96 ) = 0,92 . Pour six lentilles en
cascade, il ne reste plus que 60 % de l'énergie à la sortie du système : T ≅ (0,92 ) = 0,60 . Pour
éviter ces pertes par réflexion, on effectue un traitement de surface de chaque lentille en y déposant
une couche de fluorure d'épaisseur et d'indice bien déterminés.
6
On peut montrer que pour avoir globalement R = 0 (et donc T
= 1), il faut déposer une couche d'indice n 2 = n1n3 et
d'épaisseur e telle que 2n2 e =
λo
+ kλo i.e. e =
λ2
+m
λ2
(m
2
4
2
est un entier, λo est la longueur d'onde dans le vide de l'onde
à transmettre, et λo est la longueur d'onde de cette même
onde dans le milieu qui fait l'adaptation).
Si m = 0 par exemple, on obtient une épaisseur e =
λo
=
λ2
4n 2
4
cette raison appelée transformateur (ou lame) quart d'onde.
. Cette couche de fluorure est pour
13.1.2.Cas de l'incidence oblique
13.1.2.1.
Lois de Descartes
Les champs incident, réfléchi et réfracté sont ( Eor , Eor et Eor ne dépendent ni de la
position, ni du temps) :
r r
r
r
Ei = Eoi e j (ωit − ki .r )
r r
r
r
E r = Eor e j (ωr t − kr .r )
r r
r
r
Et = Eot e j (ωt t − kt .r )
Les conditions de passage en O impliquent comme en incidence normale que
ωi = ω r = ωt = ω .
On peut les appliquer également en un point M1 quelconque de l'interface, tel que OM1 =
r1 :
r r
r r
r r
r r r
r r
r r
r
∀r1 ⊥ n , E oi e − jk i .r1 .n + E o r e − jk r .r1 .n = E ot e − jk t .r1 .n

r r
r r
r r
e jki .r1 = e jk r .r1 = e jkt .r1
78
Electromagnétisme
Ceci est valable pour M1 quelconque sur l'interface, donc :
r r r r
k i .r1 = k r .r1
r r r r
k i .r1 = k t .r1
(
(
(1)
)
)
r r r r
 k i − k r .r1 = 0
r r r r
 k i − k t .r1 = 0
r r
r
k i − k r = α 1n
∃(α 1 , α 2 )tels que r r
r
k i − k t = α 2 n
r
r
r
k r = k i + α 1n
∃(α 1 , α 2 )tels que r r
r
k t = k i + α 2 n
( )
r
r r
r
k r et kt sont donc dans le plan d'incidence k i , n . Par ailleurs, on a (par la relation de
dispersion dans un diélectrique) :
r
r
ω
k i = k r = n1
c
r
ω
k t = n2
c
Les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction
étant définis comme sur le schéma, les relations (1)
donnent encore :
ω
 ω
n1 c r1 sin θ i = n1 c r1 sin θ r

n ω r sin θ = n ω r sin θ
1
1
i
2
1
t
c
 c
On obtient ainsi les relations de Descartes :
θ r = θi
n1 sin θ i = n2 sin θ t
79
Electromagnétisme
13.1.2.2.
Incidence critique - Réflexion totale
On vient de voir que n1 sin θ i = n 2 sin θ t . Dans le cas où n1 > n2, on peut avoir :
n
sin θ t = 1 sin θ i > 1
n2
L'angle de réfraction est dans ce cas complexe, ce qui signifie qu'il y a réflexion totale de
l'onde incidente. L'angle d'incidence limite pour lequel il y a encore une onde transmise est appelé
incidence critique ic. Il est tel que :
n
sin (ic ) = 2
(n1 > n2 )
n1
Si l'onde incidente arrive sous l'incidence critique, l'onde réfractée se propage dans la
direction de l'interface : θ t =
13.1.2.3.
π
2
.
Formules de Fresnel
On effectue ici le lien entre les rapports des amplitudes des champs électriques et la valeur
des angles d'incidence et de réfraction.
L'angle d'incidence est noté i et l'angle de réfraction est appelé r. Ces angles sont comme
précédemment définis à partir de la normale à l'interface entre les deux diélectriques.
13.1.2.3.1. Onde incidente polarisée dont le champ électrique est orthogonal au plan
d'incidence
Lorsque le champ électrique est orthogonal au plan d'incidence, les conditions de passage
sur l'interface donnent :
Pour le champ électrique tangentiel :
E oi + Eo r = Eot
80
Electromagnétisme
Pour le champ magnétique tangentiel :
Boi cos i − Bor cos i = Bot cos r
n1
Eoi
E
E
cos i − n1 or cos i = n 2 ot cos r
c
c
c
On obtient donc le système suivant :
n2
cos r

E ot
 E oi − E o r =
n1
cos i

E + E = E
or
ot
 oi
Ceci permet de donner les formules de Fresnel dans le cas où le champ électrique est
orthogonal au plan d'incidence :
 E ot

 E oi
 Eor

 E oi

2sin r cos i
 =
 ⊥ sin (i + r )

sin (r − i )
 =
 ⊥ sin (r + i )
r
Le signe ⊥ rappelle la direction de E .
Dans le cas de l'air (n1 = 1) et du verre (n2 = 1,5), les courbes obtenues en fonction de
l'angle d'incidence sont les suivantes :
Plus l'angle d'incidence est élevé, c'est-àdire plus on approche de l'incidence
rasante, et moins l'onde est transmise dans
le deuxième diélectrique
81
Electromagnétisme
13.1.2.3.2.
Onde incidente polarisée dont le champ électrique est parallèle au plan
d'incidence
Lorsque le champ électrique est parallèle au plan d'incidence, les conditions de passage
sur l'interface donnent :
Boi + Bor = Bot
Pour le champ magnétique tangentiel :
n1 (Eoi + Eor ) = n2 Eot
(Eoi − Eor ) cos i = Eot cos r
Pour le champ électrique tangentiel :
On obtient donc le système suivant :
n2
sin i

 Eoi + Eor = n Eot = sin r Eot
1

 E − E = E cos r
or
ot
 oi
cos i
Ceci permet de donner les formules de Fresnel dans le cas où le champ électrique est
parallèle au plan d'incidence :
 E ot

 E oi

2sin r cos i
 =
 // sin (i + r ) cos(i − r )
 Eor

 E oi

tan (i − r )
 =
 // tan (i + r )
r
Le signe // rappelle la direction de E .
82
Electromagnétisme
Dans le cas de l'air (n1 = 1) et du verre (n2 = 1,5), les courbes obtenues en fonction de
l'angle d'incidence sont les suivantes (sur ce schéma figurent aussi les courbes obtenues lorsque le
champ électrique était orthogonal au plan d'incidence) :
On constate qu'il existe une incidence particulière iB appelée incidence de Brewster, qui
est telle que Eor = 0 .
Eo r = 0
tan (i B − rB )
=0
tan (i B + rB )
i B + rB =
π
2
Comme on a également n1 sin i B = n2 sin rB , on en déduit :
tan i B =
n2
n1
Par exemple pour l'air (n1 = 1) et le verre (n2 = 1,5), on obtient une incidence de Brewster
de 56°.
L'incidence de Brewster est telle que le champ électrique réfléchi parallèle au plan
d'incidence soit nul. Si on part d'une lumière naturelle arrivant sur une interface sous l'incidence de
Brewster, on récupère donc en réflexion une lumière polarisée rectilignement, dont le champ
électrique est orthogonal au plan d'incidence.
83
Electromagnétisme
13.1.2.3.3.
Coefficients de réflexion et de réfraction en énergie
Les vecteurs de Poynting moyens sont :
r
πi =
où
n1
r
Eo2i u i
2µ o c
 0 

r 
u i =  sin i 
 cos i 


r
πr =
n1
r
Eo2r u r
2µ o c
r
πt =
 0 

r 
u r =  sin i 
 − cos i 


n2
r
Eo2t u t
2µ o c
 0 

r 
u t =  sin r 
 cos r 


r
r
π r .n Eo2r cos i Eo2r
Le coefficient de réflexion en énergie est donc : R = r r = 2
=
π i .n Eoi cos i Eo2i
r r
π t .n n2 Eo2t cos r
Le coefficient de réfraction en énergie est donc : T = r r =
π i .n n1 Eo2i cos i
On obtient finalement :
sin 2 (r − i )
R⊥ =
sin 2 (r + i )
T⊥ =
sin (2i )sin (2r )
sin 2 (r + i )
tan 2 (r − i )
R// =
tan 2 (r + i )
T// =
sin (2i )sin (2r )
sin (i + r )cos 2 (i − r )
2
On a bien R⊥ + T⊥ = 1 et R// + T// = 1 (pas de perte d'énergie à l'interface).
On définit encore un coefficient de réflexion moyen en énergie :
Rm =
R⊥ + R//
2
C'est ce coefficient qui correspond à la réflexion de la lumière réelle non polarisée.
Dans le cas de l'air (n1 = 1) et du verre (n2=1,5), on peut par exemple tracer les
coefficients de réflexion en énergie en fonction de l'angle d'incidence :
On a toujours R ⊥ ≥ R // . Il y a égalité pour i = 0° et i = 90°.
84
Electromagnétisme
13.1.2.4.
Autres écritures des relations de Fresnel en réflexion
E 
E 
sin (r − i )
tan (i − r )
On a vu que : r// =  or  =
et r⊥ =  or  =
sachant que l’angle de
 Eoi  ⊥ sin (r + i )
 Eoi  // tan (i + r )
réfraction doit être au préalable calculé par n1 sin i = n2 sin r
Remarque : r// est utilisé dans le rapport des champs et R// dans le rapport des énergies
Il est possible de démontrer que ces relations sont équivalentes à celles données parfois
dans la littérature sous la forme :
r// =
r⊥ =
(n2 / n1 )² sin ϕ − (n2 / n1 )² − cos ²(ϕ )
(n2 / n1 )² sin ϕ + (n2 / n1 )² − cos ²(ϕ )
sin ϕ − (n2 / n1 )² − cos ²(ϕ )
sin ϕ + (n2 / n1 )² − cos ²(ϕ )
Sachant que ϕ correspond à l’angle de rasance par rapport à l’interface, donc ϕ =π/2-i
13.1.2.5.
Résumé : Incidence critique et incidence de Brewster
L'incidence critique est l'angle ic tel que le rayon réfracté soit à la limite de "sortir" du
milieu , c'est-à-dire qu'il est en fait tangent à l'interface. Ceci ne peut se produire que si n1 > n2.
L'incidence de Brewster est l'angle iB tel que la partie du champ électrique réfléchie dans
la direction parallèle au plan d'incidence soit nulle. Cet angle existe quels que soient n1 et n2, donc
quels que soient les diélectriques.
Si n1 > n2, on aura à la fois une incidence critique et une incidence de Brewster.
Dans le cas du verre (n1 = 1,5) et de l'air (n2=1) par exemple, on peut tracer les
coefficients de réflexion en énergie en fonction de l'angle d'incidence :
L'incidence critique est :
ic = Arc sin
85
n2
≅ 42°
n1
Electromagnétisme
i B = Arc tan
L'incidence de Brewster est :
13.2.
n2
≅ 34°
n1
Réflexion et réfraction à la surface d'un bon conducteur
Dans cette partie on étudie la réflexion et la réfraction d'une onde électromagnétique plane
qui se propage dans un milieu 1. Celui-ci est un diélectrique d'indice n1 = 1, par exemple le vide ou
l'air. Le milieu 2 est un bon conducteur, par exemple un métal. La conductivité (élevée) du milieu
est γ. La propagation s'effectue selon les x croissants.
13.2.1.Indice complexe
r
r
Pour une onde dont le champ électrique est E = Eo e j (ωt −kx )u y , la relation de dispersion
dans le bon conducteur s'écrit :
k 2 = −µ o jγω
x j  ωt − x 
r

r
−
δ
E = Eo e e  δ  u y
Le champ électrique est ainsi :
Dans cette expression, δ est l'épaisseur de peau, qui vaut : δ =
Le vecteur d'onde peut alors s'écrire :
k=
2
µ o γω
(1 − j )
δ
On peut définir un indice complexe du conducteur en posant :
k=
On a ainsi :
ou encore :
(1 − j ) = n
n2 =
δ
ω
2
c
c 1− j 


ω δ 
n2 = (1 − j )
γ
2ωε o
Numériquement, pour une onde de fréquence 10 GHz se propageant dans le cuivre, on
trouve :
n2 ≅ (1 − j ) × 7345
Il s'agit donc d'un indice complexe de module élevé. La relation de Descartes
n1 sin i = ℜ[n 2 ] sin r implique donc que l'angle de réfraction r est petit. On peut donc dire que quel
que soit l'angle d'incidence i, l'angle de réfraction r sera très faible. L'onde réfractée se propage
donc quasiment selon la normale à l'interface, indépendamment de l'angle d'incidence.
86
Electromagnétisme
13.2.2.Cas de l'incidence normale
n2 − n1
E oi
n2 + n1
En incidence normale, on a :
Eor =
Le coefficient de réflexion en énergie est :
n − n1
R= 2
n 2 + n1
2
Or n1 = 1 et n2 = (1 − j ) × α . Un développement limité en 1/α permet d'obtenir :
R ≅ 1−
2
α
R ≅ 1−
Poursuivant l'exemple précédent, on a :
2
≅ 1 − 3.10 −4
7345
Le coefficient de réflexion en énergie est donc très proche de l'unité, ce qui veut dire que
l'onde est presque totalement réfléchie par le conducteur. On aperçoit là la possibilité de réaliser
des guides d'ondes à partir de parois fortement conductrices.
13.2.3.Application : l'éclat métallique
Le coefficient de réflexion en énergie dépend de l'indice n2 du conducteur, qui lui-même
est fonction de la longueur d'onde dans le vide :
n2 =
c  1 − j  λo  1 − j 

=


ω  δ  2π  δ 
R est donc fonction de λo , c'est-à-dire que l'intensité de la réflexion dépendra de la
longueur d'onde. Pour la lumière réelle, qui contient un spectre continu de longueurs d'ondes, la
réflexion sur un métal produit un phénomène d'éclat métallique : la couleur du cuivre par exemple
est due au fait que dans ce métal R (λrouge ) >> R(λviolet ) . Le cuivre est effectivement plutôt rouge
orangé.
L'or est un matériau intéressant pour étudier ce phénomène à la fois en réflexion et en
transmission. On sait qu'il s'agit d'un matériau très ductile : on peut en faire des feuilles très fines
(épaisseurs de l'ordre du dixième de micron). Comme l'épaisseur de peau dans l'or pour une
fréquence de l'ordre de celle de la lumière visible (1014 Hz par exemple) est de l'ordre du centième
de micron, on pourra observer la couleur de l'onde transmise. En éclairant une feuille d'or en
lumière blanche, on observera une couleur jaune en réflexion et du vert par transmission. On
explique cet effet par le fait que les coefficients de réflexion et de réfraction varient en fonction de
la longueur d'onde de l'onde incidente.
87
Electromagnétisme
13.3.
Réflexion à la surface d'un conducteur parfait – les guides d'ondes
On considère ici la réflexion d'une onde plane, polarisée rectilignement, sur un conducteur
r
r
parfait . La conductivité est infinie et les champs E1 et B1 sont nuls. Le milieu  est du vide
ou de l'air (n2 = 1). Le vecteur unitaire normal à l'interface est comme toujours orienté du milieu 
vers le milieu .
Les conditions de passage sur l'interface sont :
r
r
BN2 = 0
r
σ r
E N2 = n
εo
r
r
ET2 = 0
r
r
r
H T2 = j s ∧ n
On étudie le cas de l'incidence normale, puis celui de l'incidence oblique avec en vue la
fabrication de guides d'ondes.
13.3.1.Cas de l'incidence normale
13.3.1.1.
Expression des champs
L'onde est incidente dans le milieu , et arrive sur le conducteur parfait (milieu ).
Le champ électrique réfléchi est déterminé à l'aide des conditions de passage :
r
r
Ei = Eo cos(ωt + kx )u y
r
r
E r = − Eo cos(ωt − kx )u y
Ces ondes sont planes, donc leurs champs magnétiques associés peuvent être déterminés
grâce à la relation de l'onde plane, et on obtient :
r
E
r
Bi = − o cos(ωt + kx )u z
c
13.3.1.2.
r
E
r
Br = − o cos(ωt − kx )u z
c
et
Champ total dans le milieu de l'onde incidente
Dans le milieu (demi-espace d'équation x > 0), les champs totaux sont :
r
r
r
Etot = Ei + E r
r
r
r
Btot = Bi + Br
88
Electromagnétisme
c'est-à-dire :
r
r
Etot = −2 Eo sin (ωt ) sin (kx )u y
r
E
r
Btot = −2 o cos(ωt ) cos(kx )u z
c
On a donc une onde stationnaire.
r
r
E et B sont en quadrature dans le temps et présentent également un décalage spatial.
r
Les nœuds de Etot sont les points de l'espace tels que le champ électrique y est nul. Ils se
trouvent donc aux positions telles que sin (kx ) = 0 , c'est-à-dire :
λ
x = n ,n ∈ N
2
r
Les ventres de Etot sont les points de l'espace tels que la norme du champ électrique y est
maximale. Ils se trouvent donc aux positions telles que sin (kx ) = ±1 , c'est-à-dire :
x=
λ
λ
+ n ,n ∈ N
4
2
r
r
r
r
Les nœuds de Etot sont les ventres de Btot ; les ventres de Etot sont les nœuds de Btot .
13.3.1.3.
Vecteur de Poynting dans le milieu de l'onde incidente
r
r r B
Dans le milieu , le vecteur de Poynting s'écrit π = E ∧
. On a donc :
µo
r
π =4
E o2
r
sin (ωt ) cos(ωt )sin (kx ) cos(kx )u x
c
Le vecteur de Poynting est donc nul aux nœuds et aux ventres du champ. L'énergie de
l'onde électromagnétique reste confinée sur une distance d'un quart de longueur d'onde.
En valeur moyenne, on obtient :
r
r
π =0
L'énergie ne se propage pas dans le milieu . Ce résultat est assez intuitif : l'onde
considérée est stationnaire.
13.3.1.4.
Densité volumique d'énergie dans le milieu de l'onde incidente
r
r
E 2 B2
Dans le milieu , la densité volumique d'énergie s'écrit u = ε o
+
. On a donc :
2 2µ o
[
]
u = 2ε o E o2 sin 2 (ωt )sin 2 (kx ) + cos 2 (ωt ) cos 2 (kx )
89
Electromagnétisme
λ

0
≤
x
≤

4

Si on calcule l'énergie U contenue dans le volume (V) défini par 0 ≤ y ≤ a , on a :
0 ≤ z ≤ b


U =  u dxdy dz
(V )
4
4
U = 2 ε o E o2 ab sin 2 (ωt )  sin 2 ( kx) dx + cos2 (ωt )  cos2 ( kx) dx 


0
0
λ
λ
U=
abε o E o2 λ
4
L'énergie contenue dans un parallélépipède de côté λ/4 selon x est donc constante. Ceci
est normal : il n'y a pas de pertes d'énergie dans le milieu .
13.3.1.5.
Application : Cavité résonante
Le fait qu'il se crée une onde stationnaire par réflexion sur un conducteur parfait permet
de réaliser des cavités résonantes. Le principe consiste à placer des plans conducteurs parfaits aux
endroits des nœuds du champ électrique. L'onde va ainsi effectuer des allers-retours entre ces
plans, indéfiniment si tout est parfait. La condition de résonance est que l'écartement des plans soit
un multiple entier de la demi-longueur d'onde.
λ
d=n ,
n ∈N*
2
En réalité, le conducteur parfait n'existe pas et il y a toujours des pertes par pénétration
même très faible de l'onde dans le conducteur sur lequel elle se réfléchit. De plus, le placement
même des plans ne peut pas non plus être infiniment précis, l'onde n'est jamais rigoureusement
monochromatique (même une onde laser !)... On arrive quand même à réaliser ce genre de cavités
dont la plus célèbre est celle de Pérot & Fabry, grâce à laquelle nous connaissons le laser.
90
Electromagnétisme
13.3.2.Cas de l’incidence oblique – Guide d’ondes rectangulaire
13.3.2.1.
Expression des champs
On reprend l’étude effectuée en incidence normale d’une onde plane se propageant dans le
vide ou l’air (milieu ) en réflexion sur un conducteur parfait (milieu ). On étudie le cas où le
champ électrique est orthogonal au plan d’incidence.
Les champs électriques et les vecteurs d’onde sont :
rr
r
r
E i = E oi e j (ωt − ko r )u x
r
r
k o = k i = (0;− k o cos θ ; k o sin θ )
rr
r
r
E r = E or e j (ωt −k r r )u x
r
k r = (0; k o cos θ ; k o sin θ )
r r
Les conditions de passage appliquées à l’origine ( r = 0 ) donnent E oi + E o r = 0 , d’où :
rr
r
r
E r = − E oi e j (ωt −k r r )u x
Le champ total dans le milieu  est donc :
[
]
r
r
E tot = E o e j( ωt − k o z sin θ ) e jk o y cosθ − e − jk o y cos θ u x
r
r
E tot = 2 jE o sin( k o y cos θ)e j( ωt − k o z sin θ ) u x
C’est une onde non plane se propageant selon les z croissants.
Sa vitesse de phase est :
vϕ =
ω
ko sin θ
=
c
(> c )
sin θ
L’équation donnant la position des nœuds du champ électrique est :
sin (k o y cos θ ) = 0
y=b=n
λo
2 cosθ
91
,n ∈ N
Electromagnétisme
En plaçant un second conducteur parfait à une distance b donnée par cette expression, on
fabrique donc une cavité résonante renfermant une onde se propageant dans la direction z.
13.3.2.2.
Longueur d’onde de coupure
λc =
On pose :
λo
b=n
alors :
cos θ
λc
2
,n ∈ N
Une valeur de n correspond à ce qu’on appelle un mode de propagation.
Soit λ g la longueur d’onde dans le guide. Elle vérifie :
ωt −
2 πz sin θ
2 πz
= ωt −
λo
λg
λg =
d’où :
λo
sin θ
L’identité cos 2 θ + sin 2 θ = 1 permet alors d’écrire que :
1
1
1
= 2 + 2
2
λo λg λc
λg =
λo
1−
λo2
λ2c
Ceci n’a de sens que si λc > λo .
λc
est donc une longueur d’onde de coupure ; le guide d’onde est passe-haut.
2b
2b
, les ondes de longueur d’onde dans le vide λo <
pourront se
n
n
propager dans ce guide de dimension b.
Comme λc =
13.3.2.3.
Vitesse de phase et vitesse de groupe
On a vu que la vitesse de phase de l’onde guidée est :
vϕ =
c
.
sin θ
C’est la vitesse de déplacement du front d’onde, c’est-à-dire la vitesse du point imaginaire
Ao, intersection des fronts d’onde et de l’axe z (placé au milieu du guide par exemple, mais il peut
être ailleurs).
La vitesse de groupe est la vitesse de déplacement du point A le long de la paroi supérieure
du guide, parallèlement à l’axe z.
92
Electromagnétisme
Le plan d’onde est orthogonal au vecteur d’onde, comme cela est représenté sur la figure
ci-contre. Par projection sur l’axe z, on en déduit donc la vitesse de groupe :
v g = csin θ
On peut noter que dans ce guide, on a la relation vϕ v g = c 2 .
On peut exprimer vϕ et v g en fonction des longueurs d'onde :
vg = c 1 −
λo2
λ2c
vϕ =
c
1−
Si on fixe la dimension du guide, c'est-à-dire λc =
augmente de 0 à λc .
λ2o
λ2c
2b
, la vitesse de groupe diminue si λo
n
Si λo > λc , la vitesse de phase et la vitesse de groupe seraient imaginaires pures ; l'onde
est atténuée et il n'y a pas propagation.
13.3.2.4.
Cas n = 1 : mode TE 01 dans un guide d'ondes rectangulaire
Si on choisit de fixer la dimension du guide de telle manière que n = 1, on a alors λc = 2b .
On a donc :
k o cos θ =
2π
λc
=
π
b
et
93
k o sin θ =
2π
λg
Electromagnétisme
Le champ électrique a ainsi pour expression :

2πz 

j  ωt −
r
 πy   λg  r
Etot = Eo sin  e
ux
 b 
Ce champ est transverse, c'est-à-dire qu'il n'a pas de composante sur l'axe de la
propagation (ici z).
Le champ magnétique déterminé à partir de l'équation de Maxwell-Faraday est :




0


2πz 


j  ωt −
r

π
π
2
y
λ g 



B=
sin    Eo e
 λgω  b  


 πy  
 − jπ
 ωb cos b  
 

r
B a une composante selon z. Il n'est donc pas transverse.
[
]
r r
r
1
Le vecteur de Poynting moyen s'écrit π =
ℜ E ∧ B * . Après calcul, on obtient :
2µ o
r
π =
πEo2
 πy  r
sin 2  u z
µoλgω
 b 
L'énergie se propage donc bien selon l'axe z, dans le sens des z croissants. L'onde est
dirigée par les parois conductrices : on a obtenu un guide d'ondes.
94
Electromagnétisme
L'étude a été menée jusqu'ici à l'aide de deux plans conducteurs parfaits. On peut montrer
r r
que l'onde électromagnétique E , B décrite ici peut se propager dans un guide rectangulaire tel
qu'il est décrit sur la figure ci-contre. Les quatre parois sont des conducteurs parfaits (dans la
réalité des bons conducteurs). La propagation de ce champ est possible dans cette structure car il
vérifie les équations de Maxwell ainsi que les conditions aux limites en x = 0 ou a et y = 0 ou b. Ce
champ est l'une des solutions possibles, qu'on appelle un mode. Il s'agit ici du mode transverse
électrique noté TE 01, ainsi nommé car le champ électrique est perpendiculaire à la direction de
propagation. Les chiffres 0 et 1 qui suivent le nom du mode proviennent de l'expression générale
d'un mode transverse électrique dans un guide rectangulaire :
{ }

2πz 

j  ωt −
r
 πx   πy   λ g  r
Etot = Eo cos n  sin  m e
ux
 a   b 
(Mode TE nm)
Il existe également des modes TM nm, pour lesquels c'est le champ magnétique qui est
transverse. On peut montrer que dans un guide rectangulaire tel que celui-ci un mode TEM
(transverse électrique et magnétique) ne peut exister. Des modes TEM peuvent en revanche se
propager dans d'autres structures guidantes (guides bifilaires ou guides coaxiaux par exemple).
13.3.2.5.
Valeur moyenne du flux d'énergie traversant une section de guide
On a vu que l'énergie se propage dans le guide. Il y a donc un flux d'énergie, qui d'après le
r
théorème de Poynting est égal au flux du vecteur π à travers une section du guide. En valeur
moyenne, on écrit :
φ =
a

r
b
x =0 y =0
π dxdy
Un calcul sans difficulté pour le mode TE 01 conduit à :
abEo2
λo2
1− 2
φ =
4µ o c
λc
(en W)
La valeur moyenne du flux d'énergie traversant une section du guide varie donc comme la
vitesse de groupe (pour un guide donné : a et b fixés). Si λo > λc , l'énergie ne se propage pas.
95
Electromagnétisme
13.3.2.6.
Energie linéique moyenne
On calcule ici la quantité d'énergie moyenne U
contenue dans 1 m de guide. C'est
l'intégrale de la densité volumique d'énergie moyenne u sur le parallélépipède défini par :
0 ≤ x ≤ a
(V ) 0 ≤ y ≤ b
0 ≤ z ≤ 1

r
r
E 2 B2
. En valeur moyenne on finit par
La densité volumique d'énergie est u = ε o
+
2 2µ o
obtenir :
u = εo
2 2
Eo2
π 2 Eo2
 πy  π E
 πy 
 πy 
sin 2   + 2 2 o sin 2   +
cos 2  
2 2
4
 b  λgω µo
 b  4ω b µ o
 b 
Après intégration de ceci sur le volume (V) défini ci-dessus, on obtient :
U =
13.3.2.7.
1
ε o Eo2 ab
4
(en J.m-1)
Vitesse de propagation de l'énergie
La vitesse de propagation de l'énergie est par définition la grandeur ve telle que :
φ = U .ve ⇔ ve =
On obtient ainsi :
c'est-à-dire :
ve = c 1 −
φ
U
λo2
λ2c
ve = v g
La vitesse de propagation de l'énergie est donc la vitesse de groupe.
13.3.3.Pression de radiation
Lorsqu'une onde électromagnétique se réfléchit sur un conducteur, elle y induit des
courants. Ce sont ces courants qui donnent naissance à l'onde réfléchie. On va ici calculer
l'expression de la densité de courant surfacique induite par l'onde sur un conducteur parfait, et en
déduire l'expression de la force de Laplace que subit ce conducteur.
96
Electromagnétisme
L'onde incidente est plane et se propage selon les z croissants. On a :
r
r
E i = E o e j( ωt − kz ) u y
r
E
r
Bi = − o e j( ωt − kz ) u x
c
Le champ électromagnétique dans le conducteur parfait est nul. Les conditions de passage
donnent le champ électrique réfléchi, et la relation de l'onde plane permet de calculer son champ
r
r
E
r
r
magnétique associé : E r = − E o e j (ωt + kz )u y et B r = − o e j (ωt + kz )u x
c
Le champ magnétique total dans le milieu de l'onde incidente est donc :
(
)
r
E
2E
r
r
Btot = − o e jωt u x e − jkz + e + jkz = − o cos( kz)e jωt u x
c
c
La condition de passage sur le champ magnétique tangentiel s'écrit :
r
r r
− BT1 = µ o j s ∧ n12
(
)
r
r
1 r
1 r
On a donc : js =
n12 ∧ − BT1 =
Btot
µ0
µ0
(en z = 0)
r
1 r
∧ n12 =
Btot
z =0
µ0
z =0
r
∧ uz
r
E
r
En notation réelle, la densité surfacique de courant est donc : j s = 2 o cos(ωt )u y
µoc
Le conducteur est donc parcouru par un courant, tout en étant dans un champ magnétique.
Une petite surface dS de ce conducteur subit ainsi une force de Laplace :
r
r r
Btot
dF = j s dS ∧
2
Le facteur ½ est dû au fait que B ne peut pas à la fois créer les courants et agir sur eux.
r
Eo
Eo
E o2
r
r
r
dF = − 2
cos(ωt )u y dS ∧
cos(ωt )u x = 2
cos 2 (ωt )dS u
2
µoc
c
µoc
97
Electromagnétisme
En valeur moyenne, on a :
r
r
dF = ε o Eo2 dS u z
Cette force est dirigée vers l'intérieur du conducteur. Elle est normale à l'interface, et
proportionnelle à sa surface. On peut donc introduire une notion de pression.
La pression subie par le conducteur parfait est appelée pression de radiation. Elle vaut :
P=
r
dF
dS
= ε o E 2o
98
Electromagnétisme
Chapitre 13 :
Rayonnement des antennes
On s'intéresse ici au rayonnement électromagnétique des antennes. On sait en effet que
lorsqu'un conducteur est parcouru par un courant électrique variable dans le temps, des champs
magnétiques également variables prennent naissance dans son voisinage. Ces champs magnétiques
induisent à leur tour des champs électriques et l'ensemble se propage selon les équations de
Maxwell. Ce chapitre porte donc sur l'étude du rayonnement des fils, en partant de celui du dipôle
oscillant. Le milieu entourant l’antenne étudiée est le vide.
14.1.
Rappels sur les potentiels retardés
r
r
r
Les champs magnétique B et électrique E sont liés aux potentiels vecteur A et scalaire
V par les relations :
r
→
r
∂A
E = − gradV −
∂t
r → r
B = rot A
On a l'habitude pour tout ce qui concerne les rayonnements d'ondes de travailler en jauge
r
r
de Lorentz. L'avantage de r cette convention est que les champs B et E peuvent s'exprimer
uniquement en fonction de A . Les potentiels sont donc liés par la relation :
r
∂V
div A + µ o ε o
=0
∂t
r
A et V sont solutions des équations de Poisson :
r
r
r r
∂2A
∆ A − µ oε o
+
µ
j =0
o
∂t2
∆V − µ o ε o
Leur expression en jauge de Lorentz (potentiels retardés) est :
r
r
j
P,t





r


µo
c

A( M , t ) =
dτ
4 π 
r

(V )
r

ρ P,t - 




1
c

V( M , t ) =
dτ
4 πε o 
r

(V )
99
∂ 2V ρ
+ =0
∂ t2 εo
Electromagnétisme
A partir de ces expressions, il est possible de calculer les champs rayonnés par n'importe
r
r
quelle distribution de charges ρ et de courants j . On calcule d'abord les potentiels A et V, puis les
r
r
champs E et B .
Cependant, le calcul exact est très vite incroyablement compliqué. Il faut donc faire des
approximations afin d'une part de mener les calculs jusqu'à leur solution, et d'autre part de parvenir
à un résultat exploitable.
14.2.
Rayonnement lointain du dipôle oscillant
14.2.1.Expression des potentiels
On considère un dipôle oscillant, c'est-à-dire une charge -q placée en un point O, associée
à une charge +q placée en un point P dont la position varie sinusoïdalement autour de O. La
vibration se fait selon l'axe (Oz). Le moment dipolaire de ce dipôle (en représentation complexe)
est donc :
r r
p = p o e iωt
avec
r
r
po = qae z
Dans le cas général d'une distribution quelconque de courants en densité ρ dans un
volume (V), le moment dipolaire serait :

→
r
p =  ρ OP dτ
(V )
Dans toute cette étude, on se place loin du dipôle (r est très grand devant l'amplitude des
oscillations appelée a), et on suppose que la vitesse de la lumière est très supérieure à la vitesse des
r
oscillations v p du dipôle. Le calcul est mené en coordonnées sphériques, en tenant compte du fait
que la symétrie de révolution du problème autour de l'axe (Oz) induit l'invariance des grandeurs
par rapport à ϕ.
r
Sous couvert de ces hypothèses, le vecteur r figurant dans l'expression des potentiels
r
r
retardés, et qui serait ici le vecteur rp de la figure ci-dessus, peut être assimilé au vecteur r de
cette même figure. On a donc :
100
Electromagnétisme
r r
jP,t - 
r
µo  c
dτ
A(M,t) =
4π (V) r


r
c
dτ
ρP,t - 
1

V(M,t) =
4πεo (V) r

→
r r 

r
r  r
d 
Or, en posant t ′ = t − , on a j  t −  = ρv p  t −  = ρ
OP  . Ainsi :

c
dt ′ 
 c
 c


→
r
r r 
dp
d OP
dτ =  j t −  dτ
=  ρ
 c
dt ′ ( V ) dt ′
( V)
On a donc montré que le potentiel vecteur dû à une distribution quelconque de courants
est :
r
µ d r
A( M , t ) = o
[ p( t ′ ) ]
4 π r dt ′
Dans le cas particulier du dipôle oscillant, le potentiel vecteur est donc donné par :
 r
iω  t −  r
r
µ oq a
A( M , t ) =
iω e  c  e z
4 πr
r
Il est partout dirigé suivant e z .
En ce qui concerne maintenant le calcul du potentiel scalaire, on s'aperçoit qu'une
r
vp
difficulté surgit. En effet, contrairement à V, A est déjà un terme d'ordre 1 en
. Il faut donc
c
r
pousser les développements plus loin pour V que pour A si on veut obtenir un degré
r
r
d'approximation donné sur E et B . Le calcul du potentiel scalaire par l'intermédiaire du potentiel
retardé n'est donc pas possible avec l'approximation dipolaire.
La jauge de Lorentz permet cependant de donner l'expression du potentiel scalaire. Tous
calculs faits, on aboutit à :


µ o c 2 q a cos(θ)  iωr  iω  t − c 
V( M , t ) =
1 +
e
4π
r2 
c 
r
101
Electromagnétisme
14.2.2.Expression des champs et structure de l'onde
r
→
r
∂A
Le champ électrique est calculé grâce à l'expression E = − gradV −
∂t
On obtient :
 2  − ω 2 2 iω 2  ω 2 
cos θ c  2 + 2 + 3  +

r c r  r 
  rc
r µ qa iω  t − r 
  1 iω  ω 2 
E = o e  c  sin θ c 2  3 + 2  −
4π
r c  r 
 r
0
r → r
Le champ magnétique est obtenu à partir de la relation B = rot A .
On obtient :
0
r
B= 0


1 µ o sin θ  −ω 2 iω  iω  t − c 
+ e
qa 
r 4π
r 
 c
r
Comme le point M où on calcule les champs est très éloigné du dipôle et que v p << c , on
peut négliger les termes en
1
1
et au-delà devant ceux en . Il ne reste donc plus que :
2
r
r
 r
iω  t −  r
r
µ qaω 2
E=− o
sin θ e  c  eθ
4π r
 r
iω  t −  r
r
µ o qaω 2
B= −
sin θ e  c  eϕ
4 π rc
Le dipôle émet donc une onde de pulsation ω : l'onde émise a la même pulsation que celle
du mouvement du dipôle.
r ωr
r
Le vecteur d'onde est k = er ; il y a propagation selon er .
c
r
r
r
r r
E et B sont polarisés rectilignement, respectivement selon eθ et eϕ . E est dans le plan
r
contenant O, P et M. B est orthogonal à ce plan.
102
Electromagnétisme
Le champ magnétique est perpendiculaire au champ électrique, et tous deux sont
r r
r k ∧E
perpendiculaires à la direction de propagation. On a B =
, tout comme pour une onde plane.
ω
L'onde rayonnée par le dipôle a donc la même structure qu'une onde plane progressive.
Mais cette onde n'est pas plane : son amplitude dépend de θ et de r.
14.2.3.Energie rayonnée à grande distance par le dipôle oscillant
14.2.3.1.
Vecteur de Poynting moyen
Le vecteur de Poynting moyen se calcule par la formule :
r
1  r B* 
π = ℜ E ∧ 
2 
µo 
r
r
r
r
Le calcul est immédiat, puisque eθ ∧ eϕ = er . On obtient (en W.m-2) :
µ 0 q ² a ²ω 4
r
sin ²θ .er
π =
32π ² r ²C
r
r
L'énergie véhiculée par l'onde se propage donc selon er .
14.2.3.2.
Puissance moyenne rayonnée
La puissance moyenne rayonnée à travers une sphère de centre O et de rayon r est donnée
par :
r r
P =  π . dS
S
r
r
Comme dS = r dθ r sin θ dϕ er , on obtient immédiatement (en W) :
P =
µ oq 2 a 2ω 4
12 π c
Si on fait apparaître la longueur d'onde du rayonnement :
4µ o q 2 a 2 π 3c 3
P =
3 λ4
La puissance rayonnée est donc en
1
λ4
.
103
Electromagnétisme
14.2.3.3.
Diagramme de rayonnement en puissance
D'après l'expression du vecteur de Poynting, le dipôle oscillant émet préférentiellement de
l'énergie dans la direction θ =
π
2
et n'en émet pas du tout dans la direction θ = 0 ou θ = π .
Le diagramme de rayonnement en puissance est obtenu en traçant en coordonnées polaires
r
dans le plan (yOz) la fonction π = f (θ ) , et en tenant compte de l'invariance par rotation autour
de l'axe (Oz). On obtient une figure en trois dimensions, qui dans notre cas est un tore de collier
nul et de section d'équation polaire r = α sin 2 θ .
14.2.3.4.
Directivité du dipôle
Pour une antenne quelconque, la directivité est définie par le rapport :
D(θ ) =
r
π
P
4π r 2
Il s'agit d'une mesure de la capacité de l'antenne à concentrer l'énergie rayonnée dans la
direction θ. Elle est sans unité.
Pour une éventuelle antenne isotrope (rayonnement identique dans toutes les directions),
r
r
on aurait π = cste et P = 4π r 2 π . La directivité serait donc égale à l'unité (0 dB).
On définit encore la directivité maximale, qui permet de comparer grossièrement des
antennes entre elles : Dmax = D(θ ) max i
Dans le cas du dipôle oscillant, la directivité vaut :
La directivité maximale est donc :
Dmax = 1,5
104
D(θ ) =
3 2
sin θ
2
Electromagnétisme
14.2.3.5.
Résistance de rayonnement
La résistance de rayonnement est la résistance qui, parcourue par le même courant Io que
l'antenne, créerait par effet Joule la même puissance que celle que l'antenne rayonne.
P =
On la détermine donc grâce à la relation :
Dans le cas du dipôle, on a P =
Rray
1
Rray I o2
2
µ 0 .a ²ω ² I 0 ²
, d'où :
12πC
µ .a ²ω ² 2.π
a
µ 0C  
= 0
=
6πC
3
λ 
2
Toute l'étude a été faite pour un point éloigné du dipôle, ce qui revient à dire que a << λ .
On prend par exemple a =
λ
10
, ce qui donne pour la résistance de rayonnement :
Rray = 7,9Ω
C'est une résistance faible, le dipôle rayonne donc (relativement) peu d'énergie.
14.2.4.Application : Couleur du ciel
La lumière du soleil excite les molécules de l'air et leur communique un moment dipolaire
induit. Il s'ensuit un mouvement électronique de ces molécules, qui rayonnent à leur tour de
1
l'énergie. Cette diffusion de la lumière incidente suit la loi en 4 qui vient d'être démontrée. La
λ
puissance rayonnée est donc plus importante pour les petites longueurs d'onde que pour les
grandes. C'est pourquoi le ciel est bleu.
Corrélativement, la lumière du soleil s'appauvrit en bleu lors de son passage dans
l'atmosphère. C'est pourquoi si l'épaisseur traversée augmente (matin ou soir), la proportion de bleu
dans la lumière est trop faible pour dominer et c'est le rouge qui l'emporte.
Pour le rouge :
Pour le bleu :
λ = 0.75µm
λ = 0.45µm
On a donc en intensité :
I rouge
I bleu
λ
α  bleu
λ
 rouge




105
4

I bleu ≈ 7.7 I rouge
Electromagnétisme
14.3.
Rayonnement d'une antenne demi-onde
Le calcul des champs rayonnés par les antennes différentes du doublet qui vient d'être
étudié suit la même progression que ce qui vient d'être fait. Cependant les expressions obtenues
sont substantiellement plus compliquées, et le calcul en lui-même présente souvent des difficultés.
On s'intéresse ici au rayonnement d'une antenne demi-onde, c'est-à-dire d'une antenne
filaire de longueur l = λ / 2 . Celle-ci peut être réalisée matériellement sur toute sa longueur, ou bien
ne comporter qu'un brin de longueur λ / 4 . Dans ce second cas, le sol conducteur fait office de
réflecteur, et dans le demi-plan z >0 tout se passe comme si l'antenne était de dimension λ / 2 .
 2π z 

 λ 
L'antenne, orientée selon l'axe (Oz), est parcourue par un courant i(z,t) : i(z, t ) = I o cos(ωt ) cos
Le calcul se mène en considérant l'antenne comme un assemblage de petits dipôles de moments
r
r i (z , t ) r
dipolaires dp tels que :
dp =
dl
jω
Tous calculs faits, le champ électrique rayonné par cette antenne à grande distance est :
π

 r
jω  t −  cos
cos θ 
 c
r
jI o e
2
 er
E=
θ
r
2πε o c
sin θ
Le champ magnétique est :
Le vecteur de Poynting moyen est :
r
B=
jI o
2πε o c
e
 r
jω  t − 
 c
2
r
π

cos cos θ 
2
 er
ϕ
sin θ
π

cos 2  cos θ 
r
1
2

 er
π = 2
r
2
8π ε o c r
sin θ
I o2
2
La puissance moyenne rayonnée peut s’exprimer par :
π

2π
 cos  cos θ 
2
 dθ

P =
4πε o c 
sin θ

I o2
0
La valeur approchée de l'intégrale ci-dessus est 1,22. On peut alors donner la valeur de la
Dmax = 1,64
directivité maximale de l'antenne demi-onde :
La résistance de rayonnement de cette antenne peut également être calculée à partir de la puissance
Rray = 73,2Ω
moyenne qu'elle rayonne :
On constate donc l'intérêt de cette antenne par rapport au dipôle. Elle est plus directive et est
environ dix fois plus puissante que le dipôle. Sa résistance de rayonnement est en effet environ dix
fois plus grande que celle du dipôle.
106
Electromagnétisme
Systèmes de coordonnées
1. Le système de coordonnées cartésiennes
Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes (x, y, z) avec -∞ < x, y, z < ∞
On a :
On définit les éléments d’intégration suivants :
2. Le système de coordonnées cylindriques
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques (r, θ, z) avec :
0≤ r<∞
0 ≤ θ < 2π
-∞ < z < ∞
On a :
107
Electromagnétisme
On définit les éléments d’intégration suivants :
On note également que :
2. Le système de coordonnées sphériques
Le point M est repéré par les coordonnées sphériques (r, θ, φ) avec :
0≤r<∞
0 ≤θ < π
0 ≤φ < 2π
On définit les éléments d’intégration suivants :
On note également que :
En géographie terrestre, θ est appelé la latitude, et ϕ la longitude.
108
Electromagnétisme
Formulaire d'analyse vectorielle
109
Electromagnétisme
110
Electromagnétisme
111
Electromagnétisme
112
Electromagnétisme
113
Electromagnétisme
4. Echange de la dérivation et de l’intégration
114
Electromagnétisme
Définition de l’angle solide
1. Définition de l’angle solide
•
L’angle solide Ω est l’angle sous lequel on voit une surface S depuis un point O. Cet angle ne
dépend pas de la surface S mais uniquement du contour Γ sur lequel s’appuie cette surface.
• L’unité d’angle solide est le Stéradian (symbole Sr) : nombre « pur » sans dimension physique.
• Expression
r
Soit un élément de surface dS de normale n orientée, située à la distance r de l’observateur O, vu
r
suivant la direction définie par le vecteur unitaire er , alors :
rr
r r
er .n.dS dS .er
dΩ =
= 2
r2
r
r
L’angle solide apparaît ainsi comme le flux du vecteur er / r 2 à travers la surface S orientée.
r
n er
r
r
dS
α
O
2. Valeurs particulières
2.1 Cône de révolution
L’angle solide d’un cône de révolution de demi-angle α vaut :
Ω = 2π (1 − cos α )
Comme cet angle ne dépend que du contour, on transforme le plan du cône en calotte sphérique
r r
permettant d’avoir er = n et on travaille en coordonnées sphériques avec dS=r².sinθ.dθ.
2π
α
α
r ² sin θ .dθ .dφ r r
Ω=  
.er .n = 2π  sin θ .dθ = 2π [1 − cos α ]
r²
φ = 0 θ =0
θ =0
α
2.2 Espace entier
L’angle solide de l’espace entier correspond au cas précédent avec α = π , donc Ω = 4π
2.3 Demi-espace formé par la voûte céleste
L’angle solide du demi-espace correspond au cas précédent avec α =
115
π
2
, donc Ω = 2π