UV Automatique Cours 2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI ASI 3 Automatique 1 Contenu ! Introduction ! Etude des systèmes du premier ordre " Intégrateur " Système du 1er ordre ! Etude des systèmes du 2ème ordre " Système du 2ème ordre avec réponse apériodique " Système du 2ème ordre avec réponse oscillatoire ! Systèmes d'ordre supérieur à 2 et autre système " Notion de pôles dominants " Système avec retard Automatique 2 Introduction ! Système continu LTI u(t) y(t) H(s) H(s) : fonction de transfert Quelle est la forme de la sortie y(t) du modèle en réponse aux signaux usuels : # impulsion de Dirac u(t)=δ(t) # signal échelon u(t)=Γ(t) # signal rampe u(t)=v(t) ! Décomposition en éléments simples H(s) = ∑ Hi(s) i Automatique Hi(s) : fonction de transfert de systèmes de base ou systèmes fondamentaux (1er ordre, 2e ordre) 3 Intégrateur (1) ! Système régi par l'équation différentielle 1 t y ( t ) = u (τ )dτ (CI nulle) Ti y& (t ) = u (t ) ⇒ ∫ 0 Ti 1 Ti ∫ u(t) y(t) ! Fonction de transfert H (s) = 1 Ti s Ti : constante d'intégration Pôle : λ=0 ! Exemple i(t) u(t) Automatique R C Vc(t) Relation entre le courant i(t) et Vc(t) y (t ) = Vc (t ) = 1 t i (τ )dτ ∫ 0 C 4 Intégrateur (2) ! Réponse aux signaux usuels " Réponse impulsionnelle u (t ) = δ (t ) ⇒ h(t ) = Γ(t ) Ti La réponse impulsionnelle d'un intégrateur est un échelon d'amplitude 1/Ti " Réponse indicielle u (t ) = Γ(t ) ⇒ y (t ) = 1 v(t ) Ti La réponse indicielle d'un intégrateur est une rampe de pente 1/Ti " Réponse à une rampe u (t ) = v(t ) Automatique ⇒ y (t ) = ? 5 Système du 1er ordre (1) ! Système régi par l'équation différentielle Ty& (t ) + y (t ) = Ku (t ) ! Fonction de transfert Ty& (t ) + y (t ) = Ku (t ) ⇒ s T Y ( s ) + Y ( s ) = KU ( s ) T : constante de temps K : gain statique 1 Pôle : λ = − K H (s) = 1+ T s Condition de stabilité : T > 0 T ! Exemple i(t) u(t) Automatique RC y& (t ) + y (t ) = u (t ) avec y (t ) = Vc (t ) R C Vc(t) H (s) = 1 avec T = RC 1+ T s 6 Système du 1er ordre (2) ! Réponse impulsionnelle " Entrée : u (t ) = δ (t ) − t T K e T K K " Tangente à l'origine : x(t ) = − 2 t + T T " Réponse du système : h(t ) = ( Pente = − K 2) T La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en t = T Réponse impulsionnelle K T 0.37 0 K h = T 0 0 T Automatique 0 2T 3T 4T 5T T K T 2T 0.37 h0 0.13 h0 3T 0.05 h0 6T 7 Système du 1er ordre (3) ! Réponse indicielle " Entrée : signal échelon u (t ) = Γ(t ) " Réponse du système K 1 Y ( s ) = u (t ) = Γ(t ) ⇒ U ( s ) = . On en déduit s (1 + Ts ) s ( y (t ) = K 1 − e − t T ) = K (1 − eλt ) " Valeur de la sortie en régime permanent y∞ = lim y (t ) = K t →∞ " Tangente à l'origine K x(t ) = t T K ( Pente = T ) La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale y = K en t = T Automatique 8 Système du 1er ordre (4) ! Réponse indicielle (fin) R é p o n se in d ic ie lle K 0 .9 5 K 0 .6 3 K 0 0 T 2T 3T 4T 5T 6T Tableau récapitulatif de l'évolution de la sortie t T 2T 3T 5T ∞ y (t ) (%) y ∞ 63% 87% 95% 99,4% 100% Automatique y∞ : valeur de la sortie en régime permanent 9 Système du 1er ordre (5) ! Rapidité du système K 0.95K 0.63K 0 0 T 2T 3T 4T 5T 6T " Temps de réponse tr du système tr = temps au bout duquel la réponse indicielle atteint 0.95y∞ t r ≈ 3T " Temps de montée tm tm = temps au bout duquel la réponse passe de 0.1y∝ à 0.9y∞ Automatique t m ≈ 2,2T 10 Système du 1er ordre (6) ! Réponse à une rampe " Entrée : signal rampe u (t ) = v(t ) " Réponse du système K 1 Y ( s ) = u (t ) = v(t ) ⇒ U ( s ) = 2 . On en déduit s 2 (1 + Ts ) s y (t ) = K (t − T ) + KTe − t T " Remarques $ La réponse est la somme de deux termes : une fonction exponentielle décroissante et une rampe retardée, de retard T − t T ≈ 0 au bout de 3T ⇒ la sortie tend asymptotiquement vers K (t − T ) $ Le terme KTe $ La pente à l'origine est nulle Automatique 11 Système du 1er ordre (7) ! Réponse à une rampe (fin) Kv(t) 20 ε 15 y(t) 10 5 0 0 T 2T 3T 4T 5T $ La sortie suit asymptotiquement la rampe Kv(t) avec un retard T $ L'écart en régime permanent ε = Kv(t) - y(t) est appelé erreur de traînage Erreur de traînage : ε = KT Automatique 12 Système du 2e ordre (1) ! Système régi par l'équation différentielle a2 &y&(t ) + a1 y& (t ) + a0 y (t ) = b0u (t ) ! Fonction de transfert a2 &y&(t ) + a1 y& (t ) + a0 y (t ) = b0u (t ) ⇒ (a2 s 2 + a1s + a0 )Y ( s) = b0U ( s) b0 H (s) = a2 s 2 + a1s + a0 ! Autre écriture de la fonction de transfert H (s) = s2 ωn2 + K 2ξ ωn s +1 ou Kωn2 H (s) = 2 s + 2ξωn s + ωn2 ξ : facteur d'amortissement, K : gain Automatique ωn : pulsation naturelle non amortie du système avec ωn > 0 13 Système du 2e ordre (2) ! Pôles du système H (s) = Kωn2 s 2 + 2ξωn s + ωn2 Les pôles sont les racines du polynôme s 2 + 2ξωn s + ωn2 " Etude du discriminant réduit $ $ ∆ = ω n2 (ξ 2 − 1) Si ξ ≥ 1 alors ∆ ≥ 0 : le système a des pôles réels et son comportement est apériodique # Si ξ > 1 alors le système a deux pôles réels distincts # Si ξ = 1 alors le système a un pôle réel double $ Si Automatique ξ < 1 alors ∆ < 0 : le système a une paire de pôles complexes conjugués et son comportement est oscillatoire 14 Système du 2e ordre (3) ! Système apériodique : ξ ≥ 1 " Pôles du système λ1 = −ξωn − ωn ξ 2 − 1 et λ2 = −ξωn + ωn ξ 2 − 1 " Condition de stabilité Le système est stable si les pôles λ1 et λ2 sont négatifs, ce qui correspond à la condition ξ ≥ 1 " Factorisation de la fonction de transfert Comme λ1 λ2 = ωn2 , on a H ( s ) = K (1 + T1s )(1 + T2 s ) Le système du 2e ordre apériodique est équivalent à la mise en série de deux systèmes du 1er ordre de constantes de temps : T1 = − Automatique 1 λ1 et T2 = − 1 λ2 15 Système du 2e ordre (4) ! Système apériodique (cas ξ > 1 ) : réponse indicielle " Décomposition de la FT en éléments simples H (s) = K (1 + T1s )(1 + T2 s ) ⇒ K1 K2 H (s) = − (1 + T1s ) (1 + T2 s ) K T2 K T1 et K 2 = avec K1 = T1 − T2 T1 − T2 " Réponse indicielle C'est la somme des réponses indicielles des deux sous-systèmes ( y (t ) = K1 1 − e − t T1 − t T2 ) − K 2 (1 − e ) = K1 (1 − eλ1t ) − K 2 (1 − eλ2t ) ! Système apériodique (cas ξ = 1) : réponse indicielle H (s) = ? Automatique y (t ) = ? 16 Système du 2e ordre (5) ! Système apériodique ( ξ ≥ 1) : réponse indicielle K 00 ξ=1 ξ=2 5 ξ=4 10 15 20 25 30 " Remarques $ Pente à l'origine nulle $ La réponse la plus rapide correspond à ξ=1 $ Asymptote horizontale y=K Automatique 17 Système du 2e ordre (6) ! Système oscillatoire : ξ < 1 " Pôles du système λ1 = −ξωn − jωn 1 − ξ 2 et λ2 = −ξωn + jωn 1 − ξ 2 Le système est stable si Re(λ1) < 0 et Re(λ2) < 0, soit 0 < ξ < 1 Im " Lieu des pôles λ1 Pour 0 ≤ ξ ≤ 1 Rayon de l'arc de cercle = ωn cos(ϕ ) = ξ sin(ψ ) = ξ Automatique jω n 1 − ξ 2 − ξωn ψ ϕ − ωn λ2 Re − jω n 1 − ξ 2 18 Système du 2e ordre (7) ! Système oscillatoire ( 0 < ξ < 1 ) " Réponse indicielle e − ξωn t y (t ) = K 1 − sin(ω p t + ϕ ) 2 1 − ξ 1− ξ 2 = arccos ξ et ϕ = arctan ξ avec ω p = ωn 1 − ξ 2 K T 0 Automatique 0 5 10 p 15 20 25 30 19 Système du 2e ordre (8) ! Système oscillatoire ( 0 < ξ < 1 ) : réponse indicielle K T T 0 0 p p ic 5 10 15 20 25 30 ! Caractéristiques de la réponse indicielle $ Réponse oscillatoire amortie de pulsation ω p = ωn 1 − ξ 2 $ Pseudo-période des oscillations T p = $ Temps de pic T pic = Automatique π ωp 2π ωp 20 Système du 2e ordre (9) ! Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle y m ax D n% y∝ K trn % 0 0 5 10 15 20 25 30 $ Dépassement (D) ymax − y∞ Définition : D% = × 100 y∞ y∞ : valeur de la sortie en régime permanent ymax : valeur de pic de la réponse indicielle D est lié au coefficient d'amortissement ξ par : D% = 100 e Automatique − πξ 1−ξ 2 21 Système du 2e ordre (10) ! Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle n% y∝ K trn% 0 0 5 10 15 20 25 30 $ Temps de réponse à n% (trn% ) C'est le temps au bout duquel la réponse indicielle atteint ±n% de sa valeur finale tr n% ≈ 1 ξωn ln 100 n (ξ < 0.7 ) 3 t ≈ On mesure en général le temps de réponse à 5% : r 5% ξωn Automatique (ξ < 0.7 ) 22 Système du 2e ordre (11) ! Influence du coefficient d'amortissement ξ = 0 .2 ξ = 0 .4 ξ = 0 .7 K ξ = 0 .9 ξ=1 0 0 5 10 15 20 25 30 $ Amortissement faible ( ξ < 0.7 ) : réponse peu amortie, fortes oscillations, fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que ξ est faible $ Amortissement fort ( ξ > 0.7 ) : réponse très amortie, pas d'oscillations, dépassement à peine visible $ Amortissement ξ = 0.7 (souvent utilisé) ωntr # Dépassement D ≈ 5% et 5% Automatique ≈3 23 Système du 2e ordre (12) ! Influence de la pulsation naturelle ωn K K K ωn=1 0 0 10 ωn=2 20 0 0 5 Im − ωn ωn = 3 ωn = 2 ωn = 1 ωn=3 10 15 0 0 5 Im Re − ωn 10 Im Re − ωn Re $ Plus la pulsation ωn est faible, plus la période des oscillations est grande $ Plus la pulsation ωn est faible, plus la réponse du système est lente Automatique 24 Système d'ordre supérieur à 2 (1) N ( s ) bm s m + L + b1s + b0 H (s) = = D( s) a s n + L + a s + a n 1 avec m < n et n > 2 0 ! Factorisation de la fonction de transfert γk 2 + 2ξ ω s + ω 2 )γ l ( 1 + T s ) ( s ∏ ∏ k l K k l n,l n,l H (s) = α s ∏ (1 + T s ) βi ∏ ( s 2 + 2ξ ω s + ω 2 ) β j i j i j n, j n, j On peut factoriser la fonction de transfert sous la forme d'éléments de base du premier ou du second ordre ! Décomposition en éléments simples H(s) = ∑ Hi(s) Hi(s) : fonction de transfert de systèmes du 1er ordre ou du 2e ordre y (t ) = ∑ yi (t ) avec yi(t) la réponse au signal d'entrée du système de fonction de transfert Hi(s) i Automatique i 25 Système d'ordre supérieur à 2 (2) ! Exemple Trouver la réponse indicielle du système suivant : 1 + 3s H (s) = 3 s + 9 s 2 + 23s + 15 H (s) = 1 + 3s (s + 1)(s + 3)(s + 5) H (s) = B C A 5 1 + + avec , 1 , A = B = C = − (s + 1) (s + 3) (s + 5) 4 4 ⇒ Pôles : λ1 = −1, λ2 = −3, λ3 = −5, Réponse indicielle 1 Y (s) = U (s) H (s) = H (s) ⇒ Y (s) = A + B + C s s(s + 1) s (s + 3) s(s + 5) −t ) + B (1 − e −3t ) + C (1 − e −5t ) y ( t ) = A ( 1 − e ⇒ 3 5 Automatique 26 Notion de pôles dominants (1) ! Illustration Traçons la réponse indicielle du système de fonction de transfert : H (s) = 5 (1 + T1s )(1 + T2 s ) avec T1=1 et T2=5. 1 1 λ λ = − , = − Les pôles sont : 1 T1 2 T2 Décomposition de la fonction de transfert : H ( s ) = H 2 ( s ) − H1 ( s ) 5 1 25 1 H ( s ) = avec H 2 ( s ) = et 1 4 (1 + T1s ) 4 (1 + T2 s ) Réponse indicielle t t − − 25 T2 5 T1 − 1− e y (t ) = y2 (t ) − y1 (t ) = 1− e 4 4 25 5 y (t ) = 1 − e λ2t − 1 − e λ1t 4 4 Automatique ( ) ( ) 27 Notion de pôles dominants (2) 7 R é p o n s e le n te 6 5 4 Réponse indicielle y1 y2 y 3 2 1 R é p o n s e ra p id e 0 0 T 1 T 2= 5 T 1 10 15 20 25 30 Au bout de 5T1, la réponse y1 tend vers sa valeur finale y1∞. La sortie y du système n'évolue que sous l'influence de y2. Le sous-système H2 (son pôle est λ2 =-1/T2) impose le régime transitoire du système. On dit que le pôle λ2 est dominant par rapport à λ1. Le système du 2e ordre a une réponse temporelle similaire à celle d'un système du 1er ordre de constante de temps T2. Automatique 28 Notion de pôles dominants (3) ! Définition Soient λ1 ,L, λn les pôles d'un système stable. Le pôle λi ou la paire de pôles(λi , λ*i ) est dit dominant par rapport au pôle λj si : Re(λi ) << Re(λ j ) j≠i En pratique, λi est dominant par rapport à λj si Re(λi ) < 5 × Re(λ j ) Pôle rapide (réponse rapide) Im Pôle dominant ou pôle lent (réponse lente) Re Les pôles dominants correspondent soit à une constante de temps élevée (réponse lente), soit à un amortissement faible (réponse très oscillatoire). Ils sont donc situés près de l'axe des imaginaires Automatique 29 Système à retard (1) ! Origine du retard : exemple Eau pure pH du mélange (y1) Acide (u : débit) Mélangeur Capteur de mesure du pH (y) Le pH mesuré y, représente le pH y1 réalisé plus tôt : y (t ) = y1 (t − Tr ). Le retard Tr est dû au transport du fluide de la cuve au point de mesure y (t ) = y1 (t − Tr ) ⇓ Y ( s ) = e −Tr sY1 ( s ) Automatique Fonction de transfert ⇒ Y ( s ) Y1 ( s ) Y ( s ) H (s) = = U ( s ) U ( s ) Y1 ( s ) H ( s ) = e −Tr s H1 ( s ) 30 Système à retard (2) ! Illustration du retard Fonction de transfert H (s) = e −Tr s H1 ( s ) H1 ( s ) avec 1 1 + Ts Réponse indicielle ( t −Tr ) − T y (t ) = y1 (t − Tr ) = 1 − e 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Automatique 0 0 Retard Tr 5 10 15 20 25 30 31 Système à retard (3) ! Définition Le retard correspond au temps qui s'écoule entre la variation de l'entrée et la répercussion de cette variation sur la sortie. ! Retard pur Un système réduit à un retard pur retarde l'entrée d'une durée de Tr. y (t ) = u (t − Tr ) ⇔ Y ( s ) = e −Tr sU ( s ) ! Approximation de e −Tr s " Si le retard Tr est très petit, on peut faire les approximations : e −Tr s ≈ 1 − sTr ou e −Tr s = 1 1 + sTr " Approximation simplifiée de Padé : e Automatique −Tr s 1 − Tr s / 2 ≈ 1 + Tr s / 2 32
