Analyse Fonctionnelle: Cours et Exercices

Analyse Fonctionnelle
Isabelle Gallagher
École Normale Supérieure de Paris
Année universitaire 2017–2018

Table des matières
Chapitre A. Espaces de Banach 1
A.1. Rappels de topologie 1
A.1.1. Théorème de Baire 1
A.1.2. Semi-normes 3
A.1.3. Espaces de Fréchet 4
A.1.4. Théorème de Banach-Steinhaus 5
A.1.5. Théorèmes de l’application ouverte et du graphe fermé 6
A.2. Théorèmes de Hahn-Banach 7
A.2.1. Rappels sur le lemme de Zorn 7
A.2.2. Théorème de Hahn-Banach (forme analytique) 8
A.2.3. Théorème de Hahn-Banach (forme géométrique) 10
A.2.4. Application : théorème de Krein-Milman 15
A.3. Dualité et topologies faibles 17
A.3.1. Premières définitions 17
A.3.2. Topologies faibles et espaces de Banach 18
A.3.3. Espaces réflexifs 21
A.3.4. Uniforme convexité 24
A.3.5. Espaces séparables 26
A.3.6. Application aux espaces de Lebesgue 28
Chapitre B. Distributions 31
B.1. Quelques rappels 31
B.2. Limites inductives et topologie de D(Ω) 32
B.3. Distributions : définitions et premières propriétés 36
B.4. Dérivation au sens des distributions 43
B.5. Exemples 47
B.5.1. Mesures de Radon 47
B.5.2. Mesure de surface et distributions de simple couche 49
B.5.3. Formule des sauts 49
B.6. Produit de convolution 52
B.7. L’espace de Schwartz et les distributions tempérées 55
B.8. Solutions fondamentales d’opérateurs différentiels 57
Chapitre C. Transformation de Fourier 60
C.1. Transformation de Fourier des fonctions sommables 60
C.2. Transformation de Fourier des fonctions de la classe de Schwartz 63
C.3. Transformation de Fourier des distributions tempérées 64
C.4. Transformation de Fourier des fonctions de carré sommable 64
C.5. Transformation de Fourier des distributions à support compact 65
C.6. Espaces de Sobolev 68
ii

Table des matières iii
C.6.1. Espaces de Sobolev sur Rd68
C.6.2. Injections de Sobolev 71
C.6.3. Trace et relèvement 74
C.6.4. Espaces de Sobolev sur un ouvert de Rd75
Chapitre D. Analyse spectrale 79
D.1. Espaces de Hilbert 79
D.1.1. Rappels 79
D.1.2. Théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram 80
D.2. Opérateurs 82
D.2.1. Définitions et notations 82
D.2.2. Opérateurs de rang fini et opérateurs compacts 83
D.2.3. Alternative de Fredholm 85
D.2.4. Spectre d’opérateurs : définitions et premières propriétés 88
D.3. Spectre des opérateurs compacts 89
D.3.1. Structure spectrale des opérateurs compacts 89
D.3.2. Théorème spectral des opérateurs compacts auto-adjoints 90
Chapitre E. Application à la résolution d’EDP 93
E.1. Le problème de Dirichlet homogène 93
E.1.1. Résolution du problème de Dirichlet 93
E.1.2. Fonctions propres et décomposition spectrale 94
E.2. L’équation de la chaleur dans un domaine borné 94
E.3. L’équation de la chaleur dans l’espace entier 95
E.4. L’équation de Schrödinger dans l’espace entier 97
Bibliographie 99
Index 100

Chapitre A
Espaces de Banach
A.1. Rappels de topologie
A.1.1. Théorème de Baire.
Rappels. •Un espace topologique est dit localement compact s’il est séparé (deux
points distincts admettent des voisinages distincts) et s’il admet un système fondamen-
tal de voisinages compacts (ou encore si tout élément admet un voisinage compact). Par
exemple R,]a, b[,Rnsont localement compacts. En revanche Qet R\Qne le sont pas.
•Dans tout espace topologique X, l’intersection d’une famille finie d’ouverts denses
est encore dense (si (Ui)0≤i≤nest une telle famille et Vest un ouvert non vide de X,
alors V∩U0est un ouvert non vide de Xcar U0est dense, et ainsi de suite). Cette propriété
ne se généralise pas aux familles infinies, même dénombrables (par exemple si X=Q, muni
de la topologie induite de la topologie usuelle sur R, alors (Q\ {x})x∈Qest une famille
dénombrable d’ouverts denses dont l’intersection est vide).
Théorème A.1.1 (Baire, 1874-1932).Les espaces topologiques localement compacts et
les ouverts d’un espace métrique complet sont des espaces de Baire au sens où l’intersection
d’une famille dénombrable d’ouverts denses est dense dans ces espaces.
Démonstration. Nous ne démontrerons que le premier cas, l’autre a été traité dans le
cours de Topologie et Calcul Différentiel du premier semestre.
Soit donc Xun espace topologique localement compact et soit (Un)n∈Nune famille
dénombrable d’ouverts denses. Soit Vun ouvert non vide de Xet montrons que V∩(∩n∈NUn)
est non vide. On sait que V∩U0est non vide, soit donc x0∈V∩U0et soit V0un voisinage
ouvert de x0avec V0compact inclus dans V∩U0. On construit ainsi par récurrence une
suite de points (xn)n∈Net une famille d’ouverts (Vn)n∈Ntels que Vnest un voisinage ouvert
de xn∈Vn−1∩Unet Vnest un compact inclus dans Vn−1∩Un. Alors ∩Vnest une intersection
décroissante de compacts non vides de V, qui est non vide et contenue dans V∩(∩n∈NUn).
D’où le résultat. 
Exercice. Tout ouvert d’un espace de Baire est de Baire.
Corollaire A.1.2. Soit Xun espace de Baire. Une réunion dénombrable de fermés d’in-
térieur vide de Xest d’intérieur vide dans X.
Si la réunion d’une famille dénombrable de fermés de Xest d’intérieur non vide dans X,
alors l’un des fermés est d’intérieur non vide dans X.
Démonstration. Exercice. 
Définition A.1.3. a) Une partie d’un espace topologique est dite maigre, ou né-
gligeable au sens de Baire, si elle est contenue dans une réunion dénombrable de
fermés d’intérieur vide.
b) Un Gδ-dense est une intersection dénombrable d’ouverts denses.
1

2 A. ESPACES DE BANACH
c) Une propriété portant sur les points d’un espace topologique est vraie presque
partout au sens de Baire si elle est vraie en dehors d’un ensemble maigre (donc au
moins sur un Gδ-dense).
Exemples. L’ensemble Qest maigre dans R. L’ensemble R\Qest un Gδ-dense dans R.
Le corollaire A.1.5 ci-dessous indique qu’une fonction dérivable est de classe C1, Baire
presque partout.
Attention. Ne pas confondre presque partout au sens de Baire et presque partout au
sens des mesures ! (voir Exercices).
Proposition A.1.4. Soit Xun espace de Baire et Yun espace métrique. Soit (fn)n∈Nune
suite d’applications continues de Xdans Y, convergeant simplement vers une application f.
Alors fest continue presque partout au sens de Baire.
Démonstration. On définit les fermés, pour tous les entiers naturels n, p, q,
Fn,p,q := nx∈X / dfp(x), fq(x)≤2−noet Fn,p := \
q≥p
Fn,p,q .
Pour tout x∈X,fp(x)converge vers f(x)quand ptend vers l’infini, donc la suite (fp(x))p∈N
est de Cauchy pour tout x∈Xet donc
X=[
p∈N
Fn,p ,
pour tout n∈N. Soit Uun ouvert non vide de X, alors Uest de Baire. En écrivant
U=[
p∈N
Fn,p ∩U
réunion dénombrable de fermés de U, il existe par le corollaire A.1.2 un entier p0tel que
l’intérieur de Fn,p0∩Udans Usoit non vide. Notons-le An,U . Comme Uest ouvert, l’en-
semble An,U est inclus dans Fn,p0. Donc l’union sur tout les ouverts Udes An,U , notée An,
est un ouvert dense. Notons A:= Tn∈NAn, qui est un Gδ-dense, et montrons que fest
continue en tout point de A. Soit a∈A. Alors pour tout n∈N, il existe p∈Ntel que a
appartient à l’intérieur de Fn,p. Soit donc n∈Net p∈Nassocié. Par continuité de fpil
existe un voisinage de adans lequel tout a0vérifie
dfp(a), fp(a0)≤2−n.
Par ailleurs tous les points xde Fn,p vérifient
dfp(x), f (x)= lim
q→∞ dfp(x), fq(x)≤2−n.
Le résultat suit alors par l’inégalité triangulaire : on a pour tout a0dans Fn,p suffisamment
proche de a
df(a0), f (a)≤df(a0), fp(a0)+dfp(a0), fp(a)+dfp(a), f (a)≤3·2−n
et la proposition est démontrée. 
Corollaire A.1.5. Soit Iun intervalle ouvert de R,Fun espace de Banach et f:I→F
une application dérivable. Alors f0est continue Baire presque partout.
Démonstration. Il suffit d’appliquer la proposition précédente à
fn(x) := 2nf(x+ 2−n)−f(x),
ce qui démontre le résultat. 