Module :TP de Physique 1
LMD - ST- SM
Année 2010-2011
TP-1
Mesures et incertitudes
Introduction
Il est impossible de déterminer la valeur d'une grandeur physique, sans que celle-ci ne contienne un
certain taux d’erreur.
Ainsi, tout résultat numérique, qui découle d'une mesure ou d'un calcul, n'a en réalité pas de valeur s'il
n'est pas accompagné d'une estimation, même grossière, des limites à l'intérieur desquelles la "vraie"
valeur devrait se placer.
L'intérêt de nos résultats dépend souvent de notre efficacité dans l'estimation de ces limites.
But du TP
Le but de ce travail est de nous apprendre quelques règles de base pour estimer les limites d'erreurs et
valoriser ainsi nos mesures et nos résultats numériques.
Erreur et incertitude
Toute mesure expérimentale est entachée d'une erreur dont la valeur ne peut être estimée avec
exactitude. Toutefois, même s'il est impossible de déterminer la valeur exacte de l'erreur commise, en
revanche, il est possible pour chaque type d'erreur de calculer sa limite supérieure (en valeur absolue) que
l'on appellera incertitude absolue.
Incertitude absolue et Incertitude relative
Incertitude absolue
La valeur d’une grandeur physique G, doit toujours être accompagnée d’une incertitude ∆g, on écrira
alors que g = go ± ∆g (go est la valeur mesurée ou calculée). Cette écriture signifie que la vraie valeur de
g est comprise dans l’intervalle [g o - ∆g, go + ∆g].
L'incertitude absolue ∆g s'exprime dans les unités de la grandeur G.
Exemple
d = (366 ± 2) km
⇔ 364 km < d < 368 km
m = (2.58 ± 0.03) kg ⇔ 2.55 kg < m < 2.61 kg
Toutefois, il est erroné d'écrire : d = (15,83379 ± 0,173) m; comme l'incertitude ne doit avoir
qu'un seul chiffre significatif différent de zéro, alors il faut écrire: d = (15,8 ± 0,2) m.
Incertitude relative
Une incertitude absolue ne permet pas d'avoir une idée sur la qualité d'une mesure. C'est pour cette
raison qu'il faut définir l'incertitude relative, elle permet d'estimer la précision sur le résultat obtenu.
Incertitude relative =
Incertitude absolue
.
valeur moyenne
L'incertitude relative n'a pas d'unités, elle s'exprime en général en % ou en ‰.
Exemple: si m = (25,4 ± 0,2) m, alors l'incertitude relative est : ∆m/m = 0.2/25.4 = 0.8%.
si L = (6130 ± 40) cm, alors l'incertitude relative est : ∆L/L = 0.0065 = 0.65%.
1
Les incertitudes de mesure
Quand nous effectuons une mesure, deux types d'erreurs entrent en jeu :
• Les erreurs systématiques : elles sont dues le plus souvent à une imperfection de l'appareillage ou
de la technique de mesure. Elles agissent toujours dans le même sens et leur amplitude est
constante.
•
Les erreurs aléatoires : généralement elles proviennent des caractéristiques de l'appareillage, de la
technique utilisée, et de l'intervention du manipulateur. Elles sont estimées soit en comparant
statistiquement les résultats d'expériences soigneusement répétées, soit en effectuant un calcul
d'incertitude.
Deux méthodes sont donc utilisées pour évaluer les erreurs aléatoires :
Méthode statistique : elle est la méthode la plus rigoureuse d'évaluation des erreurs
aléatoires, mais elle exige de répéter un grand nombre de fois la manipulation (dans ce TP
nous présenterons une approche statistique élémentaire, et dans l'Annexe2 nous donnons
les bases d'une méthode statistique plus "professionnelle").
Méthode par calcul d'incertitude : Une manière simple d'estimer l'incertitude sur la valeur
d'une grandeur physique est d'utiliser ce qu'on appelle un calcul d'incertitude. Ce calcul
n'est possible que si cette grandeur est liée, par une loi connue, à d'autres grandeurs dont
nous avons déjà une estimation sur leurs incertitudes.
Approche statistique élémentaire
Si l'on répète plusieurs fois de suite, et dans les mêmes conditions, la mesure d'une grandeur G, les
nombres gi que l'on obtient sont, en général, légèrement différents.
Souvent, on adopte pour valeur approchée la moyenne arithmétique des différents gi :
n
∑ g (g
=
=
+ g 2 + ... + g n )
n
n
Où n est le nombre de mesures réalisées.
Notons que la valeur gm ne représente aucunement la valeur exacte de la grandeur G, mais plutôt une
valeur moyenne.
gm
i =1
i
1
L'incertitude absolue peut être en première approximation :
∆g = max g i − g m , où gm est la moyenne des gi.
Nous dirons que la valeur exacte ge de la grandeur G est comprise dans l'intervalle gm- ∆g et gm + ∆g,
autrement dit :
g e ∈ [g m − ∆g , g m + ∆g ]
Exemple
Cinq étudiants se sont relayés pour mesurer le diamètre D d'un disque compact (CD), ils
inscrivent leurs résultats dans le tableau suivant:
Etudiant 1
120.5 mm
Etudiant 2 Etudiant 3 Etudiant 4 Etudiant 5
119.0 mm 119.7 mm 118.9 mm 120.0 mm
Leur calcul de la valeur moyenne de ce diamètre leur donne 119,62; et l'incertitude absolue
est : ∆D = max{|+0.88|,|-0.62|,|+0.08|,|-0.72|,|+0.38|} = 0.88 mm. Ils présenteront leur résultat
comme suit (après avoir arrondi les résultats finals obtenus) :
D = ( 119.6 ± 0.9 ) mm.
Le diamètre exact du CD appartient à l'intervalle : De ∈ [118.7,120.5] mm
2
∆D
= 7.5 ‰.
Dm
N.B. Si l'un des étudiants trouvait une valeur de D très éloignée de celle de ses camarades (128.3
mm par exemple), cette valeur doit être rejetée, et elle ne doit pas intervenir dans le calcul de Dm
ni de son incertitude.
Remarque: lorsque vous avez à faire plusieurs opérations mathématiques avant d'aboutir au
résultat final, effectuez tous les calculs intermédiaires sans arrondir. Tout à la fin, vous ajusterez
le résultat final (valeur et son incertitude) avec le bon nombre de chiffres significatifs.
L'incertitude relative sur la mesure du diamètre du CD est :
Calcul d'incertitude
Dans la pratique, il arrive souvent que l'on ne puisse mesurer directement la valeur d'une grandeur G.
Toutefois, celle-ci est généralement liée à un certain nombre d'autres grandeurs G1, G2, etc. directement
ou indirectement mesurables (par exemple, l'énergie cinétique Ec d'une particule s'écrit en fonction de sa
1
masse m et de sa vitesse v : Ec = mv 2 ).
2
Pour trouver la valeur de G, il suffit d'utiliser la relation qui la lie à G1, G2, … Et pour trouver
l'incertitude ∆G, il faut l'exprimer en fonction de ∆G1, ∆G2, …; pour cela, on utilise une technique simple
qu'on peut appeler la technique logarithmique.
Le calcul d'incertitude se décompose ainsi en 3 étapes:
a) identification de la relation qui doit expliciter toutes les grandeurs utilisées:
b) identification de chacune des incertitudes intermédiaires (celles-ci dépendent souvent du
matériel utilisé).
c) calcul de l'incertitude par la technique logarithmique.
Et il n'y a pas mieux que des exemples pour illustrer la technique logarithmique :
Exemple 1
Pour déterminer la surface S d'un rectangle, on mesure ses deux côtés : L (longueur) et l
(largeur). On trouve :
L = (24.6 ± 0.1) cm et l = (8.3 ± 0.1) cm
L'application directe de S = L·I conduit à la valeur :
S = 204.18 cm2.
Si l'on conserve cette valeur telle qu'elle est, cela veut dire
que la surface S est connue avec une incertitude de 0.01 cm2.
Qu'en est-il en réalité?
Utilisons pour cela la technique logarithmique:
S = L⋅l
l
ln S = ln(L ⋅ l ) = ln L + ln l
Passons à la différentielle :
L
dS dL dl
=
+
S
L
l
Puis passons à l'incertitude :
∆S ∆L ∆l
=
+ .
S
L
l
Finalement, l'incertitude sur S s'écrit :
∆L ∆l
∆S = S
+ A.N. ∆S = 3.29 cm2 ; qu'on peut arrondir à : ∆S = 3 cm2.
l
L
N.B. La valeur numérique de l'incertitude absolue ne doit pas contenir plus d'un chiffre différent
de zéro.
3
Le résultat final sera présenté comme suit : S = (204 ± 3) cm2.
Et nous dirons alors que la précision sur la valeur de cette surface est de 1.5 %.
Exemple2 : On lâche une masse m d'une hauteur h, on veut calculer sa vitesse v d'arrivée au sol.
Il est facile de monter que l'expression de la vitesse est : v = 2 gh , v dépend donc de deux
grandeurs h et g (g : accélération de la pesanteur).
Pour estimer l'incertitude sur v, c'est-à-dire ∆v, on procède comme suit :
1/ 2
v = 2 gh = (2 gh )
On passe au logarithme de v :
1
1/ 2
ln v = ln (2 gh ) = (ln 2 + ln g + ln h )
2
On applique ensuite la différentielle :
dv 1 dg dh
=
+
v 2 g
h
On remplace maintenant tous les "d " par des "∆" , en veillant à remplacer tous les signes – par des
signes +, et mettre des valeurs absolues là où les grandeurs intermédiaires peuvent être négatives
(dans cet exemple il n'y a pas de problèmes car tout est positif). Et on obtient :
∆v 1 ∆g ∆h
=
+
v
2 g
h
Enfin nous aboutissons à l'incertitude sur v :
1 ∆g ∆h
∆v = v
+
2 g
h
A.N. Si on donne h = (8.50 ± 0.02) m et g = (9.80 ±0.02) ms-2.
La vitesse v s'écrit : v = (12.91 ± 0.03) ms-1.
Et nous dirons alors que la précision sur la valeur de v est de 0.2 %.
Exercice : Nous avons une masse M composée de trois masses m1, m2 et m3, dont les incertitudes
sont ∆m1, ∆m2 et ∆m3. Ecrire l'incertitude ∆M en fonction des incertitudes sur m1, m2 et m3.
Chiffres significatifs et incertitudes
Lors de la présentation finale d'un résultat numérique il est important d'accorder le nombre de chiffres
significatifs adéquat.
Dans le cas où l'incertitude sur une grandeur intermédiaire n'est pas explicitement donnée, les
scientifiques admettent le niveau du dernier chiffre significatif comme ordre de grandeur de l'incertitude.
•
•
•
Exemple
Si sur une masse m utilisée en laboratoire on trouve inscrit 23,0 g, vous interprétez que m est
connu à ± 0,1g (on dira alors qu'elle est connue à 0,2 g près).
I = 1.37 A ceci signifie que I = (1.37 ± 0.01) A.
M = 3500 kg ceci signifie que M = (3500 ± 1) kg.
4
Les incertitudes sur le graphe
Il est courant d'étudier graphiquement une propriété, en fonction d'un paramètre, pour en déduire ou
vérifier une loi les reliant. Les rectangles d'incertitudes (ou les barres d'erreurs) doivent être portés sur
le graphe pour juger de la validité de l'interprétation.
Soit un point expérimental défini par les coordonnées : X affecté de l'incertitude ± ∆X, et Y affecté de
l'incertitude ± ∆Y. Le tracé de ce point sur un graphe correspond au schéma suivant :
+∆Y
Y
-∆Y
-∆X X +∆X
La zone grise correspond à l'aire d'incertitude du point expérimental. Elle peut se réduire à une simple
barre si l'une des incertitudes est très faible (on parlera alors de barres d'erreurs).
Une fois mis les rectangles d'erreur, on trace manuellement la meilleure courbe passant au mieux dans
tous les rectangles d'incertitude.
Tracé du graphe
Pour obtenir, dans un temps raisonnable, un graphe exploitable où il est aisé d'analyser un phénomène,
il est recommandé de suivre les neuf étapes suivantes :
1- réaliser avec soin les différentes mesures et reporter les résultats dans un tableau.
2- Estimer les incertitudes ∆x et ∆y pour chaque couple (x,y) du tableau.
3- Choisir convenablement l'origine des axes (il n'est pas indispensable que l'origine des axes
corresponde à x = 0 et y = 0).
4- Nommer les axes en indiquant les unités de x et de y.
5- Choisir une échelle adéquate pour chacun des deux axes (les points expérimentaux doivent se
répartir sur une grande partie de la feuille utilisée).
6- Indiquer sur chaque axe, en suivant l'échelle, quelques points correspondant à des nombres entiers
formant une progression arithmétique. Les valeurs du tableau ne doivent en aucun cas figurer sur
les axes.
7- Représenter les points expérimentaux par des croix (+) dont les branches sont parallèles aux axes.
8- Représenter les rectangles d'incertitudes de côtés 2∆x et 2∆y (il est possible que l'incertitude sur
un axe soit négligeable, les rectangles d'incertitude deviennent alors des barres d'erreur).
9- Dessiner la courbe Y(x) qui doit :
• couper tous les rectangles d'incertitude.
• Avoir une pente variant de façon continue (pas de ligne brisée ni de zigzag).
• Si Y(x) est une droite, alors il existe tout un faisceau de droites passant par tous les
rectangles d'incertitude. Il faut alors représenter deux droites : celle de pente minimale et
celle de pente maximale.
La pente et son incertitude s'écriront alors :
P + Pmin Pmax − Pmin
P = max
±
2
2
5
Titre de la courbe
Variable Y (unité)
Droite de pente
maximale : Pmax
Droite de pente
minimale : Pmin
Variable X (unité)
Graphe indicatif
Remarque
Voici quelques exemples de représentations graphiques correctes ou erronées.
NON
NON
NON
OUI
Manipulation
A- Détermination de la constante de raideur K d'un ressort et estimation
de son incertitude ∆K
Dispositif expérimental
•
•
•
Potence munie d'une règle
Un ressort
Six masses de 10g à 70g
Travail à effectuer
1- Accrocher le ressort à la potence, et mesurer sa longueur à vide lo.
2- Accrocher au ressort une masse m, attendre l'état d'équilibre, puis mesurer la nouvelle longueur l
du ressort. En déduire l'allongement x = ( l – lo ) du ressort.
3- Donner successivement à la masse m des valeurs allant de 10g à 70g et noter les valeurs
correspondantes de x.
6
N.B. Pour chaque valeur de m, trois mesures de x sont nécessaires. Puis on déduit la valeur
moyenne de x et son incertitude ∆x en procédant suivant l'approche statistique élémentaire. A la
fin, on inscrit sur le tableau la valeur moyenne de x et son incertitude ∆x.
4- Mettre vos résultats de mesure dans le tableau1.
m (kg) 0.01
x (m)
∆x (m)
0.02
0.03
0.05
0.06 0.07
Tableau1 : l'allongement x en fonction de la masse m.
5- Tracer le graphe représentant la variation de x en fonction de m, en indiquant les rectangles
d'incertitude (on supposera que les masses utilisées au laboratoire sont connues avec une
incertitude de ± 0.1g).
6- Indiquer sur le graphe la pente maximale et la pente minimale, en déduire la valeur (moyenne) p
de la pente ainsi que son incertitude ∆p.
7- Montrer que théoriquement p = g/K; g : accélération de la pesanteur et K : constante de raideur du
ressort.
8- Sachant que g = (9.80 ±0.02) m/s2, déduire la constante de raideur K du ressort.
9- Exprimer l'incertitude ∆K en fonction de ∆p et ∆g , grâce à un calcul d'incertitude par la méthode
logarithmique.
10- Présenter correctement le résultat final (c'est-à-dire la valeur de K, son incertitude et sa précision).
B- Utilisation d'instrument de mesures mécaniques
Nous allons utiliser trois instruments de mesure :
• une règle
• un pied à coulisse
• un palmer
Le pied à coulisse est un instrument très utilisé en mécanique, il permet de mesurer facilement les
diamètres des pièces et des perçages, l'épaisseur ou la profondeur d'objets de faibles dimensions, ainsi que
les diamètres tant intérieurs qu'extérieurs de tubes. Il est apprécié pour sa bonne précision.
Le palmer (ou le micromètre) sert à mesurer des épaisseurs et des diamètres extérieurs, mais sa plage
de mesures est relativement petite (25 mm). Son avantage réside dans la vis micrométrique qui le rend
plus précis et plus fidèle que le pied à coulisse. La précision du palmer est souvent de ±0,01 mm (mais il
existe des micromètres d'une précision de ±0,002 mm c'est-à-dire ±2 microns).
Pied à coulisse
7
Le palmer
Travail à effectuer
Nous disposons en salle de manipulation de quatre objets : un parallélépipède (P), une sphère (S), un
disque (D) et un cylindre creux (C).
Utiliser les instruments de mesure ci-dessus pour :
1- mesurer la longueur L, la largeur l, et la hauteur h du parallélépipède (P).
Estimer les incertitudes ∆L, ∆l, ∆h.
Calculer le volume v du parallélépipède (P) et son incertitude ∆v.
2- mesurer le diamètre d de la sphère (S)
Estimer l'incertitude ∆d.
Calculer la surface s de la sphère (S) et son incertitude ∆s.
Calculer le volume v de la sphère (S) et son incertitude ∆v.
3- mesurer le diamètre d du disque (D) ainsi que son épaisseur e.
Estimer les incertitudes ∆d et ∆e.
Calculer la surface plane s du disque (D) et son incertitude ∆s.
Calculer le volume v du disque (D) et son incertitude ∆v.
4- mesurer la longueur l du cylindre creux ainsi que ses diamètres intérieur dint et extérieur
dext.
Estimer les incertitudes ∆l , ∆dint et ∆dext.
Calculer le volume plein v du cylindre creux (C) et son incertitude ∆v.
dint
L
l
R
h
R
e
l
dext
Parallélépipède (P)
Sphère (S)
Disque (D)
8
Cylindre creux (C)
Annexe 1
Les grandeurs et les unités en Physiques
1- Grandeurs physiques
On appelle grandeur physique toute "caractéristique" ou paramètre qui permet de décrire l'état et
l'évolution d'un système physique : masse, charge électrique, vitesse, concentration, température d'un
corps, résistance électrique, masse volumique d'un gaz, etc.
2- Système international d'unités fondamentales
Dans le système international, les grandeurs fondamentales sont : la masse m, la longueur l, le temps t,
l'intensité du courant i, l'intensité lumineuse j, la température θ, et la mole (une mole contient 6,023
atomes ou molécules). Leur choix, bien qu'arbitraire, satisfait à deux critères :
• simplicité d'écriture des lois physique
• facilité de reproduction des étalons correspondants.
Les unités fondamentales de ce système sont :
Le kilogramme : c'est l'unité de masse, dont le symbole est kg. Il correspond dans la pratique à la
masse d'un cylindre prototype en platine iridié (c'est ce qu'on appelle le kilogramme-étalon).
La seconde : c'est l'unité de mesure du temps dont le symbole est s. C'est la durée de 9 192 631
700,0 périodes d'oscillations correspondant à une certaine raie du spectre de l'atome de césium 133.
Le mètre : c'est l'unité de longueur dont le symbole est m. Au début, elle était définie comme une
fraction du méridien terrestre, puis comme prototype de platine iridié et ensuite comme un nombre donné
de longueur d'onde d'une radiation de l'atome de Krypton, il représente actuellement la distance parcourue
par la lumière, dans le vide, pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde.
L'ampère : c'est l'unité de l'intensité du courant électrique, dont le symbole est A. C'est l'intensité
d'un courant constant qui, parcourant deux conducteurs rectilignes, parallèles, de longueurs infinies, de
section circulaire négligeable, distants de un mètre et disposés dans le vide, produirait une force de 2.10-7
N par mètre de fil.
L'unité de température est le Kelvin (symbole K), celle de l'intensité lumineuse est la Candela
(symbole Cd) et celle de la quantité de matière est la mole (symbole mol).
Unité
Fondamentale
Mètre
Kg
S
A
Grandeur
Fondamentale
longueur
masse
Temps
Intensité du
courant électrique
Symbole
L
M
T
I
9
Annexe 2
Statistique des erreurs aléatoires
Traitement statistique des erreurs aléatoires
Même si dans les travaux pratiques de ce module nous n'aurons pas à traiter statistiquement les erreurs
aléatoires, mais il faut que nous sachions en quoi cela consiste et quelles en sont les notions de base.
On appelle échantillon de données un nombre fini (n) d'observations expérimentales de la grandeur x.
Comme les lois statistiques ont été établie pour un échantillon de très grande taille, elles doivent être
modifiées quant on les applique à un petit échantillon de données.
On appelle moyenne de l'échantillon le terme suivant:
n
x=
∑x
i =1
i
n
L'écart type e d'un échantillon fini est défini par:
∑ (x
n
e=
i =1
− x)
2
i
n −1
On utilise généralement l'écart type e pour exprimer l'incertitude sur la valeur de x. Pour cela il faut
associer à e une limite de confiance (LC). La limite de confiance définit un intervalle de confiance dans
lequel la vraie valeur a p % de chance de se trouver.
Ainsi, à une limite de confiance de p % correspond l'incertitude :
t
∆x =
e où t est le facteur de Student, il dépend de p.
n
Remarque : On trouve dans les ouvrages de statistique des tableaux complets donnant le facteur de
Student t en fonction de n et des limites de confiance p.
Exemple
L'analyse de la teneur en plomb d'un échantillon de sang a donné les résultats suivants: 0,752
0,756 0,752 0,751 0,760 en ppm (ppm : partie par million). Les formules précédentes pour N = 5
donnent: x = 0,754 ppm et un écart-type e = 0,004ppm.
Mais qu'en est-il de l'incertitude sur cette valeur de x.
Pour cela, nous aurons besoin du tableau suivant qui donne la valeur du facteur de Student t en
fonction de n (nombre de mesures) et de la limite de confiance (p %).
Nombre de
Limite de confiance : p %
mesures
80 % 90 % 99 %
99.9%
2
3,08
6,31
63,7
637
3
1,89
2,92
9,92
31,6
4
1,64
2,35
5,84
12,9
5
1,53
2,13
4,60
8,60
6
1,48
2,02
4,03
6,86
10
1,38
1,83
3,25
4,78
15
1,34
1,76
2,98
4,14
Facteur de Student t
Remarque: On retrouve dans ce tableau la notion intuitive qu'il faut multiplier les mesures pour
augmenter leur fiabilité.
Dans l'exemple en cours, où n = 5, si on choisit une limite de confiance de 99% le tableau ci-dessus
nous donne une valeur pour t de 4,60. Soit ∆x = 0,008 ppm
En présentant notre résultat final, nous dirons qu'il y a 99% de chance que la "vraie valeur" de x soit
dans l'intervalle: (0,754 ± 0,008) ppm.
10
