Exercices de Logique Mathématique

Pr : Bendaoud Mohammed Sciences.M ∧Sciences.Ex
La logique
Exercice 1
Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :
1. √2∈Q
2. 997 un nombre premier
3. π= 3,14
4. x∈R+;√x2=x
5. cos 11π
6= cos π 6
6. ”∀n∈N/n2>0”
7. (∀x∈R) (∃y∈R) ; x<y
8. (∃!x∈R) ; x2= 1
9. (∀ ∈ R) ; −1<cos x < 1
10. (∀n∈N) ; p9n2+ 6n+ 1 ∈N
11. (∃x∈R) ; x2+x+ 1 = 0
12. (∀x∈[1; 3]) ; −x2+ 4x−3>0
Exercice 2
Déterminer la valeur de vérité puis la négation de chacune des propositions suivantes :
1. (Z⊂N) OU (2un nombre premier)
2. sin π
3=1 2ET cos π 6=√3 2
3. √3∈Q⇒(∀x∈R) : x2−3x−4>0
4. (∃n∈N) : √n+ 2 ∈N⇔√3 + √5 = √8
Exercice 3
1) Démontrer que si (a, b, c)∈R3\ {1}tels que : a
1−a+b 1−b+c 1−c= 1 ⇒1 1−a+1 1−b+1 1−c= 4.
2) ∀(a, b)∈R2:|a+b|=|a|+|b| ⇒ ab >0.
3) Soit nun entier naturel,Montrer que : n2paire ⇒npaire.
4) Montrer que : (∀x∈]1; +∞[) (∀y∈]1; +∞[) : x6=y⇒x
1 + x26=y 1 + y2
5) Résoudre dans R2le systeme suivant : 
2|x+ 1| − y= 4
|x+ 2|+ 2y= 6
Exercice 4"Absurde"
1) Démontrer que si a et b sont deux entiers relatifs tels que : a+b√2=0⇒a=b= 0
2) Montrer que (∀x∈R∗) : px2+ 1 6= 1 + x2
2
3) Montrer que :
(a) √2/∈Q(b) √3/∈Q(c) √6/∈Q(d) √2 + √3/∈Qs.m
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Exercice 5"Récurrence"
a) xun réel positif.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n:(1 + x)n>1 + nx.
b) Démontrer par récurrence que pour tout nde N:13 divise 16n−3n.
c) Démontrer par récurrence que pour tout nde N∗:
i)
n
X
k=1
k=1+2+3+...... +n=n(n+ 1)
2
ii)
n
X
k=1
k4= 1 + 16 + 81 + ... +n4=n(n+ 1)(6n3+ 9n2+n−1)
30 s.m
iii)
n
X
k=1
k4
5k
=4×5n+1 −(5 + n) 4n+1
5ns.m
Exercice "la correction dans le cours de 30mn"
1) Démontrer en utilisant un contre-exemple que la proposition suivante est fausse.
(P):(∀x∈R) ; x<x2
2) Démontrer en utilisant des équivalences succéssives que la proposition suivante est vraie :
(Q) : ∀(x, y)∈R2
+; 9x+ 4y>12√xy
3) Démontrer en utilisant la contraposée que la proposition suivante est vraie :
(R) : ∀(x, y)∈R2;y6=−3
4x⇒x−y x+y6= 7
4) Démontrer en utilisant la disjonction des cas que la proposition suivante est vraie :
(S):(∀x∈R) ; |x−1|6x2−x+ 1
5) Démontrer en utilisant le raisonnement par l’absurde que la proposition suivante est vraie :
(∀n∈N∗) ; pn2+ 2n+ 4 /∈N
6) Démontrer en utilisant le raisonnement par récurrence que :
(∀n∈N);7n−2nest divisible par 5
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