Sciences.M ∧ Sciences.Ex
Pr : Bendaoud Mohammed
La logique
Exercice 1
Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :
1.
√
2∈Q
5. cos
11π
6
= cos
π
9. (∀ ∈ R) ; −1 < cos x < 1
6
p
9n2 + 6n + 1 ∈ N
2. 997 un nombre premier
6. ”∀n ∈ N/n2 > 0”
10. (∀n ∈ N) ;
3. π = 3, 14
7. (∀x ∈ R) (∃y ∈ R) ; x < y
11. (∃x ∈ R) ; x2 + x + 1 = 0
√ 2
4. x ∈ R+ ; x = x
8. (∃!x ∈ R) ; x2 = 1
12. (∀x ∈ [1; 3]) ; −x2 + 4x − 3 > 0
Exercice 2
Déterminer la valeur de vérité puis la négation de chacune des propositions suivantes :
1. ( Z ⊂ N ) OU (2 un nombre premier)
√ π
3
1
π
2. sin =
ET cos =
3
2
6
2
3.
√
3 ∈ Q ⇒ (∀x ∈ R) : x2 − 3x − 4 > 0
4. (∃n ∈ N) :
√
n+2∈N⇔
√
3+
√
5=
√
8
Exercice 3
1) Démontrer que si (a, b, c) ∈ R3 \ {1} tels que :
a
b
c
1
1
1
+
+
=1⇒
+
+
= 4.
1−a 1−b 1−c
1−a 1−b 1−c
2) ∀ (a, b) ∈ R2 : |a + b| = |a| + |b| ⇒ ab > 0.
3) Soit n un entier naturel,Montrer que : n2 paire ⇒ n paire.
4) Montrer que : (∀x ∈]1; +∞[) (∀y ∈]1; +∞[) : x 6= y ⇒
5) Résoudre dans R2 le systeme suivant :
y
x
6=
1 + x2
1 + y2
2|x + 1| − y = 4
|x + 2| + 2y = 6
Exercice 4
"Absurde"
√
1) Démontrer que si a et b sont deux entiers relatifs tels que : a + b 2 = 0 ⇒ a = b = 0
2) Montrer que (∀x ∈ R∗ ) :
p
x2 + 1 6= 1 +
x2
2
3) Montrer que :
(a)
√
2∈
/Q
(b)
√
3∈
/Q
(c)
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√
6∈
/Q
(d)
√
2+
√
3∈
/ Q s.m
Exercice 5
"Récurrence"
a) x un réel positif.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : (1 + x)n > 1 + nx.
b) Démontrer par récurrence que pour tout n de N : 13 divise 16n − 3n .
c) Démontrer par récurrence que pour tout n de N∗ :
i)
ii)
iii)
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
k=1
k = 1 + 2 + 3 + ...... + n =
n(n + 1)
2
k 4 = 1 + 16 + 81 + ... + n4 =
k
n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1)
30
k
4 × 5n+1 − (5 + n) 4n+1
4
=
5
5n
s.m
s.m
Exercice "la correction dans le cours de 30mn"
1) Démontrer en utilisant un contre-exemple que la proposition suivante est fausse.
(P ) : (∀x ∈ R) ;
x < x2
2) Démontrer en utilisant des équivalences succéssives que la proposition suivante est vraie :
(Q) : ∀ (x, y) ∈ R2+ ;
√
9x + 4y > 12 xy
3) Démontrer en utilisant la contraposée que la proposition suivante est vraie :
x−y
3
2
6= 7
(R) : ∀ (x, y) ∈ R ; y 6= − x ⇒
4
x+y
4) Démontrer en utilisant la disjonction des cas que la proposition suivante est vraie :
(S) : (∀x ∈ R) ; |x − 1| 6 x2 − x + 1
5) Démontrer en utilisant le raisonnement par l’absurde que la proposition suivante est vraie :
(∀n ∈ N∗ ) ;
p
n2 + 2n + 4 ∈
/N
6) Démontrer en utilisant le raisonnement par récurrence que :
(∀n ∈ N) ; 7n − 2n est divisible par 5
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