
Equations différentielles
Exemple :
On considère l’équation différentielle : !"# $! % & ainsi on a !"% '$! on peut aussi écrire !"( % '$!)(*
On constate que ! ( % +,-. est une solution de cette équation car :
!"( % '$+,-. % '$!)(*
Existe-t-il d’autres solutions à cette équation ?
La réponse est oui, elles sont de la formes ! ( % /+,-. avec / une constante réelle.
Réponses :
Analyse
Equations différentielles
I. Introduction
Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une
fonction.Par exemple :
f0=f
2xf0(x)+3f(x)=x
Notation : par convention, on note souvent yau lieu de fce qui donne l’équation y0=y.
–Lorsque la dérivée intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 1er ordre.
Exemple : y03y=5x
–Lorsque la dérivée seconde intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 2ème
ordre. Exemple : 2xy00 2y+3=0
Remarque : On peut rencontrer (par exemple en physique) les notations dy
dx pou y0ou bien d2y
dx2
pou y00 .
Exemple : Trouver des solutions des équations suivantes :
–y0=0
–y00 +y0+3y=6
–y0+y=7x+7
–Montrer que la fonction g(x)=xexest une solution particulière de l’équation y0+y=ex.
En Terminale, on étudie les équations du type y0+ay =bet y00 +!2y=0avec a,b,!réels.
II. Résolution de l’équation différentielle y0+ay =b
II.1. Cas de l’équation y0+ay =0
Théorème 1
Soit l’équation y0+ay =0,oùaest un nombre réel et où yest une fonction de la variable réelle
xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsdelaforme
y(x)=keax
où kest une constante réelle.
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y02y=0
y0+4y=0
10y0y=0
II.2. Cas général y0+ay =b
Théorème 2
Soit l’équation y0+ay =b,oùaet bsont des nombres réels (a6=0)etoùyest une fonction de
la variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctions
de la forme
y(x)=keax +b
a
où kest une constante réelle.
Terminale STI2D 1www.mathematic.fr
Analyse
Equations différentielles
I. Introduction
Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une
fonction.Par exemple :
f0=f
2xf0(x)+3f(x)=x
Notation : par convention, on note souvent yau lieu de fce qui donne l’équation y0=y.
–Lorsque la dérivée intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 1er ordre.
Exemple : y03y=5x
–Lorsque la dérivée seconde intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 2ème
ordre. Exemple : 2xy00 2y+3=0
Remarque : On peut rencontrer (par exemple en physique) les notations dy
dx pou y0ou bien d2y
dx2
pou y00 .
Exemple : Trouver des solutions des équations suivantes :
–y0=0
–y00 +y0+3y=6
–y0+y=7x+7
–Montrer que la fonction g(x)=xexest une solution particulière de l’équation y0+y=ex.
En Terminale, on étudie les équations du type y0+ay =bet y00 +!2y=0avec a,b,!réels.
II. Résolution de l’équation différentielle y0+ay =b
II.1. Cas de l’équation y0+ay =0
Théorème 1
Soit l’équation y0+ay =0,oùaest un nombre réel et où yest une fonction de la variable réelle
xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsdelaforme
y(x)=keax
où kest une constante réelle.
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y02y=0
y0+4y=0
10y0y=0
II.2. Cas général y0+ay =b
Théorème 2
Soit l’équation y0+ay =b,oùaet bsont des nombres réels (a6=0)etoùyest une fonction de
la variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctions
de la forme
y(x)=keax +b
a
où kest une constante réelle.
Terminale STI2D 1www.mathematic.fr