Equations différentielles

Analyse
Equations
différentielles
Equations différentielles
Analyse
I. Introduction
Equations différentielles
Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une
fonction.Par exemple :
f0 = f
I. Introduction
2xf 0 (x) + 3f (x) = x
Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une
fonction.Par
exemple
:
Notation : par
convention,
on note souvent y au lieu de f ce qui donne l’équation y 0 = y.
f0 = f
0
– Lorsque la dérivée intervient dans
c’est
2xfl’équation,
(x) + 3f (x)
= xun équation différentielle du 1er ordre.
Exemple : y 0 3y = 5x
– Lorsque la dérivée seconde intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 2ème
0
Notation
: par
convention,
ordre.
Exemple
: 2xy 00on note
2y + souvent
3 = 0 y au lieu de f ce qui donne l’équation y = y.
dy
d2 y
0
Remarque
:
On
peut
rencontrer
(par
exemple
en
physique)
les
notations
pou
y
ou
bien
– Lorsque la dérivée intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle
du 1er ordre.
dx
dx2
pou y 00Exemple
.
: y 0 3y = 5x
Exemple
solutions
des équations
suivantesc’est
:
– Lorsque: Trouver
la dérivéedes
seconde
intervient
dans l’équation,
un équation différentielle du 2ème
0
– yordre.
= 0 Exemple : 2xy 00 2y + 3 = 0
Exemple :
dy
d2 y
– y 00 + y 0 + 3y = 6
" (par exemple en physique)
"
Remarque
: On
peut rencontrer
lesonnotations
pou y𝑦0" ou
bien
On considère
l’équation
différentielle
:
𝑦
+
2𝑦
=
0
ainsi
on
a
𝑦
=
−2𝑦
peut
aussi
écrire
𝑥
=
−2𝑦(𝑥)
0
– y + y = 7x + 7
dx
dx2
00
x cette équation car :
pou– yMontrer
. 𝑦 𝑥 que
On constate
que
= 𝑒la,-.
est uneg(x)
solution
fonction
= xe de
est une solution particulière de l’équation y 0 + y = e x .
,-. suivantes
Exemple
: Trouver
des solutions
𝑦 " 𝑥des=équations
−2𝑒
=
En
Terminale,
on étudie
les équations
du type
y 0 −2𝑦(𝑥)
+ ay = :b et y 00 + ! 2 y = 0 avec a,b, ! réels.
0
–
y
=
0
Existe-t-il d’autres
solutions à cette équation ?
– y 00 + y 0 + 3y = 6
,-.= b
II.
Résolution
de
l’équation
différentielle
y 0 𝑘𝑒
+ ay
La réponse est0 oui, elles
sont de la
formes 𝑦 𝑥 =
avec 𝑘 une constante réelle.
– y + y = 7x + 7
x
– Montrer
que la fonction
particulière de l’équation y 0 + y = e x .
II.1. Cas
de l’équation
y 0 + ayg(x)
= 0 = xe est une solution
0
En Terminale, on étudie les équations du type y + ay = b et y 00 + ! 2 y = 0 avec a,b, ! réels.
Théorème 1
0
II. Résolution
de l’équation
+ ay =réel
b et où y est une fonction de la variable réelle
Soit l’équation
y 0 + ay =différentielle
0, où a est unynombre
x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme
II.1. Cas de l’équation y 0 + ay = 0
y(x) = ke ax
Théorème 1
où
est une constante
Soitk l’équation
y 0 + ay =réelle.
0, où a est un nombre réel et où y est une fonction de la variable réelle
x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme
Exemple: Résoudre les équations différentielles
y(x) =suivantes
ke ax :
où k est une constante réelle.
y0
2y = 0
y 0 + 4y = 0
Exemple: Résoudre les équations différentielles
:
10y 0 y suivantes
=0
II.2. Cas général y + ay = b
0
Théorème 2
y0
2y = 0
y 0 + 4y = 0
10y 0 y = 0
Soit l’équation y 0 + ay = b, où a et b sont des nombres réels (a 6= 0) et où y est une fonction de
la variable
réelle
définie
II.2. Cas
général
y 0 +x ay
= b et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions
de
la
forme
Réponses :
b
y(x) = ke ax +
Théorème 2
a
Soitk l’équation
y 0 + ay =
b, où a et b sont des nombres réels (a 6= 0) et où y est une fonction de
où
est une constante
réelle.
la variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions
de la forme
b
Terminale STI2D
www.mathematic.fr
y(x) =1ke ax +
a
où k est une constante réelle.
Terminale STI2D
1
www.mathematic.fr
1
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y0
2y = 0
y 0 + 4y = 0
10y 0
y=0
II.2. Cas général y 0 + ay = b
Théorème 2
Soit l’équation y 0 + ay = b, où a et b sont des nombres réels (a 6= 0) et où y est une fonction de
la variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions
de la forme
b
Analyse
y(x) = ke ax +
a
où k est une constante réelle.
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
Terminale STI2D
1
y 0 + 2y = 3
www.mathematic.fr
4y = 1
y0
Réponses :
III. Résolution de l’équation différentielle y 00 + ! 2 y = 0
Théorème 3
Soit l’équation y 00 + ! 2 y = 0, où ! est un nombre réel (w 6= 0) et où y est une fonction de la
variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de
la forme
y(x) = A cos !x + B sin !x
où A et B sont des constantes réelles.
Exemple:
II. 3. Unicité pour l’équation 𝒚′ + 𝒂𝒚 = 𝒃
et 𝒚 𝒙 = 𝒚
y 00 + 3y 0 +𝟎2y = 0𝟎
9
Parmi toutes les solutions de l’équation 𝑦 " 00+ 𝑎𝑦 = 𝑏 qui sont de la forme 𝑦 𝑥 = 𝑘𝑒 ,8. + il en
8
y
y=0
existe une et une seule qui vérifie une condition
particulière donnée : 𝑦 𝑥: = 𝑦:
00
0
y + 2y
3y = 0
En effet, il suffit de déterminer la valeur du paramètre 𝑘 pour vérifier la condition 𝑦 𝑥: = 𝑦: .
00
0
9
𝑦 𝑥: = 𝑘𝑒 ,8.< + =y𝑦: 2y + y = 0
8
00
90
9
9
0
,8.< y
𝑘𝑒
= 𝑦 −4y + 4y = ainsi
On a donc :
𝑦 𝑥 = 𝑦 − 𝑒 ,8 .,.< +
:
8
y 00 4y 09+ 8y = 0
𝑘 = 𝑦: − 𝑒 8.<
8
y 00 2y 0 + 2y = 0
Théorème 3
:
8
8
L’équation
différentielle
𝑦′ + 𝑎𝑦initiales
= 𝑏 admet une unique solution définie sur ℝ et
IV. Solutions
vérifiant
des conditions
vérifiant la condition initiale 𝑦 𝑥: = 𝑦: .
Exemple : A partir de l’instant 𝑡 = 0, un condensateur de capacité C se décharge dans un circuit
Exemple:
deDéterminer
résistance Rla et
d’inductance
nulle (l’inductance
est vérifie
un phénomène
solution
de l’équation
y 0 + y = 2 qui
y(0) = 5. électromagnétique).
0
OnDéterminer
montre en laphysique,
la tensiony 00𝑢(𝑡)
du condensateur
à chaque instant
solution que
de l’équation
+ 4yaux
= 0bornes
qui vérifie
y(0) = 3 et yvérifie
(0) = 0.
𝑡, en seconde : 𝑢 " 𝑡 +
@
AB
𝑢 𝑡 = 0. Déterminer la résistance R en fonction de la capacité C,
sachant qu’à l’instant 𝑡 = 1 la tension 𝑢(𝑡) n’est plus que le cinquième de sa valeur initiale 𝑢(0).
Réponse :
2
Exemple:Résoudre
Résoudreles
leséquations
équations différentielles
différentielles suivantes
suivantes ::
Exemple:
0
+ 2y = 3
yy0 +
2y = 3
4y = 1
4y = 1
y0
y0
III. Résolution de l’équation différentielle y 00 + ! 2 y = 0
III. Résolution de l’équation différentielle y 00 + ! 2 y = 0
III. 1. Sans condition initiale
Théorème 3
Théorème 3
Soit l’équation y 00 + ! 2 y = 0, où ! est un nombre réel (w 6= 0) et où y est une fonction de la
Soit l’équation y 00 + ! 2 y = 0, où ! est un nombre réel (w 6= 0) et où y est une fonction de la
variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de
variable
la formeréelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de
la forme
y(x) = A cos !x + B sin !x
y(x) = A cos !x + B sin !x
où A et B sont des constantes réelles.
où A et B sont des constantes réelles.
Exemples.
Exemple:Résoudre les équations différentielles suivantes :
""
Exemple:
+3y
9𝑦0 +
= 2y
0 =0
y𝑦0000 +
0
y ""++003y
4𝑦
9𝑦 +
=2y
0 =0
y00 y = 0
y
y=0
y 00 + 2y 0 3y = 0
Réponses :
00
0
y 00+ 2y 0 3y = 0
y
2y + y = 0
y0000 2y00 + y = 0
y
4y + 4y = 0
y 0000 4y 00 + 4y = 0
y
4y + 8y = 0
y 0000 4y 00 + 8y = 0
y
2y + 2y = 0
y 00 2y 0 + 2y = 0
IV. Solutions vérifiant des conditions initiales
IV. Solutions vérifiant des conditions initiales
Exemple:
Déterminer la solution de l’équation y 0 + y = 2 qui vérifie y(0) = 5.
Exemple:
Déterminerlalasolution
solutionde
de l’équation
l’équation yy000++y4y
Déterminer
= = 20 qui vérifie
vérifie y(0)
y(0) =
= 35.et y 0 (0) = 0.
00
Déterminer la solution de l’équation y + 4y = 0 qui vérifie y(0) = 3 et y 0 (0) = 0.
III. 2. Avec conditions initiales
Théorème
L’équation différentielle 𝑦 "" + 𝜔 - 𝑦 = 0 admet une solution unique définie sur ℝ vérifiant
DEUX conditions initiales données.
Exemple :
On cherche les solutions de l’équation différentielle 4𝑦 "" + 9𝑦 = 0 avec :
𝑦
G
H
= 3 et 𝑦 " 𝜋 =
K
-
On sait que les solutions de cette équation sont de la forme :
𝑦 𝑥 = 𝑘@ cos
Ainsi on a :
H
-
𝑡 + 𝑘- sin
H
-
𝑡 avec 𝑘@ , 𝑘- ∈ ℝ
3
3
3
3
𝑦 " 𝑥 = − 𝑘@ sin 𝑡 + 𝑘- cos 𝑡
2
2
2
2
G
𝑘@ cos
𝑦
= 3
Terminale STI2D
H
Avec
donc
K
H
𝑦" 𝜋 =
− 𝑘@ sin
Terminale STI2D
-
-
G
HG
-
+ 2𝑘- sin
H
G
-
+
2 - 𝑘- cos
= 3
HG
-
=
K
-
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ainsi 𝑘@ = 3 et 𝑘- = 3
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Bilan : L’unique solution de l’équation ci-dessus avec les condition initiales est :
3
3
𝑦 𝑡 = 3 cos 𝑡 + 3 sin 𝑡
2
2
3