Équations Différentielles : Cours Terminale STI2D

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Equations différentielles
Exemple :
On considère l’équation différentielle : !"# $! % & ainsi on a !"% '$! on peut aussi écrire !"( % '$!)(*
On constate que ! ( % +,-. est une solution de cette équation car :
!"( % '$+,-. % '$!)(*
Existe-t-il d’autres solutions à cette équation ?
La réponse est oui, elles sont de la formes ! ( % /+,-. avec / une constante réelle.
Réponses :
Analyse
Equations différentielles
I. Introduction
Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une
fonction.Par exemple :
f0=f
2xf0(x)+3f(x)=x
Notation : par convention, on note souvent yau lieu de fce qui donne l’équation y0=y.
–Lorsque la dérivée intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 1er ordre.
Exemple : y03y=5x
–Lorsque la dérivée seconde intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 2ème
ordre. Exemple : 2xy00 2y+3=0
Remarque : On peut rencontrer (par exemple en physique) les notations dy
dx pou y0ou bien d2y dx2
pou y00 .
Exemple : Trouver des solutions des équations suivantes :
–y0=0
–y00 +y0+3y=6
–y0+y=7x+7
–Montrer que la fonction g(x)=xexest une solution particulière de l’équation y0+y=ex.
En Terminale, on étudie les équations du type y0+ay =bet y00 +!2y=0avec a,b,!réels.
II. Résolution de l’équation différentielle y0+ay =b
II.1. Cas de l’équation y0+ay =0
Théorème 1
Soit l’équation y0+ay =0,oùaest un nombre réel et où yest une fonction de la variable réelle
xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsdelaforme
y(x)=keax
où kest une constante réelle.
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y02y=0
y0+4y=0
10y0y=0
II.2. Cas général y0+ay =b
Théorème 2
Soit l’équation y0+ay =b,oùaet bsont des nombres réels (a6=0)etoùyest une fonction de
la variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctions
de la forme
y(x)=keax +b
a
où kest une constante réelle.
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Analyse
Equations différentielles
I. Introduction
Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une
fonction.Par exemple :
f0=f
2xf0(x)+3f(x)=x
Notation : par convention, on note souvent yau lieu de fce qui donne l’équation y0=y.
–Lorsque la dérivée intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 1er ordre.
Exemple : y03y=5x
–Lorsque la dérivée seconde intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 2ème
ordre. Exemple : 2xy00 2y+3=0
Remarque : On peut rencontrer (par exemple en physique) les notations dy
dx pou y0ou bien d2y dx2
pou y00 .
Exemple : Trouver des solutions des équations suivantes :
–y0=0
–y00 +y0+3y=6
–y0+y=7x+7
–Montrer que la fonction g(x)=xexest une solution particulière de l’équation y0+y=ex.
En Terminale, on étudie les équations du type y0+ay =bet y00 +!2y=0avec a,b,!réels.
II. Résolution de l’équation différentielle y0+ay =b
II.1. Cas de l’équation y0+ay =0
Théorème 1
Soit l’équation y0+ay =0,oùaest un nombre réel et où yest une fonction de la variable réelle
xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsdelaforme
y(x)=keax
où kest une constante réelle.
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y02y=0
y0+4y=0
10y0y=0
II.2. Cas général y0+ay =b
Théorème 2
Soit l’équation y0+ay =b,oùaet bsont des nombres réels (a6=0)etoùyest une fonction de
la variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctions
de la forme
y(x)=keax +b
a
où kest une constante réelle.
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Réponses :
II. 3. Unicité pour l’équation 01 # 20 % 3 et 0 45% 05
Parmi toutes les solutions de l’équation !"#6! % 7 qui sont de la forme ! ( % /+,8. #9
8 il en
existe une et une seule qui vérifie une condition particulière donnée : ! (:% !:
En effet, il suffit de déterminer la valeur du paramètre / pour vérifier la condition ! (:% !:.
On a donc :
! (:; % /+,8.<#9
8% !:
/+,8.<% !:'9
8
/ % !:'9
8+8.<
; ainsi ! ( % !:'9
8+,8 .,.<#9 8
Théorème 3
L’équation différentielle !1 # 6! % 7 admet une unique solution définie sur = et
vérifiant la condition initiale ! (:% !:.
Exemple : A partir de l’instant > % &, un condensateur de capacité C se décharge dans un circuit
de résistance R et d’inductance nulle (l’inductance est un phénomène électromagnétique).
On montre en physique, que la tension ?)>* aux bornes du condensateur vérifie à chaque instant
>, en seconde : ?"> # @
AB ? > % &. Déterminer la résistance R en fonction de la capacité C,
sachant qu’à l’instant > % C la tension ?)>* n’est plus que le cinquième de sa valeur initiale ?)&*.
Réponse :
Analyse
Equations différentielles
I. Introduction
Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une
fonction.Par exemple :
f0=f
2xf0(x)+3f(x)=x
Notation : par convention, on note souvent yau lieu de fce qui donne l’équation y0=y.
–Lorsque la dérivée intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 1er ordre.
Exemple : y03y=5x
–Lorsque la dérivée seconde intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 2ème
ordre. Exemple : 2xy00 2y+3=0
Remarque : On peut rencontrer (par exemple en physique) les notations dy
dx pou y0ou bien d2y dx2
pou y00 .
Exemple : Trouver des solutions des équations suivantes :
–y0=0
–y00 +y0+3y=6
–y0+y=7x+7
–Montrer que la fonction g(x)=xexest une solution particulière de l’équation y0+y=ex.
En Terminale, on étudie les équations du type y0+ay =bet y00 +!2y=0avec a,b,!réels.
II. Résolution de l’équation différentielle y0+ay =b
II.1. Cas de l’équation y0+ay =0
Théorème 1
Soit l’équation y0+ay =0,oùaest un nombre réel et où yest une fonction de la variable réelle
xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsdelaforme
y(x)=keax
où kest une constante réelle.
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y02y=0
y0+4y=0
10y0y=0
II.2. Cas général y0+ay =b
Théorème 2
Soit l’équation y0+ay =b,oùaet bsont des nombres réels (a6=0)etoùyest une fonction de
la variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctions
de la forme
y(x)=keax +b
a
où kest une constante réelle.
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Analyse
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y0+2y=3
y04y=1
III. Résolution de l’équation différentielle y00 +!2y=0
Théorème 3
Soit l’équation y00 +!2y=0,où!est un nombre réel (w6=0)etoùyest une fonction de la
variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsde
la forme
y(x)=Acos !x+Bsin !x
où Aet Bsont des constantes réelles.
Exemple:
y00 +3y0+2y=0
y00 y=0
y00 +2y03y=0
y00 2y0+y=0
y00 4y0+4y=0
y00 4y0+8y=0
y00 2y0+2y=0
IV. Solutions vérifiant des conditions initiales
Exemple:
Déterminer la solution de l’équation y0+y=2qui vérifie y(0) = 5.
Déterminer la solution de l’équation y00 +4y=0qui vérifie y(0) = 3 et y0(0) = 0.
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III. 1. Sans condition initiale
Exemples. Résoudre les équations différentielles suivantes :
!"" # D! % &
E!"" # D! % &;;
Réponses :
III. 2. Avec conditions initiales
Théorème
L’équation différentielle !"" # F-! % & admet une solution unique définie sur = vérifiant
DEUX conditions initiales données.
Exemple :
On cherche les solutions de l’équation différentielle E!"" # D! % & avec :
!G
H% I et !"J % K -
On sait que les solutions de cette équation sont de la forme :
! ( % /@LMN H
-> # /-NOP H -> avec /@Q /-R =
Ainsi on a :
!"( % ' I
$/@NOP I $> # I $/-LMN I $>
Avec !G
H% I
!"J % K
-
donc
/@LMN G
-# /-NOP G -% I
'H
-/@NOP HG -#H -/-LMN HG -%K -
ainsi /@% I et /-% I
Bilan : L’unique solution de l’équation ci-dessus avec les condition initiales est :
! > % I LMN I
$> # I NOP I $>
Analyse
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y0+2y=3
y04y=1
III. Résolution de l’équation différentielle y00 +!2y=0
Théorème 3
Soit l’équation y00 +!2y=0,où!est un nombre réel (w6=0)etoùyest une fonction de la
variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsde
la forme
y(x)=Acos !x+Bsin !x
où Aet Bsont des constantes réelles.
Exemple:
y00 +3y0+2y=0
y00 y=0
y00 +2y03y=0
y00 2y0+y=0
y00 4y0+4y=0
y00 4y0+8y=0
y00 2y0+2y=0
IV. Solutions vérifiant des conditions initiales
Exemple:
Déterminer la solution de l’équation y0+y=2qui vérifie y(0) = 5.
Déterminer la solution de l’équation y00 +4y=0qui vérifie y(0) = 3 et y0(0) = 0.
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Analyse
Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes :
y0+2y=3
y04y=1
III. Résolution de l’équation différentielle y00 +!2y=0
Théorème 3
Soit l’équation y00 +!2y=0,où!est un nombre réel (w6=0)etoùyest une fonction de la
variable réelle xdéfinie et dérivable sur R.Lessolutionsdecetteéquationsontlesfonctionsde
la forme
y(x)=Acos !x+Bsin !x
où Aet Bsont des constantes réelles.
Exemple:
y00 +3y0+2y=0
y00 y=0
y00 +2y03y=0
y00 2y0+y=0
y00 4y0+4y=0
y00 4y0+8y=0
y00 2y0+2y=0
IV. Solutions vérifiant des conditions initiales
Exemple:
Déterminer la solution de l’équation y0+y=2qui vérifie y(0) = 5.
Déterminer la solution de l’équation y00 +4y=0qui vérifie y(0) = 3 et y0(0) = 0.
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