Analyse Equations différentielles Equations différentielles Analyse I. Introduction Equations différentielles Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une fonction.Par exemple : f0 = f I. Introduction 2xf 0 (x) + 3f (x) = x Un équation différentielle est une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre, mais une fonction.Par exemple : Notation : par convention, on note souvent y au lieu de f ce qui donne l’équation y 0 = y. f0 = f 0 – Lorsque la dérivée intervient dans c’est 2xfl’équation, (x) + 3f (x) = xun équation différentielle du 1er ordre. Exemple : y 0 3y = 5x – Lorsque la dérivée seconde intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 2ème 0 Notation : par convention, ordre. Exemple : 2xy 00on note 2y + souvent 3 = 0 y au lieu de f ce qui donne l’équation y = y. dy d2 y 0 Remarque : On peut rencontrer (par exemple en physique) les notations pou y ou bien – Lorsque la dérivée intervient dans l’équation, c’est un équation différentielle du 1er ordre. dx dx2 pou y 00Exemple . : y 0 3y = 5x Exemple solutions des équations suivantesc’est : – Lorsque: Trouver la dérivéedes seconde intervient dans l’équation, un équation différentielle du 2ème 0 – yordre. = 0 Exemple : 2xy 00 2y + 3 = 0 Exemple : dy d2 y – y 00 + y 0 + 3y = 6 " (par exemple en physique) " Remarque : On peut rencontrer lesonnotations pou y𝑦0" ou bien On considère l’équation différentielle : 𝑦 + 2𝑦 = 0 ainsi on a 𝑦 = −2𝑦 peut aussi écrire 𝑥 = −2𝑦(𝑥) 0 – y + y = 7x + 7 dx dx2 00 x cette équation car : pou– yMontrer . 𝑦 𝑥 que On constate que = 𝑒la,-. est uneg(x) solution fonction = xe de est une solution particulière de l’équation y 0 + y = e x . ,-. suivantes Exemple : Trouver des solutions 𝑦 " 𝑥des=équations −2𝑒 = En Terminale, on étudie les équations du type y 0 −2𝑦(𝑥) + ay = :b et y 00 + ! 2 y = 0 avec a,b, ! réels. 0 – y = 0 Existe-t-il d’autres solutions à cette équation ? – y 00 + y 0 + 3y = 6 ,-.= b II. Résolution de l’équation différentielle y 0 𝑘𝑒 + ay La réponse est0 oui, elles sont de la formes 𝑦 𝑥 = avec 𝑘 une constante réelle. – y + y = 7x + 7 x – Montrer que la fonction particulière de l’équation y 0 + y = e x . II.1. Cas de l’équation y 0 + ayg(x) = 0 = xe est une solution 0 En Terminale, on étudie les équations du type y + ay = b et y 00 + ! 2 y = 0 avec a,b, ! réels. Théorème 1 0 II. Résolution de l’équation + ay =réel b et où y est une fonction de la variable réelle Soit l’équation y 0 + ay =différentielle 0, où a est unynombre x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme II.1. Cas de l’équation y 0 + ay = 0 y(x) = ke ax Théorème 1 où est une constante Soitk l’équation y 0 + ay =réelle. 0, où a est un nombre réel et où y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme Exemple: Résoudre les équations différentielles y(x) =suivantes ke ax : où k est une constante réelle. y0 2y = 0 y 0 + 4y = 0 Exemple: Résoudre les équations différentielles : 10y 0 y suivantes =0 II.2. Cas général y + ay = b 0 Théorème 2 y0 2y = 0 y 0 + 4y = 0 10y 0 y = 0 Soit l’équation y 0 + ay = b, où a et b sont des nombres réels (a 6= 0) et où y est une fonction de la variable réelle définie II.2. Cas général y 0 +x ay = b et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme Réponses : b y(x) = ke ax + Théorème 2 a Soitk l’équation y 0 + ay = b, où a et b sont des nombres réels (a 6= 0) et où y est une fonction de où est une constante réelle. la variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme b Terminale STI2D www.mathematic.fr y(x) =1ke ax + a où k est une constante réelle. Terminale STI2D 1 www.mathematic.fr 1 Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes : y0 2y = 0 y 0 + 4y = 0 10y 0 y=0 II.2. Cas général y 0 + ay = b Théorème 2 Soit l’équation y 0 + ay = b, où a et b sont des nombres réels (a 6= 0) et où y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme b Analyse y(x) = ke ax + a où k est une constante réelle. Exemple: Résoudre les équations différentielles suivantes : Terminale STI2D 1 y 0 + 2y = 3 www.mathematic.fr 4y = 1 y0 Réponses : III. Résolution de l’équation différentielle y 00 + ! 2 y = 0 Théorème 3 Soit l’équation y 00 + ! 2 y = 0, où ! est un nombre réel (w 6= 0) et où y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme y(x) = A cos !x + B sin !x où A et B sont des constantes réelles. Exemple: II. 3. Unicité pour l’équation 𝒚′ + 𝒂𝒚 = 𝒃 et 𝒚 𝒙 = 𝒚 y 00 + 3y 0 +𝟎2y = 0𝟎 9 Parmi toutes les solutions de l’équation 𝑦 " 00+ 𝑎𝑦 = 𝑏 qui sont de la forme 𝑦 𝑥 = 𝑘𝑒 ,8. + il en 8 y y=0 existe une et une seule qui vérifie une condition particulière donnée : 𝑦 𝑥: = 𝑦: 00 0 y + 2y 3y = 0 En effet, il suffit de déterminer la valeur du paramètre 𝑘 pour vérifier la condition 𝑦 𝑥: = 𝑦: . 00 0 9 𝑦 𝑥: = 𝑘𝑒 ,8.< + =y𝑦: 2y + y = 0 8 00 90 9 9 0 ,8.< y 𝑘𝑒 = 𝑦 −4y + 4y = ainsi On a donc : 𝑦 𝑥 = 𝑦 − 𝑒 ,8 .,.< + : 8 y 00 4y 09+ 8y = 0 𝑘 = 𝑦: − 𝑒 8.< 8 y 00 2y 0 + 2y = 0 Théorème 3 : 8 8 L’équation différentielle 𝑦′ + 𝑎𝑦initiales = 𝑏 admet une unique solution définie sur ℝ et IV. Solutions vérifiant des conditions vérifiant la condition initiale 𝑦 𝑥: = 𝑦: . Exemple : A partir de l’instant 𝑡 = 0, un condensateur de capacité C se décharge dans un circuit Exemple: deDéterminer résistance Rla et d’inductance nulle (l’inductance est vérifie un phénomène solution de l’équation y 0 + y = 2 qui y(0) = 5. électromagnétique). 0 OnDéterminer montre en laphysique, la tensiony 00𝑢(𝑡) du condensateur à chaque instant solution que de l’équation + 4yaux = 0bornes qui vérifie y(0) = 3 et yvérifie (0) = 0. 𝑡, en seconde : 𝑢 " 𝑡 + @ AB 𝑢 𝑡 = 0. Déterminer la résistance R en fonction de la capacité C, sachant qu’à l’instant 𝑡 = 1 la tension 𝑢(𝑡) n’est plus que le cinquième de sa valeur initiale 𝑢(0). Réponse : 2 Exemple:Résoudre Résoudreles leséquations équations différentielles différentielles suivantes suivantes :: Exemple: 0 + 2y = 3 yy0 + 2y = 3 4y = 1 4y = 1 y0 y0 III. Résolution de l’équation différentielle y 00 + ! 2 y = 0 III. Résolution de l’équation différentielle y 00 + ! 2 y = 0 III. 1. Sans condition initiale Théorème 3 Théorème 3 Soit l’équation y 00 + ! 2 y = 0, où ! est un nombre réel (w 6= 0) et où y est une fonction de la Soit l’équation y 00 + ! 2 y = 0, où ! est un nombre réel (w 6= 0) et où y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de variable la formeréelle x définie et dérivable sur R. Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme y(x) = A cos !x + B sin !x y(x) = A cos !x + B sin !x où A et B sont des constantes réelles. où A et B sont des constantes réelles. Exemples. Exemple:Résoudre les équations différentielles suivantes : "" Exemple: +3y 9𝑦0 + = 2y 0 =0 y𝑦0000 + 0 y ""++003y 4𝑦 9𝑦 + =2y 0 =0 y00 y = 0 y y=0 y 00 + 2y 0 3y = 0 Réponses : 00 0 y 00+ 2y 0 3y = 0 y 2y + y = 0 y0000 2y00 + y = 0 y 4y + 4y = 0 y 0000 4y 00 + 4y = 0 y 4y + 8y = 0 y 0000 4y 00 + 8y = 0 y 2y + 2y = 0 y 00 2y 0 + 2y = 0 IV. Solutions vérifiant des conditions initiales IV. Solutions vérifiant des conditions initiales Exemple: Déterminer la solution de l’équation y 0 + y = 2 qui vérifie y(0) = 5. Exemple: Déterminerlalasolution solutionde de l’équation l’équation yy000++y4y Déterminer = = 20 qui vérifie vérifie y(0) y(0) = = 35.et y 0 (0) = 0. 00 Déterminer la solution de l’équation y + 4y = 0 qui vérifie y(0) = 3 et y 0 (0) = 0. III. 2. Avec conditions initiales Théorème L’équation différentielle 𝑦 "" + 𝜔 - 𝑦 = 0 admet une solution unique définie sur ℝ vérifiant DEUX conditions initiales données. Exemple : On cherche les solutions de l’équation différentielle 4𝑦 "" + 9𝑦 = 0 avec : 𝑦 G H = 3 et 𝑦 " 𝜋 = K - On sait que les solutions de cette équation sont de la forme : 𝑦 𝑥 = 𝑘@ cos Ainsi on a : H - 𝑡 + 𝑘- sin H - 𝑡 avec 𝑘@ , 𝑘- ∈ ℝ 3 3 3 3 𝑦 " 𝑥 = − 𝑘@ sin 𝑡 + 𝑘- cos 𝑡 2 2 2 2 G 𝑘@ cos 𝑦 = 3 Terminale STI2D H Avec donc K H 𝑦" 𝜋 = − 𝑘@ sin Terminale STI2D - - G HG - + 2𝑘- sin H G - + 2 - 𝑘- cos = 3 HG - = K - www.mathematic.fr ainsi 𝑘@ = 3 et 𝑘- = 3 www.mathematic.fr Bilan : L’unique solution de l’équation ci-dessus avec les condition initiales est : 3 3 𝑦 𝑡 = 3 cos 𝑡 + 3 sin 𝑡 2 2 3
