FI GPE REGULATION INDUSTRIELLE Habib AOUFOUSSI, Ing., M.Sc.A, Ph.D S1 Professeur de l’Enseignement Supérieur Département de Génie électrique REGULATION INDUSTRIELLE Objectifs généraux A l’issue de ce cours, les étudiants seront en mesure de : Identifier les composantes d’une boucle de régulation et les liens fonctionnels entre le système de commande et le procédé Connaître le vocabulaire associée à la technologie des systèmes de commande (chaîne de mesure, organes de décision, chaîne de contrôle) Modéliser des systèmes simples et les représenter Analyser le comportement dynamique d’un procédé Définir les concepts de base de la régulation Choisir une stratégie de régulation, de faire le réglage du régulateur P.I.D. et mettre en œuvre une boucle de régulation Régulation industrielle 2 Table des matières Chapitre 1: Notions générales Chapitre 2 : Représentation des systèmes – schéma T.I. Chapitre 3 : Modélisation et représentation des systèmes Chapitre 4 : Analyse des systèmes Chapitre 5 : Synthèse des systèmes de commande Annexes : Outils mathématiques Régulation industrielle 3 Chapitre 1 : Notions générales Objectifs généraux Identifier le rôle de la commande et définir les composantes du système de commande Maîtriser la terminologie des systèmes de commande Faire la distinction entre les différentes stratégies de commande Justifier l’intérêt économique de l’automatisation Plan 1.1 : Structure et composantes des systèmes de commande 1.2 : Terminologie des systèmes de commande 1.3 : Stratégies des systèmes de commande 1.4 : Revue historique et intérêts économiques de la commande Régulation industrielle 4 1. Structure et composants des systèmes de commande 1.1 L’automatisation, c’est pourquoi ? Tout processus industriel vise à produire le produit recherché, par transformation des flux de matières premières et/ou d’énergie en flux de produits utiles, de qualité et à moindre coût, dans les meilleures conditions possibles de sécurité et de respect de l’environnement et ce, indépendamment des contraintes de fonctionnement auxquelles il sera soumis. Perturbations Matières premières Procédé Énergie Produit Pertes Toutefois, toute exploitation d’un processus industriel pose, à la fois, un problème de sécurité du personnel et de matériel et un problème économique. En effet : d’une part, les procédés présentent des dangers de nature diverses (chimique, mécanique, électrique, etc.) et d’autre part, l’arrêt de tout ou une partie d’un installation induit une perte économique plus au moins importante (quelques centaines voire plusieurs milliers de dirhams par minute). Régulation industrielle 5 1. Structure et composants des systèmes de commande Les procédés industriels sont soumis également à différents types de contraintes industrielles , à savoir: Contraintes mécaniques : poussières, vibrations, fatigue des pièces mécaniques, destruction des soudures, la chaleur, l’humidité, corrosion, explosions (mines), etc. Contraintes électriques : défauts de l’alimentation électrique (surtensions, coupures ou µcoupures), perturbations électromagnétiques (le 50 HZ et ses harmoniques, les signaux impulsionels provenant des modifications brutales du régime établi d’un circuit ) etc. Contraintes de distance: pertes de puissance et distorsions du signal dues aux imperfections du support de transmission, parasitage, coût du support de transmission, etc. Régulation industrielle 6 1. Structure et composants des systèmes de commande En somme, chacun des systèmes composant l’unité industrielle doit réaliser des objectifs de production assignés et ce, en dépit des obstacles agissant sur lui. Objectifs de production : Sécurité de l’installation Qualité, coût, quantité Respect de l’environnement Obstacles et contraintes Perturbations externes charges, conditions opératoires systèmes amont et/ou aval Perturbations internes variations des paramètres du procédé, vieillissements des équipements Bruit de mesure Contraintes industrielles Régulation industrielle 7 1. Structure et composants des systèmes de commande 1.2: L’automatisation, c’est comment ? Comment combattre les perturbations ? Comment faire fonctionner le procédé de façon optimale ? Deux questions s’imposent: Solution ? 1. Surveiller continuellement la grandeur réglée. 2. Comparer avec les objectifs désirés et décider de la commande à appliquer. 3. Agir sur la grandeur réglante. Comparer & décider Perturbations Agir Consigne Commande Actionneur Grandeur réglante Grandeur réglée Procédé Mesurer Grandeur mesurée Capteur Fonctions de base Rôle ? Comment ? Mesure Surveiller l’évolution du procédé Décision Comparer avec les objectifs désirés et élaborer des ordres mesurer la (es) Lire les mesures, les grandeur(s) réglée(s) comparer avec les objectifs (sorties du systèmes) désirés et générer la commande Régulation industrielle Action Agir sur le procédé Modifier la (es) grandeur(s) réglante (s) (entrées du système) 8 1. Structure et composants des systèmes de commande Limites de la commande manuelle: Perturbations fréquentes et/ou Procédé complexe Solution: L’opérateur ne pourra pas assurer convenablement les 3 fonctions de base Dégradation des performances Remplacer l’opérateur par un système de commande: C’est la commande automatique. Structure de la commande automatique Comparer & décider Perturbations Agir Consigne Contrôleur Commande Actionneur Grandeur réglante Grandeur réglée Procédé Mesurer Grandeur mesurée Capteur Régulation industrielle 9 1. Structure et composants des systèmes de commande La raison d’être de la conduite automatique se résume en ce qui suit : combattre les perturbations (objectif régulation) maitriser la dynamique de l’écart entre la consigne et la sortie du système commandé (objectif poursuite) Le but ultime est d’améliorer la productivité, la qualité des produits et la reproductibilité des caractéristiques. Régulation industrielle 10 1. Structure et composants des systèmes de commande Exemple : Régulation de niveau Agir Mesurer Obstacles Objectifs : Sécurité de l’installation L = Lref Minimiser l’énergie consommée Perturbations Fs Bruits de mesure Régulation industrielle 11 1. Structure et composants des systèmes de commande Exemple : régulation de niveau Le niveau du fluide dans le réservoir varie en fonction du débit d'alimentation Fe et du débit utilisateur Fs. La grandeur réglée est le niveau L du liquide dans le réservoir. Il doit suivre la consigne du régulateur Lref . Fe LCV L u LRef Fs La chaîne de régulation comprend : Le transmetteur de niveau, symbolisé par LT, mesure L(t) à chaque instant. Le correcteur C génère le signal de commande, en fonction de l’écart e(t) = Lref - L(t); le but étant d’avoir L(t)= Lref à tout instant en dépit des fluctuations du débit de sortie Fs La vanne de réglage, symbolisé par (LCV), fait varier le débit d’alimentation Fe en fonction de la commande u(t) générée par le correcteur. Régulation industrielle 12 1. Structure et composants des systèmes de commande 1.3 Composants de base des systèmes de commande Les composants requis pour prendre en charge les fonctions de base système de commande sont: du Capteurs / transmetteurs: Mesurer les grandeurs représentatives de l’état du procédé industriel . Actionneurs : Agir sur les grandeurs réglantes du procédé industriel à commander. Organes de prise de décision : régulateur ou contrôleur (système de commande en général) Régulation industrielle 13 1. Structure et composants des systèmes de commande 1.3.1: Capteurs et transmetteurs Capteurs : C’est un organe de prélèvement d'information qui élabore à partir d'une grandeur physique, une autre grandeur physique de nature électrique (en général), et ce; à des fins de mesure ou de commande. Grandeurs d’influence (température, humidité, pression, etc.) gi m Capteurs Mesurande y Grandeur électrique En première approximation, on a (développement limité ordre 1): Si : On a : Régulation industrielle 14 1. Structure et composants des systèmes de commande Si la dynamique du capteur n’est pas négligeable, celle-ci peut être approximée par un système du 1er ordre avec ou sans retard (ou tout au plus par un système de second ordre), soit. Avec: t : constante du temps, Km : gain du capteur et r retard. Transmetteur : permet de convertir le signal de sortie du capteur en un signal de mesure standard (4-20 mA, 3-15 PSI) et assure ainsi le lien entre le capteur et le système de contrôle commande. Caractéristiques de capteur / transmetteur • Domaine nominal d’emploi : conditions normales d’utilisation du capteur. • Étendue de mesure : différence des valeurs extrêmes de la plage du mesurande. • Sensibilité : • Précision : incertitudes sur l’information délivrée par le capteur dues aux imperfections du capteur, à l’effet des grandeurs d’influences (ou aux erreurs de lecture). 15 1. Structure et composants des systèmes de commande N.B.: l’étalonnage du capteur est l’ensemble d’opérations permettent d’expliciter, sous forme graphique ou algébrique, la relation entre les valeurs de la mesurande et celles de la grandeur électrique de sortie. Les capteurs couramment utilisés concernent la mesure des grandeurs physiques suivantes: Température, pression, niveau, débit, position, vitesse, etc. (voir cours Capteurs) 1.3.2 Actionneurs : Vanne Outre les moteurs électriques, la vanne constitue le principal actionneur utilisé, comme organe de réglage, dans les différentes boucles de régulation telles que la régulation de niveau, de débit, de pression et de température. Symbole : Vanne manuelle Electrovanne Vanne pneumatique Régulation industrielle Vanne pneumatique avec positionneur 16 1. Structure et composants des systèmes de commande Constitution d’une vanne : Les principaux éléments qui composent une vanne de régulation sont : • le corps de la vanne qui assure le réglage du débit. • le servomoteur qui assure la conversion du signal de commande en mouvement de la vanne. • et le positionneur qui régule l’ouverture de la vanne en accord avec le signal de commande. Caractéristique intrinsèque d’une vanne Cette relation peut être essentiellement de type linéaire, (bleu), égal pourcentage (rouge) ou très rapide (vert). Régulation industrielle 17 1. Structure et composants des systèmes de commande Capacité de débit de la vanne 1.3.3 : Régulateurs Le régulateur standard, le plus utilisé dans l’industrie, est le régulateur PID (P pour l’action Proportionnel, I pour l’action Intégrale et D pour l’action Dérivée). Il permet de régler, à l’aide de ces trois actions, les performances (rapidité, stabilité et précision) du système en boucle fermée. Régulation industrielle 18 1. Structure et composants des systèmes de commande Constitution : Le régulateur PID comporte les composants suivants : - le réglage de la consigne (interne ou externe) - un comparateur calculant l'écart entre une consigne et un signal de mesure, - les actions PID réglables, - les dispositifs d'affichage de la consigne, de la mesure et de la commande (sortie) - et le mode de réglage : manuel ou automatique. Actionneur Procédé industriel Capteur Régulation industrielle 19 1. Structure et composants des systèmes de commande La technologie peut être électrique (analogique ou numérique) ou pneumatique (voir hydraulique). Les signaux d'entrée et de sortie sont normalisés (4 - 20 mA ou 0,2 -1 bar). Les régulateurs utilisent l’électronique analogique à base d’amplificateurs opérationnels. Toutefois , et bien que ces régulateurs électroniques soient encore nombreux dans l’industrie, la technologie numérique prend de plus en plus le pas (pour plus de détails voir chapitre 6). Equation de base: L’équation de base du régulateur P.I.D s’écrit: où Kc, Ti et Td désignent, respectivement, le gain de l’action proportionnelle, la constante de temps de l’ action intégrale et celle de l’action dérivée du régulateur PID. Régulation industrielle 20 1. Structure et composants des systèmes de commande 1.3.4 : Autres composantes A cela s’ajoute les circuits d’interfaçage et les organes de dialogue nécessaires pour assurer la liaison entre ces différentes composantes du système de commande (y compris avec l’opérateur humain), soient: Circuits d’interface dont le rôle est d’assurer la modification des signaux et leurs adaptation de type amplification, filtrage , multiplexage, linéarisation, conversion CAN ou CNA, etc. Supports de transmission (câble en cuivre, câbles téléphoniques, fibre optique ) : Assurer le transfert des informations dans les meilleurs conditions de sécurité possibles. Organes de dialogue : Échange d’informations avec l’opérateur (afficheurs, pupitres de commande, etc.). Organes de dialogue Opérateur / réseaux Perturbations Régulateurs Circuits Interfaces Circuits Interfaces Supports de Transmission Supports de Transmission Actionneurs & Interfaces Procédé Capteurs/ transmetteurs i Circuits Interfaces 21 1. Structure et composants des systèmes de commande Il est à noter que d’autres instruments sont introduits pour prendre en charge d’autres fonctions dont notamment: Fonction de sécurité : Ce sont des instruments destinés à sécuriser le fonctionnement de l’installation tels que les relais à seuil, les alarmes, etc. Fonction de tendance : Ce sont des indicateurs permettant de donner des indications sur l’évolution du système à contrôler. Fonction de mémorisation : Il s’agit des enregistreuses permettant de stocker les données sur le fonctionnement du système. Fonction de calcul : Il s’agit des blocs de calcul (+, *, /, , , etc.) permettant de corriger les mesures et compenser les effets des grandeurs influentes. i Régulation industrielle 22 2. Terminologie des systèmes de commande 2.1: Grandeur et signal Selon les normes IEEE Grandeur ou variable : Définition : C’est une entité dont la valeur peut être modifiée et en général mesurée. Exemples : Température, Niveau, Pression, Vitesse, Courant, Tension etc.. Signal : Définition: C’est une grandeur mesurable porteuse d’informations qui assure la communication entre les différentes parties d’un même système ou entre plusieurs systèmes. Nature de signaux : Pneumatique / hydraulique (0,2 – 1 bar), Électrique (4 - 20 mA, 0-10 V) Types des signaux : analogique / numérique Besoins industriels : Conversion des signaux Pneumatique Électrique Analogique Numérique Régulation industrielle 23 2. Terminologie des systèmes de commande 2.2: Système Définition: Ensemble d’éléments associés pour réaliser l’objectif de production recherché par transformation des flux de matières premières et/ou d’énergie en flux de produits utiles. Perturbations Produits Matières premières Procédé Énergie Pertes : • matières premières • énergie Trois questions s’imposent : Quels sont les objectifs de production ? Quels sont les obstacles et contraintes ? Comment fonctionne le procédé ? 24 2. Terminologie des systèmes de commande 2.3 : Classification des variables Deux types de variables sont à distinguer, à savoir : Les variables indépendantes qui traduisent l’influence du milieu extérieur sur le système. Elles se répartissent à leur tour en deux classes : Les variables manipulées dont les valeurs sont fixées par le système de commande. Les perturbations qui agissent de façon indésirable et imprévisible sur le procédé. Ces perturbations peuvent être de type externe ou internes Les variables dépendantes qui décrivent le comportement du procédé. On distingue: Les variables d’état permettent de prédire le comportement futur du procédé Les variables de sortie traduisent l’influence du système sur le milieu extérieur. La variable de sortie est mesurée si un capteur est installé pour la mesurer. Elle est contrôlée si la variable est maintenue autour d’une valeur dite de référence (consigne) à l’aide d’un système de commande. 25 2. Terminologie des systèmes de commande Exemple : Régulation de niveau Identifier et classer les variables du système régulation de niveau ci après. Fe L LCV u Fs LRef Variable dépendante: L Variables indépendantes : Fe & Fs - variable d’entrée : Fe - perturbations : Fs - variable de sortie : L - mesurable et contrôlée Régulation industrielle 26 2. Terminologie des systèmes de commande 2.4 Classification des systèmes Systèmes monovariables dits aussi systèmes mono-entrée mono sortie: se sont des systèmes à une seule entrée et à une seule sortie (peu importe le nombre de perturbations. Perturbations u p1 … pk y Système monovriable Entrée (scalaire) : u Sortie (scalaire) : y Perturbations : P =[p1, .., pk) T Systèmes multivariables dits aussi systèmes multi-entrées multi-sorties u1 u2 um Perturbations … p p1 k … Système multivariable … y1 y2 yn Entrées (vecteur) : U = [u1, .., um) T Sorties (vecteur) : Y =[y1, .., yn) T Perturbations (vecteur) : P =[p1, .., pk) Régulation industrielle 27 T 2. Terminologie des systèmes de commande 2.5 : Description des procédés Modèle mathématique : c’est l’ensemble des équations mathématiques reliant les variables dépendantes aux variables indépendantes. Ces équations peuvent être algébriques et/ou différentielles : - Équations algébriques : le système est dit statique en ce sens que sa réponse est instantanée. Exemple : Résistance électrique R i(t) = U(t)/R -Équations différentielles (d/dt) : le système est dynamique en ce sens que sa réponse dépend non seulement des entrées mai aussi des réponses antérieures. Exemples : Réservoir, moteur etc.. Ces équations différentielles peuvent être : * linéaires : le système est alors linéaire (obéit au théorème de superposition) * non linéaires : Système non linéaire ( le théorème de superposition ne s’applique pas) Régulation industrielle 28 2. Terminologie des systèmes de commande Exemples de systèmes : Systèmes du 1er ordre : Systèmes du second ordre : Avec: Avec: N.B: Systèmes avec retard: Régulation industrielle 29 2. Terminologie des systèmes de commande 2.5: Notion de commande Quoi ? La commande est, par définition, l’action délibérée appliquée à un procédé en vue de réaliser des objectifs fixés. Les performances recherchées se traduisent généralement en termes d’écart e(t) entre la sortie du procédé à contrôler et une valeur désirée pour cette sortie appelée consigne. Suivi de la consigne : Lorsque la consigne varie, dans le temps, l’objectif est que la sortie du système commandé la suive autant que faire se peut, soit : e(t) nulle ou proche de zéro à tout instant. Ce qui revient à maîtriser la dynamique de l’écart entre la consigne et la sortie du système commandé: c’est l’objectif asservissement. Réjection du perturbations: La prise en compte des effets de perturbations sur les objectifs de poursuite n’apparait pas clairement dans les spécifications de poursuite de la consigne. C’est pourquoi qu’on introduit un second objectif dit de régulation. Celui-ci traduit l’aptitude du système de commande à rejeter les perturbations. Régulation industrielle 30 2. Terminologie des systèmes de commande Performances des systèmes de commande • Performances en régime permanent • Performances en régime transitoire Signal de référence ou consigne ? • Quoi ? La consigne résume les performances à atteindre. • Comment générer la consigne Ref ? Ref - La consigne est constante ou évolue par paliers Régulation, Système régulé, Régulateur Exemple : Régulation de niveau t Régulation Ref - La consigne n’est pas constante et peut être assujettie à suivre une grandeur physique. Asservissement, système asservi, contrôleur t Exemple : Réacteur batch Asservissement Régulation industrielle 2. Terminologie des systèmes de commande Comment générer la commande u(t) ? Outre la consigne, quelles informations pouvant être utilisées pour générer la commande u(t)? 1) 2) U(t) ne dépend ni de Y(t) ni de P(t) U(t) ne dépend que de Y(t) P(t) P(t) U(t) Ref Y(t) - Procédé Régulateur U(t) Procédé Y(t) Capteur Schéma de Commande en boucle ouverte Schéma de commande en contre réaction 3) U(t) : ne dépend que de P(t) 1) U(t) dépend de Y(t) et de P(t) P(t) Capteurs Ref U(t) Régulateur Procédé P(t) Capteurs Y(t) Ref Régulateur U(t) Y(t) Procédé Capteurs Schéma de commande par anticipation Schéma de commande en contre réaction et avec anticipation Régulation industrielle 32 3. Stratégies de commande 3.1: Généralités • Commande par anticipation • Commande avec contre réaction • Autres approches: cascade, commande de rapport, etc.. 3.2: Commande par anticipation Principe de fonctionnement : • Que devient la réponse du système lorsque les perturbations arrivent ? • Comment réagit le contrôleur ? À quelle moment ? Perturbations mesurables Perturbations non mesurables t Procédé Capteurs Contrôleur Détection Compensation Pas de détection t Pas de compensation Avantages : Le contrôleur détecte les perturbations mesurables aussitôt qu’elles arrivent et les compense. Limites : Aucune réaction vis à vis des perturbations non mesurables. 33 3. Stratégies de commande 3.3: Commande avec contre réaction Principe de fonctionnement : • • Que devient la réponse du système lorsque les perturbations arrivent ? Comment réagit le contrôleur ? À quelle moment ? Arrivée des perturbations mesurables ou non mesurables Procédé t Capteur de sortie t Contrôleur t • Aucune action Régulation industrielle • Compense toutes les perturbations 34 3. Stratégies de commande 3.3: Commande avec contre réaction et anticipation Principe de fonctionnement : • Anticipation : permet de mesurer les principales perturbations et de les compenser. • Contre réaction : Mesure la sortie, la compare à la consigne et compense l’ensemble des perturbations. Perturbations Capteurs Pm(t) Ref (t) Contrôleur U(t) mesurables non mesurables Y(t) Actionneur Procédé Capteurs Avantages ? Limites ? Régulation industrielle 35 3. Stratégies de commande 3.5: Autres stratégies de commande Régulation cascade: se compose de 2 boucles imbriquées dites boucle externe (maître) et boucle interne (esclave). La boucle interne contrôle une grandeur intermédiaire. La boucle externe contrôle la grandeur réglée visée par la régulation. Sa commande n’est que la consigne de Consignes la boucle interne. Perturbations Ref (t) Contrôleur maître Contrôleur esclave U(t) Actionneur Procédé Y(t) Boucle interne Capteur Boucle externe Capteur 2 Types : Régulation cascade sur la grandeur réglante : la variable intermédiaire contrôlée par la boucle interne n’est autre que la grandeur réglante du système. Régulation cascade sur une grandeur intermédiaire : celle-ci ne coïncide pas avec la grandeur réglante du système. 36 3. Stratégies de commande Exemple 1: Régulation cascade sur la grandeur réglante d’un moteur CC Perturbations 𝛀𝑹𝒆𝒇 𝑰𝑹𝒆𝒇 Régulateur de vitesse Moteur à CC Régulateur de courant d’induit U Circuit de puissance Bloc électrique I Bloc mécanique 𝛀(𝒕) Boucle interne de régulation du courant induit Capteur de courant d’induit Boucle externe de régulation de la vitesse Capteur de vitesse Le moteur à cc se compose de 2 blocs (voir chapitre 3): le bloc électrique et le bloc mécanique Comme la constante de temps électrique est assez faible que la constante de temps mécanique, la boucle interne contrôle le courant d’induit I(t) (grandeur réglante de la vitesse), la boucle externe contrôlant la vitesse du moteur W(t). Pr. Aoufoussi Commande des procédés industriels 37 3. Stratégies de commande Exemple 1: Régulation cascade sur une grandeur intermédiaire d’un four sécheur Le taux d’humidité du produit à sécher dépend du débit d’air chaud et de la durée de séjour dans le sécheur. Cette dernière est à son tour fixée par la vitesse du convoyeur (vis d’Archimède ). Comme la température du produit à l’intérieur du sécheur est un bon indicateur sur son taux d’humidité , la vitesse de la vis est réglée en fonction de la température mesurée du produit : c’est la boucle interne. La boucle externe permet de régler la consigne de la boucle interne en fonction du taux d’humidité du produit mesuré à la sortie du sécheur. Produit à sécher w1 MI C1 w2 TI C2 MY Sécheur évacuation air humide M 3~ Boucle interne TT 2 Boucle externe Régulation industrielle Convoyeur à hélice MT 1 Produit séché 38 3. Stratégies de commande Utilisation de la régulation cascade : La stratégie de régulation cascade est utilisée lorsque le système présente une grande inertie vis à vis d’une perturbation sur la grandeur réglante ou sur une grandeur intermédiaire. Régulation de rapport (proportion): Cette approche est utilisée à chaque fois qu’il nécessaire de fixer le rapport entre 2 grandeurs réglées x1 et x2 ( x2/x1 constant). L’une de ces grandeurs, dite grandeur pilote, est utilisée pour calculer la consigne de la boucle de régulation de la seconde grandeur. Exemple: Régulation de combustion Pour avoir une combustion complète, le rapport entre le débit d’air et le débit gaz doit être fixé à une valeur connue à priori (par exemple Fair = 5.Fgaz) Régulation industrielle 39 3. Stratégies de commande FI C1 w1 Fgaz x1 FT 1 x FY 1 k Fg Le schéma de commande de rapport, donné ci-contre, permet de fixer la consigne du débit de gaz en fonction du débit d’air mesuré. Brûleur Chambre de combustion Fa Fair FI C2 x2 FT 2 w2 Régulation industrielle 40 4. Revue historique & intérêt économique 4.1: Revue historique Ère de l’artisanat : − Outils et produits fabriqués par des artisans − Énergie animale Ère de la mécanisation : - Outils et produits fabriqués par des machines - Énergie produite par des machines - Machines pilotées manuellement par l’homme. Ère de l’automatisation : - Outils et produits fabriqués par des machines auto pilotées - Énergie produite par des machines elles-mêmes auto-pilotées N.B.: James watt (1788) inventa le premier système de régulation de la vitesse de la turbine. 41 4. Revue historique & intérêt économique Maxwell (1868) analysa du problème de commande du télescope Nyquist (1930) : conçut un amplificateur avec contre réaction (réponse en fréquence) Black (1934) et Bode (1945) : généralisèrent la méthode de Nyquist Evans (1948) : proposa la technique du lieu des racines Applications des techniques classiques : Systèmes : Avions, systèmes de guidage, turbines Régulateurs simples: P.I.D. Technologies : hydrauliques, pneumatiques, électronique à tubes Régulation industrielle 42 4. Revue historique & intérêt économique Bellman (1950), Pontryagine (1962), Kalman (1963) : Commande par retour d’état Rosenbrock (1974) : Extension des techniques fréquentielles aux systèmes multivariables Astrom (1971), Landau (1974) : techniques adaptatives Commande numérique Technologie numérique : introduction de l’ordinateur et de l’automate programmable dans la boucle de régulation Autres approches : Commande non linéaire Commande des systèmes avec retard Commande des systèmes avec contraintes Commande des systèmes hybrides Systèmes experts, Intelligence artificielle Technologies : Capteurs intelligents, Réseaux locaux industriels, Système de supervision. Applications : L’automatisation a été généralisée à la quasi totalité des systèmes. Régulation industrielle 43 4. Revue historique & intérêt économique 4.2: Intérêt économique L’automatisation des systèmes permet : - d’ opérer les systèmes de façon sécuritaire tout en respectant les contraintes environnementales. - d’améliorer la qualité des produits et la reproductibilité des caractéristiques et partant le rendement et la productivité des procédés industriels. Applications : La quasi totalité des procédés sont équipés de système de commande : - Centrales de productions d’énergie électrique Raffineries de pétrole, industries chimiques Usines de valorisation des mines, Cimenteries, Systèmes de transport (véhicules, trains, bateaux, avions) Sucreries, Industries Agro-alimentaires, etc… Marché mondiale de l’automatisation : - Marché mondial des équipements de commande : environ 46 milliards $ US - Taux de progression = 6 à 8 % 44 5: Outils mathématiques 5.1 : Transformée de Laplace 5.2 : Transformée inverse de Laplace 5.3 : Application - Résolution des équations différentielles linéaires 5.4 : Linéarisation des systèmes non linéaires Outils mathématiques 45 5.1: Transformée de Laplace Pourquoi ? C’est une méthode différentielles linéaires. simple de résolution des systèmes d’équations Elle permet de représenter les systèmes (Fonctions de transfert, diagramme fonctionnel) Définition ? Soit la fonction f (t): Outils mathématiques 46 5.1: Transformée de Laplace Exemples : Echelon unitaire u(t) : Rampe r(t) : Fonction exponentielle f(t) : N.B. Utiliser la table de Laplace. Outils mathématiques 47 5.1: Transformée de Laplace Extrait de la table de Laplace Outils mathématiques 48 5.1: Transformée de Laplace Propriétés: Linéarité : Dérivation dans le domaine temporel : Dérivation dans le domaine Laplace: Intégration Outils mathématiques 49 5.1: Transformée de Laplace Translation dans le temps (retard) Translation dans le plan complexe Théorème de la valeur initiale: Si les limites mises en jeu existent. Théorème de la valeur finale: Outils mathématiques 50 5.2: Transformée de Laplace inverse Définition ? Soit la fonction F(s): Avec : c > Re(singularités de F(s)) Méthodes de calcul de la transformée de Laplace inverse: • Table de Laplace pour les fonctions usuelles (voir 5.3.3) • Méthode de la décomposition en éléments simples applicables aux fonctions sous forme de fractions rationnelle Outils mathématiques 51 5.2: Transformée de Laplace inverse Méthode de la décomposition en éléments simples Soit: Etape 1: Factoriser D(s) Etape 2: Décomposer F(s) en éléments simples 52 5.2: Transformée de Laplace inverse Etape 3: Calculer la transformée de Laplace inverse f(t) Outils mathématiques 53 5.2: Transformée de Laplace inverse • Cas d’une paire de pôles complexe conjugués simples: La transformée inverse de Laplace s’écrit: • En présence du retard: Exemple: Calculer la transformée de Laplace inverse des fonctions suivantes: 54 5.3: Application : Résolution des équations différentielles linéaires Pourquoi ? Les dynamiques des systèmes peuvent être représentés, en première approximation, par des équations différentielles ordinaires linéaires EDOL. Les équations différentielles ordinaires associent les dérivées (d/dt, et éventuellement leur intégrales ∫ ) des variables dépendantes des systèmes et les variables indépendantes agissant sur lui. EDOL Outils mathématiques 55 5.3: Application : Résolution des équations différentielles linéaires Un système d’équations différentielles est un ensemble d’équations différentielles ordinaires comprenant au moins 2 variables dépendantes à déterminer. Le nombre de variables indépendantes dépend de la nature du système. Ainsi pour les systèmes dits « carré », le nombre de variables indépendantes est égal au nombre de variables dépendantes. Dans le cas contraire, on parle alors de systèmes « rectangulaires ». On se limitera ,dans ce cours, aux systèmes « carrés ». Exemple : Résolution des équations différentielles Quoi ? Résoudre une équation différentielle ordinaire linéaire (EDOL )(ou un système d’EDOL) consiste à déterminer toutes les fonctions solutions de l’EDO (respectivement du système d’EDOL); la variable indépendante u(t) (respectivement les variables indépendantes étant connues). Outils mathématiques 56 5.3: Application : Résolution des équations différentielles linéaires Comment ? Soit l’équation différentielle EDOL à coefficients constants: Deux étapes : Etape 2: On calcule la transformée de Laplace inverse de Y(s) en utilisant la méthode de la décomposition en éléments simples. On obtient la solution y(t) : Outils mathématiques 57 5.3: Application : Résolution des équations différentielles linéaires Exemple 1: résoudre l’EDO. Etape 1: Application de la transformée de Laplace. Tout calcul fait, on obtient équation algébrique suivante: La transformée de Laplace transforme donc une équation différentielle en une équation algébrique dont l’inconnue est Y(s) plus facile à résoudre. On obtient : Y(s) est une fraction rationnelle Outils mathématiques 58 5.3: Application : Résolution des équations différentielles linéaires Etape 2: On calcule la transformée de Laplace inverse de Y(s) en utilisant la méthode de la décomposition en éléments simples. La décomposition en éléments simples de Y(s) s’écrit: La transformée de Laplace inverse, est (d’après la table de Laplace): Outils mathématiques 59 5.3: Application : Résolution des équations différentielles linéaires Exemple 2: Résoudre le système d’EDO suivant : Etape 1: Application de la transformée de Laplace. Tout calcul fait, on trouve: Outils mathématiques 60 5.3: Application : Résolution des équations différentielles linéaires Etape 2: Calcul de la transformé de Laplace inverse de X(s) et Y(s). La décomposition en éléments simples s’écrit: La transformée de Laplace inverse, est (d’après la table de Laplace): Outils mathématiques 61 5.4: Linéarisation des systèmes non linéaires Pourquoi ? Les systèmes linéaires se prêtent bien à l’analyse par la méthode de la transformée de Laplace. Il n’y a pas de méthode simples dédiées aux systèmes non linéaires. La plupart des systèmes sont, en toute rigueur, non linéaires. D’où la nécessité de linéariser les systèmes non linéaires autour d’un point nominal en vue de l’analyser localement au voisinage de ce point. Notations Soit un système décrit par : Avec : Outils mathématiques 62 5.4: Linéarisation des systèmes non linéaires Point d’équilibre : (Xo, Uo) est un point d’équilibre du système non linéaire : Outils mathématiques 63 5.4: Linéarisation des systèmes non linéaires Formulation du problème Soit un système décrit par : Avec : Avec : Outils mathématiques 64 5.4: Linéarisation des systèmes non linéaires Solution du problème Sachant que : Outils mathématiques 65 5.4: Linéarisation des systèmes non linéaires Ces dernières équations s’écrivent sous forme matricielle : Avec : Outils mathématiques 66 5.4: Linéarisation des systèmes non linéaires Exemple: Outils mathématiques 67