03- fonctions de transfert

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1) Définition
2) Forme canonique
3) Schéma blocs
4) Fonction de transfert d’un schéma blocs linéaire
5) FTBO
6) FTBF
7) Théorème de superposition
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1) Définition
e(t)
s(t)
Système
Consigne d’entrée
Variable de sortie
Un système dynamique, continu, linéaire, invariant, monovariable est
décrit par une équation différentielle linéaire, à coefficients constants
de la forme suivante :
d n s (t )
d 2 s (t )
ds (t )
an ×
+
......
+
a
×
+
a
×
+ a0 × s (t ) =
2
1
2
n
dt
dt
dt
d m e(t )
d 2 e(t )
de(t )
bm ×
+
......
+
b
×
+
b
×
+ b0 × e(t )
2
1
m
2
dt
dt
dt
Objectif : exprimer la sortie en fonction de l’entrée sans résoudre l’équation
différentielle
passons dans le domaine de Laplace.
Plaçons nous dans les conditions de Heaviside et utilisons le théorème de dérivation :
an pn S ( p) + ......+ a1 p S ( p) + a 0 S ( p) = bm pm E( p) + ......+ b1 p E( p) + b 0 E( p)
(
)
(
Schéma
linéaire
FTBO
S ( p) × an pn + ......+ a1 p + a 0 = E( p) × bm pm + ......+ b1 p + b 0
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
FTBF
)
Théorème
superposition
(
)
(
S ( p) × an pn + ......+ a1 p + a 0 = E( p) × bm pm + ......+ b1 p + b 0
)
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bm pm + ......+ b1 p + b 0
S ( p)
=
= FT( p)
n
E( p) an p + ......+ a1 p + a 0
FT(p) est appelée fonction de transfert ou transmittance du système.
Ainsi, la représentation du système dans le domaine de Laplace est la suivante :
E(p)
FT(p)
S(p)
Et nous avons donc : S(p) = FT(p) x E(p)
Nota : il est logique de prendre les conditions initiales nulles (conditions d’Heaviside)
On met en place une fonction de transfert qui traduit l’évolution du système
depuis une position d’équilibre donc les conditions initiales sont nulles.
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
Schéma
linéaire
FTBO
FTBF
Théorème
superposition
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2) Forme canonique : toute fonction de transfert peut se mettre sous la forme
(
(
)
)
m
S ( p) K × 1 + c1 p + ... + cm p
FT( p) =
= α
E( p) p × 1 + d 1 p + ... + dq pq
classe du système : α
ordre du système : α+q
gain du système : K
Si α =0 K est alors appelé gain statique du système.
Zéros de la fonction de transfert : valeurs de p annulant le numérateur
(racines du numérateur)
Pôles de la fonction de transfert : valeurs de p annulant le dénominateur
(racines du dénominateur)
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
Schéma
linéaire
FTBO
FTBF
Théorème
superposition
3) Schéma blocs : le schéma blocs conventionnel d’un système asservi est
le suivant :
Schéma blocs
e(t)
Régulateur
transducteur
Variable
d’entrée
(consigne)
Comparateur
ε
+-
Signal de
commande
correcteur
Perturbations
actionneur
processus
s(t)
variable
de sortie
Ecart
Chaîne aller ou directe ou d’action
Retour
(mesure)
capteur
Chaîne de retour ou de réaction
Transducteur : élabore un signal image de la consigne.
Comparateur : compare la valeur mesurée à celle souhaitée, il génère l’écart
(si l’écart est nul l’actionneur s’arrête et le système n’évolue plus).
Correcteur :
ajuste les caractéristiques du système asservi (stabilité, précision,
rapidité…) et amplifie souvent l’écart pour pouvoir piloter l’actionneur.
Capteur :
mesure la variable de sortie pour la renvoyer à la partie commande.
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
Schéma
linéaire
FTBO
FTBF
Théorème
superposition
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4) Fonction de transfert d’un schéma blocs linéaire
E(p)
F(p)
G(p)
H(p)
S(p)
Lorsque les blocs sont en ligne (en cascade) on a :
S ( p)
FT ( p) =
= F ( p) .G ( p) . H ( p)
E ( p)
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
Schéma
linéaire
FTBO
FTBF
Théorème
superposition
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5) Fonction de transfert en boucle ouverte : FTBO
E(p) +
R(p)
S(p)
F(p)
G(p)
R ( p)
FTBO ( p ) =
= F(p) x G(p)
E ( p)
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
Schéma
linéaire
FTBO
FTBF
Théorème
superposition
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6) Fonction de transfert en boucle fermée : FTBF
E(p) +
R(p)
S(p)
F(p)
G(p)
F ( p)
S ( p)
FTBF ( p ) =
=
E ( p) 1 + F(p) x G(p)
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
Schéma
linéaire
FTBO
FTBF
Théorème
superposition
7) Théorème de superposition
E(p) +
+
S(p)
+
-
P(p) = 0
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P(p)
F( p)
.E( p )
S1 ( p ) =
1 + F ( p ) .G ( p )
Problème posé:
S(p) en fonction de E(p) et de P(p) ?
1
E(p) = 0
. P( p )
S2 ( p ) =
1 + F ( p ) .G ( p )
entrée principale
perturbation
S(p) = S1(p)+S2(p)
Définition
Forme
canonique
Schéma
blocs
Schéma
linéaire
FTBO
FTBF
Théorème
superposition
FIN