Soit n un entier naturel. On note c , d et u les chiffres

Exercices d'arithmétique : divisibilité
Exercice 1 :
Soit n un entier naturel. On note c , d et u les chiffres des centaines, des dizaines et des untiés respectivement.
Prouver que n est un multiple de 4 si et seulement si 2d + u est un multiple de 4
n =
100 c +10 d + u
=
100 c +8 d +2 d + u
=
4(25 c +2 d )+2 d + u
d'où la réponse
Exercice 2 :
a et b sont deux entiers naturels. Démontrer que
ab ( a
2−
b
2)
est un multiple de 3
ab ( a
2−
b
2)=
ab ( a − b )( a + b )
On peut penser ici à raisonner par disjonction de cas :
Si a ou b sont multiples de 3, c'est fini .
Sinon a et b peuvent s'écrire a =
3 k
1+1
ou a =
3 k
1+2
et b =
3 k
2+1
ou b =
3 k
2+2
Calculons alors
a
2−
b
2
=
( a − b )( a + b )
dans chaque cas :
b =
3 k
2+1
b =
3 k
2+2
a =
3 k
1+1
(3 k
1−3
k
2)(3
k
1+3
k
2+2)
(3 k
1−3
k
2−1)(3
k
1+3
k
2+3)
a =
3 k
1+2
(3 k
1−3
k
2+1)(3
k
1+3
k
2+3)
(3 k
1−3
k
2)(3
k
1+3
k
2+4)
Dans chaque cas, on peut mettre 3 en facteurs d'où ma réponse
Exercice 3 :
Soit n =
cdu
un entier de trois chiffres divisible par 107. Démontrer que l'entier
x =7 d
2+(7
c − u )2
est
aussi un multiple de 107.
Les nombres de trois chiffres multiples de 107 ne sont pas nombreux . On a : 107 , 214 , 321 , 428 , 535 ,
642 , 749 , 856 , 963 .
On peut alors penser à les tester tous pour x mais c'est un peu long.
L'idéal est de remarquer que dans chaque cas, on a:
7 c
=
du
autrement dit
7 c =10 d + u
d'où
7 c − u =10 d
x =
7 d
2+(7
c − u )2
=
7 d
2+(10
d )2
=
107 d
2
d'où la réponse
Exercice 4 :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
1) Démontrer que
9
n +1−2 n +1=11 (9 n
−2
n
)−18(9
n −1−2 n −1)
2) Démontrer, par récurrence, que
32
n
−2
n
et divisible par 7
1)
11(9
n
−2
n
)−18(9
n −1−2 n −1)
=
11×9
n
−11×2
n
−18×9
n −1+18×2 n −1
En écrivant alors 18 =
9×2
, on
peut alors écrire : =
11×9
n
−11×2
n
−2×9
n
+9×2
n
=
9×9
n
−2×2
n
=
9
n +1−2 n +1
2) Remarquons que
32
n
−2
n
=
(32)
n
−2
n
=
9
n
−2
n
. On peut donc utiliser 1) en raisonnant avec deux
hypothèses :
pour n = 0 ,
9
n
−2
n
=0
divisible par 7 et pour n = 1 ,
9
n
−2
n
=7
divisible par 7. Donc la proposition est
vraie au rang 0 et 1

Supposons qu'il existe un entier n tel que
9
n
−2
n
ET
9
n −1−2 n −1
soient multiples de 7 . Démontrons alors
que
9
n +1−2 n +1
l'est aussi .
Par hypothèse
9
n
−2
n
=7 k
1
ET
9
n −1−2 n −1
=
7 k
2
d'où en utilisant 1) on obtient
9
n +1−2 n +1=11×7
k
1−18×7
k
2
= 7K cqfd
On termine la récurrence
Exercice 5 :
On considère la suite
( un )
définie par
un =(3 n −1)2−2+(−2)
n
1) Démontrer que pour tout entier naturel n,
un
+1+2
un
est un multiple de 27
2) Démontrer que tous les termes de la suite sont des multiples de 27
1)
un
+1+2
un =(3( n +1)−1)2−2+(−2)
n +1+2(3
n −1)2−4+2×(−2)
n
=
(3 n +2)2+(−2)
n +1+2(9
n
2−6
n +1)−(−2)×(−2)
n
−6
=
9 n
2+12
n +4+(−2)
n +1+18
n
2−12
n +2−(−2)
n +1−6
= 27
n
2
CQFD
2) Une récurrence s'impose ici
u
0=1−2+1=0
divisible par 27 donc proposition vraie au rang 0
Supposons qu'il existe un entier n tel que
un
est multiple de 27 et DQ
un
+1
l'est aussi
On sait que
un
et
un
+1+2
un
sont multiples de 27 donc
un =27 k
1
et
un
+1+2
un =27 k
2
.
un
+1+2×27
k
1=27
k
2
ce qui donne
un
+1=27(
k
2−2
k
1)
= 27K CQFD
Exercice 6 :
Déterminer les entiers relatifs n tels que l'entier p =
n
2−3
n +6
soit un multiple de 5.
On pourra à cet effet calculer la différence
p −( n −9)2
p −( n −9)2= n
2−3
n +6− n
2+18
n −81
=
15 n −75
on a donc p =
5(3 n −25)+( n −9)2
d'où p multiple de 5 si et seulement si
n −9
est lui-même multiple de 5
d'où n = 9+5k avec k ∈ ℤ .