Valeurs approchees de solutions d equation du type f (x)= k ts

Chapitre 1 Terminale S
Algorithmes : calculs approchés de solutions d’une équation du type f(x) = k
Préambule :
On considère l’équation
3
x x 3
+ =
sur [-1 ; 3]. Montrer que cette équation admet une solution unique sur [-1 ; 3].
Le but de cette feuille est de voir plusieurs méthodes permettant de déterminer une valeur approchée ou un encadrement de
toute solution d’une équation de la forme f(x) = k, selon une précision p donnée.
Méthode 1 : utilisation du menu table de la calculatrice
Principe : La calculatrice fait (presque) tout. C’est la méthode que vous utiliserez le plus car elle est presque automatique.
1) Rentrer l’expression de la fonction dans le menu TABLE (CASIO) ou Y = ou f(x) (TI).
2) Paramétrer le tableau : RANG ou SET (CASIO) ou TABLESET ou DEFTABLE (TI) :
CASIO : start : a TI : start ou Débtable : a
End : b
Tbl
∆
ou pas : p
Pitch ou step : p
3) Afficher la table : appuyer sur la touche TABL ou TABLE.
La table s’affiche et on parcourt les valeurs de y jusqu’à se trouver le plus proche de k. On obtient alors la ou les valeurs
proches de la solution
α
.
Exemple : Déterminer un encadrement au dixième de la solution de l’équation 3
x x 3
+ =
sur [-1 ; 3]
Méthode 2 : méthode du balayage
Principe : On suppose que f est une fonction croissante sur un intervalle [a ; b]. Le principe de la méthode consiste à démarrer
à partir de la première borne de l’intervalle et à tester la valeur de l’image par rapport à k. Si elle est en dessous de k, on ajoute
la valeur de la précision à la variable. On réitère le procédé jusqu’à ce que l’image soit au dessus de k. On affiche ainsi la
valeur de
α
pour la précision demandée.
Il faut comprendre que pour éviter de modifier le programme pour chaque fonction, on va rentrer l’expression de celle-ci dans
le MENU Graph ou f(x) ou Y = de la calculatrice. On la disposera dans la ligne Y 1 ou
1
Y
ou y1 ou
1
f ( )
selon les modèles.
Il suffit alors de faire appel à la fonction dans le programme.
Attention pour CASIO Y 1 est en gras : Touche VAR, sous menu Grph, Y n puis 1.
Attention pour les TI 82-83-84-85 on a
1
Y
avec indice : touche VAR, sous menu Y =, puis
1
Y
.
Voici l’algorithme de la méthode :
Variables : a : réel (borne de départ)
k : réel (nombre de l’équation)
p : réel (précision)
m, y : réels (réel et son image)
Début
Saisir (a,b,p,k)
m prend la valeur a
y prend la valeur Y1(m) (Attention pour les vieux modèles CASIO, utiliser toujours la variable x et Y 1 sans x)
Tant que y < k faire
m prend la valeur m + p
y prend la valeur Y1(m)
Fin Tant que
Afficher m
fin
INCONVENIENT : le nombre d’itérations peut être grand et donc il peut être long à traiter en fonction de la valeur de a.
Exemple : programmer cet algorithme et le tester sur l’équation précédente.
Exercice : Comment modifier l’algorithme dans le cas d’une fonction décroissante ?

Méthode 3 : la dichotomie
Principe : On suppose que f est une fonction croissante sur un intervalle [a ; b]. Le principe de la méthode consiste à calculer la
valeur moyenne de l’intervalle et à calculer son image par rapport à k. Si cette image est inférieure à k, la moyenne devient la
borne inférieure de l’intervalle, si l’image est supérieure à k, la moyenne devient la borne supérieure de l’intervalle. On réitère
le procédé tant que la différence entre les bornes de l’intervalle est supérieure à la précision demandée. On affiche ainsi la
valeur de
α
pour la précision demandée.
De même on va rentrer l’expression de la fonction dans le MENU Graph ou f(x) ou Y = de la calculatrice. On la disposera
dans la première ligne.
Voici l’algorithme de la méthode :
Variables : a, b : réels (bornes)
k : réel (nombre de l’équation)
p : réel (précision)
Début
Saisir (a,b,p,k)
Tant que b – a > p faire
m prend la valeur (a + b)/2
Si Y1(m) < k (Attention pour les vieux modèles CASIO, utiliser toujours la variable x et Y1 sans x)
Alors a prend la valeur m
Sinon b prend la valeur m
Fin Si
FinTant que
Afficher (a,b)
Fin
Exemple : programmer cet algorithme et le tester sur l’équation précédente.
Exercice : Comment modifier l’algorithme dans le cas d’une fonction décroissante ?
Exercice : Taper les programmes pour les fonctions décroissantes des méthodes de balayage et de dichotomie.