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Cours 3 RDM

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LICENCE 3 SCIENCES POUR L’INGENIEUR
Parcours Ingénierie des ORGANISATIONS
UE Optionnelle 1 – AMPI : Etude et dimensionnement des systèmes mécaniques
COURS 3 : Résistance des matériaux (RDM)
SOMMAIRE
RESISTANCE DES MATERIAUX ........................................................................................................................2
I.
INTRODUCTION ET HYPOTHESES ..........................................................................................................2
II.
TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION ...........................................................................................5
III.
EXTENSION - COMPRESSION ...............................................................................................................8
IV.
CISAILLEMENT ......................................................................................................................................14
V.
MOMENTS QUADRATIQUES ...............................................................................................................16
VI.
TORSION ..................................................................................................................................................18
VII.
FLEXION ..................................................................................................................................................20
VIII.
SOLLICITATIONS COMPOSEES ......................................................................................................24
O. CALVET
Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015)
p 1
Cours 3 :Résistance des Matériaux
L3 SPI options AMPI
O.CALVET
RESISTANCE DES MATERIAUX
I.
INTRODUCTION ET HYPOTHESES
I.1. Buts de la résistance des matériaux
La résistance des matériaux a trois objectifs principaux :
 la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (comportement
sous l’effet d’une action mécanique)
 l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance ou rupture)
 l'étude de la déformation des pièces mécaniques.
Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en
fonction des conditions de déformation et de résistance requises.
I.2. Hypothèses
I.2.1.
Le matériau
 Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop
"fin" pour l'étude qui nous intéresse.
 Homogénéité : on supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits
soient ils, sont identiques.(hypothèse non applicable pour le béton ou le bois)
 Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a
les mêmes propriétés mécaniques.(hypothèse non applicable pour le bois ou les
matériaux composites)
I.2.2.
La disposition de la matière
La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont
désignées sous le terme de « poutres ».
Poutre : on appelle poutre (voir fig.1) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de
surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne.
Les caractéristiques de la poutre sont :
(S)
G
G
 ligne moyenne droite ou à grand rayon
de courbure.
 section droite (S) constante ou variant
progressivement.
 grande longueur par rapport aux
dimensions transversales.
 existence d'un plan de symétrie.
G
FIG.1
(C) Ligne moyenne
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I.2.3.
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Les forces extérieures
 Plan de symétrie : les forces extérieures seront situées dans le plan de symétrie de
la poutre ou alors disposées symétriquement par rapport à ce plan.
 Types d'actions mécaniques extérieures : deux types d'actions mécaniques
peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig. 2) :
Les déformations étant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerçant sur celle-ci
seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux
considérés comme constants.
II.
PRINCIPE D’ETUDE D’UNE STRUCTURE EN RDM
II.1. Régles de schématisation




Poutre  représentée par sa ligne moyenne (oiu fibre de référence)
Actions de liaison  schématisasées par les composantes de réaction
Actions extérieures  schématisées par les forces réparties ou ponctuelles ramenées à la
ligne moyenne.
Repère de référence à représenter et report des dimansions « utiles » au calcul.
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p 3
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II.2. Applications
Exemple 2 :
Situation réelle
Définir le modèle RDM et son schéma associé
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III. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION
III.1.
Contrainte
En chaque point M d’un solide, il existe des efforts intérieures que l’on met en évidence en effectuant ne coupure
du solide, par une surface S, en deux parties A et B.
Fig 4
La partie A, par exemple, est en équilibre sous l’action des forces intérieures qui lui sont directement appliquées
et des forces intérieures réparties sur la coupure.
Considérons un point M de S. Soir dS un élément infinitésimal de la surface S, entourant M et
unitaire, perpendiculaire en M à S et dirigé vers l’extérieur de la partie A.

n le vecteur
On appelle contrainte en M, relativement à l’élément de surface dS orienté par sa normale extérieure
vecteur :


 dF
C(M, n)
dS
Le vecteur contrainte peut se décomposer en :

n , le


 
C(M, n).n 
Où  est la contrainte normale et  le vecteur cisaillement.
III.2. Efforts de cohésion ou efforts internes
Soit une poutre (E) en équilibre sous l'action de n actions extérieures. On associe à cette poutre un
repère R (x, y, z) dont l'axe x coïncide avec la ligne moyenne de la poutre.
Coupons la poutre (E) par un plan (P) orthogonal à sa ligne moyenne, situé à l'abscisse x. On définit
ainsi deux portions de poutre (E1) et (E2).
Y
x
X
G
Z
E1
E2
Fig 5
(E) étant en équilibre, on peut écrire : { E  E} = {0}
(E1) étant en équilibre, on peut écrire : { E  E1} +{E2  E1} = {0}
(E2) étant en équilibre, on peut écrire : { E  E2} +{E1  E2} = {0}
On en déduit :
{E2  E1} = -{ E  E1} = { E  E2}
{E2  E1} est le torseur qui traduit l'action de contact de (E2) sur (E1). Cette action est due aux
efforts de cohésion qui permettent à la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions
extérieures.
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La RDM vise en particulier à vérifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de cohésion à
"transmettre" ne soient supérieurs aux capacités du matériau.
On note :
{Cohésion} = -{ E  E1} = { E  E2}
III.3.
Composantes du torseur de cohésion
Dans le torseur de cohésion, on peut faire apparaître la résultante et le moment qui dépendent de la
position de la section (x).

 R(x) 
Cohésion 

M (x)
G G
III.3.1.
la résultante
Ty
R
G
N
 N
R Ty
Tz
R
Tz
 N : effort normal, projection de R sur la normale extérieure (x).
 Ty et Tz : efforts tranchants, projections de R sur le plan de section droite.
III.3.2.
Le moment résultant
De la même manière, on retrouve pour les moments, 3 composantes :
 MT : moment de torsion, projection du moment sur la normale extérieure.
 Mfy et Mfz : moments de flexion, projection du moment sur le plan de section
droite.
 Mt
MG M fy
M fz
R
soit :
Toutes ces composantes N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz dépendent de la position de la section droite (x).
On peut donc représenter leurs évolutions à l’aide de diagrammes.
III.3.3.
Les sollicitations
Suivant les éléments de réduction non-nuls du torseur de cohésion (N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz ) on peut
alors identifier le type de sollicitation que subit la poutre, à savoir :
Composantes
N
Sollicitation
>0
<0
Ty
Tz
Mt
Mfy
Mfz
Extension (traction)
Compression
Cisaillement
Torsion
Flexion
Lorsque l’on a une seule de ces sollicitations on parle de sollicitation simple, sinon on a un problème
de sollicitations composées.
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III.4. Relations entre contraintes et composantes du torseur de
cohésion
III.5.
Applications
Exemple 1
Le bras [KI] est modélisé par une poutre rectiligne encastrée au point K et supportant l'action
du vérin comme l'indique le croquis suivant :
V
320 N
X
U
I
G
90 mm
I(1314)
K
1120 N
1- Déterminer le torseur de cohésion au point G, distant de x mm de l'origine I.
2- Déterminer la nature des sollicitations dans cette "poutre".
3 -Déterminer la position de la section la plus sollicitée à la flexion simple.
Exemple 2
3
1
x
2
F = 21 N
l = 600 mm
b= 20 mm
h = 4 mm
Matiere : S 340
E = 200 000 Mpa
Re = 340 Mpa
Rg = 0.6 Re
s=2
1) Après avoir déterminé les actions de liaison, calculer le torseur de cohésion dans la zone où se
trouve le point G.
2) Cette expression est valable sur quel domaine ?
3) Déterminer la nature des sollicitation dans cette poutre.
4) Que signifie E ? Re ?
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PARTIE 2 : LES SOLLICITATIONS SIMPLES
IV. EXTENSION ou TRACTION - COMPRESSION
IV.1. Extension ou Traction
A
IV.1.1.
Définition
Une poutre est sollicitée à l'extension simple
lorsqu'elle est soumise à deux forces
directement opposées, appliquées au centre de
surface des sections extrêmes et qui tendent à
l'allonger.
B
A
y
R
A
B
(S)
R
A
x
G
Les éléments de réduction en G du
torseur des efforts de cohésion s'expriment par
:
z
 N 0
 0 0
0 0(x,y,z)
G
Cohésion
avec N > 0
IV.1.2.
Essai d'extension
Une éprouvette en acier est sollicitée à l'extension par une machine d'essai, qui permet de déterminer
l'allongement de l'éprouvette en fonction de l'effort qui lui est appliqué.
l
0
A
B
F
F
A'
l
0
 l
B'
On obtient alors la courbe d’essai ci-dessous
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Analyse de la courbe obtenue
 Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à
une valeur nulle, l'éprouvette retrouve sa longueur initiale.
Dans cette zone, l'allongement est proportionnel à l'effort d'extension.
Des essais effectués avec des éprouvettes de dimensions différentes permettent de
constater que pour un même matériau, l'allongement unitaire( l / l0) est proportionnel à
l'effort unitaire (F / S0)
Les sections droites et planes de l'éprouvette restent droites et planes pendant l'essai.
 Zone ABCD : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F
jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa longueur initiale. La partie CD
s’accompagne du phénomène de striction (rétrécissement local et permanent de la section).
On ne s'intéressera qu'à la zone des déformations élastiques.
IV.1.3.
Déformations élastiques
La propriété constatée ci-dessus a permis pour différents matériaux d'établir la
relation :
N E l
S
l
Unités : N en Newton
S en mm2
2
E en MPa (N/mm )
l et l en mm.
E est une caractéristique du matériau appelée module d'élasticité longitudinal ou module de Young.
Lors de cet essai, on met aussi en évidence une autre caractéristique de l’élasticité ; il existe un
rapport constant entre la contraction relative transversale (d / d) et l'allongement relatif longitudinal
(l / l) hors phénomène de striction.
On peut écrire :
d  l
d
l
Unités :
 sans unité
d et l en mm.
appelée coefficient de poisson est aussi une caractéristique du matériau il est de l'ordre de
0,3 pour les aciers
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IV.1.4.
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Exemples comparatifs de déformation entre différents matériaux
kN
mm
mm
Exemples d’essai de traction
kN
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IV.1.5.
Contraintes
Soit (E1) le tronçon de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal à sa ligne moyenne .
E1
y
(S)
F
R
G
R =N .x
x
fi g .8
z
Le tronçon (E1) est en équilibre sous l'action de F et des efforts de cohésion dans la section droite (S).
Soit S l'aire de la section droite (S). On définit la contrainte  dans la section droite (S) par la
relation :
 N
S
 : contrainte normale d'extension (> 0) en MPa.
N : effort normal d'extension en Newton.
S : aire de la section droite (S) en mm2.
La contrainte permet de "neutraliser" la surface et par conséquent de comparer des éprouvettes de
sections différentes.
avec
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IV.1.6.
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Loi de HOOKE
Nous avons déjà vu que  N et que F E l , on peut en déduire que :
S
S
l
E l E.
l
loi de HOOKE
l
est l'allongement élastique unitaire suivant x, il est généralement noté 
l
Unités :  en Mpa
E en Mpa
 sans unité
IV.1.7.
Caractéristiques mécaniques d'un matériau
 Contrainte limite élastique en extension e
C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique, appelée aussi
limite d'élasticité Re.
 Contrainte limite de rupture en extension r
C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette, appelée aussi
nommée résistance à la traction R.
 Allongement A%
A% 
avec :
l  l0
*100
l0
l0 : longueur initiale de l'éprouvette.
l : longueur de l'éprouvette à sa rupture.
Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.
IV.1.8.
Condition de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée
contrainte pratique à l'extension pe.
On a :
pe e
s
s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le
seuil précédent, soit :
réelle N pe
S
IV.1.9.
Influence des variations de section
Si le solide étudié présente de fortes variations de sections, les relations précédentes ne s'appliquent
plus. On dit qu'il y a concentration de contraintes. On doit alors pondérer nos résultats à l’aide d’un
coefficient k, en posant :
max = k.

k est le coefficient de concentration de contraintes
Exemples de cas de concentration de
contrainte :
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IV.2. Compression
IV.2.1.
Définition
Une poutre est sollicitée à la compression simple
lorsqu'elle est soumise à deux forces directement
opposées, appliquées au centre de surface des sections
extrêmes et qui tendent à la raccourcir.
A
B
A
y
R
A
B
(S)
R
A
x
Les éléments de réduction en G du torseur des
efforts de cohésion s'expriment par :
G
 N 0
Cohésion  0 0 avec N < 0
0 0(x,y,z)
G
z
3.2.2 Essai de compression
Une éprouvette semblable à celle utilisée pour l'essai d'extension
en acier est sollicitée à la compression par une machine d'essai.
F(N)
B
A
Analyse de la courbe obtenue
 Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si
l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle,
l'éprouvette retrouve sa longueur initiale.
Dans cette zone, l'allongement est proportionnel à
l
O
l'effort de compression.
(mm)
Des essais effectués avec des éprouvettes de
dimensions différentes permettent de constater que pour un même matériau, l'allongement
unitaire( l/l0) est proportionnel à l'effort unitaire (F/S0).
Les sections droites et planes restent droites et planes pendant l'essai.
 Zone AB : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à
une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.
IV.2.2.
Déformations élastiques
La propriété constatée ci-dessus a permis pour différents matériaux d'établir la relation :
F E l
S
l
avec l < 0
Pour les aciers, le module d'élasticité longitudinal E est le même en compression qu'en extension.
IV.2.3.
Contraintes
On définit la contrainte  dans la section droite (S) par la relation :

IV.2.4.
N
S
avec :  < 0 car N < 0
Loi de HOOKE
Nous avons déjà vu que  
N
F
l
et que  E
, on peut en déduire que :
S
S
l
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E l E.
l
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l
est le raccourcissement élastique unitaire suivant x, il généralement noté 
l
IV.2.5.
Condition de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée
contrainte pratique à l'extension pe. On a :
pe e
s
s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le
seuil précédent, soit :
réelle 
V.
N

S pe
CISAILLEMENT
V.1. Définition
Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsqu'elle est soumise à deux systèmes
d'action de liaison qui se réduisent dans un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne à deux forces
directement opposées.
(P)
(E)
A
F
F'
B
Sous l'action de ces deux forces la poutre tend à se séparer en deux tronçons E1 et E2 glissant l'un par
rapport à l'autre dans le plan de section droite (P).
y
(E1)
F
(S)
E1
T
x
E2
z
G
F'
(P)
Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

 0 0

Ty 0
Tz 0
(x,y,z)
G
Cohésion
remarques :
 on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par une
unique composante T en réalisant un changement de repère.
Tz
T
Ty
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 le cisaillement pur n'existe pas, il subsiste toujours de la flexion...
V.1.1.
Déformations élastiques
La modélisation ci-dessous d’une sollicitation de
cisaillement permet d'établir la relation :
F G y
S x
x
y
Unités :
(S0
)
(S
)
F
Matériau
G (MPa)
F en Newton
S en mm2
G en MPa
y et x en mm.
G est une caractéristique appelée module
d'élasticité transversal ou module de Coulomb.
Fontes
40000
Aciers
80000
Laiton
34000
Duralumin
32000
Plexiglas
11000
V.2. Contraintes
On définit la contrainte  dans une section droite (S) par la relation :
 T
S
avec :  : contrainte tangentielle de cisaillement en MPa (valeur moyenne).
T : effort tranchant en Newton.
S : aire de la section droite (S) en mm2.
V.3. Relation entre contrainte et déformation
T
F
y
Nous avons déjà vu que   , que  G
et nous savons que F=T. On en déduit que :
S
S
x
G

y
est appelé glissement relatif.
x
y
G. .
x
V.4. Caractéristiques mécaniques d'un matériau
 Contrainte tangentielle limite élastique e
C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique. Pour l'acier, cette
valeur est comprise entre 250 MPa et 600 MPa.
 Contrainte tangentielle de rupture r
C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette.
V.5. Condition de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée
contrainte pratique de cisaillement p. On a :
p e
s
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s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le
seuil précédent, soit :
réelle T p
S
VI. MOMENTS QUADRATIQUES
VI.1. Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe de
son plan
Définition
y
Soit (S) une surface plane et un repère
orthonormé (O, x, y) associé.
dS
Le moment quadratique élémentaire de dS par
rapport à (O, x) , noté IOx est défini par
IOx = y2 . dS
et pour l'ensemble de la surface (S) :
Iox =

M
(S)
y
O
x
y2 .dS
S
Remarques :
 L'unité de moment quadratique est le mm4 (ou le m4)
 Un moment quadratique est toujours positif.
 Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donnés à la suite du cours.
VI.2. Moment quadratique d'une surface plane par rapport a un axe
normal. Moment quadratique polaire.
Définition
y
Soit (S)une
 surface plane et un repère orthonormé
(O, x, y, z) associé.
Le moment quadratique
polaire élémentaire de dS

par rapport à (O, z ) perpendiculaire en O au plan
de la figure et noté IO est défini par :



IO = 2 . dS
et pour l'ensemble de la surface (S) : Io =
2 . dS
M
dS

(S)
O
x
z

S
Propriété :
Considérons le moment quadratique polaire IO de la

surface (S) par rapport à (O, z ) perpendiculaire en O à
son plan.
Notons :
IO =
.S

y

O
S
x
M
y
(S)
x
z
( S)
Soient x et y les coordonnées du point M. On a :
 = x2 + y2
On a donc : IO =
.S =
x2.S +
y2.S



( S)
( S)
( S)
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Soit :
IO = IOx + IOy
p 16
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VI.3. Moments quadratiques utiles
IGX
IGY
I G = IO
bh3
12
hb3
12
bh ( b2 + h2 )
12
y
x
G
h
b
y
a
x
G
a4
12
a4
12
a4
6
d 4
64
d 4
32
a
d
y
D
d 4
64
x
G
y d
x
G
 4 4
 4 4
(D - d )
(D - d )
64
64
 4 4
(D - d )
32
VI.4. Théorème de Huygens
Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au
moment quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par
son barycentre, augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les
deux axes.
IOy IGy S.d²

IOy : moment quadratique de (S) par rapport à (O, y ) (mm4)

IGy : moment quadratique de (S) par rapport à (G, y ) (mm4)
S : aire de la section (S) (mm²)


d : distance entre les axes (O, y )et (G, y ) (mm)

Exemple : calculer le moment quadratique de l’equerre / Gx : IGx
Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK
I1G1x 100x103 ;
12
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I1Gx I1G1x S1.d²100.103 (100.10).10²105 105
12
12
I2G2x 10.503
12
I2Gx I2G2x S2.d²10.503 (50.10).20²125.104 20.104 
12
12
VII. TORSION
VII.1.
M
G
1
Définition
Une poutre est sollicitée en torsion simple
lorsqu'elle est soumise à ses deux extrémités à des
liaisons dont les torseurs associés se réduisent à
deux torseurs couples opposés dont les moments
sont parallèles à l'axe du cylindre. (on suppose la
poutre comme cylindrique et de section circulaire
constante)
Les éléments de réduction en G du torseur des
G
2
G
1
y
R
M
G
1
(S
)
M
G
G
1
M
G
2
x
G
z
0 Mt
Cohésion 0 0 
0 0 (x,y,z)
G
efforts de cohésion s'expriment par
VII.2.
IGx I1Gx I2Gx 41,2.104mm4
Déformations élastiques

M1
M
G1
M'
M2
G2
G
MG2
M'2
(S1)
(S2)
x
(S)

M
G
M'
Constatation sur la déformation d’une poutre en torsion : L'angle  croit de façon linéaire avec x,
l'abscisse de la section droite étudiée :  = k.x
La propriété constatée ci-dessus a permis d'établir la relation :  
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Mt. x
G. I 0
p 18
Cours 3 :Résistance des Matériaux
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Unités :
Mt
moment de torsion en N.mm
G
module d'élasticité transversal en MPa

en radian
Io
moment quadratique polaire de la section (S) en mm4
En définissant l'angle unitaire de torsion par :  =  / x (exprimé en rad/mm), notre relation devient
alors :
MtG..IO
VII.3.
Contraintes
(E1)
y
R
M a x
(S)
M
MG1
MG
x
G1
G

M
v
G
(S)
z
Soit M un point de la section droite (S) de la poutre situé à une distance  du centre G de la section
(voir ci-dessus). On définit la contrainte de torsion  en M par la relation :
M  M t
 IO 

 
avec : 
Mt
Io
contrainte tangentielle en MPa.
moment de torsion en N.mm
moment quadratique polaire de la section (S) en mm4
Contrairement aux phénomènes étudiés jusqu'à maintenant, la contrainte varie en fonction du point
choisi dans une section droite. Plus ce point est éloigné du centre de la section, plus la contrainte y
sera importante.
La contrainte est maximale pour  = maxi , soit :
VII.4.
Conditions de résistance
M M t
 IO 
 
 max i 
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée
contrainte pratique p (voisine de la contrainte pratique de cisaillement). On a :
p e
s
s est un coefficient de sécurité.
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le
seuil précédent, soit :
réelle  Mt p
 IO 
 
 max i 
VII.5.
Influence des variations de section
Si le solide étudié présente de fortes variations de sections, les relations précédentes ne s'appliquent
plus. Il faut alors appliquer un coefficient de concentration de contraintes
Exemple : épaulement
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p 19
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r/D
D/d
1,09
1,2
1,5
VIII.
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0,1
0,05
0,02
1,3
1,5
1,7
1,5
1,7
2,2
1,7
2,5
2,7
D
d
x
r
FLEXION
Il existe plusieurs types de flexions (pure, plane, déviée). Nous limiterons notre étude au cas de la
flexion plane simple.
VIII.1. Hypothèses
En plus des hypothèses déjà énoncées au début du cours de RDM, la flexion plane simple nous amène
à supposer que :
 la ligne moyenne de la poutre est rectiligne.
 la section droite de la poutre est rectiligne.
 la poutre admet un plan de symétrie longitudinal.
 toutes les forces appliquées à la poutre sont disposées perpendiculairement à la ligne
moyenne et dans le plan de symétrie longitudinal (ou symétriquement par rapport à celuici).
 les forces appliquées sont soit concentrées en un point, soit réparties suivant une loi
déterminée.
ligne moyenne
Plan de symétrie longitudinal et plan des charges
VIII.2. Définition
Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant

l’axe z (voir ci-contre).si pour chacune des sections droites, le
  
torseur de cohésion se réduit, dans le repère R  (G, x, y, z ) de
définition des sollicitations :
y
z
Mf
G
(S)
Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de
cohésion s'expriment par :
T
0
0 
Cohésion Ty 0 
 0 Mfz
(x,y,z)
G
Remarque : si Ty est nul, alors la sollicitation est appelée flexion pure
Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant
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dMfz
Ty
dx
p 20
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VIII.3. Contraintes
Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes
normales . Les contraintes de cisaillement  sont négligeables.
zone où les fibres sont tendues
M
M
y
x
La contrainte normale s en un point M d'une
section droite (s) est proportionnelle à la distance y
entre ce point et le plan moyen passant par G.
 Mf.y
Iz
G
zone où les fibres sontcomprimées
VIII.4. Conditions de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée
contrainte pratique à l'extension pe. On a :
pe e
s
s est un coefficient de sécurité
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le
seuil précédent, soit :
réelle M fmax i pe
 IGz 
y 
 max i 
VIII.5. Etude de la déformée
Cette étude permet de donner l'équation de la déformée de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est
principalement basée sur la résolution de l'équation différentielle suivante :
Mf  E.I . y 
Il faut alors procéder à deux intégrations successives. Les constantes d'intégration s'obtiennent grâce
aux conditions aux limites (appuis, encastrements...).
exemple de conditions aux limites :
Appui simple
y=0
Encastrement
y=0
y' = 0
VIII.6. Exemple
 F.x
M
fz
y''(x)
 2  F.x
E.IGZ E.IGZ 2.E.IGZ
2.E.IGZ.y''F.x
première intégration
2.E.IGZ.y'F. x² C1
2
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4.E.IGZ.y'F.x²C1
recherche de C1 : y’=0 pour x = l/2 (symétrie de la déformée)
0F.l² C1C1 F.l²
4
4
4.E.IGZ.y'F.x² F.l²
4
deuxième intégration :
4.E.IGZ.yF. x3  F.l².xC2  F.x3  F.l².x C2  4.F.x3 3.F.l².x C2
3 4
3
4
12

recherche de C2 : y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe y )
y 4.F.x3 3.F.l².x y est maxi pour x = l/2 (symétrie de la déformée)
48.E.IGZ
3
4.F. l 3.F.l². l F( 4l 3  3l 3 ) F( l 3  3l 3 ) F(2l 3 )
8
2
8 2 
2 2 
2
y
48.E.IGZ
48.E.IGZ
48.E.IGZ 48.E.IGZ
y
F.l 3
48.E.IGZ
VIII.7. Flexion de poutres hyperstatiques
Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis. Il faut faire
intervenir en plus les équations de déformations.
Exemple 1
y
F
3
Une poutre AB en HEA 600 (IGZ/v = 4786 cm ; E =
2.105 MPa) de longueur l = 4m encastrée à ses deux
S

extrémités supporte en C une charge F 5000.y
x
Déterminer les actions en A et B
A
Equations de statique :
C
B
l/2
2
1
A1S B2S F /2 (symétrie)
l
y
F
M A1S  Fl M B2S  B2S.l 0 :
2
M B2S
M A1S  Fl M B2S  Fl 0
2
2
donc
x
M A1S
A
M A1S M B1S
le système est hyperstatique d’ordre 1
A1S
C
B
B2S
Equation de déformation :
Calcul du moment fléchissant quand
0 x l
2
0
0



 0
 
 0

A
1

S
0

A
1

S
0

 
 M fz  A1S.xM A1S




0
M
A
1

S

A
1

S
.
x
0

M
A
1

S

A
1

S
.
x
 G

G
TcohText S 
Utilisation de l’expression de la déformée
E.IGZ.y'' A1S.xM A1S
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p 22
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E.IGZ.y' A1S. x² M A1S.xC1
2
x3
E.IGZ.y A1S. M A1S. x² C1.xC2
6
2
y'(0)0C10
y(0)0C2 0 donc E.IGZ.y A1S.
x3
M A1S. x²
6
2
Compte tenu de la symétrie de la déformée :
y'( l )0 donc
2
A1S ( l )²
( l )²
0 A1S. 2 M A1S. l  A1S ( l )²M A1S. l M A1S  2 2  A1S.l
2
2 2 2
2
l
4
2
A1S  F donc
2
M A1S M B2S  F.l
8
Torseur de cohésion pour
0 x l
2
 
 


  0
0
0
0
0
0 





0
0
  F
  F
  F

TcohText S  F /2
0
0
0
0 
  2
  2
  2
 0 M A1S  Fx  
 
 

0 M A1S  Fx   0  Fl  Fx   0 F .(x l )
2  G
G
2  G
8 2  G
2
4

0 x 0 0
0
0

M GS M A1S GA A1S  0  0  F  0  0  0  Fl  Fx .z
Fl 0 2 Fl  Fx Fl  Fx 8 2
0 8
8
2 8 2
Torseur de cohésion pour
l  xl
2

 

0
0
0
 0

F
 F

0
0
2
  2





F(l  x)
0 F .( l (l  x))
0  F.l 




8
2  G 2 4
G
0
0

F

TcohText S   2
0


0 M B2S  B2S.(l  x)

G
0 l x 0 0
0
0
F(l  x) 
M G2S M B2S GB B2S  0  0  F  0 
0 
0
 Fl 
.z
2
8
2
 Fl 0 0 Fl  F(l  x)  Fl  F(l  x)
8
8
2
8
2
Effort tranchant
0 x l : Ty F 2500N
2
2
l  xl : Ty F 2500N
2
2
Moment fléchissant
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p 23
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O.CALVET
x0 : M fz  Fl  5000.4 2500N.m
8
8
y
F
x l : M fz  Fl  5000.4 2500N.m
8
8
2
M A1S
xl : M fz  Fl  5000.4 2500N.m
8
8
M B2S
A
C
A1S
Flèche maximale au point C
x
E.IGZ.y A1S. M A1S. x²  F .x3  Fl .x²
6
2 12
16
3
3 Fl 3 Fl 3 Fl 3
l
l
Fl 3Fl
8
E.IGZ.y F .  Fl .    (1  1)
12 8 16 4 96 64 32 3 2 32.6
F.l 3
y
192.E.IGZ
 Fl
8
3
5000.4000
y l 
1,74mm
2 192.200000.4786000
3
x
B
B2S
y
A
x
C
B

Fl
8
A
B
x
C
 Fl
8
IX. SOLLICITATIONS COMPOSEES
IX.1. Principe de superposition
Dans la limite des déformations élastiques, le vecteur déformation en un point, du à un système de forces
extérieures est égal à la somme géométrique des vecteurs déformation dus à chacune des forces du système
agissant séparément.
B
A
=
C
D
+
B
A
D
C
A
D
Pour une poutre soumise à la traction flexion ou à la de la flexion torsion, on peut donc de manière
séparer faire l’étude de chaque sollicitation simple et faire ensuite la sommation des résultats
(déformation et contrainte).
IX.2. Critère de von misès
Dans le cas de poutres soumises à une flexion (générant une contrainte normale maximale
σmax) et à une torsion (générant une cission maximale τmax), le critère est (forme de Huber) :
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p 24
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