CORRIGÉ CORRIGÉ DEVOIR 4 (facultatif)

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CORRIGÉ DEVOIR 4 (facultatif)
20/12/2012
Pour le 07/01
Vous porterez une attention particulière à la rédaction de ce devoir.
EXERCICE 1
Dans un repère (O, I , J) on place le point A (–4
( ; 5).
Montrer que I, J et A sont alignés.
Cherchons l’équation de la droite (IJ) :
Comme (IJ) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle a une équation de la forme : y = mx + p.
p
Ordonnée à l’origine : Par lecture graphique, p = 1.
Coefficient directeur : m =
= = –1
La droite (IJ) a pour équation : y = –x + 1.
Montrons que le point A appartient à (IJ) :
On remplace x dans l’équation de (IJ) par l’abscisse de A et on vérifie si on obtient son ordonnée :
– (–4) + 1 = 4 + 1 = 5. Les coordonnées de A vérifient bien l’équation de (IJ), donc A ∈ (IJ).
Conclusion : Les trois points A, I et J sont alignés.
EXERCICE 2
Dans un triangle ABC les points D, E et F sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [AC].
Le but est de démontrer que les droites (AE), (BF) et (CD) sont concourantes.
1. Faire une figure.
2. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E et F dans le repère (A, B, C).
Les trois points formant le repère : A(0 ;0) B(1 ;0) C(0 ;1)
Les milieux : D milieu
ilieu de [AB] a pour coordonnées :
;
= ;0
E milieu de [BC] a pour coordonnées :
;
F milieu de [AC] a pour coordonnées : 0;
3. En déduire les équations de (AE), (BF) et (CD).
Droite (AE) : Elle a une équation de la forme y = mx avec : m =
Droite (BF) :
La droite (AE) a pour équation réduite : y = x
Elle a une équation de la forme y = mx + p avec : p = [l’ordonnée à l’origine se lit sur l’axe (AC)]
Et m =
Droite (CD) :
=1
= – . La droite (BF) a pour équation : y =– x +
Elle a une équation de la forme y = mx + p avec : p = 1
Et m =
= –2. La droite (CD) a pour équation : y = –2x + 1
4. Calculer les coordonnées du point d’intersection G des droites (AE) et (BF).
Le point G(x ;y)) appartient simultanément aux deux droites équivaut à dire que ses coordonnées sont solutions du
système : – "
$
– 2!
2 – 1
Le point d’intersection G des droites (AE) et (BF) a pour coordonnées
;
5. Montrer que G appartient à la droite (CD). Conclure.
On remplace x dans l’équation de (CD) par l’abscisse de G et on vérifie si on obtient son ordonnée :
– 2× + 1 = – + 1 = . Les coordonnées de G vérifient bien l’équation de (CD), donc G ∈ (CD).
6. Comment s’appellent les droites (AE), (BF) et (CD) ? Comment s’appelle le point G ?
Quelle propriété de collège avez-vous
vous ainsi démontrée ?
Les droites (AE), (BF) et (CD) sont les médianes du triangle ABC. Nous avons démontré que les trois médianes
d’un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle ABC.