probabilités

Probabilités : partie I
Introduction
Remarque : en probabilités on notera le complémentaire de Apar A.
1. Jeu de pile ou face. On peut choisir comme univers des possibles Ω={P,N}
2. Jeu de pile ou face répété deux fois. On peut choisir comme univers des possibles
Ω={(P;P);(F;F);(P;F);(F;P)
L’événement « obtenir deux résultats différents » est {(P;F);(F;P)}
3. Jeu de pile ou face avec deux pièces indifférenciées et lancées simultanément. Ω={(2,0);(1,1);(0,2);}
où (nP,nF) représente (nombre de piles,nombre de faces) L’événement « obtenir deux résultats différents »
est .{(1,1)}
4. On lance une pièce jusqu’à obtenir un pile : Ω={F;PF,PPF,PPP F,PPPPF,PPPPPF,...}cup{ le tirage qui ne comporte que des F} ;
ou on peut choisir Ω=N∪{ le tirage qui ne comporte que des F}
5. On lance une pièce une infinité de fois Ω={P,F}N
6. Évolution de prix jour par jour du baril de petrole arrondi au dollar :Ω=NN
7. Jeu du tir à l’arc Ω=[0; r[,
8. Mesure de la distance d’un électron au noyau : Ω=R+
Définition 1 (univers et événement).
Lors d’une expérience aléatoire l’univers des possibles est l’ensemble de toutes les issues possibles.
Un événement lié à une expérience aléatoire est une partie de son univers Ω
Soit A un événement on dit que ωest un possible si ω∈Ω.
On dit que ωest un possible de A ou que ωréalise A si ω∈A.

2010–2011
exercice important
Soient A,B,Ctrois événements liés à une expérience aléatoire d’univers Ω. Décrire à l’aide de A,B,Cles événements
suivants 1:
1. E1= « seul Ase réalise ».
2. E2= « Ane se réalise pas ».
3. E3= « Bse réalise ou Cse réalise ».
4. E4= « Soit Bse réalise, soit Cse réalise ».
5. E5= « Aet Bse réalisent mais pas C».
6. E6= « Deux événements au plus se réalisent ».
7. E7=« Deux événements ou plus se réalisent ».
Définition 2 (événement élémentaire).
Un événement élémentaire est un événement du type {x}où x ∈Ω.
1. Cas fini.
On remarque que tout événement est réunion d’événements élémentaires.
2. Cas d’un univers dénombrable.
On suppose ici que Ω={ω1,...,ωi...} ={ωi,i∈N} est un univers dénombrable).Un ensemble dénombrable est un en-
semble en bijection avec Ncf DL15 On admet que dans ce cas tout événement est réunion finie ou dénombrable d’événements élémentaires.
3. Cas d’un univers indénombrable.
Dans ce cas là certaines parties de Ωne représentent pas des événements !
I Espaces probabilisés et probabilité.
I.1 Algèbre d’événements.
Définition 3 (Algèbre).
Soit Ωun univers et Fun sous ensemble de P(Ω). On dit que Fest une algèbre d’événements si et seulement si
1. Ω∈F
2. Pour tout A ∈Fon a A ∈F
3. Pour tout A ∈Fet B ∈F, A ∩B∈F
Proposition 1 (Propriétés élémentaires d’une algèbre).
Soit Fune algèbre d’événements sur Ω. Alors :
1. Réponse E1=A∩B∩C,E2=A,E3=B∪C,E4=(B\C)∪(C\B)=B∆C,E5=(A∩B)\C,E6=Ω\(A∩B∩C), E7=(A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)
Espaces probabilisés 2

ECS–1 Lycée Descartes
1. ; ∈ F
2. Pour tout A ∈Fet B ∈F, A ∪B∈F
3. Pour tout entier naturel non nul n, pour tout A1∈F, A2∈F,. . . , An∈F:
n
[
i=1
Ai∈F
n
\
i=1
Ai∈F
Démonstration :
Le point 3 se démontre par récurrence sur n.
I.2 σ-algèbre.
Remarque : On constate sur les exemples précédents que la notion d’algèbre d’événements est insuffisante (laner
infini d’une pièce).
Définition 4 (σ-algèbre ou tribu).
Soit Ωun univers. On appelle tribu ou σ−algèbre sur Ωtout ensemble Tde parties de Ωvérifiant :
1. Ω∈T.
2. Si A ∈T, alors A ∈T.
3. Si (An)n∈Nest une suite d’éléments de T, alors
[
n∈N
An∈T
Proposition 2 (Propriétés élémentaires d’une σ-alg‘ebre).
Soit Ωun univers et Tune σ-algèbre.
Alors :
1. Test une algèbre.
2. Si (An)n∈Nest une suite d’éléments de T, alors
\
n∈N
An∈T
Exemples élémentaires
1. T=P(Ω) est une tribu sur Ω.
2. {;,Ω} est une tribu sur Ω.
3. Soit Ω={a,b,c} alors C=©;, {a,b}, {c}, Ωªest une tribu (vérification laissée en exercice).
3

2010–2011
4. On prend une cible de rayon r=3met divisée en trois secteurs concentriques .
On note Ple plan et Ole centre de la cible Ω=nM∈P.k−−→ OMk < 3oet
T=n;,Ω,nM∈P.k−−→ OMk < 1o,nM∈P.16k−−→ OMk < 2o,nM∈P.26k−−→ OMk < 3o,
nM∈P.06k−−→
OMk < 2o,nM∈P.16k−−→ OMk < 3o,nM∈P.06k−−→ OMk < 1 ou 2 6k−−→ OMk < 1oo
Définition 5 (Espace probabilisable).
Un espace probabilisable est un couple (Ω,T)où Ωest un univers associé à une expérience aléatoire et Test une
tribu sur Ωdes événements liés à cette expérience aléatoire.
Si Ωest fini ou dénombrable on choisit presque toujours T=P(Ω).
Vocabulaire :
Soit (Ω,T) un espace probabilisable
1. ;est appelé l’événement impossible et Ωl’événement certain.
2. On dit qu’un événement A implique un événement Blorsque A⊂B. (Tout possible ωde Aréalise B(i.e.
∀ω∈A,ω∈B)).
3. Soit Aun événement, alors Aest appelé l’événement contraire de A.
4. Deux événements Aet Bsont dits incompatibles lorsque A∩B= ;.
Définition 6 (système complet d’événements).
On appelle système complet d’événements toute famille finie d’événements (Ak)16k6n(respectivement toute suite
d’événements (An)n∈N) qui vérifient
1. les Aisont deux à deux incompatibles,
2. Tous les Aisont distincts de ;
3.
n
[
k=1
Ak=Ω(respectivement. [
n∈N
An=Ω).
Cette notion correspond à la notion ensembliste de partition d’un ensemble.
I.3 Probabilités
Soit (Ω,T) un espace probabilisable. Une probabilité est intuitivement une fonction qui associe à chaque évé-
nement Ade Tun réel compris entre 0 et 1 mesurant à quel point la réalisation de l’événement Aest probable. 0
doit être associé à un évèvenement qui semble ne pas pouvoir se réaliser et 1 a un événement qui semble certain.
Pdoit vérifier au moins les propriétés suivantes
1. P(Ω)=1
2. P(;)=0
Espaces probabilisés 4

ECS–1 Lycée Descartes
3. Si Aet Bsont incompatibles alors P(A∪B)=P(A)+P(B)
Comme une tribu est stable par union dénombrable, ceci nous conduit a proposer la définition suivante :
Définition 7 (Probabilité).
Soit (Ω,T)un espace probabilisable. Une probabilité est une application
P:T→[0,1]
A7→ P(A)
telle que :
1. P(Ω)=1
2. (σ−additivité de P) (An)n∈N) est une famille dénombrable d’événements 2 à 2 incompatibles, alors
P([
k∈N
Ak)=
+∞
X
n=0
P(An)
C’est la somme totale d’une série
convergent (absolument).
Définition 8 (espace probabilisé).
Un espace probabilisé est un triplet (Ω,T,P)tel que (Ω,T)est un espace probabilisable et P est une probabilité sur
cet espace.
Définition 9 (ensembles négligeables).
(Ω,T,P)un espace probabilisé.
• On dit que A ∈Test négligeable si et seulement si
P(A)=0
• On dit qu’une propriété Pest vraie presque surement si et seulement si l’événement
©ω∈Ω/ωvérifie Pª
est de probabilité 1. On note alors « Pest vraie p.s. ». Notation au programme
Une propriété est vraie p.s. si et seulement si les éléments ωqui ne vérifient pas Pforment un évènement
négligeable.
Proposition 3 (propriétés de base d’une probablité).
Soit (Ω,T,P)un espace probabilisé. On a alors
1. P(;)=0.
2. Si A1, A2,. . .,Ansont des événements incompatibles deux à deux alors :
PÃn
[
k=1
Ai!=
n
X
k=1
P(Ak)
5