F. Leon (27-05-2015) c06 LATEX document 1/4

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C06
Exercice 1 — Loi normale 4 points
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance 120 et d’écart-
type 20.
1. Donner la probabilité p(100 6X6140).
on remarque que [100;140] = [120 −20;120 + 20], donc
p(100 6X6140) = 0,68
2. Déterminer htel que p(120 −h6X6120 + h)=0,99.
On sait que p(µ−3σ6X6µ+ 3σ)=0,99 ; il faut donc prendre
h= 3σ= 3 ×20 = 60
Exercice 2 — Chauffage 16 points
Un organisme de logements sociaux fait contrôler les chaudières de son parc de
logements pendant l’été.
Partie A – Probabilités conditionnelles
• 20% des chaudières sont sous garantie.
• 1% des chaudières sous garantie sont en panne.
• 10% des chaudières qui ne sont plus sous garantie sont en panne.
On tire au hasard la fiche d’une chaudière du parc.
On considère les événements suivants :
• G : « la chaudière est sous garantie »
• D : « la chaudière est défectueuse »
1. Compléter l’arbre de probabilités suivant.
/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2014_15/lycee/Tstmg2/eval/c06 2/4

G
0,20
D
0,01
D
0,99
G
0,80
D
0,10
D
0,90
2. Trouver en justifiant la bonne valeur de p(D) parmi les suivantes.
a)0,082 b) 0,722 c) 0,29 d) 0,000 16
p(D) = p(D ∩G) + p(D ∩G) = 0,2×0,01 + 0,8×0,1=0,002 + 0,08 = 0,082
3. Quelle est la probabilité qu’une chaudière soit sous garantie, sachant quelle
est défectueuse ? (arrondir à 10−3)
On cherche pD(G) = p(G∩D)
p(D) =0,002 0,082 = 0,024
Partie B – Loi binomiale
On prélève au hasard 50 fiches dans le fichier des chaudières du parc.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 fiches, associe
le nombre de chaudières en panne parmi les 50 chaudières correspondantes.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres
a) n= 50 et p= 0,082 b) n= 50 et p= 0,722 c) n= 50 et p= 0,29
d) n= 50 et p= 0,00016
nous sommes en présence d’un schéma de Bernoulli, en effet les expériences
sont identiques, elles n’ont que deux issues (en panne ou non) et sont répétées
de manière indépendantes.
X suit donc la loi binomiale de paramètres n= 50 (le nombre d’expériences)
et p= 0,08 (le nombre trouvé à la question 2)
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2. À l’aide de cette loi, déterminer la probabilité qu’aucune de ces chaudières
ne soit en panne (arrondir à 10−3).
Aucune chaudière n’est en panne, donc X = 0. On cherche donc p(X = 0).
À l’aide de la calculatrice : p= 0,082 0,722 0,29 0,00016
p(X = 0) = 0,014 '0'0 0,992
3. À l’aide de cette loi, déterminer la probabilité qu’au plus 2 de ces chaudières
ne soit en panne (arrondir à 10−3).
Au plus 2, donc X 62. On cherche donc p(X 62).
À l’aide de la calculatrice : p= 0,082 0,722 0,29 0,00016
p(X 62) = 0,211 '0'0 0,999
Partie C – Loi normale
Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque fiche tirée au hasard dans le fichier
des chaudières du parc, associe la durée de fonctionnement, en années, de la
chaudière correspondante.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 12 et
d’écart-type 2.
1. Calculer p(Y 610) (arrondir à 10−3).
À l’aide de la calculatrice : p(Y 610) = 0,159
2. Une chaudière est dite « rentable » si sa durée de fonctionnement est supé-
rieure ou égale à 10 ans.
Quelle est la probabilité qu’une chaudière dont la fiche a été tirée au hasard
dans le fichier du parc soit rentable ? Justifier.
On cherche p(Y >10), comme p(Y 610) = 0,159, on en déduit que
p(Y >10) = 0,841
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